山东省高考数学模拟试卷(理科)(5月份)解析版

山东省2020版高考数学模拟试卷（理科）（5月份）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·运城模拟) 已知，则|z|=（）A . 1B . 3C . 5D . 72. （2分）若集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},则A∩B等于A . {x|0＜x＜1}B . {x|0＜x＜3}C . {x|1＜x＜3}D . ￠3. （2分）已知变量满足则的最小值是（）A . 4B . 3C . 2D . 14. （2分）(2017·武汉模拟) 若（3x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 ，则a1+2a2x+3a3x+4a4+5a5=（）A . 80B . 120C . 180D . 2405. （2分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°6. （2分） (2020高一下·郑州期末) 设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的两位数.将组成a的2个数字按从小到大排成的两位数记为I（a），按从大到小排成的两位数记为D（a）（例如a=75，则I（a）=57，D（a）=75），执行如图所示的程序框图，若输入的a=97，则输出的b=（）A . 45B . 40C . 35D . 307. （2分）(2019·浙江模拟) 已知x，y为实数，则“xy≥0”是|x+y|≥|x-y|的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分且必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分）已知函数是偶函数，那么函数的定义域为（）A .B .C .D .9. （2分）某几何体的三视图（如图所示）均为边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是（）A . 4+4B . 4C . 4+D . 8+410. （2分） (2018高二下·阿拉善左旗期末) 命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（）A . 所有不能被2整除的整数都是偶数B . 所有能被2整除的整数都不是偶数C . 存在一个不能被2整除的整数是偶数D . 存在一个能被2整除的整数不是偶数11. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 将函数y= （sinx+cosx）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，所得函数图象的解析式是（）A . y=cosB . y=sin（）C . y=﹣sin（2x+ ）D . y=sin（2x+ ）12. （2分） (2019高二上·武汉期中) 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上一点，椭圆C内一点Q满足：点Q在的延长线上若，则该椭圆离心率的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·扬州期中) 已知直线l：y= x+4，动圆O：x2+y2=r2（1＜r＜2），菱形ABCD 的一个内角为60°，顶点A，B在直线l上，顶点C，D在圆O上．当r变化时，菱形ABCD的面积S的取值范围是________．14. （1分） (2020高二下·哈尔滨期末) 如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为________.15. （1分）(2020·榆林模拟) 已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，，则此球的表面积等于________.16. （1分） (2018高三上·重庆月考) 已知平面向量，，满足，，，且，则（）的取值范围为________三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分） (2018高二上·沈阳月考) 设正项等比数列的首项，前项和为，．（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求的前项和．18. （10分）(2019·晋城模拟) 甲、乙两个商场同时出售一款西门子冰箱，其中甲商场位于老城区中心，乙商场位于高新区.为了调查购买者的年龄与购买冰箱的商场选择是否具有相关性，研究人员随机抽取了1000名购买此款冰箱的用户作调研，所得结果如表所示：50岁以上50岁以下选择甲商场400250选择乙商场100250附：，其中 .0.1000.0500.0100.0012.7063.841 6.63510.828（1）判断是否有的把握认为购买者的年龄与购买冰箱的商场选择具有相关性；（2）由于乙商场的销售情况未达到预期标准，商场决定给冰箱的购买者开展返利活动具体方案如下：当天卖出的前60台（含60台）冰箱，每台商家返利200元，卖出60台以上，超出60台的部分，每台返利50元.现将返利活动开展后15天内商场冰箱的销售情况统计如图所示：与此同时，老张得知甲商场也在开展返利活动，其日返利额的平均值为11000元，若老张将选择返利较高的商场购买冰箱，请问老张应当去哪个商场购买冰箱19. （10分）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD ，AD∥BC ， AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD ， N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求四面体N－BCM的体积．20. （10分） (2020高二上·林芝期末)（1）点A(-2,4)在以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线上，求抛物线方程；（2）已知双曲线经过点，它渐近线方程为，求双曲线的标准方程.21. （10分） (2018高二下·凯里期末) 已知函数（为自然对数的底数）.（1）讨论函数的单调性；（2）记函数的导函数，当且时，证明： .22. （10分）(2017·黑龙江模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l和圆C的极坐标方程；（2）射线OM：θ=α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值．23. （10分） (2019高三上·湖南月考) 已知函数 .（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，实数满足，，，求证： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

高三年级学习质量评估考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．0.8； 14．a b ，分别取大于0，小于0的整数即可； 15．(1)+∞，； 16．2π小题第一空3分，第二空2分）．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【解析】 （1）由题意知，10021000a =，(20.0750.10.2)21b a ++++⨯=， 所以 0.05a =，0.025b =. ...................................................................................... 4分 4名来自于[1012)，组，有2名来自于[1214]，组， ............. 6分 这2名学生来自不同组”，则 1142268()15C C P A C ⋅==. ....................................................................................... 10分 【方法二】 因为2ab=， 所以 6名学生中有4名来自于[1012)，组，有2名来自于[1214]，组，............. 6分记来自于[1012)，组的4名同学分别为1234x x x x ，，，； 来自于[1214]，组的2名同学分别为12y y ，. 所以 “从这6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示”这一试验的基本事件空间为121314111223242122{()()()()()()()()()Ω=x x x x x x x y x y x x x x x y x y ，，，，，，，，，，，，，，，，，， 343132414212()()()()()()}x x x y x y x y x y y y ，，，，，，，，，，， 即()15n Ω=，记事件A 为：“这2名学生来自不同组”，则1112212231324142{()()()()()()()()}A x y x y x y x y x y x y x y x y =，，，，，，，，，，，，，，，， 即()8n A =， 所以 ()8()()15n A P A n Ω==．..................................................................................... 10分 18．【解析】 （1）证明：【方法一】................................................ 2分 4分 sin sin A C C .......................................... 2分 (sin cos sin cos )sin sin()sin sin sin cA B B A Cc cA B C c C C =⋅+=⋅+=⋅= 所以 cos cos a B b A c +=，证毕. .......................................................................... 4分 【方法三】由AB AC CB =+得，AB AB AC AB CB AB ⋅=⋅+⋅， .......................................... 2分所以 2cos cos c bc A ac B =+，即cos cos a B b A c +=，证毕. ............................. 