三角函数的图象与性质练习题及答案

1y三角函数图像与性质练习题(一)一．选择题 〔每题５分，共100分〕1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A.sin()6y x π=+B.sin()6y x π=-C.sin(2)3y x π=+D.sin(2)3y x π=- 2. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕3. 函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 4.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是( ) A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移12π D.向右平移12π 5. 要得到函数y =sin (2x -)6π的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 6. 为了得到函数y =sin (2x-4π)+1的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象〔〕平移得到A.按向量a=(-8π,1)B. 按向量a=(8π,1)C.按向量a=(-4π,1)D. 按向量a=(4π,1) 7.假设函数()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图，那么ωϕ和的取值是( )A.1ω=，3πϕ= B.1ω=，3πϕ=-C.12ω=，6πϕ= D.12ω=，6πϕ=- 8. 函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是( )9. 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为( ) A.,1π B.,2π C.2,1π D. 2,2π 10. 函数()sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，那么该函数的图象( )A.关于点(,0)3π对称 B.关于直线4x π=对称 C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线3x π=对称11.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的局部图象如图，那么( ) A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω== D.45,4πϕπω==12. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( ) yx11-2π- 3π- O6ππyx11- 2π- 3π- O 6ππ yx1 1-2π-3πO 6π-πy xπ2π- 6π-1O 1-3π Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位 13. 设函数()x f ()φω+=x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>20,0πφω.假设将()x f 的图象沿x 轴向右平移61个单位长度，得到的图象经过坐标原点;假设将()x f 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕, 得到的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,61. 那么( ) A.6,πφπω== B.3,2πφπω== C.8,43πφπω== D. 适合条件的φω,不存在 14. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3,那么f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A.9π=x B.6π=x C.3π=x D.2π=x三角函数图像与性质练习题答案三角函数的图象和性质练习题(二)一、选择题1.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔 〕A.0B.4πC.2πD.π2. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，那么ϕ等于A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 3.假设,24παπ<<那么〔 〕 (45<a<90)A .αααtan cos sin >>B .αααsin tan cos >>C .αααcos tan sin >>D .αααcos sin tan >>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B C A A A 11 12 13 14 CAAA4.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是〔 〕A .52πB .25π C .π2 D .π5 5.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中， 最小正周期为π的函数的个数为〔〕. A .1个B .2个 C .3个 D .4个6.x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为 〔 〕 A ．3π B ．π34 C ．π23 D ．π677. 函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程〔 〕A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．=x π458. 使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值，那么ω的最小值为〔 〕 A ．π25B ．π45C ．πD ．π23二、填空题1.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2.函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.3.假设函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,那么自然数k 的值为______. 4.满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 5.假设)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，那么ϖ=________.三、解答题1.比拟大小〔1〕00150sin ,110sin ；〔2〕00200tan ,220tan 2. (1) 求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域. 〔2〕设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 3．)33sin(32)(πω+=x x f 〔ω＞0〕〔1〕假设f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= . 〔2〕f (x )在〔0，3π〕上是增函数，求ω最大值 "三角函数的图象和性质练习题二"参考答案一、选择题 1.C [解析]：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C [解析]：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ=3.D [解析]：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>4.D [解析]：2525T ππ== 5.C [解析]：由x y sin =的图象知，它是非周期函数6.C [解析]： ∵x x x f 32cos 32sin)(+==)432sin(2π+x∴图象的对称轴为πππk x +=+2432，即)(2383Z k k x ∈+=ππ故相邻的两条对称轴间距离为π237.A [解析]：当2π-=x 时 )252sin(π+=x y 取得最小值－１，应选A8.A [解析]：要使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值 只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故πω25≥ 二、填空题1、①0[解析]：此时()cos f x x =为偶函数2、3[解析]：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----3、2,3或[解析]：,12,,2,32T k k N k kkππππ=<<<<∈⇒=而或4、|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 5、34[解析]：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< 三、解答题1.解：〔1〕0sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而 〔2〕0tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而 2.解：〔1〕221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求.〔2〕0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间 当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-； 当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 4.解：（1） 因为f (x +θ)=)333sin(32πθω++x又f (x +θ)是周期为2π的偶函数， 故∈+==k k 6,31ππθω Z（2） 因为f (x )在〔0，3π〕上是增函数，故ω最大值为61三角函数的图象专项练习一．选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A ．向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度2．以下函数中振幅为2，周期为π，初相为6π的函数为 ()A ．y=2sin(2x+3π) B. y=2sin(2x+6π) C ．y=2sin(21x+3π) D. y=2sin(21x+6π) 3．三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) A ．{x│x=2kπ+3π,k∈Z}B .{x│x=2kπ+35π,k∈Z}.C ．{x│x=2kπ±3π,k∈Z}D .{x│x=kπ+(-1)K ,k∈Z}.4．假设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的图象〔局部〕如下图，那么ω,ϕ的取值是 ( )A ．3,1πϕω==B.3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D.6,21πϕω-==5．函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，那么φ的值可以是 ( ) A. -6π B. 6π C.12π- D.12π6．设函数y=2sin(2x+Φ)的图象为C ，那么以下判断不正确的选项是〔 〕A ．过点(,2)3π的C 唯一 B.过点(,0)6π-的C 不唯一C ．C 在长度为2π的闭区间上至多有2个最高点D ．C 在长度为π的闭区间上一定有一个最高点，一个最低点 7．方程)4cos(lg π-=x x 的解的个数为〔 〕A ．0B ．无数个C ．不超过3D ．大于38．假设函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图像，那么y=f(x)是 ( )A ．1sin(2)122y x π=++B.1sin(2)122y x π=-+ C ．1sin(2)124y x π=-+ D.11sin()1224y x π=++9．()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，那么f(x)的图像 ( )A ．与g(x)的图像一样 B.与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得g(x)的图像 D.向右平移2π个单位，得g(x)的图像 10．函数f(x)=sin(2x+2π)图像中一条对称轴方程不可能为( )A.x=4πB. x=2πC. x=πD. x=23π11．函数y=2与y=2sinx ，x ∈3[,]22ππ-所围成的图形的面积为 ( ) A ．πB.2πC.3πD.4π12．设y=f(t)是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asina(ωt+ϕ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.]24,0[,6sin312∈+=t t y πB.]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC.]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD.]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二．填空题 13．函数y=5sin(3x −2π)的频率是______________。

高三数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移个单位长度，所得图象关于对称，则ω的最小值是( )A．6B．C．D．【答案】D【解析】将f(x)＝sinωx的图象向左平移个单位，所得图象关于x＝，说明原图象关于x＝－对称，于是f(－)＝sin(－)＝±1，故(k∈Z)，ω＝3k＋(k∈Z)，由于ω＞0，故当k＝0时取得最小值.选D考点:三角函数的图象与性质2.已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）先由辅助角公式将化为一个的三角函数，利用最大值为2求出A，再利用列出关于的方程，解出的值；（2）由（1）可得的解析式，由可求得和，再由同角三角函数基本关系式求出，将2C代入将用C表示出来，利用三角形内角和定理及诱导公式，将化为A，B的函数，再利用两角和与差的三角公式，化为A,B的三角函数，即可求出.试题解析：（1）∵函数的最大值是2，，∴ 2分∵又∵，∴ 4分（2）由（1）可知 6分，∴ 8分∵∴， 10分∴12分考点: 辅助角公式；三角函数图像与性质；诱导公式；两角和与差的三角公式；运算求解能力3.函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足，故，，∴，∵，∴，∴，∴，∴.【考点】由三角函数图象确定函数解析式.4.设则A．B．C．D．【答案】C．【解析】故选C．【考点】1.三角函数基本关系式（商关系）；2. 三角函数的单调性．5.设函数.（1）求函数f(x)的最大值和最小正周期。

（2）设A、B、C为⊿ABC的三个内角，若，，且C为锐角，求.【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用领个角的和的余弦公式、二倍角化简整理得，由可求得函数的最大值，根据求出函数的最小正周期；（2）将代入，再利用倍角公式求得，从而得到角，由，根据，求得，由结合诱导公式、两个角的和的正弦公式求出结论.（1）.∴当，即(k∈Z)时，，（4分）f(x)的最小正周期，故函数f(x)的最大值为，最小正周期为π.（6分）（2）由，即，解得.又C为锐角，∴.（8分）∵，∴.∴.（12分）【考点】三角函数的和差公式、二倍角公式.6.（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【答案】（1）﹣1（2）【解析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．解：（1）f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．7.已知命题：函数是最小正周期为的周期函数，命题：函数在上单调递减，则下列命题为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的最小正周期为，故命题为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数在区间上是增函数，因此函数在区间上是增函数，故命题为假命题，因此命题、、为假命题，为真命题，故选D.【考点】1.三角函数的基本性质；2.复合命题8.（2013•湖北）将函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】y=cosx+sinx=2（cosx+sinx）=2sin（x+），∴图象向左平移m（m＞0）个单位长度得到y=2sin[（x+m）+]=2sin（x+m+），∵所得的图象关于y轴对称，∴m+=kπ+（k∈Z），则m的最小值为．故选B9.已知函数,.（1）求函数的最小正周期；（2）若函数有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）实数的取值范围是．【解析】（1）求函数的最小正周期，需对函数化简，把它化为一个角的一个三角函数，利用来求，因此本题的关键是化简，由形式，需对三角函数降次，因此利用二倍角公式将函数化为，由，即可得，即可求出周期；（2）若函数有零点，即，有解，移项得，因此，方程有解，只要在函数的值域范围即可，因此只需求出即可．（1） 4分6分∴周期 7分（2）令，即， 8分则， 9分因为， 11分所以， 12分所以，若有零点，则实数的取值范围是. 13分【考点】三角恒等变化，三角函数的周期，值域．10.已知向量，设函数．(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．【答案】(1)π(2)最大值是1，最小值是－【解析】(1)f(x)=a·b=(cosx，－)·(sinx，cos2x)=cosxsinx－cos2x=sin2x－cos2x=sin(2x－)f(x)的最小正周期为T=π，(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤．由正弦函数的性质知，sin(2x－)∈[－，1]当2x－=，即x=时，f(x)取得最大值1．当2x－=－，即x=0时，f(0)=－，因此， f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－．11.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+cos4x（1）求f(x)的最小正周期及最大值。

