三角函数的图像与性质练习题

1y三角函数图像与性质练习题(一)一．选择题 〔每题５分，共100分〕1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A.sin()6y x π=+B.sin()6y x π=-C.sin(2)3y x π=+D.sin(2)3y x π=- 2. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕3. 函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 4.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是( ) A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移12π D.向右平移12π 5. 要得到函数y =sin (2x -)6π的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 6. 为了得到函数y =sin (2x-4π)+1的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象〔〕平移得到A.按向量a=(-8π,1)B. 按向量a=(8π,1)C.按向量a=(-4π,1)D. 按向量a=(4π,1) 7.假设函数()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图，那么ωϕ和的取值是( )A.1ω=，3πϕ= B.1ω=，3πϕ=-C.12ω=，6πϕ= D.12ω=，6πϕ=- 8. 函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是( )9. 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为( ) A.,1π B.,2π C.2,1π D. 2,2π 10. 函数()sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，那么该函数的图象( )A.关于点(,0)3π对称 B.关于直线4x π=对称 C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线3x π=对称11.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的局部图象如图，那么( ) A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω== D.45,4πϕπω==12. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( ) yx11-2π- 3π- O6ππyx11- 2π- 3π- O 6ππ yx1 1-2π-3πO 6π-πy xπ2π- 6π-1O 1-3π Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位 13. 设函数()x f ()φω+=x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>20,0πφω.假设将()x f 的图象沿x 轴向右平移61个单位长度，得到的图象经过坐标原点;假设将()x f 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕, 得到的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,61. 那么( ) A.6,πφπω== B.3,2πφπω== C.8,43πφπω== D. 适合条件的φω,不存在 14. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3,那么f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A.9π=x B.6π=x C.3π=x D.2π=x三角函数图像与性质练习题答案三角函数的图象和性质练习题(二)一、选择题1.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔 〕A.0B.4πC.2πD.π2. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，那么ϕ等于A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 3.假设,24παπ<<那么〔 〕 (45<a<90)A .αααtan cos sin >>B .αααsin tan cos >>C .αααcos tan sin >>D .αααcos sin tan >>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B C A A A 11 12 13 14 CAAA4.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是〔 〕A .52πB .25π C .π2 D .π5 5.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中， 最小正周期为π的函数的个数为〔〕. A .1个B .2个 C .3个 D .4个6.x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为 〔 〕 A ．3π B ．π34 C ．π23 D ．π677. 函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程〔 〕A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．=x π458. 使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值，那么ω的最小值为〔 〕 A ．π25B ．π45C ．πD ．π23二、填空题1.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2.函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.3.假设函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,那么自然数k 的值为______. 4.满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 5.假设)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，那么ϖ=________.三、解答题1.比拟大小〔1〕00150sin ,110sin ；〔2〕00200tan ,220tan 2. (1) 求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域. 〔2〕设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 3．)33sin(32)(πω+=x x f 〔ω＞0〕〔1〕假设f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= . 〔2〕f (x )在〔0，3π〕上是增函数，求ω最大值 "三角函数的图象和性质练习题二"参考答案一、选择题 1.C [解析]：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C [解析]：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ=3.D [解析]：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>4.D [解析]：2525T ππ== 5.C [解析]：由x y sin =的图象知，它是非周期函数6.C [解析]： ∵x x x f 32cos 32sin)(+==)432sin(2π+x∴图象的对称轴为πππk x +=+2432，即)(2383Z k k x ∈+=ππ故相邻的两条对称轴间距离为π237.A [解析]：当2π-=x 时 )252sin(π+=x y 取得最小值－１，应选A8.A [解析]：要使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值 只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故πω25≥ 二、填空题1、①0[解析]：此时()cos f x x =为偶函数2、3[解析]：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----3、2,3或[解析]：,12,,2,32T k k N k kkππππ=<<<<∈⇒=而或4、|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 5、34[解析]：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< 三、解答题1.解：〔1〕0sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而 〔2〕0tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而 2.解：〔1〕221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求.〔2〕0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间 当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-； 当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 4.解：（1） 因为f (x +θ)=)333sin(32πθω++x又f (x +θ)是周期为2π的偶函数， 故∈+==k k 6,31ππθω Z（2） 因为f (x )在〔0，3π〕上是增函数，故ω最大值为61三角函数的图象专项练习一．选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A ．向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度2．以下函数中振幅为2，周期为π，初相为6π的函数为 ()A ．y=2sin(2x+3π) B. y=2sin(2x+6π) C ．y=2sin(21x+3π) D. y=2sin(21x+6π) 3．三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) A ．{x│x=2kπ+3π,k∈Z}B .{x│x=2kπ+35π,k∈Z}.C ．{x│x=2kπ±3π,k∈Z}D .{x│x=kπ+(-1)K ,k∈Z}.4．假设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的图象〔局部〕如下图，那么ω,ϕ的取值是 ( )A ．3,1πϕω==B.3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D.6,21πϕω-==5．函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，那么φ的值可以是 ( ) A. -6π B. 6π C.12π- D.12π6．设函数y=2sin(2x+Φ)的图象为C ，那么以下判断不正确的选项是〔 〕A ．过点(,2)3π的C 唯一 B.过点(,0)6π-的C 不唯一C ．C 在长度为2π的闭区间上至多有2个最高点D ．C 在长度为π的闭区间上一定有一个最高点，一个最低点 7．方程)4cos(lg π-=x x 的解的个数为〔 〕A ．0B ．无数个C ．不超过3D ．大于38．假设函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图像，那么y=f(x)是 ( )A ．1sin(2)122y x π=++B.1sin(2)122y x π=-+ C ．1sin(2)124y x π=-+ D.11sin()1224y x π=++9．()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，那么f(x)的图像 ( )A ．与g(x)的图像一样 B.与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得g(x)的图像 D.向右平移2π个单位，得g(x)的图像 10．函数f(x)=sin(2x+2π)图像中一条对称轴方程不可能为( )A.x=4πB. x=2πC. x=πD. x=23π11．函数y=2与y=2sinx ，x ∈3[,]22ππ-所围成的图形的面积为 ( ) A ．πB.2πC.3πD.4π12．设y=f(t)是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asina(ωt+ϕ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.]24,0[,6sin312∈+=t t y πB.]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC.]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD.]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二．填空题 13．函数y=5sin(3x −2π)的频率是______________。