4分 （2）第一步：求A选①：因为2cos cos c b aB A-=，所以 2cos cos cos c A b A a B =+， 所以 由（1）中所证结论可知，2cos c A c =，即 1cos 2A =， 因为 (0)A ∈π，，所以 3A π=. .................................................................... 8分 选②：因为 cos 2cos cos c A b A a C =-，所以 2cos cos cos b A a C c A =+，由（1）中的证明过程同理可得，cos cos a C c A b +=， 所以 2cos b A b =，即 1cos 2A =， 因为 (0)A ∈π，，所以 3A π=. .................................................................... 8分 选③：因为 cos cos 2cos cos C Ba b c A A-⋅=⋅，所以 2cos cos cos a A b C c B =+， 由（1）中的证明过程同理可得，cos cos b C c B a +=， 所以 2cos a A a =，即 1cos 2A =， 因为 (0)A ∈π，，所以 3A π=. .................................................................... 8分 第二步：求c【方法一】在ABC △中，由余弦定理知，222212cos 2510492a b c bc A c c =+-=+-⋅=， 即 25240c c --=，解得 8c =或3c =-（舍）， 所以 75820a b c ++=++=，即 ABC △的周长为20. ............................................................................... 12分 【方法二】在ABC △中，由正弦定理知，sin sin a bA B =，即 75sin sin 3B =π，所以 52sin 7B =，又a b >，所以 A B >，即B 为锐角，所以 11cos 14B =， 所以 由（1）中所证结论，111cos cos 758142c a B b A =+=⨯+⨯=，所以 75820a b c ++=++=即 ABC △的周长为20. .............................................................................. 12分 【方法三】在ABC △中，由正弦定理知， sin sin a bA B =，即75sin sin 3B =π， 所以52sin 7B == a b >，所以 A B >，即B 为锐角， 所以11cos 14B =， 所以111sin sin()sin cos cos sin 142C A B A B A B =+=+=+=， 又sin sin c a C A =，所以sin 8sin ac C A =⋅==，所以 75820a b c ++=++=， 即 ABC △的周长为20.............................................. 12分19．【解析】 （1）【方法一】延长DG 交BC 于点F ，连接EF ，因为 点G 是BCD △的重心，所以 F 为BC 的中点， 因为 D ，E 分别是棱AB ，BP 的中点， 所以 DF AC ，DEAP ， ................................................................................ 3分又因为 DFDE D =，所以 平面DEF 平面APC ， ................................... 4分又GE ⊂平面DEF ， 所以 GE 平面PAC ． .......................................................................................... 5分【方法二】连接BG 并延长交AC 于F ，连接PF ， 因为 260ABC BAC =∠=∠，所以 90BCA =∠，而D 是AB 的中点， 所以 CD DB BC ==， 即 BCD △是等边三角形， 而点G 是BCD △的重心，所以 GC GB =，所以 在Rt BCF ∆中，G 是BF 的中点， ............................................................... 3分 而E 是BP 的中点， 所以 GEPF ， ..................................................................................................... 4分而GE ⊄平面PAC ，PF ⊂平面PAC ， 所以 GE 平面PAC ． .......................................................................................... 5分（2）【方法一】连接PD ，因为45PAB PBA =∠=∠， 所以 PA PB =，又D 是AB 的中点， 所以 PD AB ⊥，因为 平面PAB ⊥平面ABC ，而平面PAB 平面ABC AB =，PD ⊂平面PAB ， 所以 PD ⊥平面ABC如图，以D 为原点，DB ，DP 所在直线分别为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， .................................................................................... 6分设2PA PB ==，则AB =PD CD =所以 (000)D ，，，(00)B，0)C，0)G，(00P ， 假设存在点E ，设BE BP λ=，(01]λ∈，， 则(020)(022)(02(1)2)DE DB BE DB BP λλλλ=+=+=+=-，，，-，，，， 所以 (0))E λ-， 又62(0)22=，，DC ， 设平面ECD 的法向量为1()n =，，x y z ， 则 11620222(1)20n n λλ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，，DC x y DE y z 令1x =，解得 1(1n =，， ........................................................ 8分又平面CDG ，即平面ABC 的法向量2(001)=，，n ， ........................................ 9分 而二面角E CD G --的大小为30，所以121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==，，即=，解得13λ=， 所以 存在点E ，使二面角E CD G --的大小为30，此时 13BE BP =． .......... 12分 【方法二】过E 作EH AB ⊥于点H ， 因为 平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，EH ⊂平面PAB ，所以 EH ⊥平面ABC ， ......................................................................................... 6分 过H 作HQ DC ⊥于点Q ，连接EQ ，所以 EQH ∠为二面角E CD G --的平面角， .................................................... 7分 设2PA PB ==，则AB =PD DC BC DB ==== 假设存在点E ，且BEBPλ=，(01]λ∈，则EH PD λ==，(1))DH DB λλ=-=-， 则 6sin 60)2HQ DH λ==-，......................................................................... 9分 因为 tan tan 30EHEQH HQ∠==， 所以，解得 13λ=， 所以 存在点E ，使二面角E CD G --的大小为30，此时 13BE BP =． .......... 12分 20．【解析】（1）821a =； ................................................................................................................... 2分21n n n a a a ++=+()n N +∈. ........................................................................................ 5分（2）因为 321a a a =+，432a a a =+，543a a a =+，…202120202019a a a =+，202220212020a a a =+， ................................................................................................ 7分 相加得 342022232021122020()a a a a a a a a a +++=+++++++，所以 202222020a a S -=， ........................................................................................ 10分 所以 20201S m =-． .............................................................................................. 12分 21．【解析】（1）由题意可知2222022a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，，.......................................................................................... 2分解得42a b =⎧⎨=⎩，，所以 椭圆C 的方程为221164x y +=； ....................................................................... 5分（2）【方法一】由（1）可知(40)A -，，(02)B -，，设00()M x y ，，(0)p P y ，，(0)Q Q x ，，因为00()M x y ，在椭圆C 上，所以22004=16x y +， ................................................ 