第3讲三角函数的图象与性质一、选择题1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )．答案 CA ．最小正周期为2 π的奇函数B ．最小正周期为2 π的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数2．已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )． A ．0 B.π6 C.π4 D.π3解析 据已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意．答案 B3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为 ( )． A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2.∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.答案 A4．函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )．答案 AA ．2π B.3π2C ．π D.π25．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )．A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ ( )．A.π4B.π3C.π2D.3π4解析 由题意可知函数f (x )的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，将x ＝π4代入可得φ＝k π＋π4(k ∈Z )，∵0<φ<π，∴φ＝π4.答案 A 二、填空题7．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为________．解析 f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32.答案 328．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________. 解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2.答案 29．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析 f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案 ⎣⎡⎦⎤－1，2210．下列命题中：①α＝2k π＋π3(k ∈Z )是tan α＝3的充分不必要条件；②函数f (x )＝|2cos x －1|的最小正周期是π；③在△ABC 中，若cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 为钝角三角形；④若a ＋b ＝0，则函数y ＝a sin x －b cos x 的图象的一条对称轴方程为x ＝π4.其中是真命题的序号为________．解析 ①∵α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒tan α＝3，而tan α＝3⇒/ α＝2k π＋π3(k ∈Z )，∴①正确．②∵f (x ＋π)＝|2cos(x ＋π)－1|＝|－2cos x －1|＝|2cos x ＋1|≠f (x )，∴②错误．③∵cos A cos B >sin A sin B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∵0<A ＋B <π，∴0<A ＋B <π2，∴C 为钝角，∴③正确．④∵a ＋b ＝0，∴b ＝－a ，y ＝a sin x －b cos x ＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴x ＝π4是它的一条对称轴，∴④正确．答案 ①③④ 三、解答题11. 已知函数f (x )＝2sin x cos x －2sin 2x ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期及值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 则函数f (x )的最小正周期是π，函数f (x )的值域是[]－2，2.(2)依题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，则k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，即f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z)． 12．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域． 解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴最小正周期T ＝2π2＝π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．∴函数图象的对称轴为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1. 即函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤－32，1. 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质一、选择题1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) 答案AA ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称 2.要得到函数的图像，只要将函数的图像（ ）答案 C A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位C. 向左平移个单位 D.向右平移 个单位 3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右cos(21)y x =+cos 2y x =1212平移π6个单位后，得到的图象对应的函数解析式为( )． A ．y ＝sin 2xB ．y ＝cos 2xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析 由所给图象知A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，由sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1，|φ|<π2得π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移π6个单位后得到的图象对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选D.答案 D 4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的最小值为 ( )．A.π6B.π3C.π4D.π12解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移φ个单位，得到函数y ＝sin 2(x ＋φ)＝sin(2x ＋2φ)的图象，由题意得2φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ的最小值为π4.答案 C5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y 与时间t 的函数关系为 ( )．A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B ，D.又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T ＝⎪⎪⎪⎪2πω＝60，所以|ω|＝π30，即ω＝－π30，故选C.答案 C 6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安解析由函数图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴T ＝150＝2πω，∴ω＝100π.∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．又∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫1300，10在图像上，∴10＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6，∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1100＋π6＝－5.答案A二、填空题7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图像上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________. 解析由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，而f (x )max －f (x )min ＝2，由勾股定理可得T2＝ 22 2－22＝2，∴T ＝4，∴ω＝2πT ＝π2.答案π28．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈⎣⎡⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同，∴f (x )与g (x )的最小正周期相等，∵ω＞0，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，∴－32≤3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤3，即f (x )的取值范围是⎣⎡⎦⎤－32，3.答案 ⎣⎡⎦⎤－32，39．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若⎝⎛⎭⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则φ的值为________．解析 令π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，k ＝0时，有π4－φ2≤x ≤3π4－φ2，此时函数单调递增，若⎝⎛⎭⎫π8，5π8是f (x )的一个单调递增区间，则必有⎩⎨⎧π4－φ2≤π8，3π4－φ2≥5π8，解得⎩⎨⎧φ≥π4，φ≤π4，故φ＝π4.答案 π410．在函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的一个周期内，当x ＝π9时有最大值12，当x ＝4π9时有最小值－12，若φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数解析式f (x )＝________.解析 首先易知A ＝12，由于x ＝π9时f (x )有最大值12，当x ＝4π9时f (x )有最小值－12，所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4π9－π9×2＝2π3，ω＝3.又12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π9＋φ＝12，φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得φ＝π6，故f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6.答案 12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin2x ＋2cos 2x .(1)将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数g (x )的图像，求g (x )的解析式；(2)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．解 (1)依题意f (x )＝3sin2x ＋2·cos2x ＋12＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， 将f (x )的图像向右平移π12个单位长度，得到函数f 1(x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6＋1＝2sin2x ＋1的图像，该函数的周期为π，若将其周期变为2π，则得g (x )＝2sin x ＋1. (2)函数f (x )的最小正周期为T ＝π，当2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)时，函数单调递增，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． 12．已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos 2x )(A ＞0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos 2x ＝A ⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 因为A ＞0，由题意知A ＝6.(2)由(1)知f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位后得到y ＝6sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π6＝6sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y ＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3的图象． 因此g (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，5π24，所以4x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6，故g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域为[－3,6]．。

三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。

三角函数的图像和性质练习题(基础) 三角函数的图像和性质练题1.若cosx=0，则角x等于A。

kπ（k∈Z）解析：cosx=0时，x为cos函数的零点，即x=kπ+π/2（k∈Z），所以选项A正确。

2.使cosx=(1-m)/(2+m)，有意义的m的值为C。

-1＜m＜1解析：由于-1≤cosx≤1，所以1-m≤2+m，解得-1＜m＜1，所以选项C正确。

3.函数y=3cos（2πx－5π/6）的最小正周期是B。

5π/2解析：cos函数的最小正周期为2π，但当系数为2π/b时，函数的最小正周期为b。

所以y=3cos（2πx－5π/6）的系数为2π/(5π/2)=4/5，故最小正周期为5π/2，所以选项B正确。

4.函数y=2sinx+2cosx－3的最大值是B。

1/2解析：将y=2sinx+2cosx－3转化为y=2√2(sin(x+π/4)－3/√2)，所以最大值为2√2－3，即1/2，所以选项B正确。

5.下列函数中，同时满足①在（-π/2，π/2）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是C。

y=tan(x/2)解析：y=tan(x/2)在（-π/2，π/2）上是增函数，且为奇函数，而y=cos(x)在（-π/2，π/2）上不是增函数，y=sin(x)不是奇函数，y=tan(x)不是以π为最小正周期的函数，所以选项C 正确。

6.函数y=sin(2x+π/6)的图象可看成是把函数y=sin2x的图象向左平移π/12得到。

解析：y=sin(2x+π/6)的系数为2，所以它的周期为π，而y=sin2x的周期为π/2，所以y=sin(2x+π/6)的图象相当于把y=sin2x的图象向左平移π/12，所以选项B正确。

7.函数y=sin(-2x)的单调增区间是C。

[kπ-。

kπ+]。

(k∈Z)解析：y=sin(-2x)相当于y=-sin(2x)，而y=sin(2x)的单调增区间为[kπ。

(k+1)π]，所以y=sin(-2x)的单调增区间为[kπ-。

考点测试20 三角函数的图象和性质一、基础小题1．已知f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2，则f(x)的图象( ) A ．与g(x)的图象相同 B ．与g(x)的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象 D ．向右平移π2个单位，得到g(x)的图象解析 因为g(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选D. 2．函数y ＝sin 2x ＋sinx －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．⎣⎡⎦⎤－54，－1C ．⎣⎡⎦⎤－54，1 D ．⎣⎡⎦⎤－1，54 答案 C 解析(数形结合法)y ＝sin 2x ＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈⎣⎡⎦⎤－54，1. 3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B ．⎣⎡⎦⎤－π3，0 C ．⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6 D ．⎣⎡⎦⎤－π3，－π6 答案 C 解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间就是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x －π6≤3π2＋2kπ(k ∈Z)，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ(k ∈Z)，即函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 的单调递增区间为⎣⎡ π3＋kπ，⎦⎤5π6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6. 4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π2C ．πD ．3π2答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k ∈Z)，故选C. 5．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，a ，若f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎦⎤π3，π2 C ．⎣⎡⎦⎤π2，2π3 D ．⎣⎡⎦⎤π3，π 解析 若－π3≤x≤a ，则－π6≤x ＋π6≤a ＋π6.因为当x ＋π6＝－π6或x ＋π6＝7π6时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝－12，当x ＋π6＝π2时，sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝1，所以要使f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则有π2≤a ＋π6≤7π6，即π3≤a≤π，即a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π.故选D.二、高考小题6．[2015·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A ．⎝⎛⎭⎫kπ－14，kπ＋34，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2kπ－14，2kπ＋34，k ∈ZC ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z D 解析 由题图可知T 2＝54－14＝1，所以T ＝2.结合题图可知，在⎣⎡⎦⎤－34，54(f(x)的一个周期)内，函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－14，34.由f(x)是以2为周期的周期函数可知，f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z ，故选D. 7．[2015·四川高考]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sinx ＋cosx答案 A 解析 选项A ，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，符合题意，故选A. 三、模拟小题8．[2016·广州调研]函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．有且仅有2个零点D ．有且仅有3个零点答案 B 解析 在同一坐标系中画出函数y ＝sinx 与y ＝－x 的图象，由图象知这两个函数图象有1个交点，∴函数f(x)＝sinx ＋x 在区间[0，＋∞)内有且仅有1个零点．9．[2017·河北邢台调研]已知定义在R 上的函数f(x)满足：当sinx≤cosx 时，f(x)＝cosx ，当sinx>cosx 时，f(x)＝sinx.给出以下结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的最小值为－1；③当且仅当x ＝2kπ(k ∈Z)时，f(x)取得最小值；④当且仅当2kπ－π2<x<(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)>0；⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.其中正确的结论序号是________．答案 ①④⑤解析 易知函数f(x)是周期为2π的周期函数．函数f(x)在一个周期内的图象如图所示． 由图象可得，f(x)的最小值为－22，当且仅当x ＝2kπ＋5π4(k ∈Z)时，f(x)取得最小值；当且仅当2kπ－π2<x<(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f(x)>0；f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是2π.所以正确的结论的序号是①④⑤.四、模拟大题10．[2017·江西上饶模拟]设函数f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f(x)图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调递增区间．解 (1)由f ⎝⎛⎭⎫π8＝±1得sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵－π<φ<0，∴－3π4<φ＋π4<π4，∴φ＋π4＝－π2，φ＝－3π4. (2)由(1)得f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2kπ≤2x －3π4≤π2＋2kπ，k ∈Z ， 可解得π8＋kπ≤x≤5π8＋kπ，k ∈Z.因此y ＝f(x)的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋kπ，5π8＋kπ，k ∈Z.函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象和性质一、基础小题1．将函数y ＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10 答案 B 解析 将函数y ＝sinx 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝sin 12x ，再把所得各点向右平行移动π10个单位长度，所得图象的函数解析式是y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π10＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20.故选B. 2．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位答案 B 解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12，故要将函数y ＝sin4x 的图象向右平移π12个单位．故选B. 3．下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( ) A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin2x ＋cos2x D ．y ＝sinx ＋cosx答案 A 解析 采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A. 4．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为( ) A ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4C ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4D ．f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π4 答案 A 解析 由题图可知，函数y ＝f(x)的最小正周期为T ＝2πω＝⎝⎛⎭⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，又函数f(x)的图象经过点⎝⎛⎭⎫π8，1，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2kπ＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2kπ＋π4，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，故选A. 5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3答案 A 解析 ∵0≤x≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤1，∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3≤2， ∴函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－ 3.6．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4答案 A 解析 由题意可知函数f(x)的周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π，故ω＝1，∴f(x)＝sin(x ＋φ)，令x ＋φ＝kπ＋π2(k ∈Z)，将x ＝π4代入可得φ＝kπ＋π4(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π4.7．已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为4π，则( ) A ．函数f(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．函数f(x)的图象关于直线x ＝π3对称 C ．函数f(x)的图象向右平移π3个单位后，图象关于原点对称 D ．函数f(x)在区间(0，π)内单调递增答案 C 解析 因为函数的周期T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.当x ＝π3时，f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π3＋π6＝sin π3＝32，所以A 、B 错误．将函数f(x)的图象向右平移π3个单位后得到g(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝sin x2的图象，关于原点对称，所以C 正确．由－π2＋2kπ≤12x ＋π6≤π2＋2kπ(k ∈Z)，得－4π3＋4kπ≤x≤2π3＋4kπ(k ∈Z)，所以f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的单调递增区间为⎣⎡ －4π3＋4kπ，⎦⎤2π3＋4kπ，k ∈Z ，当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤－4π3，2π3，所以D 错误．故选C.8．已知函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 答案 ±2解析 函数f(x)＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则其对称轴为x ＝π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅱ]若将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝kπ2－π6(k ∈Z)B ．x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)C ．x ＝kπ2－π12(k ∈Z)D ．x ＝kπ2＋π12(k ∈Z)答案 B 解析 将函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π12个单位长度得到函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝kπ＋π2(k ∈Z)，可得x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)．则平移后图象的对称轴为x ＝kπ2＋π6(k ∈Z)，故选B.10．[2016·北京高考]将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y ＝sin2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3答案 A 解析 点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象上，∴t ＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π4－π3＝12. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y ＝sin2x 的图象，故s 的最小值为π6. 11．[2016·福州一中模拟]已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，为了得到函数g(x)＝Asinωx 的图象，只需要将y ＝f(x)的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度答案 D 解析 根据函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)( A>0，ω>0，|φ|<π2 )的部分图象，可得A ＝2，T 4＝2πω·14＝π3－π12，求得ω＝2.再根据五点法作图可得2·π12＋φ＝π2，求得φ＝π3，∴f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g(x)＝2sin2x ，故把f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，可得g(x)＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝2sin2x 的图象，故选D. 三、高考大题12．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π3 5π6 Asin(ωx ＋φ)5－5(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y ＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g(x)的图象．若y ＝g(x)图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x π12 π3 7π12 5π6 1312π Asin(ωx ＋φ)5－5且函数表达式为f(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，则g(x)＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sinx 的对称中心为(kπ，0)，k ∈Z. 令2x ＋2θ－π6＝kπ，k ∈Z ，解得x ＝kπ2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g(x)的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令kπ2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ，解得θ＝kπ2－π3，k ∈Z.由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。