专题12三角函数的图像与性质一、单选题1．当[0,2]x πÎ时，曲线sin y x =与2sin 36y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的交点个数为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．82．函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题4．对于函数()sin 2f x x =和π()sin(2)4g x x =-，下列说法中正确的有（ ）A ．()f x 与()g x 有相同的零点B ．()f x 与()g x 有相同的最大值C ．()f x 与()g x 有相同的最小正周期D ．()f x 与()g x 的图象有相同的对称轴三、填空题5．已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．四、单选题6．已知0w >，函数()π3sin 24f x wx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则w 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．函数()3sin xf x x x =-在[]π,π-上的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．若函数()()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭>，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为⎡⎤⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．510,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．510,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()sin(tan )f x x =B ．()tan(sin )f x x =C ．()cos(tan )f x x =D ．()tan(cos )f x x =10．设函数()()1sin (0)2f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有3个零点，至多有4个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．41,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．45,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．72,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭五、多选题11．已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（ ）A ．π6A ωϕ⋅⋅=B ．()f x 的图象过点11π6⎛ ⎝⎭C ．函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称 D ．若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1-12．若函数()2sin 54f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则（ ）A ．()f x 的最小正周期为10B ．()f x 的图象关于点4,05⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()f x 在250,4⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值D ．()f x 的图象关于直线154x =对称 13．已知函数()f x 的图象是由函数2sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位得到，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于直线π3x =对称 D ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称14．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π24六、解答题15．已知函数()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R ．(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数f (x )在区间ππ,82⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．。