6分由A P M ，，三点共线得：0044p y y x =+， ................................................................ 8分 同理可得：0022Q x x y =+， ...................................................................................... 10分 所以||||42Q P AQ BP x y ⋅=+⋅+ 00000024824842x y x y x y ++++=⋅++22000000004(4164816)(4)(2)x y x y x y x y +++++=++16=，所以 ||||AQ BP ⋅为定值16．. .............................................................................. 12分 【方法二】由（1）可知(40)A -，，(02)B -，，设(0)(0)p Q P y Q x ，，，，(4cos 2sin )M θθ，， ................................................................................................................................. 6分 由A P M ，，三点共线得：8sin 4cos 4p y θθ=+， ......................................................... 8分同理可得：8cos 2sin 2Q x θθ=+， ................................................................................ 10分所以||||42Q P AQ BP x y ⋅=+⋅+8sin 8cos 88sin 8cos 84cos 42sin 2θθθθθθ++++=⋅++28(sin cos 1)(cos 1)(sin 1)θθθθ++=+⋅+16=，所以 ||||AQ BP ⋅为定值16． ............................................................................... 12分 【方法三】直线AM 斜率显然存在，（i ）当直线AM 的斜率为0时，(00)(40)P Q ，，，，则||||16AQ BP ⋅=， ........ 6分 （ii ）当直线AM 的斜率不为0时，设AM 的方程为：4(0)x my m =-≠，则4(0)P m，， ............................................ 8分设00()M x y ，，(0)Q Q x ，， 由2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得22(4)80m y my +-=，所以 0284my m =+，则 200241644m x my m -=-=+，①00x =时，||||16AQ BP ⋅=，②00x ≠时，因为(02)B -，，所以直线BM 的方程为：0022y y x x +=-， 令0y =，可得0024822Q x m x y m -==++， ................................................................. 10分 所以||||42Q P AQ BP x y ⋅=+⋅+48482(2)(4)(2)1622m m m m m m m-+=++=⋅=++，综上，||||AQ BP ⋅为定值16．. .............................................................................. 12分 22．【解析】（1）函数的定义域为(0)+∞，，1ln ()e axa x x f x -'=， 令1()ln g x a x x=-， ①若0a =，则()0f x '>，()f x 在(0)+∞，上单调递增，不合题意； ②若0a <，21()ax g x x +'=-，令()0g x '=，得10x a =->， 所以 ()g x 在1(0)a -，上单调递减，在1(+)a -∞，上单调递增，111()ln()(1ln())g a a a a a a -=---=-+-，（i ）若11ln()0a+-，即e0a -<时，1()ln 0g x a x x=-，()0f x '，()f x 在(0)+∞，上单调递增，不合题意；（ii ）若11ln()0a +-<，即e a <-时，1()0g a -<，(1)10g =>，因为 11()ln 2)g x a x ax x =->=+，则21()04g a>，所以 ()g x 在(0)+∞，上有两个变号零点， 所以 ()f x 有两个极值点，不合题意； ③若0a >，21()0ax g x x +'=-<，则()g x 在(0)+∞，上单调递减； 且11(1)10(e )e10aag g --=>=-<，，存在唯一10(1e )ax -∈，，使0()0g x =当0(0)x x ∈，时，()0g x >，()0f x '>， 当0(+)x x ∈∞，时，()0g x <，()0f x '<， 所以 0x 是()f x 的唯一极值点，符合题意；综上 a 的取值范围是(0)+∞，. ......................................................................... 6分（2）【方法一】由（1）可知，01x >，因为 1020x x x x >>，，所以 1212ln()0ln()0ln()0x x x x >>+>，，， ................. 7分 由（1）可知 函数()f x 在0()x +∞，上单调递减， 所以 112212()()()()f x f x x f x f x x >+>+，，即()()112212121212()()ln ln ln ln e e e e ax a x x ax a x x x x x x x x ++++>>，， .......................................................... 9分 所以 ()12121212()ln ln +ln e +e eax ax a x x x x x x ++>， 即 ()121212()12ln +ln e +e ln e ax ax a x x x x x x +>+， 即()121212ln e e ln ax ax x x x x -->++，所以 1212()12log ()e e ax ax x x x x --+>+，证毕. ............................................................ 12分 【方法二】要证 1212()12log ()e e ax ax x x x x --+>+， 只需证()121212ln e e ln ax ax x x x x -->++，即证 ()121212()12ln +ln e +e ln e ax ax a x x x x x x +>+， 由（1）可知，01x >，因为 1020x x x x >>，，所以 1212ln()0ln()0ln()0x x x x >>+>，，， 所以 只需证()12121212()ln ln +ln e +e e ax ax a x x x x x x ++>， 由（1）可知 函数()f x 在0()x +∞，上单调递减， 所以 112212()()()()f x f x x f x f x x >+>+，， 即()()112212121212()()ln ln ln ln e e e e ax a x x ax a x x x x x x x x ++++>>，， 所以 ()12121212()ln ln +ln e +e e ax ax a x x x x x x ++>， 所以 原不等式成立． ............................................................................................ 12分。

2021年山东省威海市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（2﹣i）2•z=1，则z的虚部为（）A ．B ．C ．D ．2．已知集合A={x|x2=a}，B={﹣1，0，1}，则a=1是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设单位向量的夹角为120°，，则|=（）A．3 B ．C．7 D ．4．已知等差数列{a n}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=205．双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（）A ．B ．C ．D ．6．已知x，y 满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．2 B ．C．4 D ．7．周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2022）+f（2021）=（）A．0 B．1 C．2 D．38．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n．A．②③ B．③C．②④ D．③④9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC 的面积为，则C=（）A ．B ．C ．D ．10．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（0，+∞）单调递增B．f（x）在（0，+∞）单调递减C．f（x）在（0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞）上有微小值二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为．12．右面的程序框图输出的S的值为．13．已知x＞0，y＞0且x+y=2，则++的最小值为．14．若f（x）+∫01f（x）dx=x，则．15．函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x ）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x ）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g （x ）的图象，当时，求函数g（x）的值域．