三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________． 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( B ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( C ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形． 其中正确的序号为( C )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( A )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( D ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( D ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示， 则当t =1001秒时，电流强度是( A )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z ) 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 2 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1， 则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合． 解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝⎛⎭⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2， 所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2， 此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12， 当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， 所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12 (k ∈Z )， 又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程． 解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1， 则A =,1213,22)1(3=-==--b ， 又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1， 将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ， 即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6. 22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值． 解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2 2.当。

高三数学三角函数的图象与性质试题1.将函数的图象关于x＝对称，则ω的值可能是( )A．B．C．5D．2【答案】D【解析】根据正弦型函数的性质及已知条件，有取k＝0，得ω＝2满足条件，选D考点:三角函数的图象及其性质2.设函数（1）求函数的周期和单调递增区间；（2）设A,B,C为ABC的三个内角，若AB=1，，，求s1n B的值.【答案】（1）周期为,单调递增区间为（2）【解析】（1）用两角和差公式、二倍角公式和化一公式将函数化简为的形式，根据周期公式求其周期；将整体角代入正弦的单调增区间内，即可解得函数的增区间。

（2）根据可得角，根据正弦定理可得。

试题解析：=（1）函数的周期为.令，则∴函数f(x)的单调递增区间为（2）由已知，因为所以，，∴s1n C =.在中，由正弦定理，，得.【考点】1三角函数的化简；2正弦定理。

3.下列函数中周期为且图象关于直线对称的函数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以选项A,B,C,D的周期依次为又当时，选项A,B,C,D的值依次为所以只有选项A,B关于直线对称，因此选B.【考点】三角函数性质4.函数的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】．令，解得．令得，故选D．【考点】1．三角恒等变换；2．三角函数图像性质．5.将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m的最小值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】由于y＝cos x＋sin x＝2cos，向左平移m(m＞0)个单位长度后得到函数y＝2cos的图象．由于该图象关于y轴对称，所以m－＝kπ(k∈Z，m＞0)，于是m＝kπ＋ (k∈Z，m＞0)，故当k＝0时，m取得最小值.6.函数y=(acosx+bsinx)cosx有最大值2,最小值-1,则实数(ab)2的值为________.【答案】8【解析】y=acos2x+bsinxcosx=a·+sin 2x=sin(2x+φ)+,∴∴a=1,b2=8,∴(ab)2=8.【方法技巧】三角恒等变换的特点(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍角公式、半角公式等进行简单的恒等变换.三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,这是三角恒等变换的重要特点.7.设函数f(x)=msinx+cosx(x∈R)的图象经过点(,1).(1)求f(x)的解析式,并求函数的最小正周期.(2)若f(α+)=且α∈(0,),求f(2α-)的值.【答案】(1) f(x)= sin(x+) T=2π (2)【解析】(1)∵函数f(x)=msinx+cosx(x∈R)的图象经过点(,1),∴msin+cos=1,∴m=1,∴f(x)=sinx+cosx=sin(x+),∴函数的最小正周期T=2π.(2)f(α+)=sin(α++)=sin(α+)=cosα=,∴cosα=,又∵α∈(0,),∴sinα==,∴f(2α-)=sin(2α-+)=sin2α=2sinαcosα=.8.已知函数f(x)=sin(2x+).(1)求函数y=f(x)的单调递减区间.(2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.【答案】(1) [kπ+,kπ+](k∈Z) (2)见解析【解析】(1)由2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z),得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).∴函数的单调递减区间是[kπ+,kπ+](k∈Z).(2)∵0≤x≤π,∴≤2x+≤.列表如下:2x+画出图象如图所示:9.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 的部分图像如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．【答案】(1) f(x)＝sin (2)【解析】解：(1)由图像得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将代入得1＝sin，而－<φ<，所以φ＝.因此函数f(x)＝sin.(2)由于x∈，－≤x＋≤，所以－1≤sin≤，所以f(x)的取值范围是.10.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为()．A．2B．4C．6D．8【答案】A【解析】由f＝0知是f(x)图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.11.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是()．A．2，－B．2，－C．4，－D．4，【答案】A【解析】T＝－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，又φ∈，∴φ＝－，选A.12..函数的部分图象如图所示，则的值分别是A．B．C．D．【答案】A【解析】由图知在时取到最大值，且最小正周期满足故，.所以或由逐个检验知【考点】正弦函数的图象和性质.13.函数f(x)＝sin(2x＋)图象的对称轴方程可以为()A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝【答案】A【解析】对于函数的对称轴方程为，则令，解得函数的对称轴方程为，当，有.所以正确答案为A.【考点】正弦函数的对称轴14.已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）值域为．【解析】(Ⅰ)首先由函数图象上一个最低点为，得A=2．又函数图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，所以，由此可求得的值，进而可求得的值．利用函数图象上一个最低点为，由代入法或关键点法可求得的值，最后得函数的解析式；（Ⅱ）在(Ⅰ)的基础上首先写出的表达式，利用三角函数的有关公式，将其化为一个复合角的三角函数，利用整体思想来求函数的值域．试题解析：（1）由最低点为，得A=2．由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得，即，，由点在图像上得故，，又6分（2），．因为，则，所以值域为．12分【考点】1．由三角函数的图像及其性质求三角函数的解析式；2．三角函数的值域．15.已知函数，下列命题是真命题的为（）A．若，则.B．函数在区间上是增函数.C．直线是函数的一条对称轴.D．函数图象可由向右平移个单位得到.【答案】C【解析】，∵，∴，∴，∴所以A错；∵，∴，∴函数在上是减函数，所以B错；函数图像可由向左平移个单位得到，所以D错；直线是函数的一条对称轴，C正确.【考点】1.三角函数的最值；2.函数的对称轴；3.函数图像的平移变换；4.函数的单调性.16.将函数f(x)=2sin的图象向左平移个单位，得到函数y="g" (x)的图象．若y=g(x)在[]上为增函数，则的最大值( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意，要使其在[]为增函数，如图所示，只需，所以，选B.【考点】1、三角函数的图象变换；2、函数的单调性.17.函数的部分图象如右图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】由函数的解析式可得周期T=2，再结合图象可得A、P、B的坐标．设点P在x轴上的射影为M，得tan∠BPM=和tan∠APM=的值，再由tan∠APB=tan（∠BPM+∠APM）=，故选B.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的图像18.）已知向量=(，)，=(1，)，且=，其中、、分别为的三边、、所对的角.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，且，求边的长．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)由向量，，和 ,利用数量积公式可求得,即；（Ⅱ）因为,且,利用正弦定理将角转化为边,利用余弦定理来求试题解析：（Ⅰ）在中，，,所以，又, 所以,所以，即；（Ⅱ）因为，由正弦定理得,，得,由余弦定理得,解得.【考点】1、向量的数量积, 2、三角恒等变形, 3、解三角形.19.函数的部分图象如图所示，则的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将点（6,0）代入验证可知，的解析式为，故选B。

数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.（本题满分14分）已知函数的周期（Ⅰ）若直线与函数的图象在是两个公共点，其横坐标分别为求的值；（Ⅱ）已知三角形的内角的对边分别为且若向量共线，求的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）且周期为.的图像关于对称，所以当时，与函数图像的交点关于对称，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.又.，.2.（本题满分12分）已知，．（I）求函数的单调递增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？【答案】（I），（II）见解析【解析】（Ⅰ）由已知，4分当，，即，时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，． 7分（II）函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标缩为原来的倍得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分另法：函数图象上各点的横坐标缩为原来的倍，得到函数的图象；然后使图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分【考点】本题考查平面向量的坐标运算、三角恒等变换、三角函数图象得到变换等基础知识，意在考查考生的数学运算能力、作图视图的能力及应用数学知识解决问题的能力.3.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为A．B．C．D．【答案】B【解析】得到的偶函数解析式为，显然【考点】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.4.已知函数，下列结论中错误的是（）A．的图像关于点中心对称B．的图像关于直线对称C．的最大值为D．既是奇函数，又是周期函数【答案】C【解析】由题意知.令，则.令，得.当时，函数值为0；当时，函数值为；当时，函数值为.∴，即f(x)的最大值为.故选C.【考点】三角函数的性质5.已知，函数在上单调递减.则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】函数的导数为，要使函数在上单调递减，则有恒成立，则，即，所以，当时，，又，所以有，解得，即，选6.在同一平面直角坐标系中，函数y＝cos(＋)(x∈[0,2π])的图象和直线y＝的交点个数是()A．0B．1C．2D．4【答案】C.【解析】因为y＝cos(＋)(x∈[0,2π]),即(x∈[0,2π])的图像是半个周期的图像，所以它与直线y＝的交点有两个.【考点】三角函数的诱导公式及正弦函数的图像.点评：本小题关键是利用诱导公式把y＝cos(＋)(x∈[0,2π])转化为(x∈[0,2π])然后画出它的图像从图像上观察它与直线y＝的交点个数.7.函数的图象为C，：①图象关于直线对称;②函数在区间内是增函数;③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象.以上三个论断中正确论断的个数为A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】函数的图象为C①图象关于直线对称，当k=1时，图象C关于对称；①正确；②x∈时，∈(－，)，∴函数在区间内是增函数；②正确；③由的图象向右平移个单位长度可以得到，得不到图象，③错误；∴正确的结论有2个，选C。

高一数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.（1）求和的值；（2）若，求的值【答案】（1）ω=2，；（2）.【解析】（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线对称，结合可得φ 的值．（2）由条件求得再根据的范围求得的值，再根据，利用两角和的正弦公式计算求得结果．试题解析：（1）因为f(x)图像上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期，从而，又因f(x)的图象关于直线对称，所以，又因为得，所以.（2）由（1）得所以，又得所以，因此.【考点】三角函数的周期公式，诱导公式，三角函数的图像与性质，角的变换，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系（平方关系）.2.不等式的解集为 .【答案】【解析】本题主要考查三角函数的恒等变换.由得：，故不等式的解集为.【考点】三角函数的恒等变换，三角函数的性质.3.函数的一条对称轴方程是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】的对称轴方程为,即令，得.【考点】诱导公式、三角函数的图像与性质.4.已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案】(1);(2)最大值为，最小值为．【解析】解题思路：利用两角和与差的三角公式和二倍角公式及其变形化成的形式，再求周期与最值.规律总结：涉及三角函数的周期、最值、单调性、对称性等问题，往往先根据三角函数恒等变形化为的形式，再利用三角函数的图像与性质进行求解.注意点：求在给定区间上的最值问题，要注意结合正弦函数或余弦函数的图像求解．试题解析：(1)，故的最小正周期为π.(2)函数在闭区间上的最大值为，最小值为 .【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的图像与性质.5.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，又，又在区间上是增函数，所以有。

