【配套K12】[学习]2018-2019学年高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布高效

2.4 正态分布A 级 基础巩固一、选择题1．设随机变量X ～N (1，22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝( )A ．4B ．2 C.12D ．1 解析：因为X ～N (1，22)，所以D (X )＝4.所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D (X )＝1.答案：D2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2解析：由P (ξ＜4)＝0.8，知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，故P (0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.答案：C3．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )[附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%.答案：B4．若随机变量X ～N (1，4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0＜X ＜2)＝( )A.1－2m2B.1－m2C．1－2m D．1－m解析：由对称性：P(X≥2)＝P(X≤0)＝m，P(0＜X＜2)＝1－P(X≤0)－P(X≥2)＝1－m－m＝1－2m，故选C.答案：C5．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ2)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2解析：μ反映的是正态分布的平均水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.答案：A二、填空题6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时，达到最高点．解析：由正态曲线关于直线x＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2.答案：0.27．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．解析：法一设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P(A)．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.因为P (A －)＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝58，所以P (A )＝1－P (A －)＝38.法二 设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12.故P (A )＝P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12×12＋12×12×12＝38. 答案：388．若随机变量ξ～N (10，σ2)，P (9≤ξ≤11)＝0.4，则P (ξ≥11)＝________． 解析：由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝10为对称轴知，P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4，即P (10≤ξ≤11)＝0.2， 又P (ξ≥10)＝0.5，所以P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3. 答案：0.3 三、解答题9．公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N (173，72)(单位：cm)，问车门应设计多高(精确到1 cm)？[参考数据：φ(2.33)＝0.99]解：设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P (ξ≥x )＜1%. 因为ξ～N (173，72)，所以P (ξ≤x )＝φ⎝⎛⎭⎪⎫x －1737＞0.99.查表得x －1737＞2.33，所以x ＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞．10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式； (2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比． 解：设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)， 结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式P (x )＝12πσe －（x －μ）22σ2＝15002πe －（x －8 000）22×5002，x ∈(－∞，＋∞)．(2)因为P (7 500<ξ≤8 000) ＝P (8 000－500<ξ≤8 000＋500) ＝0.682 6.所以P (8 000<ξ≤8 500)＝12P (7 500<ξ≤8 500)＝0.341 3， 即农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%.B 级 能力提升1．正态分布N (1，9)在区间(2，3)和(－1，0)上取值的概率分别为m ，n ，则( ) A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m ＝n D ．不确定解析：正态分布N (1，9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2，3)与(－1，0)到对称轴距离相等，故m ＝n .答案：C2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．解析：依题意，P (60－20＜X ≤60＋20)＝0.954 4，P (X ＞80)＝12(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名． 答案：2293．有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布，即X ～N (20，4)．若这批零件共有5 000个．(1)试求这批零件中尺寸为18～22 mm 的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸为24～26 mm 的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？解：(1)因为X ～N (20，4)， 所以μ＝20，σ＝2.所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X 为18～22 mm 的零件所占百分比大约是68.26%，(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24， 所以零件尺寸X 为14～26 mm 的百分比大约是99.74%，而零件尺寸X 为16～24 mm 的百分比大约是95.44%.所以零件尺寸为24～26 mm 的百分比大约是99.74%～95.44%2＝2.15%.5 000×2.15%＝107.5，因此尺寸为24～26 mm 的零件大约有107个．。

能说 说正态 曲线的特点 吗?
2曲 线 是单 峰 的,它 关 于直 线x μ
对 称;
3曲线在x μ处达到峰值;
4曲 线 与x轴 之 间 的 面 积 为1.
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
例1： 在一次测试中，测量结果X服从正态分布 N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为
观察正态分布曲线的变化
用几何画板研究正态曲线随着 和变化的特点
信息技术 的应用
2. 正态曲线的特点
的意义
正态曲线 f x
1
x 2
e 2 2 , x ,
2
由图象可以知道
(1)曲线是单峰的，它关于直线 x 对称.
(2)曲线在 x 处达到峰值 1
.
2
参数反映随机变量取值的平均水平
我们从上图看到，正态总体在(μ－2σ,μ＋2σ)以外取值的概率只有 4.5％，在
3 , 3 以外取值的概率只有 0.27％。
小概率事件:
.由图可知，正态分布几乎总取值于区间 3 , 3 之内,而在此区间以外
取值的概率只有 0.0027, 由于这些概率值很小（一般不超过 5％），通常称这些
标准正态曲线
正态曲线的函数表示式
f x
1
x 2
e 2 2 , x ,
2
标准正态曲线
y
当时
f x
1
e
x2 2
,
x
,
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
称为标准正态分布的函数,其图象称为标准正态曲线.
从正态曲线分析，随机变量X在区间(a，b]内取值的 概率有什么几何意义？在理论上如何计算？

