必修4_期末复习_三角函数的图像和性质(题型)

必修四③三角函数图像与性质————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:ﻩ三角函数图象与性质基础梳理１．“五点法”描图(1）y=sｉn x的图象在［０,2π］上的五个关键点的坐标为(0,０)，错误!，(π,0)，错误!，(2π，0).(2)y=cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,1)，错误!，(π,-1),错误!,（2π，1）.２．三角函数的图象和性质函数性质y=sｉn x y=ｃos xｙ＝taｎｘ定义域R R ｛x｜ｘ≠ｋπ＋π2,k∈Ｚ｝图象值域［-1,1］[－1,1］R对称性对称轴:x＝kπ＋π2(ｋ∈Z)对称中心:(ｋπ,0)(k∈Z)对称轴:x=kπ（k∈Z）对称中心:错误!无对称轴对称中心:错误!(ｋ∈Z)周期2π２ππ单调性单调增区间错误!，2ｋπ+错误!（k∈Ｚ)；单调减区间错误!,2kπ＋错误!(k∈Ｚ）单调增区间[２ｋπ－π，2kπ](ｋ∈Z);单调减区间[2ｋπ,2kπ＋π]（k∈Z)单调增区间错误!，kπ+错误!(k∈Z)奇偶性奇偶奇两条性质(1)周期性函数y＝A sin（ωx＋φ）和y=A cｏs(ωx+φ）的最小正周期为＼f(2π,|ω|），y＝tａn(ωx+φ)的最小正周期为＼f（π，|ω｜).(２)奇偶性三角函数中奇函数一般可化为y=A sin ωｘ或y=A tan ωx,而偶函数一般可化为y=Ａcｏs ωx＋b的形式．三种方法求三角函数值域(最值）的方法:(１)利用ｓiｎｘ、cos x的有界性;(2)形式复杂的函数应化为ｙ＝Aｓin(ωx+φ）＋k的形式逐步分析ωｘ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域;(3）换元法:把sinｘ或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．题型分析1、与三角函数有关的函数的定义域※相关链接※（1）与三角函数有关的函数的定义域①与三角函数有关的函数的定义域仍然是使函数解析式有意义的自变量的取值范围； ②求此类函数的定义域最终归结为用三角函数线或三角函数的图象解三角不等式。