17．一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别A B C数量432同一类轿车完全相同，现预备提取一部分车去参与车展．（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a ，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．18．已知{a n}是各项都为正数的数列，其前 n项和为 S n，且S n为a n与的等差中项．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设，求{b n}的前n项和T n．19．如图：是直径为2的半圆，O为圆心，C是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，BF=2，E为FD的中点，Q为BE 的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅱ）求平面BCF与平面BDF所成二面角的余弦值．20．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的微小值；（Ⅲ）若存在实数a使f（x）在区间（）（n∈N*，且n＞1）上有两个不同的极值点，求n的最小值．21．如图，过原点O的直线l1，l2分别与x轴，y轴成30°的角，点P（m，n）在l1上运动，点Q（p，q）在l2上运动，且．（Ⅰ）求动点M（m，p）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设A，B是轨迹C上不同两点，且，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）推断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由．2021年山东省威海市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足（2﹣i）2•z=1，则z的虚部为（）A ．B ．C ．D ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：∵（2﹣i）2=3﹣4i，∴==，∴z 的虚部为，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．2．已知集合A={x|x2=a}，B={﹣1，0，1}，则a=1是A⊆B的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的推断．专题：简易规律．分析：当a=1时，集合A={1，﹣1}，满足A⊆B．反之不成立：例如a=0，A={0}⊆B．解答：解：当a=1时，集合A满足：x2=1，解得x=±1，∴集合A={1，﹣1}，∴A⊆B．反之不成立：例如a=0，A={0}⊆B．因此a=1是A⊆B的充分不必要条件．故选：A．点评：本题考查了集合的性质、简易规律的判定方法，考查了推理力量与计算力量，属于基础题．3．设单位向量的夹角为120°，，则|=（）A．3 B ．C．7 D ．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面对量及应用．分析：把已知数据代入向量的模长公式计算可得．解答：解：∵单位向量的夹角为120°，，∴|=====故选：D点评：本题考查向量的夹角和模长公式，属基础题．4．已知等差数列{a n}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是（）A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项的性质，可得结论．解答：解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确；a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；a6+a10≠a16，即C错误a4+a12=a6+a10=20，即D正确．故选：C．点评：本题考查等差数列的通项的性质，考查同学的计算力量，正确运用等差数列的通项的性质是关键．5．双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为（）A ．B ．C ．D ．考点：双曲线的简洁性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的一条渐近线方程，一个顶点坐标，然后求解所求即可．解答：解：双曲线=1的顶点（），渐近线方程为：y=，双曲线=1的顶点到其渐近线的距离为：=．故选：B．点评：本题考查双曲线的简洁性质的应用，点到直线的距离个数的应用，考查计算力量．6．已知x，y 满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．2 B ．C．4 D ．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：依据约束条件画图，推断当直线与圆相切时，取最大值，运用直线与圆的位置关系，留意圆心，半径的运用得出≤2．解答：解：∵x，y 满足约束条件，∴依据阴影部分可得出当直线与圆相切时，取最大值，y=﹣2x+k，≤2，即k所以最大值为2，故选：D点评：本题考查了运用线性规划问题，数形结合的思想求解二元式子的最值问题，关键是确定目标函数，画图．7．周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2022）+f（2021）=（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．解答：解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，所以f（2022）+f（2021）=f（2022+2）+f（2022﹣1）=f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1．故选：B．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算力量．8．已知m，n，l是不同的直线，α，β是不同的平面，以下命题正确的是（）①若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，则l⊥n；③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m⊥n．A．②③ B．③C．②④ D．③④考点：命题的真假推断与应用．专题：空间位置关系与距离；简易规律．分析：①由已知利用面面平行的判定定理可得：α∥β或相交，即可推断出正误；②利用面面平行的性质、线线垂直的性质可得：l与n不肯定垂直，即可推断出正误；③利用线面垂直的性质、面面平行的性质可得：m∥n，即可推断出正误；④由已知可得m∥n、相交或异面直线，即可推断出正误．解答：解：①若m∥n，m⊂α，n⊂β，不满足平面平行的判定定理，因此α∥β或相交，不正确；②若m⊂α，n⊂β，α∥β，l⊥m，若l⊂m，则可能l∥n，因此不正确；③若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β，∴m∥n，正确；④若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n、相交或异面直线，因此不正确．综上只有：③正确．故选：③．点评：本题考查了空间线线、线面、面面位置关系及其判定、简易规律的判定方法，考查了推理力量，属于中档题．9．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c2=（a﹣b）2+6，△ABC 的面积为，则C=（）A ．B ．C ．D ．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知和余弦定理可得ab及cosC的方程，再由面积公式可得ab和sinC的方程，由同角三角函数基本关系可解cosC，可得角C解答：解：由题意可得c2=（a﹣b）2+6=a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，两式联立可得ab（1﹣cosC）=3，再由面积公式可得S=absinC=，∴ab=，代入ab（1﹣cosC）=3可得sinC=（1﹣cosC），再由sin2C+cos2C=1可得3（1﹣cosC）2+cos2C=1，解得cosC=，或cosC=1（舍去），∵C∈（0，π），∴C=，故选：A．点评：本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题．10．设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x2f′（x）+xf（x）=lnx，f（e）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）在（0，+∞）单调递增B．f（x）在（0，+∞）单调递减C．f（x）在（0，+∞）上有极大值 D．f（x）在（0，+∞）上有微小值考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数争辩函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：第一步：在x2f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x，使得左边为[xf（x）]'；其次步：令g（x）=xf（x），用g（x）表示f（x），并写出f'（x）；第三步：对f'（x）的分子再求导，从而求出分子的最大值；第四步：推断f'（x）的符号，即可推断f（x）的单调性．解答：解：由x2f′（x）+xf（x）=lnx，得xf′（x）+f（x）=，从而[xf（x）]'=，令g（x）=xf（x），则f（x）=，∴=，令h（x）=lnx﹣g（x），则h'（x）=（x＞0），令h'（x）＞0，即1﹣lnx＞0，得0＜x＜e时，h（x）为增函数；令h'（x）＜0，即1﹣lnx＜0，得x＞e时，h（x）为减函数；由f（e）=，得g（e）=ef（e）=1．∴h（x）在（0，+∞）上有极大值h（e）=lne﹣g（e）=1﹣1=0，也是最大值，∴h（x）≤0，即f'（x）≤0，当且仅当x=e时，f'（x）=0，∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．故选：B．点评：本题考查了函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，难度较大．“在x2f′（x）+xf（x）=lnx两边同时除以x”是解题的突破口，“求h（x）的极大值”是关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为4800 ．