专题五三角函数的图像与性质（基础题型）一．选择题（共14小题）1．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]2．三角函数y=sin 是（）A．周期为4π的奇函数B．周期为的奇函数C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数3．函数y=sin（﹣2x）的单调递减区间是（）A．[﹣kπ+，﹣kπ+]，k∈Z B．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z4．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线x=对称D．函数f（x）在区间上是增函数5．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称6．函数的图象的对称轴方程为（）A．B．C．D．7．y=cos（x+1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（）A．B．πC．2D．8．方程cosx=lgx的实根的个数是（）A．1B．2C．3D．无数9．函数y=sin（2x+）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数10．函数y=2tan（3x﹣）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）11．函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）12．为了得到函数y=2sin（2x+）的图象，可以将函数y=2sin2x图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位13．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）14．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移二．填空题（共6小题）15．函数y=3cos（2x+）的最小正周期为．16．在，则函数y=tanx的值域为．17．函数的最小正周期是．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=．19．函数f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=．20．如图是的图象，则其解析式为．三．解答题（共4小题）21．求函数y=tan（x+）的定义域、周期和单调区间．22．已知函数f（x）=tan（x﹣）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的对称中心．23．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．24．求下列函数的单调区间：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；（2）f（x）=|tanx|；（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．专题五三角函数的图像与性质（基础题型）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．若关于x的方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，则m的取值范围是（）A．（1，）B．[0，2]C．[1，2）D．[1，]【分析】把方程2sin（2x+）=m化为sin（2x+）=，画出函数f（x）=sin （2x+）在x∈[0，]上的图象，结合图象求出方程有两个不等实根时m 的取值范围．【解答】解：方程2sin（2x+）=m可化为sin（2x+）=，当x∈[0，]时，2x+∈[，]，画出函数y=f（x）=sin（2x+）在x∈[0，]上的图象如图所示；根据方程2sin（2x+）=m在[0，]上有两个不等实根，得≤＜11≤m＜2∴m的取值范围是[1，2）．故选：C．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断以及正弦函数的图象应用问题，体现了转化、数形结合的数学思想．2．三角函数y=sin是（ ）A ．周期为4π的奇函数B ．周期为的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数【分析】由条件利用正弦函数的奇偶性和周期性，可得结论．【解答】解：三角函数y=sin是奇函数，它的周期为=4π，故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题．3．函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间是（ ）A ．[﹣kπ+，﹣kπ+]，k ∈ZB ．[2kπ﹣，2kπ+]，k ∈ZC ．[kπ﹣，kπ+]，k ∈ZD ．[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z【分析】利用诱导公式可得本题即求函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间．令 2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，求得x 的范围，可得函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间．【解答】解：函数y=sin （﹣2x ）=﹣sin （2x ﹣）的单调递减区间，即函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间．令 2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x ≤kπ+，k ∈z ，故函数y=sin （2x ﹣）的单调递增区间，即函数y=sin （﹣2x ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k ∈Z ，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想，属于基础题．4．已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）是偶函数C．函数f（x）的图象关于直线x=对称D．函数f（x）在区间上是增函数【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：函数f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，故它的最小正周期为π，故A满足条件；显然，它是偶函数，故B正确；当x=时，求得函数值y=0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x=对称，故C错误；在区间上，f（x）=﹣cos2x是增函数，故D正确，故选：C．【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知函数f（x）=|sinx|，下列结论中错误的是（）A．f（x）既偶函数，又是周期函数．B．f（x）的最大值为C．y=f（x）的图象关于直线x=对称D．y=f（x）的图象关于直线x=π对称【分析】由条件利用正弦函数的值域，可得结论．【解答】解：根据函数f （x ）=|sinx |的最大值为1，可得B 不正确， 故选：B ．【点评】本题主要考查正弦函数的值域，属于基础题． 6．函数的图象的对称轴方程为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据余弦函数的性质即可求解对称轴方程 【解答】解：函数，令，k ∈Z可得：πx=，即，k ∈Z ．故选：C ．【点评】本题考查了余弦函数的图象及性质，对称轴方程的求法．属于基础题．7．y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ） A ．B ．πC ．2D ．【分析】y=cos （x +1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，即可求出y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离．【解答】解：y=cos （x +1）的周期是2π，最大值为1，最小值为﹣1，∴y=cos （x +1）图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是=，故选：A ．【点评】本题考查了函数y=Acos （ωx +φ）的图象与性质的应用问题，是基础题．8．方程cosx=lgx的实根的个数是（）A．1B．2C．3D．无数【分析】本题即求函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数，数形结合可得结论．【解答】解：方程cosx=lgx的实根的个数，即函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数，数形结合可得函数y=cosx的图象和y=lgx的图象的交点个数为3，故选：C．【点评】本题主要考查方程根的存在性以及个数判断，余弦函数、对数函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．函数y=sin（2x+）是（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为的偶函数【分析】由条件利用诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，可得结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin（2x+）=cos2x，故此函数是周期为=π的偶函数，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式以及余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题．10．函数y=2tan（3x﹣）的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（﹣，0）D．（﹣，0）【分析】对称中心就是函数图象与x轴的交点或函数图象的渐近线和x轴的交点，令3x﹣=，k∈z，解得x=+，k∈z，故对称中心为（+，0 ），从而得到答案．【解答】解：∵函数y=2tan（3x﹣），令3x﹣=，k∈z，可得x=+，k∈z，故对称中心为（+，0 ），令k=﹣2，可得一个对称中心是（﹣，0），故选：C．【点评】本题考查正切函数的对称中心的求法，得到3x﹣=，k∈z 是解题的关键，属于基础题．11．函数f（x）=tan（2x﹣）的单调递增区间是（）A．[﹣，+]（k∈Z）B．（﹣，+）（k∈Z）C．（kπ+，kπ+）（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【分析】由正切函数的单调性的性质即可得到结论．【解答】解：由＜2x﹣，即﹣＜x＜+，（k∈Z），故函数的单调性增区间为（﹣，+）（k∈Z），故选：B．【点评】本题主要考查正切函数的单调性的求解，利用正切函数的图象和性质是解决本题的关键．12．为了得到函数y=2sin（2x+）的图象，可以将函数y=2sin2x图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【分析】根据三角函数的图象平移关系进行判断即可．【解答】解：由y=2sin（2x+）=2sin2（x+），可以将函数y=2sin2x图象向左平移个长度单位即可，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数图象关系的判断，结合平移关系是解决本题的关键．13．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（）A．y=sin（2x+）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin（2x+）D．y=sin（2x﹣）【分析】直接利用函数图象的平移变换得答案．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y=sin2（x+）=sin（2x+）．故选：A．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数图象的平移，是基础题．14．为了得到函数的图象，只需把函数y=sin3x的图象（）A．向左平移B．向左平移C．向右平移D．向右平移【分析】由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：把函数y=sin3x的图象向右平移个单位，可得函数的图象，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．二．填空题（共6小题）15．函数y=3cos（2x+）的最小正周期为π．【分析】根据余弦函数y=Acos（ωx+φ）的最小正周期为T=，求出即可．【解答】解：函数y=3cos（2x+）的最小正周期为T===π．故答案为：π．【点评】本题考查了余弦函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．16．在，则函数y=tanx的值域为[﹣1，1] ．【分析】根据正切函数的图象与性质，求出x∈[﹣，]时函数y=tanx的值域即可．【解答】解：∵，∴﹣1≤tanx≤1，∴函数y=tanx的值域为[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．函数的最小正周期是2．【分析】由已知中函数的解析为，我们可以求出对应ω值，代入T=，即可得到函数的最小正周期．【解答】解：∵函数∴ω=∴T==2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是正切函数的周期性，其中根据函数的解析式求出ω值，是解答本题的关键，在解答过程中易将正切型函数的周期误认为而产生错解．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=．【分析】由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值3，求出φ，得到函数的解析式，即可．【解答】解：由题意可知A=3，T=2（）=4π，ω==，当x=时取得最大值3，所以3=3sin（+φ），sin（）=1，，∵，所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=．故答案为：．【点评】本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．19．函数f（x）=Asin（ω+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则f（1）+f（2）+…+f（2016）=0．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，可得函数的解析式，再利用利用正弦函数的周期性求得要求式子的值．【解答】解：由题意和图象可得A=2，T=6，则T=8，则ω=，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（8）=0，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=252×0=0，故答案为：0．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，利用正弦函数的周期性求函数的值，属于基础题．20．如图是的图象，则其解析式为．【分析】由图象可得A值，结合周期公式可得ω，代点可得φ值，可得解析式．【解答】解：由图象可得A=2，周期T=﹣（﹣）=2π，由周期公式可得ω=1，∴y=2sin（x+φ），代点（﹣，0）可得0=2sin（﹣+φ），结合0＜φ＜可得φ=故答案为：【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，属基础题．三．解答题（共4小题）21．求函数y=tan（x+）的定义域、周期和单调区间．【分析】利用正切函数的定义域，求出函数的定义域，通过正切函数的周期公式求出周期，结合正切函数的单调增区间求出函数的单调增区间．【解答】解：由，解得．∴定义域．周期函数，周期．由，解得∴函数的单调递增区间为．【点评】本题是基础题，考查正切函数的基本知识，单调性、周期性、定义域，考查计算能力．22．已知函数f（x）=tan（x﹣）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）求函数f（x）的对称中心．【分析】（1）由题意利用正切函数的定义域可得x﹣≠kπ+，求得x的范围，可得函数的定义域．（2）根据题意利用正切函数的单调则区间可得kπ﹣＜x﹣＜kπ+，由此求得x的范围，得到f（x）的增区间．（3）利用正切函数的图象的对称性，求得函数f（x）的对称中心．【解答】解：（1）对于函数f（x）=tan（x﹣），令x﹣≠kπ+，求得x≠kπ+，k∈Z，故函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}．（2）令kπ﹣＜x﹣＜kπ+，求得π﹣＜x＜kπ+，可得函数的增区间为（π﹣，kπ+），k∈Z．（3）令x﹣≠，求得x≠+，k∈Z，故函数的对称中心为（+，0），k∈Z．【点评】本题主要考查正切函数的定义域、单调区间、以及图象的对称性，属于基础题．23．已知函数f（x）=2sin（2x﹣）（x∈R）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）当x∈[，]时，求f（x）的最大值和最小值．【分析】（1）根据正弦型函数求出f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）求出x∈[，]时2sin（2x﹣）的取值范围，即得f（x）的最大、最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（2x﹣），∴函数f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z；解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；（2）当x∈[，]时，2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴2sin（2x﹣）∈[﹣，2]，∴f（x）的最大值是2，最小值是﹣．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题．24．求下列函数的单调区间：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；（2）f（x）=|tanx|；（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．【分析】（1）直接利用整体思想求出正弦型函数的单调区间．（2）直接利用整体思想求出正切型函数的单调区间．（3）直接利用整体思想求出余弦型函数的单调区间．【解答】解：（1）f（x）=sin（x+），x∈[0，π]；令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：x∈[0，π]；则：函数的递增区间为：[0，]令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于：x∈[0，π]；则：函数的递减区间为：[]（2）f（x）=|tanx|；由于y=tanx的单调增区间为：（k∈Z），所以：函数的单调增区间为：（k）（k∈Z），函数的单调减区间为：（k∈Z），（3）f（x）=cos（2x﹣），x∈[﹣，]．令：，（k∈Z），解得：，（k∈Z），当k=0时，函数的单调增区间为：[]．令：，（k∈Z），解得：，（k∈Z），故函数的单调减区间为：[﹣，﹣]和[]．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的性质单调性的应用．。