【考点】函数的单调性及三角函数值大小的比较。

专题05三角函数的图象及性质一、单选题1．（2022·江苏海安·高三期末）函数()cos()6f x x πω=+的部分图象如图，则下列选项中是其一条对称轴的是（ ）A ．724x π= B ．38x π= C ．512x π=D ．1124x π=【答案】C 【分析】由给定解析式及图象确定ω值的表达式，再逐项分析判断作答. 【详解】 依题意，点2(,0)3π是函数()cos()6f x x πω=+的图象对称中心，且2π3在函数()f x 的一个单调增区间内，则22,Z 362k k πππωπ+=-∈，即31k ω=-，Z k ∈， 令函数()f x 周期为T ，由图象知2233243T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即有8493T ππ<<，而2T πω=，则有3924ω<<， 因此，393124k <-<，解得513612k <<，而Z k ∈，则1k =，2ω=，()cos(2)6f x x π=+， 由2,Z 6x n n ππ+=∈得函数()f x 图象的对称轴：,Z 212n x n ππ=-∈， 当0n =时，12x π=-，当1n =时，512x π=，当2n =时，1112π=x ，即选项A ，B ，D 不满足，选项C 满足.故选：C2．（2022·江苏海安·高三期末）通信卫星与经济发展、军事国防等密切关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h km （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O ，半径为r km ），地球上一点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面，在点A 处放置一个仰角为θ的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A 的纬度为北纬30，则tan θ=（ ）A2rr h + B2rr h + C2hr h+ D2hr h+ 【答案】A 【分析】根据题意作出图形，由三角形的边角关系以及正弦定理结合同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式即可求解. 【详解】如图：30AOB ∠=，CAD θ∠=，BC h =， 在Rt AOD 中3tan 303AD OA =⋅=，2cos303OA OD ==，所以BD OD OB r =-=-=，CD BC BD h =-=， 因为180903060ADO ∠=--=，所以18060120ADC ∠=-=，18012060ACD θθ∠=--=-，在ACD △中，由正弦定理可得：sin sin CD ADCAD ACD =∠∠即()33sin sin 60h θθ=-，所以1sin sin 2h θθθ⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, sin 2r hθθ+=，所以sin 2tan cos rr hθθθ==+， 故选：A.3．（2022·江苏如东·高三期末）正弦信号是频率成分最为单一的一种信号，因为这种信号的波形是数学上的正弦函数而得名，很多复杂的信号都可以通过多个正弦信号叠加得到，因而正弦信号在实际中作为典型信号或测试信号获得广泛应用.已知某个信号的波形可以表示为f (x )＝sin x ＋sin2x ＋sin3x .则（ ） A ．f (x )的最大值为3 B ．π是f (x )的一个周期 C ．f (x )的图像关于(π，0)对称 D ．f (x )在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】C 【分析】由函数解析式判断各选项中的性质可得． 【详解】sin y x =取最大值1时，22x k ππ=+，k Z ∈，sin 2y x =取最大值1时，,4x k k Z ππ=+∈，sin3y x =取最大值1时，2,36k x k Z ππ=+∈，三者不可能同时取得，因此sin sin 2sin 33y x x x =++<，A 错； ()sin()sin(22)sin(33)sin sin 2sin3f x x x x x x x ππππ+=+++++=-+-与()f x 不可能恒相等，π不可能是周期，B 错；()()()()()2sin 2πsin 42sin 63sin sin 2sin3f x x x x x x x f x πππ-=-+-+-=---=-，所以()f x 的图象关于点(,0)π对称，C 正确； 函数图象是连续的，而3sin sin sin0222f ππππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，()sin sin sin ()66322f f πππππ=++=>，因此()f x 在(0,)2π上不可能递增，D 错误． 故选：C ．4．（2022·江苏如皋·高三期末）已知1sin 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12B ．12-C D 【答案】B 【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】1sin 32πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭2sin 2sin 2cos 212sin 63233πππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22112sin 121322πα⎛⎫⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B5．（2022·江苏常州·高三期末）函数()sin 2tan f x x x =+的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【答案】C 【分析】分别判断函数sin 2y x =和tan y x =的最小正周期，从而可得出答案. 【详解】解：因为函数sin 2y x =的最小正周期为22ππ=，函数tan y x =的最小正周期为π， 且()()()()πsin2πtan πsin 22πtan sin2tan f x x x x x x x +=+++=++=+， πT ∴=.故选：C.6．（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则该函数的增区间为（ ）A ．()2,222k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．()52,266k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()7,1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】C 【分析】利用整体代换法和复合函数的单调性求函数的增区间. 【详解】 令222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得5,1212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，所以函数的增区间是()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 故选：C.7．（2022·广东潮州·高三期末）己知1cos 3x =，则sin(2)2x π+=（ ）A ．79-B ．79C ．89-D ．89【答案】A 【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简计算. 【详解】解：217sin(2)cos 22cos 121299x x x π+==-=⨯-=-.故选：A8．（2022·广东东莞·高三期末）若π(0,)2α∈，212tan cos αα=，则tan α=（ ）A ．12B ．1C ．2D 【答案】B 【分析】根据22sin cos 1αα+=，和sin tan cos ααα=，即可得到22tan tan 1αα=+，进而求出结果. 【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以222221sin cos tan 1cos cos ααααα+==+， 所以22tan tan 1αα=+，即()2tan 10α-=，所以tan 1α=， 故选：B.9．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数()sin f x x =，()x x g x e e -=+，则下列结论正确的是（ ） A ．()()f x g x 是偶函数 B ．|()|()f x g x 是奇函数 C ．()|()|f x g x 是奇函数 D ．|()()|f x g x 是奇函数【答案】C 【分析】先以偶函数定义去判断选项A 的正误，再以奇函数的定义去判断选项B 、C 、D 的正误.选项A: ()()(e e )sin x x f x g x x -=+()()(e e )sin()(e e )sin ()()x x x x f x g x x x f x g x ----=+-=-+=-，是奇函数，判断错误；选项B: sin (e e )|())|(x xf x xg x -=+sin()(e e )sin (e e )|()|()()()x x x x f x g x f x x x g x ----=-++==,是偶函数，判断错误；选项C: ()|()|e e sin x xg x f x x -=+e e sin()e ()|()|()e sin ()x x x x x xf xg x f x g x --+-+=---==-， 是奇函数，判断正确；选项D: (e |()()e s |)in x xf xg x x -+=(e e )sin()(e e )si |()()||()n ()|x x x x x f x g x f x x g x --+---==+， 是偶函数，判断错误. 故选：C10．（2022·广东罗湖·高三期末）已知3sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式将所求式子转化后即可得出结论. 【详解】3sin 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3cos cos sin 63235ππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：D.11．（2022·广东佛山·高三期末）已知1sin ,,0222ππαα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α等于（ ）A ．BC ．D 【答案】A利用诱导公式求出cos α，再用平方关系求出sin α即可计算作答. 【详解】因1sin 22πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1cos 2α=，而,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，于是得sin α=所以sin tan cos ααα== 故选：A12．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）A ．若,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则函数f (x )的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭是函数f （x ）图象的一个对称中心C ．函数f （x ）在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．函数f （x ）的图象可以由函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到 【答案】A 【分析】结合五点法求得函数解析式，然后利用正弦函数性质确定单调性、对称中心、函数值域及三角函数图象变换判断即得． 【详解】由题图及五点作图法得1A =，512πωϕπ⋅+=，2332πωϕπ⋅+=， 则2ω=，6π=ϕ，故()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭.由,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故()1sin 21,62f x x π⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数f (x )在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，故A 正确，C 错误；∵当3x π=-时，262x ππ+=-，所以点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭不是函数f (x )图象的一个对称中心，故B 错误；由cos 2sin 22y x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数cos 2y x =的图象向右平移12π个单位长度得到sin 2122y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故D 错误.故选：A ．13．（2022·湖南娄底·高三期末）将函数()()cos 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的最大值为（ ）A ．14B ．34C ．12D ．1【答案】B 【分析】求得()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得4444x πωπππωωπ<-+<+，结合函数()g x 的单调性可得出关于ω的不等式，由此可得出ω的最大值. 【详解】将()f x 的图象向右平移4π个单位长度后得到()cos 44g x x ωππω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象. 因为5,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4444x πωπππωωπ<-+<+， 因为()g x 在5,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以4πωππ+≤，304ω<≤，所以ω的最大值为34.故选：B.14．（2022·湖北武昌·高三期末）已知函数()y g x =的图象与函数sin 2y x =的图象关于直线x π=对称，将()g x 的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦ B ．1⎡-⎢⎣⎦C ．1⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]01，【答案】C 【分析】由对称性先求出()g x 的解析式，再由平移得出()y f x =的解析式，再由正弦函数的性质得出其值域. 【详解】设(),x y 为()g x 的图像上一点，则点(),x y 关于直线x π=对称的点为()2,x y π- 由题意点()2,x y π-在函数sin 2y x =的图象上，则()sin 22sin 2y x x π=-=-所以()sin 2g x x =-，则()2sin 2sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，223323,x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦-，则2sin 23x π⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦所以()1f x ≤≤ 故选：C15．（2022·湖北江岸·高三期末）计算)tan 70cos10201︒︒︒-=（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12-【答案】B 【分析】根据诱导公式、三角恒等变换、二倍角公式可得结果，尽可能地化简为同角的三角函数值 【详解】)))()tan 70cos10201cot 20cos10201cos 20cos101sin 20cos 20cos10sin 20cos1020cos 20sin 20cos102sin10sin 20sin 20sin 201︒︒︒-=︒︒︒-︒⎫=︒⎪︒⎭︒=︒︒⎝⎭︒=︒-︒︒︒=-︒︒-︒=︒=-故选：B16．（2022·湖北江岸·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =【答案】A 【分析】对于A ，sin y x =符合题中要求，对于B, sin y x =不是周期函数，对于C ，D ，sin 2y x =,cos 2y x =在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上都不是单调函数，由此可判断正确答案. 【详解】sin y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，故A 正确；sin y x =不是周期函数，故B 错误；cos 2y x =中，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx，故cos 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故C 错误；sin 2y x =,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx，故sin 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故D 错误，故选：A.17．（2022·湖北襄阳·高三期末）已知tan 226θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．35 C ．45D ．45-【答案】B 【分析】利用倍角公式可得cos 3πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭22cos sin 2626θπθπ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用弦化切，即求.【详解】∵tan 226θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴cos 3πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭22cos 2cos sin 262626θπθπθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222cos sin 2626cos sin 2626θπθπθπθπ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221tan 1426141tan 26θπθπ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭==+⎛⎫+- ⎪⎝⎭35=-.18．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）已知tan 2θ=-，则sin sin cos θθθ=+（ ）A ．2B ．12-C ．12D ．2-【答案】A 【分析】以齐次式法去求值即可解决. 【详解】sin sin tan 2cos 2sin cos sin cos tan 121cos cos θθθθθθθθθθθ-====++-++ 故选：A19．（2022·湖北·高三期末）若点55sin ,cos 66M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭在角α的终边上，则cos2=α（ ）A ．12-B ．12C． D【答案】A 【分析】先将点55sin ,cos 66M ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭化简，得1,2M ⎛ ⎝⎭，结合同角三角函数先求出cos α，再结合二倍角公式求出cos2α即可【详解】 由55sin ,cos66M ππ⎛⎫⎪⎝⎭得1,2M ⎛ ⎝⎭， 则1cos 2α=，21cos22cos 12αα=-=-.故选：A.20．（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数()() 2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭，()1f α=-，()3f β=，若αβ-的最小值为32π，且的图像关于点,14π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，则函数()f x 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程是（ ） A ．34x π=-B ．2x π=-C ．12x π=D ．4x π=【分析】根据题意分别求出ω与ϕ，即求出()f x 的解析式，再求出()f x 的对称轴，找到离原点最近的对称轴方程即可. 【详解】由()1f α=-，()3f β=，αβ-的最小值为32π知， 3T π=，223T πω==， ()22sin 13f x x ϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭.()f x 的图像关于点,14π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 2()2sin()11sin()04346f πππϕϕ∴=⨯++=⇒+=2πϕ<6πϕ∴=-.()22sin 136f x x π⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭.()f x 的对称轴为2=,362x k k z πππ-+∈.3,2x k k z ππ⇒=+∈.当1k =-时，2x π=-是离原点最近的对称轴方程. 故选：B.21．（2022·山东青岛·高三期末）已知角α的终边上一点P 的坐标为55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的最小正值为（ ） A ．6πB ．23π C ．76π D ．53π 【答案】D 【分析】先根据角α终边上点的坐标判断出角α的终边所在象限，然后根据三角函数的定义即可求出角α的最小正值． 【详解】 因为5sin06π>，5cos 06π<，所以角α的终边在第四象限， 根据三角函数的定义，可知5sin cos6πα==， 故角α的最小正值为5233ππαπ=-=． 故选：D ．22．（2022·山东枣庄·高三期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）．A．2πB ．CD ．π【答案】C 【分析】设此圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高，进而求得体积. 【详解】设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ， ∵圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形， ∴3l =，又2223r l πππ=⨯=，解得1r =，因此，此圆锥的高h =圆锥的体积为21133V r h ππ==⨯ 故选：C ．23．（2022·山东枣庄·高三期末）已知30.4tan 1,tan0.1,a b c πππ⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭，则（ ）．A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D 【分析】 由3010.12ππ<-<<，得到3tan(1)tan0.1π-<，令()tan f x x x =-，利用导数求得()f x 在(0,1)上单调递增，得到()0f x >，得出tan ,(0,1)x x x >∈，进而得到b c < ，即可求解. 【详解】因为3010.12ππ<-<<，且tan y x =在(0,)2π为单调递增函数， 所以33tan(1)tan(1)tan0.1πππ+-=-<，即a b <，令()tan ,(0,1)f x x x x =-∈，可得()211cos f x x'=-， 当(0,1)x ∈时，21cos y x=单调递减，所以()f x '在(0,1)单调递增，且()00f '=， 所以()0f x '>在(0,1)上恒成立，所以()f x 在(0,1)上单调递增，且()00f =， 所以()0f x >，即tan 0x x ->，即tan ,(0,1)x x x >∈，所以0.1tan0.1>， 又因为0.40.1c π=>，所以a b c <<.故选：D.24．（2022·山东枣庄·高三期末）已知sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则4cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）． A ．59- B ．59 C ．13- D ．13【答案】A 【分析】利用三角恒等变换公式化简求值得解. 【详解】解：2cos 2cos(2)cos(2)[12sin ()]3336πππππαααα⎛⎫-+-=--=--=--- ⎪⎝⎭25(12)99=--⋅=-.故选：A25．（2022·山东枣庄·高三期末）θ为第三或第四象限角的充要条件是（ ）． A ．sin 0<θ B ．cos 0<θC ．sin tan 0θθ<D ．cos tan 0θθ<【答案】D 【分析】第三或第四象限角，不含终边在y 轴负半轴. 【详解】对于A ：第三或第四象限角，以及终边在y 轴负半轴，故A 错误； 对于B ：第二或第三象限角，以及终边在x 轴负半轴，故B 错误； 对于C ：第二或第三象限角，故C 错误； 对于D ：第三或第四象限角，故D 正确.故选：D26．（2022·山东莱西·高三期末）要得到cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin3y x =的图象（ ）A ．向左平行移动4π个单位长度 B ．向右平行移动12π个单位长度 C ．向右平行移动712π个单位长度D ．向左平行移动512π个单位长度 【答案】C 【分析】首先利用诱导公式统一函数名，即3sin 3cos 32y x x π⎛⎫==+⎪⎝⎭，然后根据平移变换即可求解. 【详解】解：因为函数37sin3cos 3cos 32124y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以要得到cos 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将sin3y x =的图象向右平行移动712π个单位长度，故选：C.27．（2022·山东青岛·高三期末）已知04παβ<<<，则下列大小关系中正确的是（ ）A ．cos cos (sin )(sin )αβαα>B ．sin sin log cos log cos αααβ>C ．sin sin (cos )(cos )αβαβ>D ．sin cos (cos )(sin )ββαα< 【答案】C 【分析】A.构造函数()sin xy α=，利用其单调性比较大小； B.构造函数sin log y x α=，利用其单调性比较大小；C.构造函数()cos xy α=及函数sin y x β=，利用其单调性比较大小；D.将sin cos (cos )(sin )ββαα<转化为cos tan log sin αβα>，判断cos tan ,log sin αβα的大小关系即可. 【详解】04παβ<<<，则0sin cos 1αα<<<，且cos cos αβ>，sin sin αβ<A.因为函数()sin xy α=在R 上单调递减，故cos cos sin sin αβαα<，A 错误；B.因为函数sin log y x α=在()0,∞+上单调递减，故sin sin log cos log cos αααβ<，B 错误；C.因为函数()cos xy α=在R 上单调递减，函数sin y x β=在()0,∞+上单调递增，sin sin sin (cos )(cos )(cos )αββααβ>>，C 正确；D.sin cos sin ln (cos )(sin )(cos )cos ln(sin )ββαααβαβ⇔<<cos ln(sin )tan log sin cos (c sin l s )n o αααβαββ⇔>⇔> 04πβ<<，0tan 1β∴<<又cos cos log sin log cos 1αααα>=，cos tan log sin αβα∴<，D 错误； 故选：C.28．（2022·山东德州·高三期末）若函数()cos f x x x ωω-，0>ω，x ∈R ，又()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为3π8，则ω的值为（ ）A ．43B ．83C ．4D ．163【答案】A 【分析】利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，由12x x -的最小值为函数()y f x =的最小正周期的14，可求得函数()y f x =的最小正周期，进而可求得正数ω的值. 【详解】()()cos 2sin 06πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭f x x x x ，所以()22sin 26πω⎛⎫-≤=-≤ ⎪⎝⎭f x x ，因为12x x -的最小值为函数()y f x =的最小正周期的14，所以，函数()y f x =的最小正周期为33482ππ=⨯=T ， 因此，222433ππωπ⨯===T . 故选：A29．（2022·山东济南·高三期末）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（ ）A ．