高考数学一轮总复习 第九章 直线与圆、圆锥曲线 第53讲 椭圆考点集训 文 新人教A版
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1 考点集训(五十三) 第53讲 椭圆
1．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为33，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为
A.x23＋y22＝1 B.x23＋y2＝1
C.x212＋y28＝1 D.x212＋y24＝1
3．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为
A.14 B.12 C．2 D．4
4．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为
A.36 B.13 C.12 D.33
5．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝45，则C的离心率为
A.35 B.57 C.45 D.67
6．已知点F1、F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上的一个动点，若使得满足△PF1F2是直角三角形的动点P恰好有6个，则该椭圆的离心率为
A.12 B.22 C.32 D.33
7．椭圆x2a2＋y25＝1(a为定值，且a>5)的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A，B，△FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是__________．
8．已知椭圆C：x29＋y24＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________．
9．设点M(m，0)在椭圆C：x216＋y212＝1的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当|MP→|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．
2
10．在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x22＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP→＋OQ→与AB→共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．
3
答
案 题
号
1
2
3
4
5
第53讲
椭圆
【考点集训】
1．C 2.A 3.A 4.D
5.B 6.B 7.23 8.12
9．【解析】设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为x216＋y212＝1，故－4≤x≤4.
因为MP→＝()x－m，y，所以||MP→2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12×1－x216＝14x2－2mx＋m2＋12＝14(x－4m)2＋12－3m2.
因为当||MP→最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x＝4时，||MP→2取得最小值．而x∈[]－4，4，故有4m≥4，解得m≥1.
又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.故实数m的取值范围是m∈[1，4]．
10．【解析】(1)由已知条件，直线l的方程为y＝kx＋2，代入椭圆方程得x22＋(kx＋2)2＝1.
整理得12＋k2x2＋22kx＋1＝0. ①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－412＋k2＝4k2－2>0，
解得k<－22或k>22，即k的取值范围为－∞，－22∪22，＋∞.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP→＋OQ→＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①，x1＋x2＝－42k1＋2k2. ②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22. ③
而A(2，0)，B(0，1)，AB→＝(－2，1)．
所以OP→＋OQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)，
将②③代入上式，解得k＝22.
由(1)知k<－22或k>22，故没有符合题意的常数k.