第3讲三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．答案 CA ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )． A ．0 B.π6 C.π4 D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 B3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为 ( )． A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.答案 A4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )．答案 AA ．2π B.3π2C ．π D.π25．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )．A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ ( )．A.π4B.π3C.π2D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.答案 A 二、填空题7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为________．解析 f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32.答案 328．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2.答案 29．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案 ⎣⎡⎦⎤－1，2210．下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件；②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形；④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确．②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2，∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题11. 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期及值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 则函数f (x )的最小正周期是π，函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)． 12．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. 即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) 答案AA ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 2.要得到函数的图像，只要将函数的图像（ ）答案 C A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位C. 向左平移个单位 D.向右平移 个单位 3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右cos(21)y x =+cos 2y x =1212平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )． A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选D.答案 D 4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 ( )．A.π6B.π3C.π4D.π12解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4.答案 C5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 ( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C 6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上，∴10＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1100＋π6＝－5.答案A二、填空题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________. 解析由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f (x )max －f (x )min ＝2，由勾股定理可得T2＝ 22 2－22＝2，∴T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2.答案π28．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3.答案 ⎣⎡⎦⎤－32，39．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝⎛⎭⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析 令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝⎛⎭⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎨⎧π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎨⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案 π410．在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.解析 首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－12，所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π9＋φ＝12，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.答案 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1. (2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． 12．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A ＞0，由题意知A ＝6.(2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．。

