[配套K12]2019版高考物理总复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天 基础课4 万有引力与航天学案

教育配套资料K12 教育配套资料K12 基础课4 万有引力与航天

知识排查 开普勒三定律 1.开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。 2.开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等。 3.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

万有引力定律及其应用 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比。 2.表达式：F＝Gm1m2r2 G为引力常量：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。

3.适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。 (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。

环绕速度 1.第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9__km/s。 2.特点 (1)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度。 (2)第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度。 3.第一宇宙速度的计算方法 教育配套资料K12 教育配套资料K12 (1)由GMmR2＝mv2R得v＝GMR＝7.9 km/s (2)由mg＝mv2R得v＝gR＝7.9 km/s 第二、三宇宙速度 时空观 1.第二宇宙速度：v2＝11.2 km/s，是卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 2.第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 3.经典时空观 (1)在经典力学中，物体的质量是不随运动状态而改变的。 (2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。 4.相对论时空观 在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。 小题速练 1.思考判断 (1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。( ) (2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。( ) (3)第一宇宙速度与地球的质量有关。( ) (4)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。( ) (5)发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× 2.(2016·全国卷Ⅲ，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律 C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因 D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律 解析 在天文观测数据的基础上总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律。 答案 B 3.(2017·江西重点中学联考)下列说法正确的是( ) 教育配套资料K12 教育配套资料K12 A.伽利略发现了万有引力定律，并测得了引力常量 B.根据表达式F＝Gm1m2r2可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大 C.在由开普勒第三定律得出的表达式R3T2＝k中，k是一个与中心天体有关的常量 D.两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许测得了引力常量，故选项A错误；表达式F＝Gm1m2

r2

中，当r趋近于零时，万有引力定律不适用，故选项B错误；表达式R3T2＝k中，k是一个与中心天体有关的常量，故选项C正确；物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对相互作用力，故选项D错误。 答案 C

万有引力定律的理解及应用 1.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图1所示。

图1 (1)在赤道上：GMmR2＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：GMmR2＝mg2。 2.星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)： mg＝GmMR2，得g＝GMR2

(2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′， 教育配套资料K12 教育配套资料K12 mg′＝GMm（R＋h）2，得g′＝GM（R＋h）2

所以gg′＝（R＋h）2R2

1.若地球表面处的重力加速度为g，而物体在距地面3R(R为地球半径)处，由于地球作用而产生的加速度为g′，则g′g为( ) A.1 B.19 C.14 D.116 解析 当物体处于地面时，有mg＝GMmR2，当物体距离地面3R时，有mg′＝GMm（4R）2，由此得g′∶g＝1∶16，选项D正确。

答案 D 2.假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( ) A.1－dR B.1＋dR

C.R－dR2 D.RR－d2 解析 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝GMmR2；设矿井底部处的重力加速度为g′，等效“地球”的质量为M′，其半径r＝R－d，则矿井底部处的物体m受到的重力mg′＝GM′mr2，又M＝ρV＝ρ·43πR3，M′＝ρV′＝ρ·43

π(R－d)3，联立解得g′g＝1－dR，选项A正确。 答案 A 3.(多选)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计。则( ) A.g′∶g＝1∶5 B.g′∶g＝5∶2 教育配套资料K12 教育配套资料K12 C.M星∶M地＝1∶20 D.M星∶M地＝1∶80 解析 由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t＝2v0g，因此得g′g＝t5t＝15，选项A

正确，B错误；由GMmR2＝mg得M＝gR2G，因而M星M地＝g′R2星gR2地＝15×142＝180，选项C错误，D正确。 答案 AD 中心天体质量和密度的估算 1.“g、R”法：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由GMmR2＝mg，得天体质量M＝gR2G。 (2)天体密度ρ＝MV＝M43πR3＝3g4πGR。

2.“T、r”法：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由GMmr2＝m4π2T2r，得M＝4π2r3GT2。 (2)若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝MV＝M43πR3＝3πr3GT2R3。

(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝3πGT2。故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。 【典例】 (2017·北京理综，17)利用引力常量G和下列有关数据，不能．．计算出地球质量的

是( ) A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 解析 因为不考虑地球的自转，所以卫星的万有引力等于重力，即GM地mR2＝mg，得M地＝gR2G，所以据A中给出的条件可求出地球的质量；根据GM地m卫R2＝m卫v2R和T＝2πRv，得M地＝v3T2πG，所以据B中给出的条件可求出地球的质量；根据GM地m月r2＝m月4π2T2r，得M地＝4π2r3GT2，所以据C中教育配套资料K12 教育配套资料K12 给出的条件可求出地球的质量；根据GM太m地r2＝m地4π2T2r，得M太＝4π2r3GT2，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，本题答案为D。 答案 D

计算中心天体的质量、密度时的两点区别 (1)天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。 (2)自转周期和公转周期 自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。

1.近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T，则火星的平均密 度ρ的表达式为(k是一个常数)( ) A.ρ＝kT B.ρ＝kT C.ρ＝kT2 D.ρ＝kGT2 解析 由万有引力定律知GMmr2＝m4π2T2r，联立M＝ρ·43πR3和r＝R，解得ρ＝3πGT2，3π为一常数，设为k，故选项D正确。 答案 D 2.(多选)一行星绕恒星做圆周运动，由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( ) A.恒星的质量为v3T2πG B.行星的质量为4π2v3GT2 C.行星运动的轨道半径为vT2π