()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()12sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】A 【分析】由函数()()sin f x A x ωϕ=+的部分图象，即可求出,,A ωϕ的值，即可求出结果． 【详解】由图象可知，327=4126πππω⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭，所以2ω=， 又()f x 过点7,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2A =，且772sin 221212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即7sin 16πϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，所以73=2,62k k ππϕπ++∈Z ，即=2,3k k πϕπ+∈Z ， 又2πϕ<，所以=3πϕ，所以()2sin 32f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：A.30．（2022·山东临沂·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα-=（ ）A ．-1B ．0C ．12D 【答案】B 【分析】先根据πsin (,π)2αα=∈求出2π3α=，进而求出πcos()6α-∵πsin (,π)2αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α-== 故选：B31．（2022·河北深州市中学高三期末）函数()2sin 1x f x x x =++在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性排除部分选项，再由函数的值域判断. 【详解】∵()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数，故排除A ，B ．∵sin 1x ≤，211x x ++≥，∴()1f x <，故排除C ， 故选：D ．32．（2022·河北深州市中学高三期末）235cos sinsin 242412πππ=（ ）A ．116BC ．18D【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式计算可得； 【详解】 解：235cos sinsin cos sin sin 2424122424212ππππππππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111cossincossin cos sin 24241221212468ππππππ====． 故选：C33．（2022·河北唐山·高三期末）为了得到函数sin 2y x =的图像，只需把函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移2π个单位 B ．向右平移2π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右移4π个单位 【答案】D 【分析】先对函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的解析式进行整理，再结合三角函数的平移规律即可得到结论．【详解】因为：sin 2sin 224y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以：函数sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，可得到函数sin 2y x =的图象． 故选:D.34．（2022·河北保定·高三期末）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()510log 42f <<C ．()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称D ．()451log log 23f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D根据三角函数的周期性定义和三角函数的对称性的概念，即可判断选项A ，C 是否正确；当02x π<<时，易得1()f x ⎤⎥⎝⎦∈，再根据50log 412π<<<，即可判断B 是否正确；由函数sin y x =的单调性，可知()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，再根据4511log log 232613ππ-<<<<-<，由单调性新即可判断D 是否正确. 【详解】因为函数()()sin =sin =sin =333f x x x x f x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的最小正周期为π，故A 错误； 当02x π<<时，5,336x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin ,132x π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以()1,12f x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，而50log 412π<<<，所以()51log 412f <<，故B 错误； 若()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称，则()23f x f x π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 又22sin =sin 3333f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()sin =sin =sin 333f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()23f x f x π⎛⎫-≠-- ⎪⎝⎭，故C 错误；由于函数sin y x =的图象是将函数sin y x =在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，所以可知sin y x =在,,2k k k πππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z 上单调递增， 令,32k x k k ππππ<+<+∈Z ，所以()f x 在区间,,36k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 上单调递增，所以()f x 在,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，又44511log 3log log 123263ππ<-=<<<<--，所以()451log log 23f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：D.35．（2022·山东淄博·高三期末）cos102cos102sin10-=（ ）ABCD ．2【答案】A 【分析】利用二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式化简可得结果. 【详解】()cos102sin 3010cos10cos104sin10cos10cos102sin 202cos102sin102sin102sin102sin10-----===()cos10cos103sin1032sin10--==.故选：A.36．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知11tan ,tan ,37αβ==-且,(0,)αβπ∈，则2αβ-=（ ）A ．4πB ．4π-C ．34π-D ．34π-或4π 【答案】C 【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出tan 2()αβ-的值，再判断2αβ-的范围即可得解. 【详解】因11tan ,tan 37αβ==-，则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--， 31()tan 2tan 47tan(2)1311tan 2tan 1()47αβαβαβ----===++⨯-， 因,(0,)αβπ∈，tan 0,tan 0αβ><，则0,22ππαβπ<<<<，又tan 20α>，有022πα<<，于是得20παβ-<-<，因此，324παβ-=-， 所以324παβ-=-. 故选：C37．（2022·湖南常德·高三期末）若1tan 5α=，则cos2α的值为（ ） A ．1213-B ．126-C ．1213D ．2526【答案】C 【分析】根据二倍角公式以及商数关系即可求出． 【详解】2222222211cos sin 1tan 125cos 2cos sin 1tan 13115ααααααα⎛⎫- ⎪--⎝⎭====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 故选：C ．38．（2022·江苏扬州·高三期末）已知ππsin 136αα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos2=α（ ）A．B ．12CD【答案】B 【分析】化简已知条件，求得sin α，进而求得cos2α. 【详解】由题意可知，11sin cos 122αααα⎫-=⎪⎪⎭， 即2sin 1α=，解得1sin 2α=， 所以2211cos 212sin 1222αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题39．（2022·江苏扬州·高三期末）已知函数()cos f x x x ωω+(ω>0)，下列说法中正确的有（ ）A ．若ω=1，则f (x )在(0,)2π上是单调增函数B ．若()()66f x f x ππ+=-，则正整数ω的最小值为2C ．若ω=2，则把函数y =f (x )的图象向右平移6π个单位长度，所得到的图象关于原点对称 D ．若f (x )在(0,)π上有且仅有3个零点，则1723<66ω≤ 【答案】BD 【分析】化简函数f (x )的表达式，再逐一分析各个选项中的条件，计算判断作答. 【详解】依题意，()2sin()6f x x πω=+，对于A ，1ω=，()2sin()6f x x π=+，当(0,)2x π∈时，有2(,)663x πππ+∈，因sin y x =在2(,)63ππ上不单调，所以()2sin()6f x x π=+在(0,)2π上不单调，A 不正确；对于B ，因()()66f x f x ππ+=-，则6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，,Z 662k k πππωπ+=+∈，整理得62k ω=+，而0>ω，即有N k *∈，min 2ω=，B 正确；对于C ，2ω=，()2sin(2)6f x x π=+，依题意，函数()2sin[2()]2sin(2)6666y f x x x ππππ=-=-+=-，这个函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，C 不正确； 对于D ，当(0,)x π∈时，(,)666x πππωωπ+∈+，依题意，3<46ππωππ+≤，解得1723<66ω≤，D 正确.故选：BD40．（2022·江苏通州·高三期末）已知函数()3sin 2f x A x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(A ＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（ ）A ．π4ϕ=B ．π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数C ．当ππ,3x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，f (x )的最大值为1D ．若()()()12122f x f x x x ⋅=≠，则12x x +的最小值为π【答案】AC 【分析】根据图象求得,A ϕ，根据三角函数的奇偶性、最值等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】由图可知()35π5π3πsin 12ππ264240π0πk k Z ϕϕϕϕϕ⎧⎛⎫⎧⨯+=-+=+⎪⎪ ⎪⇒∈⇒=⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<<<⎩⎩，A 选项正确. ()3πsin 24f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π0sin14f A A ==⇒= 所以()3π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.π3ππ362642f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，B 选项错误.π33π53πππ,π,π32224244x x x -≤≤--≤≤--≤+≤-，3π3π1sin 124224x x ⎛⎫⎛⎫-≤+≤+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确.()3π24f x x ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 若()()()12122f x f x x x ⋅=≠，则11223ππ3ππ2π,2π242242x k x k +=++=+，12,Z k k ∈，11224π4ππ,π3636x k x k =+=+，12,Z k k ∈， 12124π4πππ3636x x k k +=+++()124ππ33k k =++， 当120k k +=时，12x x +取得最小值为π3，D 选项错误.故选：AC41．（2022·江苏宿迁·高三期末）将函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象向左平移6π个单位长度后得到()y g x =的图象如图，则（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．方程()1f x =在()0,2π内有4个实数根D ．()f x 的解析式可以是()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】利用图象可求得函数()g x 的解析式，利用函数图象平移可求得函数()f x 的解析式，可判断D 选项；计算()0f 可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；当()0,2x π∈时，求出方程()1f x =对应的223x π-可能取值，可判断C 选项. 【详解】由图可知，函数()g x 的最小正周期为453123T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，22Tπω∴==，()max 2A g x ==， 所以，()()2sin 2g x x ϕ=+，则552sin 2126g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ， 所以，()52Z 62k k ππϕπ+=+∈，得()2Z 3k k πϕπ=-∈， 因为2πϕ<，则3πϕ=-，所以，()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()g x 的图象向右平移6π个单位可得到函数()f x 的图象，故()22sin 22sin 2633f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.对于A 选项，因为()202sin 03f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故函数()f x 不是奇函数，A 错；对于B 选项，当63x ππ<<时，22033x ππ-<-<，故函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，B 对；对于C 选项，由()22sin 213f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可得21sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 当()0,2x π∈时，22102333x πππ-<-<，所以，2513172,,,36666x πππππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭，C 对； 对于D 选项，()22sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错.故选：BC.42．（2022·江苏如皋·高三期末）已知函数2cos sin cos 1()()f x x x x =+-，则下列说法正确的是（ ）A ．5()()8f x f π≥B ．()()88f x f x ππ+=-C ．()()088f x f x ππ++-=D ．()1)(2f f >【答案】ABD 【分析】根据给定条件利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，再逐项分析判断作答. 【详解】依题意，2()2sin cos 2cos 1sin 2cos2)4f x x x x x x x π=+-=++，对于A ，553())8842f ππππ=⨯+==min ()f x = 即R x ∀∈，5()()8f x f π≥，A 正确；对于B ，()sin(2)282f x x x ππ+=+=，()2)82f x x ππ-=-2x =，即()()88f x f x ππ+=-，B 正确；对于C ，取8x π=，()()()(0)20884f x f x f f πππ++-=+=≠，C 不正确；对于D ，因3244πππ<+<，34224πππ<+<，则10))2((f f >>，D 正确. 故选：ABD43．（2022·广东潮州·高三期末）已知函数()sin cos (*)n n f x x x n N =+∈，则（ ） A ．对任意正奇数n ，f (x )为奇函数B ．当n =3时，f (x )在[0，2π]上的最小值为2C ．当n =4时，f (x )的单调递增区间是[,]()4Z k k k πππ-+∈D ．对任意正整数n ，f (x )的图象都关于直线4x π=对称【答案】BD 【分析】通过判断(0)f 的值，判断A 的正误；利用函数的导数判断函数的单调性，求解最大值，判断B 的正误；求出函数的单调增区间判断C 的正误；判断()()2f x f x π-=，判断D 的正误．【详解】解：对于A ，取1n =，则()sin cos f x x x =+，从而(0)10f =≠，此时()f x 不是奇函数，则A 错误； 对于B ，当3n =时，22()3sin cos 3cos sin 3sin cos (sin cos )f x x x x x x x x x '=-=-，当x [0,)4π∈时，()0f x '<；当(,]42x ππ∈时，()0f x '>．所以()f x 在[0,)4π上单调递减，在(,]42ππ上单调递增，所以()f x 的最小值为33()4f π=+=B 正确；对于C ，当4n =时，4422222211cos413()sin cos (sin cos )2sin cos 1sin 21cos42444x f x x x x x x x x x -=+=+-=-=-=+， 令242k x k πππ-+≤≤，则4,442k k x k Z πππ-+≤≤∈， 所以()f x 的递增区间为[,]()422k k k Z πππ-+∈，则C 错误；对于D ，因为()sin ()cos ()cos sin ()222n n n n f x x x x x f x πππ-=-+-=+=，所以()f x 的图象关于直线4x π=对称，则D 正确； 故选：BD.44．（2022·广东东莞·高三期末）已知函数()sin cos f x a x b x =+，若()0f x ∈R 都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()s 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()6πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()f x 的图象向左平移 6π个单位后，图象关于原点对称D ．()f x 的图象向右平移2 3π个单位后，图象关于y 轴对称 【答案】BD 【分析】先根据条件()0f =b 值，根据()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可知3f π⎛⎫⎪⎝⎭为函数最大值，据此列出关于a 的方程，求出a 值，得到函数f(x)的解析式，结合辅助角公式和诱导公式，可判断A 、B 的正误，再根据三角函数图象的变换规律，可判断B 、D 的正误. 【详解】()sin cos ,(0)f x a x b x f =+=，b ∴=，又对任意x ∈R 都有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则()3f π为()f x 的最大值，()3f π∴== ，整理得：2(3)0a -= ，则3a = ，所以()3sin ))63f x x x x x ππ==+=- ，因此A 选项错误，B 正确；()f x 的图象向左平移6π个单位后得到的图象对应的函数解析式为：()))663g x x x πππ=++=+ ，该函数图象不关于原点对称，故C 错误；()f x 的图象向右平移23π个单位后，得到函数2())63x x x ππϕ=+-=- 的图象， 该图象关于y 轴对称，故D 正确， 故选：BD45．（2022·广东汕尾·高三期末）设函数1,0()cos ,0x xx f x e x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，下列四个结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 在区间[),1π-上单调递增B ．函数()y f x x =-有且只有两个零点C ．函数()f x 的值域是[]1,1-D ．对任意两个不相等正实数12,x x ，若12()()f x f x =，则122x x +> 【答案】CD 【分析】利用导数判断0x >时，()y f x =的单调性，根据单调性可求值域，然后结合0x ≤时，()cos f x x =，从而可判断选项A ，C ；首先利用导数判断0x ≤时，()()cos g x f x x x x =-=-的零点个数；然后再利用单调性判断0x >时，()1()ex x g x f x x x -=-=-的零点个数，从而可判断选项B ；不妨设1201x x <<<，根据题意把要证明122x x +>，转化为证明()()112f x f x ->；然后构造函数112()(01)ee x xxxx x ϕ---=-<<，利用导数判断函数的单调性即可证明，从而判断选项D. 【详解】 当0x >时，1()e x x f x -=，所以()11211e e 1()e e x x x x x x f x -----='-=，所以当01x <<时，()0,()f x y f x '>=在(0,1)单调递增， 当1x >时，()0,()f x y f x '<=在(1,)+∞单调递减， 故0x >时，0()(1)1f x f <≤=，又当0x ≤时，()cos f x x =，所以(0)1f =，1()1f x -≤≤， 所以函数()f x 在[,0),(0,1)π-单调递增，所以A 错误，C 正确； 当0x ≤时，令()()cos g x f x x x x =-=-，则()sin 10g x x =-'-≤， 所以()cos g x x x =-在(,0]-∞单调递减，所以当0x ≤时，()(0)1g x g ≥=， 所以函数()y f x x =-在(,0]-∞上没有零点； 当0x >时，()1()ex x g x f x x x -=-=-，所以只需求函数11()1e x h x -=-在(0,)+∞上零点个数，又因为11()1ex h x -=-在(0,)+∞上单调递减，且111(1)10e h -=-=， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上只有一个零点． 所以函数()y f x x =-有且仅有一个零点，所以B 错误；当0x >时，若()()12f x f x =，因为函数()f x 在(0,1)单调递增，在()1,+∞单调递减， 所以不妨设1201x x <<<，则1122x <-<，所以要证122x x +>，只需证122x x -<，即只需证()()122f x f x ->， 又因为()()12f x f x =，所以只需证()()112f x f x ->.因为()()111111111112111222x x x x x x x x f x f x ee e e ---------=-=-， 所以令函数112()(01)ee x xx xx x ϕ---=-<<， 则()22111(1)e e 11()0e e e xx x x x x x x ϕ--+----=-'=>，所以112()e e x xx xx ϕ---=-在(0,1)单调递增，所以1111121()(1)0e e x ϕϕ---<=-=， 即112()0(01)ee x xxxx x ϕ---=-<<<恒成立，所以1()0x ϕ<， 即()()11111111220x x x x f x f x e e -----=-<，所以()()112f x f x ->， 从而122x x +>成立. 所以选项D 正确. 故选：CD.46．（2022·广东清远·高三期末）将函数1cos (0)6⎛⎫=+> ⎪⎝⎭y x πωω图象上所有的点向右平移6π个单位长度后，得到函数2cos(2)||2⎛⎫=+< ⎪⎝⎭y x πϕϕ的图象，若函数12()f x y y =+，则（ ）A ．()f x 的最小值是B ．()f x 的图象关于直线4x π=对称C ．()f x 的最小正周期是πD ．()f x 的单调递增区间是,()2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】ACD 【分析】根据题意先求出2y ，进而求出()f x ，然后通过两角和与差的余弦公式进行化简，最后结合三角函数值的图象和性质求得答案. 【详解】由题意知，12cos 2,cos 2cos 26666⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦y x y x x ππππ，则11()cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 26622f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2x =，()f x 的最小值是π，故A ，C 正确；令2()x k k π=∈Z ，得()2k x k π=∈Z ，若24k ππ=，则12=∉Z k ，故B 错误；令222()-≤≤∈Z k x k k πππ，得()2-≤≤∈Z k x k k πππ，即()f x 的单调递增区间是,()2k k k πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确． 故选：ACD.47．（2022·广东汕尾·高三期末）以下关于函数()sin 22f x x x =的命题，正确的是（ ） A ．函数()y f x =的最小正周期为πB ．点,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心C ．直线3x π=的函数()y f x =图象的一条对称轴D ．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后得到的函数的图象关于原点对称 【答案】AD 【分析】整理可得2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入周期公式，可判断A 的正误，根据212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断B 的正误，根据03f π⎛⎫= ⎪⎝⎭可判断C 的正误，求得平移后的解析式，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】由题意得()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以最小正周期22T ππ==，所以A 对． 2sin 2212123πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线12x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，所以B 错．2sin 20333πππf ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，所以C 错．将函数2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后得到的图象对应的函数为2sin 22sin 263y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，所以D 对．故选：AD ．48．（2022·广东·铁一中学高三期末）将函数()()πcos 02f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图象向右平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()01g =-，则下列说法正确的是（ ） A ．()g x 为奇函数 B ．π02g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭。