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：求出抽样比，然后求解即可．解答：解：样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，可得抽样比为：=，该批次产品总数为：=4800．故答案为：4800；点评：本题考查分层抽样的应用，就抽样比的解题的关键．12．右面的程序框图输出的S的值为．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=5时不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值为：．解答：解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=0满足条件n≤4，S=1，n=2满足条件n≤4，S=，n=3满足条件n≤4，S=，n=4满足条件n≤4，S=，n=5不满足条件n≤4，退出循环，输出S的值为：．故答案为：；点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题．13．已知x＞0，y＞0且x+y=2，则++的最小值为 3 ．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题；不等式．分析：由基本不等式可得，然后对已知式子进行求解即可解答：解：∵x＞0，y＞0且x+y=2∴=1（当且仅当x=y=1时取等号）则++==3（当且仅当x=y时取等号）即++的最小值3故答案为：3点评：本题主要考查基本不等式在求解最值中的应用，解题时要留意等号成立条件的检验14．若f（x）+∫01f（x）dx=x，则．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：对已知等式两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．解答：解：对f（x）+∫01f（x）dx=x两边求导，得到f'（x）=1，所以设f（x）=x+c，由已知x+c+（x2+cx）|=x，解得c=﹣，所以=（）|=；故答案为：．点评：本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是利用求导求出f（x）．15．函数f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为 2 ．考点：根的存在性及根的个数推断．专题：函数的性质及应用．分析：构造函数设g（x）=|x2﹣2x+|，k（x）=x﹣1，画出图象，运用图象的交点得出有关函数的零点个数．解答：解：设g（x）=|x2﹣2x+|，k（x）=x﹣1，依据图象得出g（x）与k（x）有2个交点，∴f（x）=|x2﹣2x+|﹣x+1的零点个数为2故答案为：2；点评：本题考查了函数交点问题与函数的零点的问题的关系，数学结合的思想的运用，属于中档题，关键是构造函数，画出图象．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（Ⅱ）由题意依据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用定义域和值域，求得函数g（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由题意可得sin2ωx﹣2cos2ωx+1=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx ﹣），由题意知，，∴ω=1，∴．由，解得：，∴f（x ）的单调增区间为．（Ⅱ）由题意，把f（x ）的图象向左平移个单位，得到，再纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到，∵，∴，∴，函数g（x）的值域为．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于基础题．17．一汽车4S店新进A，B，C三类轿车，每类轿车的数量如下表：类别A B C数量432同一类轿车完全相同，现预备提取一部分车去参与车展．（Ⅰ）从店中一次随机提取2辆车，求提取的两辆车为同一类型车的概率；（Ⅱ）若一次性提取4辆车，其中A，B，C三种型号的车辆数分别记为a，b，c，记ξ为a，b，c的最大值，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，直接利用古典概型求解即可．（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设提取的两辆车为同一类型的概率为P，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）随机变量ξ的取值为2，3，4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴，∴，∴，∴其分布列为：ξ 2 3 4p﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）数学期望为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，古典概型的概率的求法，考查计算力量．18．已知{a n}是各项都为正数的数列，其前 n项和为 S n，且S n为a n与的等差中项．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅲ）设，求{b n}的前n项和T n．考点：数列的求和；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用已知条件化简出，即可说明是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅱ）求出，通过a n=S n﹣S n﹣1（n≥2求出通项公式．（Ⅲ）化简，当n为奇数时，当n为偶数时，分别求出前n项和即可．解答：（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意知，即，①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当n=1时，由①式可得S1=1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又n≥2时，有a n=S n﹣S n﹣1，代入①式得整理得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴是首项为1，公差为1的等差数列．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∵{a n}是各项都为正数，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴（n≥2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）又，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当n 为奇数时，当n 为偶数时，∴{b n}的前n 项和．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查分析问题解决问题的力量．19．如图：是直径为2的半圆，O为圆心，C 是上一点，且．DF⊥CD，且DF=2，BF=2，E为FD的中点，Q为BE的中点，R为FC上一点，且FR=3RC．（Ⅰ）求证：QR∥平面BCD；（Ⅱ）求平面BCF与平面BDF所成二面角的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD，证明RM∥FD，然后利用直线余平米平行的判定定理证明QR∥平面BCD．（Ⅱ）以O为原点，OD为y轴建立如图空间直角坐标系，求出平面BCF的法向量，面BDF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的大小即可．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接OQ，在面CFD内过R做RM⊥CD∵O，Q为中点，∴OQ∥DF ，且﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵DF⊥CD∴RM∥FD，又FR=3RC ，∴，∴∵E为FD 的中点，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴OQ∥RM，且OQ=RM∴OQRM为平行四边形，∵RQ∥OM又RQ⊄平面BCD，OM⊂平面BCD，∴QR∥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）∵DF=2，，，∴BF2=BD2+DF2，∴BD⊥DF，又DF⊥CD，∴DF⊥平面BCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）以O为原点，OD为y轴建立如图空间直角坐标系∵，∴∠DBC=30°，∴在直角三角形BCD 中有∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴，设平面BCF 的法向量为，∴，令y=1，则，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）面BDF 的一个法向量为则∴平面BDF与平面BCF 所成二面角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）说明：此题也可用传统的方法求解，第一问也可用向量法证明．点评：本题列出直线与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象力量以及计算力量．20．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（Ⅰ）若f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若a=2，求函数f（x）的微小值；（Ⅲ）若存在实数a使f（x ）在区间（）（n∈N*，且n＞1）上有两个不同的极值点，求n的最小值．考点：利用导数争辩函数的极值；利用导数争辩函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，利用f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立，得到a的表达式，利用函数的最小值求出a的范围．（Ⅱ）通过a=2，化简函数的解析式，求出函数的导数，利用导数的符号，推断函数的单调性，求出微小值．（Ⅲ）推断aln2x+lnx﹣1=0在上有两个不等实根，法一：构造函数，推出，求出n 的最小值．