三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。

三角函数图像与性质练习题三角函数是高中数学中的重要内容，它们在数学和物理等学科中有着广泛的应用。

掌握三角函数的图像和性质对于解题和理解概念非常重要。

本文将通过一些练习题来帮助读者加深对三角函数图像和性质的理解。

1. 练习题一：给定函数y = sin(x)，请画出它的图像。

解答：首先，我们需要知道sin函数的一个周期是2π。

根据这个周期，我们可以画出一段函数图像。

在0到2π的区间内，sin函数的图像从0开始，然后逐渐上升到1，再下降到0，最后再下降到-1。

这样，我们就得到了sin函数在0到2π区间内的图像。

为了得到完整的图像，我们可以将这段图像沿x轴复制，直到覆盖整个坐标平面。

2. 练习题二：给定函数y = cos(x)，请画出它的图像。

解答：cos函数与sin函数非常相似，它们的主要区别在于初始值和峰值。

对于cos函数，它的初始值是1，而峰值是-1。

在0到2π的区间内，cos函数的图像从1开始，然后逐渐下降到-1，再上升到0，最后再上升到1。

同样地，我们可以将这段图像沿x轴复制，直到覆盖整个坐标平面。

3. 练习题三：给定函数y = tan(x)，请画出它的图像。

解答：tan函数是sin函数和cos函数的比值，它的图像有一些特殊性质。

首先，tan函数在π/2和3π/2处有垂直渐近线，这是因为在这些点上，cos函数的值为0。

其次，tan函数的图像在每个π的整数倍处有一个周期。

我们可以通过计算一些点的坐标来画出tan函数的图像。

例如，当x等于0时，tan(0)等于0；当x等于π/4时，tan(π/4)等于1；当x等于π/2时，tan(π/2)是无穷大。

根据这些点的坐标，我们可以画出tan函数的图像。

通过这些练习题，我们可以加深对三角函数图像的理解。

除了图像，三角函数还有许多重要的性质。

例如，sin函数和cos函数的值都在-1到1之间；tan函数在某些点上是无穷大；sin函数和cos函数是周期函数等等。

三角函数的图像与性质练习题一、选择题1. 在三角函数sin(x)的定义域内，函数值的范围是：A. (-∞, ∞)B. [-1, 1]C. [0, 1]D. [0, 2π]2. 函数y = cos(x)的一个周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 4π3. 函数y = tan(x)的导数是：A. sec^2(x)B. cos^2(x)C. sin^2(x)D. csc^2(x)4. 在函数y = sin(x)的图像中，当x = π/2时，函数值等于：B. 1C. -1D. 不存在5. 函数y = cos(x)的对称轴是：A. y轴B. x轴C. 原点D. 平行于x轴且距离x轴1个单位的直线6. 函数y = tan(x)在定义域内的奇点是：A. x = 0B. x = π/2C. x = πD. x = 2π7. 函数y = sin^2(x) + cos^2(x)等于：A. 1B. 0C. 28. 函数y = sin(x) + cos(x)的一个周期是：A. 2πB. 4πC. π/2D. π/4二、填空题1. 函数y = sin(x)在区间[0, π]内的最小值是____，最大值是____。

2. 函数y = cos(2x)的周期是____。

3. 函数y = cos(x)在区间[-π/2, π/2]内的最小值是____，最大值是____。

4. 函数y = tan(x)的定义域是____。

5. 函数y = sin(2x)的一个周期是____。

6. 函数y = cos(x)的对称中心是____。

7. 函数y = tan(x)在区间[0, π]内的最小值是____，最大值是____。

8. 函数y = sin^2(x)的对称轴是____。

三、解答题1. 画出函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像。

2. 画出函数y = cos(2x)的图像，并求出它在区间[0, 2π]上的最小值和最大值。

3. 画出函数y = tan(x)在区间[-π/2, π/2]上的图像，并指出它的所有零点。

三角函数的图像和性质练习题(基础) 三角函数的图像和性质练题1.若cosx=0，则角x等于A。

kπ（k∈Z）解析：cosx=0时，x为cos函数的零点，即x=kπ+π/2（k∈Z），所以选项A正确。

2.使cosx=(1-m)/(2+m)，有意义的m的值为C。

-1＜m＜1解析：由于-1≤cosx≤1，所以1-m≤2+m，解得-1＜m＜1，所以选项C正确。

3.函数y=3cos（2πx－5π/6）的最小正周期是B。

5π/2解析：cos函数的最小正周期为2π，但当系数为2π/b时，函数的最小正周期为b。

所以y=3cos（2πx－5π/6）的系数为2π/(5π/2)=4/5，故最小正周期为5π/2，所以选项B正确。

4.函数y=2sinx+2cosx－3的最大值是B。

1/2解析：将y=2sinx+2cosx－3转化为y=2√2(sin(x+π/4)－3/√2)，所以最大值为2√2－3，即1/2，所以选项B正确。

5.下列函数中，同时满足①在（-π/2，π/2）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是C。

y=tan(x/2)解析：y=tan(x/2)在（-π/2，π/2）上是增函数，且为奇函数，而y=cos(x)在（-π/2，π/2）上不是增函数，y=sin(x)不是奇函数，y=tan(x)不是以π为最小正周期的函数，所以选项C 正确。

6.函数y=sin(2x+π/6)的图象可看成是把函数y=sin2x的图象向左平移π/12得到。

解析：y=sin(2x+π/6)的系数为2，所以它的周期为π，而y=sin2x的周期为π/2，所以y=sin(2x+π/6)的图象相当于把y=sin2x的图象向左平移π/12，所以选项B正确。

7.函数y=sin(-2x)的单调增区间是C。

[kπ-。

kπ+]。

(k∈Z)解析：y=sin(-2x)相当于y=-sin(2x)，而y=sin(2x)的单调增区间为[kπ。

(k+1)π]，所以y=sin(-2x)的单调增区间为[kπ-。

高三数学三角函数的图象与性质试题1.将函数的图象关于x＝对称，则ω的值可能是( )A．B．C．5D．2【答案】D【解析】根据正弦型函数的性质及已知条件，有取k＝0，得ω＝2满足条件，选D考点:三角函数的图象及其性质2.设函数（1）求函数的周期和单调递增区间；（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若AB=1，，，求s1n B的值.【答案】（1）周期为,单调递增区间为（2）【解析】（1）用两角和差公式、二倍角公式和化一公式将函数化简为的形式，根据周期公式求其周期；将整体角代入正弦的单调增区间内，即可解得函数的增区间。

（2）根据可得角，根据正弦定理可得。

试题解析：=（1）函数的周期为.令，则∴函数f(x)的单调递增区间为（2）由已知，因为所以，，∴s1n C =.在中，由正弦定理，，得.【考点】1三角函数的化简；2正弦定理。