专题5.3 三角函数的图象与性质1．（2021·北京市大兴区精华培训学校高三三模）下列函数中，既是奇函数又以π为最小正周期的函数是（）A ．cos 2y x =B ．sin2y x=C ．sin cos y x x=+D ．tan 2y x=【答案】B 【解析】由三角函数的奇偶性和周期性判断即可得出答案.【详解】解：A 选项：cos 2y x =是周期为π的偶函数，故A 不正确；B 选项：sin2y x =是周期为π的奇函数，故B 正确；C选项：sin cos 4y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，周期为2π且非奇非偶函数，故C 不正确；D 选项：tan 2y x =是周期为2π的奇函数，故D 不正确.故选：B.2．（2021·海南高三其他模拟）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．ln y x =B ．21y x =+C ．sin y x=D ．cos y x=【答案】D 【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y lnx =，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，对于B ，21y x =+，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，对于C ，sin y x =，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，对于D ，cos y x =，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，故选：D ．练基础3．（2021·浙江高三其他模拟）函数y =sin tan x e xx在[-2，2]上的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】利用同角三角函数的商数关系并注意利用正切函数的性质求得函数的定义域，可以化简得到()cos ,2x k f x e x x k Z π⎛⎫=≠∈ ⎪⎝⎭，考察当x 趋近于0时，函数的变化趋势，可以排除A,考察端点值的正负可以评出CD.【详解】()sin cos ,tan 2x x e x k f x e x x k Z x π⎛⎫==≠∈ ⎪⎝⎭,当x 趋近于0时，函数值趋近于0cos 01e =,故排除A;()22cos 20f e =<,故排除CD,故选：B4．（2021·全国高三其他模拟（理））函数y =tan(3x +6π)的一个对称中心是（ ）A ．(0，0)B ．(6π，0)C ．(49π，0)D ．以上选项都不对【答案】C 【解析】根据正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)求出函数y =tan(3x +6π)图象的对称中心，即可得到选项.【详解】解：因为正切函数y =tan x 图象的对称中心是(2k π，0)，k ∈Z ；令3x +6π=2k π，解得618k x ππ=-，k ∈Z ；所以函数y =tan(3x +6π)的图象的对称中心为(618k ππ-，0)，k ∈Z ；当k =3时,C 正确，故选：C.5．（2019年高考全国Ⅱ卷文）若x 1=，x 2=是函数f (x )=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ）A ．2B ．C ．1D ．【答案】A【解析】由题意知，的周期，解得．故选A ．6．（2021·临川一中实验学校高三其他模拟（文））若函数cos (0)y x ωω=>的图象在区间,24ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上只有一个对称中心，则ω的取范围为（ ）A ．12ω<≤B ．ω1≤<2C ．13ω<≤D ．13ω≤<【答案】A 【解析】根据题意可得422πππω≤<，即可求出.【详解】4π43πsin x ωωω3212()sin f x x ω=232()44T ωπππ==-=π2ω=由题可知，cos (0)y x ωω=>在,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上只有一个零点，又2x πω=，2x πω=，所以422πππω≤<，即12ω<≤.故选：A.7.(2019年高考北京卷文)设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】时，，为偶函数；为偶函数时，对任意的恒成立，即，，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.8．（2021·青海西宁市·高三二模（文））函数()cos 218f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭图象的一个对称中心为（ ）A ．,14π⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．,14π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】根据余弦函数的对称中心整体代换求解即可.【详解】令2()82x k k πππ-=+∈Z ，可得5()216k x k ππ=+∈Z ．所以当1k =-时，316x π=-，故3,116π⎛⎫-- ⎪⎝⎭满足条件，当0k =时，516x π=，故5,116π⎛⎫-⎪⎝⎭满足条件；故选：D0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x ()f x ()=()f x f x -x ()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-sin 0b x =x 0b =0b =()f x9．（2021·全国高一专题练习）设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减D ．()f x 的一个零点为6x π=【答案】C 【解析】根据解析式结合余弦函数的性质依次判断每个选项的正误即可.【详解】函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 正确；22(cos 1333f πππ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的图象关于直线23x π=对称，故B 正确；当x ∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭时，54,363πππx ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，()f x 没有单调性，故C 错误；()cos 0663f πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()f x 的一个零点为6x π=，故D 正确.综上，错误的选项为C.故选：C.10．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x+3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．练提升1．（2021·河南高二月考（文））已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A．B ．12-C ．12D【答案】D 【解析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果.【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=，又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ，所以()sin 66f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.2.（2020·山东潍坊�高一期末）若函数的最小正周期为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题意，函数的最小正周期为，可得，解得，即，()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π(2)(0)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>>-⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭(0)(2)5f f f π⎛⎫->> ⎪⎝⎭()tan (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭πwππ=1w =()tan()4f x x π=+令，即，当时，，即函数在上单调递增，又由，又由，所以.故选：C.3．（2021·广东佛山市·高三二模）设()0,θπ∈，则“6πθ<”是“1sin 2θ<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由条件即06πθ<<，由06πθ<<，得1sin 2θ<；反之不成立，可举反例．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】由()0,θπ∈，则6πθ<，即06πθ<<所以当06πθ<<时，由正弦函数sin y x =的单调性可得1sin sin62πθ<=，即由6πθ<可以得到1sin 2θ<.反之不成立，例如当56πθπ<<时，也有1sin 2θ<成立，但6πθ<不成立.故“6πθ<”是“1sin 2θ<”的充分不必要条件故选：A4．（2021·四川省华蓥中学高三其他模拟（理））已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的最,242k x k k Z πππππ-+<+<+∈3,44k x k k Z ππππ-+<<+∈1k =544x ππ<<()f x 5(,)44ππ4(0)(),()()()555f f f f f πππππ=-=-+=425ππ>>(0)(2)5f f f π⎛⎫>-> ⎪⎝⎭大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π且()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则下列判断不正确的是（）A ．要得到函数()f x 的图象，只需将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位B ．函数()f x 的图象关于直线712x π=对称C ．,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x D ．函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】C 【解析】根据最大值为2，可得A ，根据正弦型函数的周期性，可求得ω，根据对称性，可求得ϕ，即可得()f x 解析式，根据正弦型函数的单调性、值域的求法，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由题意得A =2，因为其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，所以22Tπ=，可得2T ππω==，所以2ω=，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为,06π⎛⎫-⎪⎝⎭为对称中心，所以2,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，因为||2ϕπ<，令k =0，可得3πϕ=，所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.对于A ：将2cos 2y x =的图象向右平移12π个单位，可得2cos 22cos 22cos 22sin 22sin 21266263y x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；对于B ：令2,32x k k Z πππ+=+∈，解得,212k x k Z ππ=+∈，令k =1，可得712x π=，所以函数()f x 的图象关于直线712x π=对称，故B 正确；对于C ：因为,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22,363x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当236x ππ+=时，min ()2sin16f x π==，故C 错误；对于D ：令3222,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得7,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈，令k =0，可得一个单调减区间为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为57,,6121212ππππ⎡⎤⎡⎤⊂⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在5,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确.故选：C5．（2021·玉林市第十一中学高三其他模拟（文））已知函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度得y =g (x )的图象，若函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．[416,)39B ．1620,[)99C ．[208,93D ．[8,4)3【答案】B 【解析】由函数的平移可得()sin 4g x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合三角函数的图象与性质可得ω满足的不等式，即可得解.【详解】由题意，()sin sin 44g x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，3,444x πωπωπωω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为函数g (x )的图象与直线y =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个交点，则3542,2433122,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-+-+ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩或3412,2433272,2433k k k k πωπππππωππππ⎧⎛⎤-∈-++ ⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎡⎫⎪∈++⎪⎢⎪⎣⎭⎩，k Z ∈，又0>ω，所以1620,99ω⎡∈⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·北京四中高三其他模拟）函数tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则 ()OA OB AB +⋅=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A 【解析】根据正切函数的图象求出A 、B 两点的坐标，再求出向量的坐标，根据向量数量积的坐标运算求出结果．【详解】由图象得,令tan 42y x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭=0,即42x ππ-=kπ，k Z∈k =0时解得x =2，令tan 42y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭=1,即424x πππ-=，解得x =3，∴A (2,0),B (3,1)，∴()()()2,0,3,1,1,1OA OB AB ===，∴()()()5,11,1516OA OB AB +⋅=⋅=+=.故选：A .7．（2020·全国高三其他模拟（文））若函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆222:O x y n +=上，则()1f =（ ）A B ．C ．-D ．【答案】A 【解析】首先由题意判断该正弦型函数的大概图象及相邻最高点和最低点与圆的交点情况.从而解得n 的取值，再代入1x =求解.【详解】解：设两交点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则1y =，2y =-又函数()(0)xf x n nπ=>为奇函数，∴12x x =-，当22xnx n ππ=⇒=时，函数取得最大值，∴12n x =-，22nx =，由题，函数()(0)xf x n nπ=>图象上的相邻一个最高点和一个最低点恰好都在圆22: O x y n +=上，∴22242n n n ⎛⎫+=⇒= ⎪⎝⎭，则(1)4f π==.故选：A.8．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数()2sin(),(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<图象的一条对称轴为23x π=，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，且()f x 在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，则以下说法正确的是（ ）A ．7,012π⎛⎫-⎪⎝⎭是其中一个对称中心B ．145ω=C ．()f x 在5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭单増D ．16f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【答案】AD 【解析】先根据条件求解函数的解析式，然后根据选项验证可得答案.【详解】∵f (x )关23x π=对称，4⎛⎫= ⎪⎝⎭f π，f (x )在2,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，232232,22643k k ωπωϕπππππϕωϕπ⎧=+=+⎧⎪⎪⎪∴∴⎨⎨=⎪⎪+=+⎩⎪⎩，B 错误；()2sin 2,6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令2,6x k k ππ+=∈Z ，可得,,122k x k ππ=-+∈Z 当1k =-时，7,12x π=-即()f x 关于7,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，A 正确；令222,262k x k πππππ-+<+<+得,312k x k ππππ-+<<+∴()f x 在,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递増，即C 错误；2sin 2sin 16366f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确，故选：AD.9．【多选题】（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知函数()f x 满足x R ∀∈，有()(6)f x f x =-，且(2)(2)f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，)()lnf x x =-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2021)0f =B ．(2020,2022)x ∈时，()f x 单调递增C ．()f x 关于点(1010,0)对称D ．(1,11)x ∈-时，方程()sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的所有根的和为30【答案】CD 【解析】利用已知条件可知()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且周期为4，即可判断各选项的正误.【详解】由题设知：()))()f x x x f x -===-=-，故()f x 在[1,1]x ∈-上为奇函数且单调递减，又(2)(4)(2)f x f x f x +=-=-，即关于21x k =+、(2,0)k ，k Z ∈对称，且最小周期为4，A ：(2021)(50541)(1)1)0f f f =⨯+==-≠，错误；B ：(2020,2022)x ∈等价于(0,2)x ∈，由上易知：(0,1)上递减，(1,2)上递增，故()f x 不单调，错误；C ：由上知：()f x 关于(2,0)k 对称且k Z ∈，所以()f x 关于(1010,0)对称，正确；D ：由题意，只需确定()f x 与sin 2xy π=在(1,11)x ∈-的交点，判断交点横坐标的对称情况即可求和，如下图示，∴共有6个交点且关于5x =对称，则16253410x x x x x x +=+=+=，∴所有根的和为30，正确.故选：CD10.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）设函数sin 3xy π=在[,1]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()N t ，则()()M t N t -在3722t ≤≤上最大值为________．【答案】1【解析】依题意可得函数在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦，所以()()cos 36t M t N t ππ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即可求出函数的最大值；【详解】解：函数sin3xy π=的周期为6，函数sin3xy π=在39,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，当3722t ≤≤时，39[,1],22t t ⎡⎤+⊆⎢⎥⎣⎦(1)()()sinsin2cos sin cos 3336636tt t t M t N t πππππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为3722t ≤≤，所以243363t ππππ≤+≤，所以11cos 362t ππ⎛⎫-≤+≤-⎪⎝⎭所以1()()12M t N t ≤-≤当52t =时取最大值1故答案为：11．（2021·全国高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin 1x -≤≤，所以命题p 为真命题；由于0x ≥，所以||e 1x ≥，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．2.（2021·全国高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）练真题A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件.故选：A.3.（2019年高考全国Ⅰ卷文）函数f (x )=在的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D2sin cos ++x xx x[,]-ππ【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．4．（2020·全国高考真题（理））设函数()cos π(6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+()f x 22π1π42π2(1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+5．（2020·全国高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称．②f （x ）的图像关于原点对称．③f （x ）的图像关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+=⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.6．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.。