法二：利用，推出a 的表达式，列出然后求解n的最小值．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ），由题意可得f′（x）≤0在x∈（1，+∞）上恒成立；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵x∈（1，+∞），∴lnx∈（0，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴时函数t=的最小值为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）当a=2时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得或lnx=﹣1（舍），即﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0∴f（x ）的微小值为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）原题等价于f′（x）=0在，且n＞1）上有两个不等的实数根；由题意可知﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）即aln2x+lnx﹣1=0在上有两个不等实根．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）法一：令，g（u）=au2+u﹣1∵g（0）=﹣1＜0，依据图象可知：，整理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）即，解得n＞2，∴n的最小值为3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）法二：令，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）由题意可知解得解得n＞2，∴n的最小值为3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查函数的单调性以及函数的极值，构造法的应用，考查转化思想以及计算力量．21．如图，过原点O的直线l1，l2分别与x轴，y轴成30°的角，点P（m，n）在l1上运动，点Q（p，q）在l2上运动，且．（Ⅰ）求动点M（m，p）的轨迹C的方程；（Ⅱ）设A，B是轨迹C 上不同两点，且，（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ）推断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，不是请说明理由．考点：轨迹方程；平面对量数量积的运算．专题：向量与圆锥曲线．分析：（Ⅰ）由题意得到直线l1，l2的方程，进一步得到P，Q 的坐标，由列式求得动点M（m，p）的轨迹C的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设出A，B的坐标，当直线l 的斜率不存在时，由得，当直线l的斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求得；（ⅱ）当直线l的斜率不存在时直接求△OAB的面积，斜率存在时，由三角形面积公式结合m2=1+3k2求面积．解答：解：（Ⅰ）由题意知，∴，由，得，整理得．∴动点M的轨迹C 的方程；（Ⅱ）（ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）所在直线为l，当l斜率不存在时，则A（x1，y1），B（x1，﹣y1），∴，由，又，∴，∴；当l斜率存在时，设l方程y=kx+m，联立，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0∴△=36k2m2﹣12（3k2+1）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0…①且．由，得x1x2=﹣3y1y2=﹣3（kx1+m）（kx2+m），得：．整理得m2=1+3k2…②∴，由①，②得m2=1+3k2≥1，∴，则．∵，∴．综上：且．（ⅱ）由（ⅰ）知，l 斜率不存在时，，当l斜率存在时，=将m2=1+3k2带入整理得．∴△OAB的面积为定值．点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，训练了平面对量在求解圆锥曲线问题中的应用，涉及直线和圆锥曲线的关系问题，长接受联立直线方程和圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求解，特点是入手易但计算量大，要求考生具有较强的运算力量，是压轴题．。

2020年山东省济南市高考数学模拟试卷2（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|x<0}，集合B={x|(x+1)(x−2)<0}，则A∪B等于()A. (−1,0)B. (−∞,2)C. (−1,2)D. (−∞,0)2.已知复数z=(1+i)(2−i)，则|z|=()A. √2B. √10C. 3√2D. 23.已知抛物线y=x2的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，若|AB|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为()A. 34B. 1 C. 54D. 744.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图(其中同比是今年第n个月与去年第n个月之比)，则下列说法错误的是()A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5.已知sin(π2−α)=14，则cos2α的值是()A. 78B. −78C. 89D. −896.圆具有优美的对称性，以圆为主体元素构造的优美图案在工艺美术、陶瓷、剪纸等上有着广泛的应用，如图1，图2，图3，图4，其中图4中的3个阴影三角形的边长均为圆的半径，记图4中的阴影部分区域为M，现随机往图4的圆内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是()A. √34πB. 3√34πC. √2πD. √3π7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 7π6B. 4π5C. 2πD. 13π68.函数f(x)=6|sinx|−x2√1+x2的图象大致为()A.B.C.D.9.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”该问题可用如图所示的程序框图来求解，若最终输出x=0，则一开始输入x的值为()A. 34B. 78C. 1516D. 410.函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个极大值点，则ω的取值范围为()A. [2π,4π]B. [2π,9π2) C. [13π6,25π6) D. [2π,25π6)11.已知圆x2+y2=R2过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F，且与双曲线在第一，三象限的交点分别为M，N，若∠MNF=π12时，则该双曲线的渐近线方程为()A. y=±√33x B. y=±√3x C. y=±x D. y=±2x12.设函数f(x)=2xe x+2mx−3m，对任意正实数x，f(x)≥0恒成立，则m的取值范围为()A. [0,1]B. [0,e3] C. [0,2e] D. [0,4e2]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x,y满足，则yx的取值范围为_________．14.(x−2y)(x+y)8的展开式中，x2y7的系数为______ .(用数字作答)15.设向量|a→+b→|=√20，a→·b→=4，则|a→−b→|=________．16.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中AB=2，CC1=2√2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BDE的距离为____．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和S n=n2，(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{a n+3a n}的前项和T n．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥AD，PA=2AD，AD//BC，DB=DC，AD=2，BC=6，∠ABC=60°．(Ⅰ)求证：PD⊥BC；(Ⅱ)求二面角D−PA−B的余弦值；(Ⅲ)求证：AB⊥平面PCD．19. 中华龙鸟是生存于距今约1.4亿年的早白垩世现已灭绝的动物，在一次考古活动中，考古学家发现了中华龙鸟的化石标本共5个，考古学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度，得到如下表的数据：股骨长度x/cm 38 56 59 64 73 肱骨长度y/cm 41 63 70 72 84若由资料可知肱骨长度y 与股骨长度x 呈线性相关关系． (1)求y 与x 的线性回归方程y =b ̂x +a ̂(a ̂,b̂精确到0.01)； (2)若某个中华龙鸟的化石只保留有股骨，现测得其长度为37cm ，根据(1)的结论推测该中华龙鸟的肱骨长度(精确到1cm)． (参考公式和数据：b =∑x i n i=1y i −nx .⋅y.∑x i 2n i=1−nx2，a =y .−b ̂x .，∑x i 5i=1y i =19956，∑x 5i=1 i 2=17486)20. 已知点P 为圆x 2+y 2=4上一动点，轴于点Q ，若动点M 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ)求动点M 的轨迹E 的方程；(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 1，l 2分别交曲线E 于点A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2， 证明：1|AC|+1|BD|为定值．21. 已知函数f(x)=alnx −e x ；(1)讨论f(x)的极值点的个数； (2)若a =2，求证：f(x)<0．