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积与商的变化规律的探究

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1 积的变化规律的探究（完成下列表格）

例1： 例2：

因数 另一个因数 积

1 2 2

10 2

100 2

1000 2

你发现了

例3： 例4：

因数 另一个因数 积

1 2 2

10 20

100 200

1000 2000

你发现了

例5： 例6：

你发现了

因数 另一个因数 积

2000 2 4000

200 2

20 2

2 2

因数 另一个因数 积

2000 2000 4000000

200 200

20 20

2 2

因数 另一个因数 积

1 2000 2000

10 2000

100 2000

1000 2000 因数 另一个因数 积

2000 1 2000

200 10

20 100

2 1000 2 例7： 例8：

因数 另一个因数 积

1 1 1

10 10

100 100

1000 1000

你发现了

商的变化规律的探究（完成下列表格）

例1：

例2：

被除数 除数 商

8 2 4

80 20

800 200

8000 2000

你发现了

例3 ：

例4：

你发现了

因数 另一个因数 积

2000 2000 2000000

200 200

20 20

2

2

被除数 除数 商

2000 1000 2

200 100 2

20 10

2

2 1 2

被除数 除数 商

6 3 2

60 3

600 3

6000 3 被除数 除数 商

9000 3 3000

900 3

90 3

9 3 3 例5： 例6：

被除数 除数 商

8000 1 8000

8000 10

8000 100

8000 1000

你发现了

例7： 例8：

被除数 除数 商 余数

7 2 3 1

70 20

700 200

7000 2000

你发现了

例1. 2584

()()254844100212100

分析与解答：根据积的变化规律，一个因数扩大多少倍，另一个因数反而缩小相同的倍数，积不变的规律，使25×4，使84÷4，转化为100×21，这就很快计算出结果是2100。

例2. 12588 例3. 2250125

()()125888810001111000 ()()22508125818000100018

分析与解答：根据商的变化规律，被除数和除数同时乘以或除以一个数（不为0）商不变的规律，可以使2250×8，使125×8，转化为18000÷1000，这样就能很快算出结果是18。 被除数 除数 商

4000 1000 8000

4000 100

4000 10

4000 1

被除数 除数 商 余数

13000 3000 4 1000

1300 300

130 30

13 3 4 商的变化规律练习

一、读背以下几句话

1、在除法里，除数不变，被除数乘几，商也乘几，被除数除以几，商也除以几（0除外）。2、在除法里，被除数不变，除数乘几，商反而除以几，除数除以几，商反而乘几（0除外）。

3、在除法里，被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外）。商不变。

二、利用规律，看谁算得又对又快。

81 ÷9= 320÷4= 56÷7= 360÷30=

810 ÷9= 320÷8= 560÷70= 3600÷30=

8100÷9= 320÷2= 5600÷700= 720÷6=

三、判断：

①210÷30=（210×15）÷（30×15）…………………… （ ）

②48÷12=（48×3）÷（12×4）………………………… （ ）

③60÷12=（60 ÷3）÷（12×3）…………………………（ ）

④63÷7=（63÷10）÷（7÷10）…………………… （ ）

⑤被除数不变，如果除数除以3，商也会除以3。……… （ ）

⑥两数相除的商是20，被除数和除数同时乘2，商是40。……（ ）

四、填一填。

1、在除法里，除数不变，被除数乘8，商（ ），被除数除以70，商（ ）。

2、在除法里，被除数不变，除数乘20，商（ ），除数除以12，商（ ）。

3、在除法里，被除数和除数同时乘15，商（ ）。

4、如果被除数和除数都扩大100倍，那么商就( )。

5、如果除数缩小10倍，要使商不变,那么被除数要( )。

6、如果被除数和除数都缩小20倍,那么商就( )。

7、要使商不变，那除数和被除数要（ ）。

8、两数相除的商是20，如果要使商变成40 ，怎么办？（ ）

9、250÷50=5

（250 ÷12）÷（50 ÷□）=5 （250×2）÷（50 ÷2）=□

（250×□）÷（50× 4）=5 （250○□）÷（50○□）=5

10、利用商不变的规律进行练习

（1）根据每组第一个算式的结果，直接写出第二、第三个算式的得数。

①18÷6＝3

（18×2）÷（6×2）＝ 5 （18×3）÷（6×3）＝

②480÷10＝48

（480÷2）÷（10÷2）＝

（480÷5）÷（10÷5）＝

（2）根据48÷12＝4在横线上填上适当的数

（48×8）÷（12×_________）＝4

（48÷ ___________）÷（12÷_____________）＝4

（3）判断

56÷7＝（56×8）÷（7×8） （ ）

40÷8＝400÷80 （ ）

42÷8＝420÷80＝5……2 （ ）

五、根据上面的算式，在下面的括号里填上合适的数。

（1）150÷50＝3 （2）180÷3＝60 （3）240÷80＝3 （4）96÷12＝8

（ ）÷50＝6 540÷9＝（ ） 240÷（ ）＝6 （ ）÷4＝8

（ ）÷（ ）=3 1800÷（ ）=60 （ ）÷80=6 1920÷24=8○□

（想一想每一题都是根据今天学的哪条规律？）

六：根据476÷17＝28，你能写出多少个商是28的除法算式？（写出5个以上算式）

七、竖式计算（运用商不变性质）。

670÷20= 960÷80= 2600÷210=

890÷50= 7500÷620= 970÷70=

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四年级上册积和商的变化规律

四年级上册积和商的变化规律

四年级上册积和商的变化规律

在四年级上册，学生开始学习关于积和商的变化规律。积是指两个或多个数相乘得到的结果，而商则是指一个数被另一个数除后得到的结果。

当学生开始学习乘法时，他们会逐渐掌握乘法表，并了解基本的乘法规律。例如，当乘数为0时，无论被乘数是多少，积都为0。当乘数为1时，积等于被乘数本身。当乘数为10的倍数时，积具有特殊的规律，只需在被乘数末尾添加相应数量的0即可。