高三数学专题练习三角函数的图象与性质、三角恒等变换【重点把关】1．(2016·榆林一模)已知π,π2a æöÎç÷èø，且()3sin π5a +=-，则tan a =等于( )A ．34-B ．43 C ．34D ．43-2．(2016·湖南衡阳一模)已知角j 的终边经过点()4,3P -，函数()()()sin 0f x x w j w =+>的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则π4f æöç÷èø的值为( )A ．35 B ．45C ．35-D ．45-3．(2016·四川卷，文4)为了得到函数πsin 3y x æö=+ç÷èø的图象，只需把函数sin y x =的图象上所有的点( )A ．向左平行移动π3个单位长度B ．向右平行移动π3个单位长度C ．向上平行移动π3个单位长度D ．向下平行移动π3个单位长度4．(2016·河南郑州一模)函数()11πsin 2tan cos 2223f x x x =+的最小正周期为( )A ．π2 B ．πC ．2πD ．4π 5．(教材拓展)函数πsin 23y x æö=-ç÷èø的单调递减区间是( )A ．π2ππ,π,63k k k éù-+-+ÎêúëûZ B ．π5π2π-,2π,1212k k k éù+ÎêúëûZ C ．πππ-,π,63k k k éù-+ÎêúëûZ D ．π5ππ,π,1212k k k éù++ÎêúëûZ 6．(2016·河南开封一模)已知函数()()π2sin πsin 3f x x x j æö=+++ç÷èø的图象关于原点对称，其中()0,πj Î，则j =________．7．(2016·吉林白山一模)已知1sin cos 3a a =+，且π0,2a æöÎç÷èø)，则cos 2πsin 4a a æö+ç÷èø的值为________．8．(2016·湖南常德模拟)已知函数()()2cos 2cos 0f x x x x w w w w =+>，且()f x 的最小正周期为π．(1)求w 的值及()f x 的单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，求当π0,2x éùÎêúëû时()g x 的最大值．【能力提升】9．(2016·湖北八校联考)若()()()2cos 20f x x j j =+>的图象关于直线π3x =对称，且当j 取最小值时，0π0,2x æö$Îç÷èø，使得()0f x a =，则a 的取值范围是( )A ．(]1,2-B ．[)2,1--C ．()1,1--D ．[)2,1-10．(2016·山东青岛一模)已知函数()()()sin 000πf x A x A w j w j =+>><<,,是偶函数，它的部分图象如图所示．M 是函数()f x 图象上的点，K ，L 是函数()f x 的图象与x 轴的交点，且KML D 为等腰直角三角形，则()f x =________．11．(2016·北京卷，文16)已知函数()()2sin cos cos 20f x x x x w w w w =+>的最小正周期为π．（1）求w 的值；（2）求()f x 的单调递增区间．12．(2016·河北石家庄二模)已知函数()()π4cos sin 06f x x x a w w w æö=++>ç÷èø图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（1）求a 和w 的值；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间．【创新选做】13．(2016·江西南昌模拟)已知函数()π1sin ,62f x x x w æö=-+Îç÷èøR ，且()12f a =-，()12f b =，若a b -的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为( )A ．π2π,π2π,2k k k éù-++ÎêúëûZB ．π3π,π3π,2k k k éù-++ÎêúëûZC ．5ππ2π,2π,2k k k éù++ÎêúëûZ D ．5ππ3π,3π,2k k k éù++ÎêúëûZ高三数学专题练习三角函数的图象与性质、三角恒等变换答 案【重点把关】1~5．ADABD6．π67．8．解：(1)()21cos 2f x x xw w ++π=2sin 216x w æö++ç÷èø．因为2πππ2T w =Þ=，所以1w =．从而()π=2sin 216f x x æö++ç÷èø，令()ππ3π2π22π262k x k k +£+£+ÎZ ，得()π3πππ62k x k k +££+ÎZ ，所以()f x 的单调递减区间为π2ππ,π,63k k k éù++ÎêúëûZ ．(2)()πππ2sin 212sin 21666g x x x éùæöæö=-++=-+ç÷ç÷êúèøèøëû，因为π0,2x éùÎêúëû，所以ππ5π2666x -£-£，所以当ππ262x -=，即π3x =时，()max 2113g x =´+=．【能力提升】9．D10．1cos π2x 11．解：(1)因为()2sin cos cos 2f x x x xw w w =+sin 2cos 2x xw w =+π24x w æö=+ç÷èø，所以()f x 的最小正周期2ππ2T w w ==．依题意，π=πw ，解得1w =．(2)由(1)知()π24f x x æö=+ç÷èø．函数sin y x =的单调递增区间为()ππ2π,2π+22k k k éù-ÎêúëûZ ．由πππ2π22π,242k x k k -£+£+ÎZ ，得3ππππ,88k x k k -££+ÎZ ．所以()f x 的单调递增区间为()3πππ,π88k k k éù-+ÎêúëûZ ．12．解：(1)()π4cos sin 6f x x x a w w æö=++ç÷èø14cos cos 2x x x a w w w ö=++÷÷ø2cos 2cos 11x x x aw w w =+-++22cos 21x x aw w =+++π2sin 216x A w æö=+++ç÷èø．当πsin 216x w æö+=ç÷èø时，()f x 取得最大值213a a ++=+，又()f x 图象上最高点的纵坐标为2，所以32a +=，即1a =-．又()f x 图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期为πT =，故2π22Tw ==，1w =．(2)由(1)得()π2sin 26f x x æö=+ç÷èø，由ππ3π2π22π,262k x k k +£+£+ÎZ ，得π3πππ,62k x k k +££+ÎZ ．令0k =，得π2π63x ££．故函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为π2π,63éùêúëû．【创新选做】13．B高三数学专题练习三角函数的图象与性质、三角恒等变换解析【重点把关】1．解析：因为α∈(，π)，sin(π+α)=-sin α=-，即sin α=，所以cos α=-=-，则tan α==-，故选A．2．解析：由题意得ω=2，cos j=-，所以f()=sin(2×+j)=cos j=-，选D．3．解析：由y=sin x图象上所有的点向左移动个单位长度就得到函数y=sin(x+)的图象，故选A．4．解析：函数f(x)=sin 2x+tan cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+)的最小正周期为=π．故选B．5．解析：函数y=sin(-2x)=-sin(2x-)的单调递减区间，即函数y=sin(2x-)的单调递增区间．令2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z，求得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，故函数y=sin(2x-)的单调递增区间，即函数y=sin(-2x)的单调递减区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．故选D．6．解析：化简可得f(x)=-2sin xsin(x++j)，因为函数图象关于原点对称，故f(-)=-f()，代值计算可得-2×(-)sin j=-(-2)×sin(+j)，化简可得sin j=sin(+j)，又j∈(0，π)，所以j++j=π，解得j=．答案：7．解析：因为sin α=+cos α，即sin α-cos α=，所以===-．答案：-8．【能力提升】9．解析：因为函数f(x)=2cos(2x+j)(j>0)的图象关于直线x=对称，所以+j=kπ，k∈Z，所以j=kπ-，k∈Z，当j(j>0)取最小值时j=，所以f(x)=2cos(2x+)，因为x0∈(0，)，所以2x0+∈(，)，所以-1≤cos(2x0+)<，所以-2≤f(x0)<1，因为f(x0)=a，所以-2≤a<1．故选D．10．解析：由图象可知，A=，又f(x)=Asin(ωx+j)是偶函数，所以j=+2kπ，k∈Z，又因为0<j<π，所以j=．如图，过点M作MN⊥KL于N，因为△KLM为等腰直角三角形，所以MN=KN=NL=，KL=1，所以函数f(x)的周期T=2，即=2，ω=π．综上知，函数f(x)=cos πx．答案：cos πx11．12．【创新选做】13．解析：因为f(x)=sin(ωx-)+，且f(α)=-，所以sin(ωα-)+=-，解得sin(ωα-)=-1，同理可得sin(ωβ-)=0，由|α-β|的最小值为和三角函数图象可得·=，解得ω=，所以f(x)=sin(x-)+，由2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈Z，可得3kπ-≤x≤3kπ+π，k∈Z，所以函数的单调递增区间为[3kπ-，3kπ+π]k∈Z．故选B．。