3.下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以选项A,B,C,D的周期依次为又当时，选项A,B,C,D的值依次为所以只有选项A,B关于直线对称，因此选B.【考点】三角函数性质4.函数的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】．令，解得．令得，故选D．【考点】1．三角恒等变换；2．三角函数图像性质．5.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】由于y＝cos x＋sin x＝2cos，向左平移m(m＞0)个单位长度后得到函数y＝2cos的图象．由于该图象关于y轴对称，所以m－＝kπ(k∈Z，m＞0)，于是m＝kπ＋ (k∈Z，m＞0)，故当k＝0时，m取得最小值.6.函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2,最小值-1,则实数(ab)2的值为________.【答案】8【解析】y=acos2x+bsinxcosx=a·+sin 2x=sin(2x+φ)+,∴∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8.【方法技巧】三角恒等变换的特点(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.7.设函数f(x)=msinx+cosx(x∈R)的图象经过点(,1).(1)求f(x)的解析式,并求函数的最小正周期.(2)若f(α+)=且α∈(0,),求f(2α-)的值.【答案】(1) f(x)= sin(x+) T=2π (2)【解析】(1)∵函数f(x)=msinx+cosx(x∈R)的图象经过点(,1),∴msin+cos=1,∴m=1,∴f(x)=sinx+cosx=sin(x+),∴函数的最小正周期T=2π.(2)f(α+)=sin(α++)=sin(α+)=cosα=,∴cosα=,又∵α∈(0,),∴sinα==,∴f(2α-)=sin(2α-+)=sin2α=2sinαcosα=.8.已知函数f(x)=sin(2x+).(1)求函数y=f(x)的单调递减区间.(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.【答案】(1) [kπ+,kπ+](k∈Z) (2)见解析【解析】(1)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).∴函数的单调递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).(2)∵0≤x≤π,∴≤2x+≤.列表如下:2x+画出图象如图所示:9.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图像如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．【答案】(1) f(x)＝sin (2)【解析】解：(1)由图像得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将代入得1＝sin，而－<φ<，所以φ＝.因此函数f(x)＝sin.(2)由于x∈，－≤x＋≤，所以－1≤sin≤，所以f(x)的取值范围是.10.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为()．A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.11.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()．A．2，－B．2，－C．4，－D．4，【答案】A【解析】T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，又φ∈，∴φ＝－，选A.12..函数的部分图象如图所示，则的值分别是A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足故，.所以或由逐个检验知【考点】正弦函数的图象和性质.13.函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以为()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【答案】A【解析】对于函数的对称轴方程为，则令，解得函数的对称轴方程为，当，有.所以正确答案为A.【考点】正弦函数的对称轴14.已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）值域为．【解析】(Ⅰ)首先由函数图象上一个最低点为，得A=2．又函数图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，所以，由此可求得的值，进而可求得的值．利用函数图象上一个最低点为，由代入法或关键点法可求得的值，最后得函数的解析式；（Ⅱ）在(Ⅰ)的基础上首先写出的表达式，利用三角函数的有关公式，将其化为一个复合角的三角函数，利用整体思想来求函数的值域．试题解析：（1）由最低点为，得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得，即，，由点在图像上得故，，又6分（2），．因为，则，所以值域为．12分【考点】1．由三角函数的图像及其性质求三角函数的解析式；2．三角函数的值域．15.已知函数，下列命题是真命题的为（）A．若，则.B．函数在区间上是增函数.C．直线是函数的一条对称轴.D．函数图象可由向右平移个单位得到.【答案】C【解析】，∵，∴，∴，∴所以A错；∵，∴，∴函数在上是减函数，所以B错；函数图像可由向左平移个单位得到，所以D错；直线是函数的一条对称轴，C正确.【考点】1.三角函数的最值；2.函数的对称轴；3.函数图像的平移变换；4.函数的单调性.16.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位，得到函数y="g" (x)的图象．若y=g(x)在[]上为增函数，则的最大值( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意，要使其在[]为增函数，如图所示，只需，所以，选B.【考点】1、三角函数的图象变换；2、函数的单调性.17.函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的解析式可得周期T=2，再结合图象可得A、P、B的坐标．设点P在x轴上的射影为M，得tan∠BPM=和tan∠APM=的值，再由tan∠APB=tan（∠BPM+∠APM）=，故选B.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的图像18.）已知向量=(，)，=(1，)，且=，其中、、分别为的三边、、所对的角.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求边的长．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由向量，，和 ,利用数量积公式可求得,即；（Ⅱ）因为,且,利用正弦定理将角转化为边,利用余弦定理来求试题解析：（Ⅰ）在中，，,所以，又, 所以,所以，即；（Ⅱ）因为，由正弦定理得,，得,由余弦定理得,解得.【考点】1、向量的数量积, 2、三角恒等变形, 3、解三角形.19.函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将点（6,0）代入验证可知，的解析式为，故选B。

三角函数图像和性质练习
1、已知三角函数)32sin(2π+
=x y ，求
（1）函数定义域和值域
（2）函数的振幅、初相、相位、周期、频率
（3）函数的单调区间
（4）函数的对称轴、对称中心
（5）函数的最大值点坐标
（6）函数的最小值点的坐标
（7）函数的零点
（8）函数的奇偶性
（9）该函数是怎么样有函数x y sin =变化得到的？
（10）该函数是怎样变化到x y sin =的图像？
（11）解不等式1)(≥x f
（12）解方程3)(-=x f ，其中),0(π∈x
2、求下列函数)sin(ϕ+=wx A y (ω>0，2||πϕ<，x ∈R)的解析式
（1）
（2）
（3
（4）
（5）已知k x A y ++=)sin(ϕω在同一周期内有最高点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛5,127,3,12ππ最低点
3、求函数的定义域
（1）x y 2sin =
（2）)1cos 2(log sin +=x x
（3）x x y tan log 22
1
++=
（4）)sin(cos x y =
（5）)
1lg(tan 1cos 2+-=
x x y
（6）21cos sin lg -+=x x y
4、函数的值域
（1）x x y cos 12sin 5+-=
（2）32cos sin -+=x x y
（3）x x x x y cos sin cos sin +-=
（4）)3
,0(),43sin(2ππ∈-=x x y
（5）x x y sin 2sin 1+-=。