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为{x =4t 2,y =4t(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ2+4ρsinθ+3=0． (1)求曲线M 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若直线l 过圆心C 且与曲线M 交于A ，B 两点，求1|CA|+1|CB|的最大值．23.已知函数f(x)=2|x+1|−|x−a|，a∈R．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)<0的解集；(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)<x有实数解，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：B ={x|(x +1)(x −2)<0}，即B ={x|−1<x <2}， 又A ={x|x <0}， ∴A ∪B =(−∞,2)， 故选：B ．本题主要考查集合的并集，是基础题． 解出集合B ，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：B解析：解：复数z =(1+i)(2−i)=3+i ， 则|z|=2+12=√10． 故选：B ．利用复数模的计算公式即可得出．本题考查了复数模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：C解析： 【分析】本题考查抛物线的定义和方程，属于基础题．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可求出y 1+y 2，然后得到AB 的中点纵坐标即可得解． 【解答】解：∵F 是抛物线y =x 2的焦点F(0,14)准线方程y =−14， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴|AB|=|AF|+|BF|=y 1+14+y 2+14=3，解得y 1+y 2=52，∴线段AB 的中点纵坐标为54， ∴线段AB 的中点到x 轴的距离为54． 故选C ．解析：解：由图易知A ，B 正确，由数量同比折线图可知，除6月和10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C 正确， 由2018年1月−5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，故D 错误， 故选：D ．先阅读题意，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解． 本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．5.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式，属于基础题．由已知利用诱导公式可求cosα得值，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算求值得解． 【解答】解：∵sin(π2−α)=14， ∴cosα=14，∴cos2α=2cos 2α−1=2×(14)2−1=−78．故选：B ．6.答案：B解析： 【分析】本题考查几何概型概率的求法，关键是明确测度比为面积比，属于基础题．设圆内每一个小正三角形的边长为r ，求出三个正三角形的面积及圆的面积，由面积比得答案． 【解答】解：设圆内每一个小正三角形的边长为r ， 则一个三角形的面积为12×r ×√32r =√34r 2，∴阴影部分的面积为3√34r 2， 又圆的面积为πr 2， ∴点A 落在区域M 内的概率是3√34r 2πr 2=3√34π．7.答案：A解析：解：根据几何体得三视图转换为几何体为：左边为一个底面半径为1，高为2的半圆柱，右边是一个底面半径为1，高为1的半圆锥．故：V=12⋅π⋅12⋅2+13⋅12⋅π⋅12⋅1=π+π6=7π6．故选：A．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象和性质，利用特殊值法即可求解．【解答】解：易知函数f(x)为偶函数，故排除C．，故排除B．，故排除D．故选A．9.答案：B解析：【分析】此题考查程序框图的循环结构的应用，关键是模拟循环过程．【解答】解：当i=1，x=2x−1，i=2；满足循环条件，x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3；满足循环条件，x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4；不满足循环条件，输出8x−7=0，解得x=78．故选B．10.答案：C解析： 【分析】本题考查三角函数的性质的应用，根据题意得{ω+π3<9π2ω+π3≥5π2，解不等式组即可求得结果．【解答】解：当x ∈[0,1]时，ωx +π3∈[π3,ω+π3]， 因为函数的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则{ω+π3<9π2ω+π3≥5π2， 解得13π6≤ω<25π6．故选C ．11.答案：C解析：解：由对称性可得MN 过原点O ，可得 MF ⊥NF ，即有tan∠MNF =|MF||NF|=tan π12=2−√3，由双曲线的定义可得|NF|−|MF|=|MF′|−|MF|=2a ， 解得|MF|=(√3−1)a ，|NF|=(√3+1)a ， 在直角三角形MFF′中，由勾股定理可得， 4c 2=(√3−1)2a 2+(√3+1)2a 2， 即为c 2=2a 2，即有b 2=c 2−a 2=a 2， 则双曲线的渐近线方程为y =±ba x ， 即y =±x ． 故选：C ．由对称性可得MN 过原点O ，可得MF ⊥NF ，运用正切函数的定义和双曲线的定义，求得MF ，NF ，再由勾股定理和渐近线方程即可得到所求．本题考查双曲线的渐近线方程求法，注意运用双曲线的定义和对称性，以及直径所对的圆周角为直角，正切函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．12.答案：C解析： 【分析】本题考查了导数的几何意义和不等式的恒成立问题．由f(x)≥0等价于2x 2e x ≥3m(x −23)，令y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)，如图，满足题意时，y 1=2x 2e x 的图象在y 2=3m(x −23)的上方，求出相切时m 的值，结合图象即可得出结果． 【解答】解：由f(x)≥0等价于2x 2e x ≥3m(x −23)， 令y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)，则y 1′=2xe x (x +2)，令y 1′=0可得x 1=0,x 2=−2， 绘制y 1=2x 2e x ,y 2=3m(x −23)的图象，如图，满足题意时，y 1=2x 2e x 的图象在y 2=3m(x −23)的上方， 设y 1=2x 2e x 与y 2=3m(x −23)相切，切点坐标为P(x 0,y 0),(x 0>0)， 则{y 0=3m(x 0−23)y 0=2x 02e x 02x 0e x 0(x 0+2)=3m，解得x 0=1，m =2e ，结合函数图象可得m ∈[0,2e]． 故选C ．13.答案：[211 ,2]解析： 【分析】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题． 由约束条件作出可行域，再由yx 的几何意义，即可行域内的动点与定点O 连线的斜率求解． 【解答】解：由实数x ，y 满足{ x −y −3≤0 x +2y −5≥0y −2≤0，作出可行域如图：由{ y =2 x +2y −5=0，解得A(1,2)， 由{ x −y −3=0 x +2y −5=0，解得B(113, 23)， y x的几何意义为可行域内的动点与原点O 连线的斜率，∴k OA =2，k OB = 211 ， ∴则yx 的取值范围是[211 ,2]．故答案为[211 ,2]．14.答案：−48解析：解：当因式x −2y 取x ，则二项式(x +y)8则取xy 7，此时系数为C 87=8； 当因式x −2y 取−2y ，则二项式(x +y)8则取x 2y 6，此时系数为−2C 86=−2C 82=−56；所以(x −2y)(x +y)8的展开式中，x 2y 7的系数为8−56=−48； 故答案为：−48．根据x 2y 7的来由分析两种可能，结合二项展开式求系数． 本题考查了二项式定理的运用；关键是明确所求项的由来．15.答案：2解析： 【分析】本题利用向量模长的平方等于向量的平方可求出a →2+b →2，带入化简即可． 【解答】解：∵|a →+b →|=√20,a →·b →=4∴a →2+b →2=20−2a →·b →=12∴|a →−b →|=√|a →−b →|2=√a →2+b →2−2a →·b →=√12−8=2 故答案为2．16.答案：1解析： 【分析】本题考查空间直线到平面的距离，属于中档题．先利用线面平行的判定定理证明直线C 1A//平面BDE ，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可． 【解答】解：如图：连接AC ，交BD 于O ，在三角形CC 1A 中，OE//C 1A ， ∵OE ⊂平面BDE ， C 1A ⊄平面BDE ∴C 1A//平面BDE ，∴直线AC 1与平面BED 的距离即为点A 到平面BED 的距离， 设为h ，在三棱锥E −ABD 中，V E−ABD =13S △ABD ·CE=13×12×2×2×√2=2√23，在三棱锥A −BDE 中，BD =2√2，BE =√6，DE =√6， ∴S △DEB =12×2√2×√6−2=2√2，∴V A−BDE =13S △EBD ·ℎ=13×ℎ×2√2=2√23，∴ℎ=1． 故答案为1．17.答案：解：(1)∵数列{a n }的前项和S n =n 2，∴n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1， n =1时，a 1=S 1=1，满足上式， ∴a n =2n −1，n ∈N ∗． (2)∵a n +3a n =2n −1+32n−1，∴T n =S n +3·1−9n1−9=32n+1−3+8n 28．解析：(1)利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2，能求出a n =2n −1，n ∈N ∗．(2)a n +3 a n =2n −1+32n−1，由此利用分组求和法能求出数列{a n +3 a n }的前项和T n ． 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．18.