三角函数的图象与性质综合练习题一、选择题1．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的函数是()A．y＝2sin(2x＋π3) B．y＝2sin(2x－π6)C．y＝2sin(x2＋π3) D．y＝2sin(2x－π3)2．函数y＝tan(π4－x)的定义域是()A．{x|x≠π4} B．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z}C．{x|x≠－π4} D．{x|x≠kπ＋3π4，k∈Z}3．设函数f(x)＝sin 3x＋|sin 3x|，则f(x)为()A．周期函数，最小正周期为2π3B．周期函数，最小正周期为π3C．周期函数，最小正周期为2πD．非周期函数4．已知函数f(x)＝sin x＋3cos x，设a＝f(π7)，b＝f(π6)，c＝f(π3)，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．c＜a＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a5．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数二、填空题6． 已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________．7．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R)，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．三、解答题9．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，(1)求f (π4)的值；(2)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及相应的x 值．10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8，(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．11．已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin(2x ＋π6)＋2a ＋b ，当x ∈[0，π2]时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f (x ＋π2)且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解析及答案一、选择题1．【解析】 函数的最小正周期为π，排除C.又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2.代入检验知选B.【答案】 B2．【解析】 y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠k π＋3π4，k ∈Z.【答案】 D3．【解析】 f (x )＝sin 3x ＋|sin 3x |＝⎩⎨⎧2sin 3x ，sin 3x ≥0，0，sin 3x ＜0，周期不变． 【答案】 A4．【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π3)＝f (0)， 又f (x )在[0，π6]上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6)，即c ＜a ＜b . 【答案】 B5．【解析】 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z)．∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)．令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z.易知f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．【答案】 A二、填空题6．【解析】 由于|α－β|的最小值为π3，∴函数f (x )的周期T ＝43π，∴ω＝2πT ＝32.【答案】 327．【解析】 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)．由x ∈[0，π2]，得2x －π6∈[－π6，56π]，所以sin(2x －π6)∈[－12，1]，所以f (x )∈[－32，3]．【答案】 [－32，3]8．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．【答案】 ③④三、解答题9．【解】 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(22)2＝1.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12，由x ∈[0，π2]，得2x －π4∈[－π4，3π4]，所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋12.10．【解】 (1)∵直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴， ∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z.又－π＜φ＜0， ∴φ＝－34π. (2)由(1)知f (x )＝sin(2x －34π)，令－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z.因此y ＝f (x )的单调增区间为[π8＋k π，58π＋k π]，k ∈Z.11．【解】(1)由x∈[0，π2]，得2x＋π6∈[π6，7π6]．∴sin(2x＋π6)∈[－12，1]，从而b≤f(x)≤3a＋b.又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5.(2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋π6)－1，∴g(x)＝f(x＋π2)＝－4sin(2x＋7π6)－1＝4sin(2x＋π6)－1，又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin(2x＋π6)－1＞1，∴sin(2x＋π6)＞12，∴2kπ＋π6＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z，其中当2kπ＋π6＜2x＋π6≤2kπ＋π2，k∈Z 时，g(x)单调递增，即kπ＜x≤kπ＋π6，k∈Z，∴g(x)的单调增区间为(kπ，kπ＋π6]，k∈Z.又∵当2kπ＋π2＜2x＋π6＜2kπ＋5π6，k∈Z时，g(x)单调递减，即kπ＋π6＜x＜kπ＋π3，k∈Z.∴g(x)的单调减区间为(kπ＋π6，kπ＋π3)，k∈Z.。

高三理科数学周测十六（三角函数的图像与性质）1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可以为 ( D ) A ．x ＝5π12 B ．x ＝π3 C ．x ＝π6 D ．x ＝π122．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的最大值及最小正周期分别为 ( A ) A ．1，π ，π C．1，π2D ．1,2π 3.函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 是( C ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π的非奇非偶函数4．函数y ＝sin2x ＋sinx －1的值域为(C )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54] 5．对于函数f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( B )A ．f(x)在(π4，π2)上是递增的 B ．f(x)的图像关于原点对称 C ．f(x)的最小正周期为2π D ．f(x)的最大值为26．函数f(x)＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( D )A ．kπ (k ∈Z)B ．kπ＋π6 (k ∈Z)C ．kπ＋π3(k ∈Z)D ．kπ－π3(k ∈Z) 7. 若f (sin x )＝3－cos2x ，则f (cos x )＝（ C ）A 、3－cos2xB 、3－sin2xC 、3＋cos2xD 、3＋sin2x8.函数)25sin()(π-=x x x f 是( B ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数9. 在(,)ππ-内是增函数, 且是奇函数的是( A ) .A. sin 2x y =B. cos 2x y =C. sin 4x y =- D. sin 2y x = 1．函数1sin 2-=x y 的定义域是_______ )](652,62[z k k k ∈++ππππ__________________. 2.函数)0(sin >+=b x b a y 的最大值是23，最小值是21-，则a ＝_____21， __,b =__1_____.3.函数)22cos(π-=x y 的单调递减区间是___________________. 4. 下列函数中，①x x y cos 2+=，②x x y sin 1cos +=，③2tan x y =，④x x y sin 2=.不是偶函数的是____②④________.11．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域． 解：f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ＝－3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x －32＝ sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－32. (1)函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π3≤2x ＋π3≤4π3， ∴－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，2－32.2．已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值。

xO y1 2 3三角函数测试题一、选择题1、函数)32sin(2π+=x y 的图象（ ）A ．关于原点对称B ．关于点(－6π,0)对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 2、函数sin(),2y x x R π=+∈是 （ )A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 3、如图，曲线对应的函数是 ( ） A ．y=｜sin x | B ．y=sin ｜x ｜C ．y=－sin ｜x |D ．y=－|sin x |4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的( ）. A 。

)62sin(+=x y B.sin()26x y π=+ C.sin(2)6y x π=- D.sin(2)3y x π=-5.函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图,则ω，ϕ可以取的一组值是（ )。

A 。

,24ωϕππ== B.,36ωϕππ==C.5,44ωϕππ==D.,44ωϕππ==6。

要得到3sin(2)4y x π=+的图象，只需将x y 2sin 3=的图象（ ）.A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位C 。

向左平移8π个单位 D.向右平移8π个单位7。

设tan()2απ+=，则sin()cos()sin()cos()αααα-π+π-=π+-π+（ ）.A.3 B 。

13C 。

1D 。

1- 8。

A 为三角形ABC 的一个内角，若12sin cos 25A A +=，则这个三角形的形状为（ ）.A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，x x f sin )(=,则5()3f π的值为（ ）.A.21-B.23 C.23-D 。

2110.函数2cos 1y x =+的定义域是( )。