三角函数的图象和性质练习题一、选择题1．函数y ＝tan 35x 是A.周期为π的偶函数B.周期为53 π的奇函数C.周期为53 π的偶函数 D.周期为π的奇函数2．已知f (x )＝sin(x ＋π2 ),g(x )＝cos(x －π2），则f (x )的图象A.与g(x )的图象相同B.与g(x )的图象关于y 轴对称C.向左平移π2 个单位，得到g(x )的图象D.向右平移π2 个单位，得到g(x )的图象3．若x ∈(0，2π)，函数y ＝sin x ＋－tan x 的定义域是A.( π2 ,π］B.( π2 ,π)C.(0,π)D.( 3π2 ,2π)4．函数y ＝sin(2x ＋5π2 )的图象的一条对称轴方程为A.x ＝5π4B.x ＝－π2C.x ＝π8D.x ＝π45．为得到函数cos(2)3y x π=+的图像，只需要将函数sin 2y x =的图像( )A ．向左平移512π个单位 B ．向右平移512π个单位 C ．向左平移56π个单 D ．向右平移56π个单位6．如果｜x ｜≤π4 ，那么函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是A.2－12B.1－22C.－2＋12D.－17．函数f (x )＝sin x ＋5π2 ，g (x )＝cos x ＋5π2 ，则A.f (x )与g (x )皆为奇函数B.f (x )与g (x )皆为偶函数C.f (x )是奇函数，g (x )是偶函数D.f (x )是偶函数，g (x )是奇函数8．将函数sin(6)4y x π=+的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移8π个单位，得到的函数的一个对称中心是 ( ) A ．(,0)2πB ．(,0)4πC ．(,0)9πD ．(,0)16π9．要得到函数y ＝sin(2x －π4 )的图象，只要将y ＝sin2x 的图象A.向左平移π4B.向右平移π4C.向左平移π8D.向右平移π810．下图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)(|ϕ|＜π2 ）的图象，那么A .ω＝1011 ，ϕ＝π6B.ω＝1011 ，ϕ＝－π6C .ω＝2，ϕ＝π6D.ω＝2，ϕ＝－π611．在［0，2π］上满足sin x ≥12 的x 的取值范围是A.［0，π6］B.［π6 ，5π6 ］C.［π6 ，2π3］D.［5π6，π］12．将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为( )． A ．34π B ．4π C ．0D ．－4π 二、填空题13．若函数y ＝A cos(ωx －3)的周期为2，则ω＝ ；若最大值是5，则A ＝ .14．由y ＝sin ωx 变为y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，若“先平移，后伸缩”，则应平移 个单位；若“先伸缩，后平移”，则应平移 个单位即得y ＝sin(ωx ＋ϕ)；再把纵坐标扩大到原来的A 倍，就是y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(其中A ＞0). 15．不等式sin x ＞cos x 的解集为 . 16．函数y ＝sin(－2x ＋π3)的递增区间是 .17．已知f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)，且f (5)＝7，则f (－5)＝ .三、解答题18.已知：cos （－α）tan （π＋α）cos （―π―α）sin （2π－α）＝3，求：2cos 2（π2＋α）＋3sin （π＋α）cos （π＋α）cos （2π＋α）＋sin （－α）cos （―π2 ―α）的值.19已知函数()sin(2)3f x x π=-.（1）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；（2）求函数()f x 的单调递增区间； （3）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值.20已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,02A πωϕ>><）的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式； （2）求函数的单调增区间； （3）求方程的解集．21已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0A ωϕπ>><）的部分图象如图所示，其中点是图象的一个最高点.（1）求函数()f x 的解析式； （2）已知(,)2παπ∈且5sin 13α=，求()2f α．22函数()sin()16f x A x πω=-+（其中0,0A ω>>）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设(0,)2πα∈，()2f α＝2，求α的值．23已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0A ωϕπ>><）的图象的一个最高点为(,2)12π-与之相邻的与轴的一个交点为(,0)6π（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数()y f x =的单调减区间和函数图象的对称轴方程； （3）用“五点法”作出函数()y f x =在长度为一个周期区间上的图象24已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（其中0,0,0A ωϕπ>><<）一段图像如图所示． (1)求函数的解析式；(2)将函数()y f x =的图像向左平移12π个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原来的4倍，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 的单调递增区间.。

专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。

高三理科数学周测十六（三角函数的图像与性质）1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可以为 ( D ) A ．x ＝5π12 B ．x ＝π3 C ．x ＝π6 D ．x ＝π122．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值及最小正周期分别为 ( A ) A ．1，π ，π C．1，π2D ．1,2π 3.函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 是( C ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的非奇非偶函数4．函数y ＝sin2x ＋sinx －1的值域为(C )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54] 5．对于函数f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( B )A ．f(x)在(π4，π2)上是递增的 B ．f(x)的图像关于原点对称 C ．f(x)的最小正周期为2π D ．f(x)的最大值为26．函数f(x)＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( D )A ．kπ (k ∈Z)B ．kπ＋π6 (k ∈Z)C ．kπ＋π3(k ∈Z)D ．kπ－π3(k ∈Z) 7. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝（ C ）A 、3－cos2xB 、3－sin2xC 、3＋cos2xD 、3＋sin2x8.函数)25sin()(π-=x x x f 是( B ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数9. 在(,)ππ-内是增函数, 且是奇函数的是( A ) .A. sin 2x y =B. cos 2x y =C. sin 4x y =- D. sin 2y x = 1．函数1sin 2-=x y 的定义域是_______ )](652,62[z k k k ∈++ππππ__________________. 2.函数)0(sin >+=b x b a y 的最大值是23，最小值是21-，则a ＝_____21， __,b =__1_____.3.函数)22cos(π-=x y 的单调递减区间是___________________. 4. 下列函数中，①x x y cos 2+=，②x x y sin 1cos +=，③2tan x y =，④x x y sin 2=.不是偶函数的是____②④________.11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域． 解：f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x －32＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32. (1)函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，2－32.2．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值。

xO y1 2 3三角函数测试题一、选择题1、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点(－6π,0)对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 2、函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ )A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 3、如图，曲线对应的函数是 ( ） A ．y=｜sin x | B ．y=sin ｜x ｜C ．y=－sin ｜x |D ．y=－|sin x |4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的( ）. A 。

)62sin(+=x y B.sin()26x y π=+ C.sin(2)6y x π=- D.sin(2)3y x π=-5.函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图,则ω，ϕ可以取的一组值是（ )。