高三数学期末专题复习三角函数的图像与性质例1已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且f (π4)＝ 2.(1) 求ω、φ的值；(2) 若f (α2)＝－65(0＜α＜π)，求cos2α的值．解：(1) 由函数的周期为π，可知2πω＝π，所以ω＝2.(2分)又由f (π4)＝2，得2sin(π2＋φ)＝2，所以cos φ＝22.又φ∈(0，π)，所以φ＝π4.(5分)(2) (方法1)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分)因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)，所以cos(α＋π4)＝－45.(10分)所以cos2α＝sin(π2＋2α)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2425.(14分)(方法2)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分)因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)，所以cos(α＋π4)＝－45.(10分)所以cos α＝cos[(α＋π4)－π4]＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)sin π4＝－7210.所以cos2α＝2cos 2α－1＝2×(－7210)2－1＝2425.(14分)(方法3)由f (α2)＝－65，得sin(α＋π4)＝－35.(7分)所以sin α＋cos α＝－325.所以1＋sin2α＝1825，即sin2α＝－725.(10分)因为α∈(0，π)，所以α＋π4∈(π4，5π4)．又sin(α＋π4)＝－35＜0，所以α＋π4∈(π，5π4)，即α∈(3π4，π)，2α∈(3π2，2π)．所以cos2α＝1－sin 22α＝2425.(14分)例2已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图象如图所示，直线x＝3π8，x ＝7π8是其两条对称轴．(1) 求函数f (x )的解析式并写出函数的单调增区间；(2) 若f (α)＝65，且π8＜α＜3π8，求f (π8＋α)的值．解：(1) 由题意，T 2＝7π8－3π8＝π2，∴ T ＝π.又ω＞0，故ω＝2，∴ f (x )＝2sin(2x ＋φ)．(2分)由f (3π8)＝2sin(3π4＋φ)＝2，解得φ＝2k π－π4(k ∈Z )．又－π2＜φ＜π2，∴ φ＝－π4，∴ f (x )＝2sin(2x －π4)．(5分)由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，∴ 函数f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(7分)(2) 解法1：依题意得2sin(2α－π4)＝65，即sin(2α－π4)＝35，(8分)∵ π8＜α＜3π8， ∴ 0＜2α－π4＜π2.∴ cos(2α－π4)＝1－sin 2(2α－π4)＝1－(35)2＝45，(10分)f (π8＋α)＝2sin[(2α－π4)＋π4]．∵ sin[(2α－π4)＋π4]＝sin(2α－π4)cos π4＋cos(2α－π4)sin π4＝22(35＋45)＝7210，∴ f (π8＋α)＝725.(14分)解法2：依题意得sin(2α－π4)＝35，得sin2α－cos2α＝325，①(9分)∵ π8＜α＜3π8， ∴ 0＜2α－π4＜π2，∴ cos(α－π4)＝1－sin 2(2α－π4)＝1－(35)2＝45，(11分)由cos(2α－π4)＝45得sin2α＋cos2α＝425.②①＋②得2sin2α＝725，∴ f (π8＋α)＝725.(14分)解法3：由sin(2α－π4)＝35得sin2α－cos2α＝325，(9分)两边平方得1－sin4α＝1825，sin4α＝725， ∵ π8＜α＜3π8，∴ π2＜4α＜3π2，∴ cos4α＝－1－sin 24α＝－2425，(11分)∴ sin 22α＝1－cos4α2＝4950.又π4＜2α＜3π4，∴ sin2α＝7210，∴ f (π8＋α)＝725.(14分)例3已知函数f (x )＝)0,0)(cos()sin(3><<+-+ωϕϕωϕωπx x 为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为.2π （Ⅰ）求f （8π）的值； （Ⅱ）将函数y ＝f (x )的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间.16.解：（Ⅰ）f (x )＝)cos()sin(3ϕωϕω+-+x x＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+)cos(21)sin(232ϕωϕωx x ＝2sin(ϕω+x -6π) 因为 f (x )为偶函数，所以 对x ∈R ,f (-x )=f (x )恒成立，因此 sin （-ϕω+x -6π）＝sin(ϕω+x -6π). 即-sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π)=sin x ωcos(ϕ-6π)+cos x ωsin(ϕ-6π), 整理得 sin x ωcos(ϕ-6π)=0.因为 ω＞0，且x ∈R ,所以 cos （ϕ-6π）＝0. 又因为 0＜ϕ＜π，故 ϕ-6π＝2π.所以 f (x )＝2sin(x ω+2π)=2cos x ω. 由题意得 .2,222　＝ 所以 ωπωπ⋅=故 f (x )=2cos2x .因为 .24cos 2)8(==ππf （Ⅱ）将f (x )的图象向右平移个6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到)64(ππ-f 的图象. ).32(cos 2)64(2cos 2)64()(ππππππ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=f f x g 所以 当 2k π≤32ππ-≤2 k π+ π (k ∈Z),即 4k π＋≤32π≤x ≤4k π+38π (k ∈Z)时，g (x )单调递减. 因此g (x )的单调递减区间为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k (k ∈Z)巩固练习1.已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的单调增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求f (x )的值域． 解：(1)f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )(2分)＝sin2x ＋3cos2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(5分) ∴ f (x )的最小正周期为π.(7分)(2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，∴ f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．(10分) (3)∵ x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4， ∴ 2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6.(12分) 则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴ f (x )的值域为[1,2]．(14分)2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，a 2－c 2＝3ab －b 2，S △ABC ＝2.(1) 求CA →·CB→的值； (2) 设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(其中φ∈[0，π2]，ω＞0)，最小正周期为π，当x 等于角C 时函数取到最大值，求使该函数取最小值时的x 的集合．解：(1) cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，(2分)∵ 0＜C ＜π，∴ C ＝π6.(3分)∵ S △ABC ＝2，∴ 12ab sin30°＝2，∴ ab ＝8，(5分)∴ CA →·CB →＝ab cos30°＝8×32＝4 3.(7分)(2) ω＝2.(8分)当且仅当2x ＋φ＝π2＋2k π，即π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，(9分)此时φ＝π6＋2k π.又∵ φ∈[0，π2]，∴ φ＝π6.(10分)∴ 当2x ＋π6＝－π2＋2k π时函数取最小值．(12分)即函数取最小值时的x 的集合为{x |x ＝－π3＋k π，k ∈Z }．(14分)3.如图，函数π2cos()(0)2y x x ωθθ=+∈R ，≤≤的图象与y轴交于点(0，且在该点处切线的斜率为2-． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA的中点，当02y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．.解：（1）将0x =，y =2cos()y x ωθ=+得cos 2θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为2sin()y x ωωθ'=-+，02x y ='=-，6θπ=，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA的中点，02y =， 所以点P的坐标为022x π⎛- ⎝． 又因为点P 在2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上，所以05cos 462x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 因为02x ππ≤≤，所以075194666x πππ-≤≤， 从而得0511466x ππ-=或0513466x ππ-=． 即023x π=或034x π=．。