答案：证明：(Ⅰ)∵在四棱锥P −ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PD ⊥AD ， ∴PD ⊥平面ABCD ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC ．解：(Ⅱ)取BC 中点E ，连结DE ，则DE ⊥AD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，平面PAD 的法向量n⃗ =(0,1，0)， A(2,0，0)，B(3,√3,0)，P(0,0，2√3)， PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−2√3)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3,−2√3)， 设平面PAB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x +√3y −2√3z =0，设z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)， 设二面角D −PA −B 的平面角为θ， 则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√5=√55，由图可知θ为钝角， ∴二面角D −PA −B 的余弦值为−√55．证明：(Ⅲ)C(−3，√3，0)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，−2√3)， PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,√3,−2√3)， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，∵PD ∩PC =P ，PD ，PC ⊂平面PCD ， ∴AB ⊥平面PCD ．解析：(Ⅰ)由平面PAD ⊥平面ABCD ，PD ⊥AD ，得PD ⊥平面ABCD ，由此能证明PD ⊥BC ． (Ⅱ)取BC 中点E ，连结DE ，则DE ⊥AD ，以D 为原点，DA 为x 轴，DE 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明二面角D −PA −B 的余弦值．(Ⅲ)推导出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，从而AB ⊥PD ，AB ⊥PC ，由此能证明AB ⊥平面PCD ． 本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：(1)x .=15(38+56+59+64+73)=58，y .=15(41+63+70+72+84)=66，∴b ∧=19956−5×58×6617486−5×582=1.23，a ∧=66−1.23×58=−5.34．∴y 与x 的线性回归方程是y =1.23x −5.34． (2)当x =37时，y =1.23×37−5.34≈40． ∴此中华龙鸟的肱骨长度约为40cm ．解析：(1)求出x .,y .，代入回归系数公式解出b ∧，a ∧，得到回归方程； (2)把x =37代入回归方程求出y 即为肱骨长度的估计值． 本题考查了线性回归方程的求法和数值估计，属于基础题．20.答案：解：(Ⅰ)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，则Q(x 0,0)，所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,y 0)，OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0,0)， 由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{x =√32x 0+2−√32x 0y =√32y 0,即x 0=x,y 0=√3，因为x 02+y 02=4，代入整理得x 24+y 23=1，即为M 的轨迹为椭圆x 24+y 23=1；(Ⅱ)证明：当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC|+1|BD|=13+14=712， 当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，AC 的方程为y =k(x +1)，代入椭圆方程x 24+y 23=1，并化简得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，设A(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2−123+4k 2，|AC|=√1+k 2|x 1−x 2|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=12(1+k 2)3+4k 2因为直线BD 的斜率为−1k ，所以|BD|=12[1+(−1k )2]3+4(−1k)2=12(1+k 2)4+3k 2，所以1|AC|+1|BD|=3+4k 212(1+k 2)+4+3k 212(1+k 2)=712，综上，1|AC|+1|BD|=712，是定值．解析：本题考查了圆锥曲线中的轨迹问题，以及圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．(Ⅰ)通过设点，借助OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +2−√32OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到x 0=x,y 0=2√3y ，运用相关点法求解即可； (Ⅱ)直线和椭圆联立方程组，得到(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，借助根与系数的关系，由弦长公式求得|AC |=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=12(1+k 2)3+4k 2，|BD|=12[1+(−1k )2]3+4(−1k)2=12(1+k 2)4+3k 2，进而证明即可．21.答案：(1)解：根据题意可得，f′(x)=ax −e x =a−xe xx(x >0)，当a ≤0时，f ′(x)<0，函数y =f(x)是减函数，无极值点； 当a >0时，令f ′(x)=0，得a −xe x =0，即xe x =a ， 易知y =xe x 在(0,+∞)上单调递增，所以a =xe x 在(0,+∞)上存在一解，不妨设为x 0，所以函数y =f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减； 所以函数y =f(x)有一个极大值点，无极小值点． 综上所述，当a ≤0时，f(x)无极值点；当a >0时，函数y =f(x)有一个极大值点，无极小值点； (2)证明：a =2时，f(x)=2lnx −e x ，f ′(x)=2−xe xx(x >0)，由(1)可知f(x)有极大值f(x 0)，且x 0满足x 0e x 0=2①，又y =xe x 在(0,+∞)上是增函数，且0<2<e ，所以x 0∈(0,1)， 又知：；由①可得e x 0=2x 0，代入②得，令g(x)=2lnx −2x ，则g ′(x)=2x +2x =2(x+1)x >0恒成立，所以g(x)在(0,1)上是增函数，所以g(x 0)<g(1)=−2<0，即g(x 0)<0， 所以f(x)<0．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，利用导数证明不等式，属于较难题． (1)对f(x)求导数，讨论a 的取值，令导数f ′(x)=0，判断f(x)的单调性，从而求出函数y =f(x)极值点的个数；(2)求出a =2时f(x)的导数f ′(x)，判断f(x)的极值情况，利用极值构造函数，从而证明f(x)<0．22.答案：解：(1)由曲线M 的参数方程消去参数t ，得y 2=4x ，即曲线M 的普通方程为y 2=4x ．将ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 代入圆C 的极坐标方程，得x 2+y 2+4y +3=0，即得圆C 的直角坐标方程为x 2+(y +2)2=1． (2)由(1)知圆心C(0,−2)．设直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =−2+tsinα(t 为参数)，代入曲线M 的方程得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=4sinα+4cosαsin 2α，t 1t 2=4sin 2α．所以1|CA|+1|CB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1+t2t 1t 2|=|sinα+cosα|=|√2sin (α+π4)|≤√2，当α=π4时等号成立，此时满足题意，所以1|CA|+1|CB|的最大值为√2．解析：本题考查的知识点是圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 与曲线C 的普通方程；(2)直线l 的参数方程为{x =tcosα,y =−2+tsinα(t 为参数)，代入y 得t 2sin 2α−4(sinα+cosα)t +4=0，利用参数的几何意义，求|1|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+1|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||的值．23.答案：解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=2|x +1|−|x −1|，当x <−1时，由f(x)<0得−2(x +1)+(x −1)<0，即−x −3<0，得x >−3，此时−3<x <−1， 当−1≤x ≤1，由f(x)<0得2(x +1)+(x −1)<0，即3x +1<0，得x <−13，此时−1≤x <−13， 当x >1时，由f(x)<0得2(x +1)−(x −1)<0，即x +3<0，得x <−3，此时无解， 综上−3<x <−13，(Ⅱ)∵f(x)<x ⇔2|x +1|−x <|x −a|有解，等价于函数y =2|x +1|−x 的图象上存在点在函数y =|x −a|的图象下方，由函数y=2|x+2|−x与函数y=|x−a|的图象可知：a>0或a<−2．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．(Ⅰ)分3段去绝对值解不等式组，再相并；(Ⅱ)f(x)<x⇔2|x+1|−x<|x−a|有解，等价于函数y=2|x+1|−x的图象上存在点在函数y= |x−a|的图象下方，根据图象写出结果．。