A 。

,24ωϕππ== B.,36ωϕππ==C.5,44ωϕππ==D.,44ωϕππ==6。

要得到3sin(2)4y x π=+的图象，只需将x y 2sin 3=的图象（ ）.A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位C 。

向左平移8π个单位 D.向右平移8π个单位7。

设tan()2απ+=，则sin()cos()sin()cos()αααα-π+π-=π+-π+（ ）.A.3 B 。

13C 。

1D 。

1- 8。

A 为三角形ABC 的一个内角，若12sin cos 25A A +=，则这个三角形的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，x x f sin )(=,则5()3f π的值为（ ）.A.21-B.23 C.23-D 。

2110.函数2cos 1y x =+的定义域是( )。

三角函数的图像与性质一、选择题（共12小题；共60分）1. 有下列说法：①作正弦函数的图象时，单位圆的半径长与 []_________________的图象关于点对称；③的图象关于直线成轴对称；④正弦函数()__________________ᗒ_ᗔ_ᗘ_ᡄ_ᡄ_ᡄ_ᡄ_ᡄA. B. C. D.2. 已知函数，则下列结论正确的是A. 的最小正周期是B. 在上单调递增C. 的图象关于对称D. 的图象关于点对称3. 已知函数，则下列结论中，正确的是A. 是奇函数B. 不是周期函数C. 定义域是D. 值域是4. 若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则A. B. C. D.5. 已知函数，下面结论错误的是A. 函数的最小正周期为B. 函数在区间上是增函数C. 函数的图象关于直线对称D. 函数是奇函数6. 如图所示，对单摆施加一个作用力后单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置(/)_D_Dd__________-ðϨϨ____，单摆摆动时从最右边到最左边的距离为A. 厘米B. 厘米C. 厘米D. 厘米7. 函数）的图象是A. B.C. D.8. 已知和是函数的图象的两条相邻的对称轴，则A. B. C. D.9. 函数 (/内的图象是A. B.C. D.10. 已知函数，其部分图象如图所示，点(/)√D_，， ()的解析式可以是A. B.C. D.11. 函数在一个周期内的图象是A. B.C. D.12. 设，且，下列不等式中成立的是①；②；③；④．A. ①②B. ③④C. ①④D. ②③二、填空题（共5小题；共25分）13. 如果函数是定义在上的偶函数，其在上的图象如图所示，那么不等式D_Dd__________ĬĝϨϨ_14. 锐角三角形的内角分别是 D_Dd___①②③15. 已知，，的值为．16. 已知函数，则下面结论错误的是．（填序号）①函数的最小正周期为②函数在区间上是增函数；③函数的图象关于直线 (④函数是奇函数．17. 函数的最大值为，最小值为．三、解答题（共5小题；共65分）18. 求下列函数的最小正周期：（1）；（2）．19. 已知函数（1）当 ()D_的单调递减区间；（2）当时，在上的值域为，求20. 若的图象的一个对称中心为且，求 D21. 在锐角三角形 (){22. 已知函数（1）画出的图象，并写出其单调区间、最大值、最小值．（2）判断是否为周期函数，如果是，求出最小正周期．答案第一部分1. D 【解析】由正弦函数图象可明确判断出①②③④均正确．2. D3. D 【解析】因为，且在上是减函数，在上是增函数，所以函数的值域为．4. C 【解析】因为当时，函数是增函数，当时，函数为减函数，即当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，所以，所以．5. D6. A 【解析】因为，所以，从最左边到平衡位置需要的时间为秒．由得从最右边到最左边的距离为厘米．7. D 【解析】利用排除法．由于时，无意义，故排除A，B，又因为时，有，，所以排除C．8. A 【解析】因为直线和是函数的图象的相邻的两条对称轴，所以，即，，又，所以，所以，因为直线是函数图象的对称轴，所以，所以，因为，所以，检验知此时直线也为函数图象的对称轴．9. D10. A【解析】由已知可得，设其周期为，则：，，，由于，可得：，可得：，整理可得：，解得：，，由于，可得：，所以，，，解得：，，所以，当时，，函数的解析式是．11. A 【解析】由，知，所以的周期为，排除B，D．令，得，所以，若，则，即图象过点．12. B 【解析】设点，点，由于函数的图象在上是上凸型的，而表示线段中点的纵坐标，故有，故①不正确；由于函数的图象在上是上凸型的，表示线段中点的纵坐标，故有，故②不正确；由于函数的图象在上是上凹型的，表示线段中点的纵坐标，故有，故③正确；由于函数的图象在上是上凹型的，故有，故④正确．第二部分13.【解析】当时，当时．由的图象知在上．因为为偶函数，也是偶函数，所以为偶函数，所以的解集为．14. ①②③【解析】故①成立．函数在区间上是减函数．因为所以，故②成立．在锐角三角形中，因为，所以，则有，即，同理，故③成立．15.【解析】构造函数，则在上是奇函数，由已知，，得，即．因为在上单调递增，且，所以，所以．16. ④【解析】因为，所以，故①正确；因为在上是减函数，则在上是增函数，故②正确；由图象知的图象关于直线对称，故③正确；为偶函数，故④不正确．17. ，【解析】由题知，而，所以函数的最大值为，最小值为．素材来源于网络，林老师编辑整理第三部分18. （1）因为，即，所以所求函数的最小正周期是．另解：．（2）因为，所以所求函数的最小正周期是．另解．19. （1）当时，．因为的单调递减区间为，所以当．即时，是减函数，所以的单调递减区间是．（2），因为，所以，所以．又因为，所以，所以．因为的值域是，所以，且，解得，．20. 因为的对称中心为，所以，把代入，得，又因为，所以当时，；当时，，所以或．21. 因为为锐角三角形，所以，所以，因为在上是增函数，所以，同理可得，，所以．22. （1）图中实线为的图象．由图可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．（2）由（1）知为周期函数，最小正周期．。