正弦函数、余弦函数的性质(一)【知识梳理】1．函数的周期性(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2．正弦、余弦函数的周期性正弦函数y ＝sin x (x ∈R )和余弦函数y ＝cos x (x ∈R )都是周期函数，2k π(k ∈Z ，且k ≠0)都是它们的周期．最小正周期为2π.3．正弦、余弦函数的奇偶性 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．【常考题型】题型一、函数的周期【例1】 求下列三角函数的周期：(1)y ＝3sin x ，x ∈R ；(2)y ＝cos 2x ，x ∈R ；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R ；(4)y ＝|cos x |，x ∈R .[解] (1)因为3sin(x ＋2π)＝3sin x ，由周期函数的定义知，y ＝3sin x 的周期为2π.(2)因为cos 2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos 2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos 2x 的周期为π.(3)因为sin ⎣⎡⎦⎤13(x ＋6π)－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋2π－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，由周期函数的定义知，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4的周期为6π.(4)y ＝|cos x |的图像如图(实线部分)所示，由图像可知，y ＝|cos x |的周期为π.【类题通法】求函数最小正周期的常用方法求三角函数的周期，一般有两种方法：(1)公式法，即将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 或y＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的形式，再利用T ＝2π|ω|求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过观察得到最小正周期．【对点训练】求下列函数的最小正周期：(1)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2＋3；(2)y ＝cos|x |.解：(1)由T ＝2ππ2＝4，可得函数的最小正周期为4. (2)由于函数y ＝cos x 为偶函数，所以y ＝cos|x |＝cos x ，从而函数y ＝cos|x |与y ＝cos x 的图像一样，因此最小正周期相同，为2π.题型二、三角函数的奇偶性【例2】 (1)函数f (x )＝2sin 2x 的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数(2)判断函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2的奇偶性．(1)[解析] ∵f (x )的定义域是R .且f (－x )＝2sin 2(－x )＝－2sin 2x ＝－f (x )，∴函数为奇函数．[答案] A(2)[解] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2＝－cos 34x ， ∴f (－x )＝－cos ⎝⎛⎭⎫－34x ＝－cos 34x ， ∴函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫34x ＋3π2为偶函数．【类题通法】与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；(2)要使y ＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (3)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )； (4)要使y ＝A cos(ωx ＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．【对点训练】若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )A ．0B.π4C.π2 D ．π解析：选C 法一：由于y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2. 法二：因为y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(x ＋φ)的图像的对称轴应满足x ＋φ＝π2＋k π.又y ＝sin(x ＋φ)是偶函数，所以x ＝0是函数图像的一条对称轴，所以φ＝π2＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π2. 题型三、三角函数的奇偶性与周期性的应用【例3】 若函数f (x )是以π2为周期的偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－17π6的值． [解] ∵f (x )的周期为π2，且为偶函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝f ⎝⎛⎭⎫－3π＋π6＝f ⎝⎛⎭⎫－6×π2＋π6 ＝f ⎝⎛⎭⎫π6.而f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π2－π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，∴f ⎝⎛⎭⎫－17π6＝1. 【类题通法】解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的方法利用函数的周期性，可以把x ＋nT (n ∈Z )的函数值转化为x 的函数值．利用奇偶性，可以找到－x 与x 的函数值的关系，从而可解决求值问题．【对点训练】若f (x )是奇函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f ⎝⎛⎭⎫92的值．解：∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)．∴f (x ＋2)＝f (x )，即T ＝2.∴f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫92－4＝f ⎝⎛⎭⎫12.又∵f (x )为奇函数，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝－⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0，故f ⎝⎛⎭⎫92＝0. 【练习反馈】1．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：选A 由于x ∈R ，且f (－x )＝sin x ＝－sin(－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．2．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x 是( )A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数解析：选B 由于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝2cos x ，其最小正周期为2π，且为偶函数．3．f (x )＝sin x cos x 是________(填“奇”或“偶”)函数．解析：x ∈R 时，f (－x )＝sin(－x )cos(－x )＝－sin x cos x ＝－f (x )，即f (x )是奇函数． 答案：奇4．函数y ＝cos (1－x )π2的最小正周期是________． 解析：∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎫－π2x ＋π2，∴T ＝2ππ2＝2π×2π＝4. 答案：45．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫－5π3的值． 解：∵当x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时，f (x )＝sin x ，且最小正周期为π， ∴f ⎝⎛⎭⎫－5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝－f ⎝⎛⎭⎫－π3＝ －sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin π3＝32.。