2.4 正态分布学习目标：1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点)2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．(重点)3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．(难点)[自主预习·探新知]1．正态曲线若φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σX 服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；μ的变化而沿x轴平移；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．μ＋aφμ，σ(x)dx.a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝⎠⎛μ－a(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682_7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954_5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997_3.(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( ) (2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量． ( ) (3)正态曲线是一条钟形曲线．( )[解析] (1)× 因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．(2)√ 因为离散型随机变量最多取可列出的不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确． [答案] (1)× (2)√ (3)√2．已知随机变量X 服从正态分布N(2，σ2)，则P (X <2)＝( )【导学号：95032202】A .15 C .13D [由题意知X 的均值为2，因此P (X <2)＝12.]3．正态曲线关于y 轴对称，则它所对应的正态总体均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．不确定C [由正态曲线性质知均值为0.]4．正态分布的概率密度函数P (x )＝122πe －x －28在(3,7]内取值的概率为________.【导学号：95032203】0.682 7 [由题意可知X ～N (5,4)，且μ＝5，σ＝2， 所以P (3<X ≤7)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7.][合 作 探 究·攻 重 难]某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图2­4­1曲线可得下列说法中正确的一项是( )图2­4­1A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同A[由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.]1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π，求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解]由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是142π，所以12π·σ＝142π，解得σ＝4.故函数的解析式为φμ，σ(x)＝142π·e－x232，x∈(－∞，＋∞)．＝( )A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.【导学号：95032204】[思路探究](1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．(1)C[∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.](2)[解]由题意得μ＝1，σ＝2，所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 7.又因为正态曲线关于x＝1对称，μ－.，P(μ＋2σ2．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)．(1)求c的值；(2)求P(－4<x<8)．[解](1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，所以c＝2.(2)P(－4<x<8)＝P(2－2×3<x<2＋2×3)＝0.954 5.1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？[提示]零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？[提示]P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε≤μ＋σ)＝0.682 7，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 7≈683(件)一等品．3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？[提示]由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.【导学号：95032205】[思路探究]将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 7＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．[解]μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 7＝1，∴P(X－μ≤－σ)≈0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)＝0.682 7＋2P (X －μ≥σ)＝1，∴P (X －μ≥σ)≈0.158 7，即P (X ≥130)＝0.158 7. ∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．1．设随机变量X 的正态密度函数为f (x )＝12π·e－4，x ∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )A ．μ＝3，σ＝2B ．μ＝－3，σ＝2C ．μ＝3，σ＝ 2D ．μ＝－3，σ＝ 2D [由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝ 2.]2．设随机变量X ～N (3,1)，若P (X >4)＝p ，则P (2<X <4)＝( )【导学号：95032206】A ．12＋p B ．1－p C ．1－2pD ．12－p C [由X ～N (3,1)得μ＝3，所以P (3<X <4)＝12－p ，即P (2<X <4)＝2P (3<X <4)＝1－2p .]3．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X ≤4)＝0.84，则P (X ≤0)＝( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68 D ．0.84A [由X ～N (2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x ＝2，则P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝1－P (X <4)＝1－0.84＝0.16.]4．设X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，则P (－1＜x ＜1)＝________. 0.954 5 [∵X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，∴μ＝0，σ＝12， ∴P (－1＜X ＜1)＝P (0－2σ＜X ＜0＋2σ)＝0.954 5]5．随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0).【导学号：95032207】[解] 如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.8413，所以P (ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P (ξ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.。

[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1) 正态密度曲线 y ＝ φ μ ， σ (x) 关于直线 x ＝ 0 对 称．( ) )
(2)正态总体 N(3，4)的标准差为 4.(
(3)在正态分布中参数 μ 是反映随机变量取值的平均 水平的特征数，可以用样本均值去估计；σ 是衡量随机变 量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估 计．( )
2．4 正态分布
[学习目标] 1.利用实际问题的直方图，了解正态曲 线的特点及正态曲线所表示的意义(重点)． 2.能借助正 态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义(重点)． 3.会 利用正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率 ( 难 点)．
[知识提炼· 梳理] 1．正态曲线及其性质 (1)正态曲线：
图①
图②
2．正态分布 一般地，如果对于任何实数 a，b(a<b)，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝∫b aφμ ，σ (x)dx，则称随机变量 X 服从正 态分布(normal distribution)． 正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定，因此正态分布常记作 N(μ，σ 2)．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为 X～N(μ，σ 2)．
④曲线在 x＝μ 时位于最高点，由这一点向左、右两 边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由 μ 确定，曲线的形状由σ 确定； ⑥σ 越大，曲线越“矮胖” ，σ 越小，曲线越“瘦高” ． 其中正确的是( A．只有①④⑤⑥ C．只有③④⑤⑥ ) B．只有②④⑤ D．只有①⑤⑥
解析：正态曲线是一条关于直线 x＝μ 对称，当 x＝μ 时处于最高点，由该点向左、右两边无限延伸并逐渐降低 的曲线，该曲线总是位于 x 轴的上方，曲线的位置由 μ 确定，曲线的形状由 σ 确定，σ越大，曲线越“矮胖”，