随着学生学习进程的推进，他们开始接触更复杂的乘法运算，并学习如何使用分配律、结合律和交换律来简化计算过程。他们还会学习如何将大数进行估算以及如何使用近似值来计算积。

在商的部分，学生会学习如何用除法来计算两个数之间的商。他们会学习长除法的方法，并逐步理解如何进行整数除法和小数除法。学生也会学习如何将分数转化为小数，并通过除法运算来完成这一过程。

总之，在四年级上册，学生会逐步掌握积和商的变化规律，并学会运用这些规律来解决实际问题。

五年级数学培优-积商的变化规律

五年级数学培优-积商的变化规律

五年级数学培优-积商的变化规律

【专题分析】

积商的变化规律见下表：（m≠0）

表1：

一个因数（a） 另一个因数（b） 积（c）

不变

不变

表2： 被除数（a） 除数（b） 商（c）

不变

不变

不变

【名题精讲】

例1、两数相乘，一个因数扩大3倍，要使积扩大9倍，另一个因数应该怎样变化？

分析：一个因数扩大3倍，假设另一个因数不变，积就扩大3被；现在

积要扩大9倍，另一个因数应怎样扩大3倍.

9÷3=3

答：另一个扩大3倍.

两数相乘，一个因数扩大8倍，要使积缩小2倍，另一个因数应该

怎样变化？

例2、两数相乘，积是96，如果一个因数缩小4倍，另一个因数扩大3倍，

那么积是多少？

分析：一个因数缩小4倍，假设另一个因数不变，积缩小4倍.如果另

一个因数再扩大3倍，则积又扩大3倍.

此题也可用特殊值代入法. × ÷ m

× ÷ m × ÷ m

× ÷ m

× ÷ m × ÷ m

× ÷ m × ÷ m

× ÷ m × ÷ m 96÷4×3=72

答：积是72.

两数相乘，积是56，如果一个因数缩小2倍，另一个因数扩大3倍，

那么积是多少？

例3、两数相除，如果被除数缩小3倍，除数扩大2倍，商将怎样变化？

分析：如果被除数缩小3倍，除数不变，商缩小3倍；除数扩大2倍，

被除数不变，商缩小2倍.所以商最终缩小6倍.

3×2=6

答：商缩小6倍.

两数相除，被除数扩大3倍，除数扩大15倍，商将怎样变化？

例4、两数相除，被除数扩大30倍，要使商扩大60倍，除数应该怎样变化？

分析：被除数扩大30倍，假设除数不变，商扩大30倍，现要使商扩大

60倍，则除数应该缩小2倍.

60÷30=2

答：商缩小2倍.

两数相除，除数扩大9倍，要使商缩小3倍，被除数应该怎样变化？

例5、两数相除，商是4，余数是10，如果被除数和除数同时扩大50倍，商

是多少？余数是多少？

分析：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变，但余数要扩

积的变化规律

积的变化规律

“点线面”思维训练模式3——

从“积的变化规律”到“积不变的规律”

一、一个因数变化

【1】一个因数不变，另一个因数扩大了。

【结论】:一个因数不变，另一个因数扩大多少倍(0除外)，积也跟着扩大相同的倍数。

【2】一个因数不变，另一个因数缩小。

【结论】:一个因数不变，另一个因数缩小多少倍(0除外)，积也跟着缩小相同的倍数。

(一)、积的变化规律：(1)、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以)几。字母表示：如果axb=C，则(ax3）×b=c×3举例：axb=12如果(ax3)则积就是12×3=36.(2)、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；（3)、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。【3】积的变化规律:

【结论】:积与因数同向变化。

【4】同步应用

【5】能力提升

【6】拓展训练二、积不变的规律

【结论】:一个因数扩大或缩小多少倍，另一个因数缩小或扩大相同的倍数(0除外)，积不变。

两个因素反向变化，积不变。（巧墨静好）

下一节内容：1.商的变化规律——商不变的规律——余数的变化规律2、和、差、积、商的变化规律

小学奥数经典专题点拨 对称变换+和差积商的变化规律

小学奥数经典专题点拨 对称变换+和差积商的变化规律

1 和差积商的变化规律

【和的变化规律】

（1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。用字母表达就是

如果a+b=c，那么（a+d）+b=c+d；

（a-d）+b=c-d。

（2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。用字母表达就是

如果a+b=c，那么（a+d）+（b-d）=c。

【差的变化规律】

（1）如果被减数增加（或减少）一个数，减数不变，那么，它们的差也增加（或减少）同一个数。用字母表达，就是

如果a-b=c，那么（a+d）-b=c+d，

（a-d）-b=c-d。

（a＞d+b）

（2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。用字母表达，就是

如果a-b=c，那么a-（b+d）=c-d（a＞b+d），

a-（b-d）=c+d。

（3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么，它们的差不变。用字母表达，就是

如果a-b=c，那么（a+d）-（b+d）=c，

（a-d）-（b-d）=c。

【积的变化规律】

（1）如果一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数不变，那么，它们的积也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是 2 如果a×b=c，那么（a×n）×b=c×n，

（a÷n）×b=c÷n。

（2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。用字母表达，就是

如果a×b=c，那么（a×n）×（b÷n）=c，

或（a÷n）×（b×n）=c。

【商或余数的变化规律】

（1）如果被除数扩大（或缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或缩小）同样的倍数。用字母表达，就是

如果a÷b=q，那么（a×n）÷b=q×n，

（a÷n）÷b=q÷n。