专题二 三角函数的图象与性质一、三角函数的性质函数x y sin =x y cos =x y tan =图象定义域 R R⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,2ππ值域 最值 []1,1-当22ππ+=k x 时，1max =y当22ππ-=k x 时，1min =y []1,1-当πk x 2=时，1max =y当ππ+=k x 2时，1min =yR无最大值与最小值奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 最小正周期：π2 最小正周期：π2 最小正周期：π单 调 性在]22,22[ππππ+-k k 单调递增在]232,22[ππππ++k k 单调递减在]2,2[πππk k -上单调递增 在]2,2[πππ+k k 上单调递减在)2,2(ππππ+-k k 上单调递增对称性对称中心：)0,(πk 对称轴：2ππ+=k x对称中心：)0,2(ππ+k 对称轴：πk x =对称中心：)0,2(πk 无对称轴注：表中 【典例精析】题型一、三角函数定义域与三角不等式 例1. 下列函数的定义域(1)1sin 2+=x y (2))2tan 1lg(x y +=题型二、三角函数的奇偶性 例2. 求下列函数的奇偶性(1)判断函数x x x y sin )2cos(3--=π的奇偶性。

(2)判断函数1tan 1tan lg -+=x x y 的奇偶性。

➢ 变式训练：若函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=6)(2sin )(πθx x f 是偶函数，求θ的一个值。

题型三、三角函数的单调性 例3. 求函数1)23sin(+-=x y π的单调减区间。

变式：求函数1)6cos(2++=πx y 的单调增区间。

例4. 求下列函数的值域(1)3)32cos(2++=πx y (2))63(,3)32sin(2πππ≤≤-++=x x y二、三角函数的图象【知识要点】1. 三角函数x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像特征。