第2章_状态空间表达式的解

2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。

实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。

所以说系统动态方程是非唯一的。

虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。

设给定的系统为：作线性变换：Tz x = 即x T z 1-=T --为非奇异矩阵（变换矩阵）则：Bu T ATz T z11--+= ， ()()01100x T x T z --== 因为T 为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。

2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量 1． 系统特征值 特征方程：0=-A I λ系统特征值即为特征方程的根。

2． 系统的不变量与特征值的不变性 系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。

证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：()AI A I T T T A I TTA I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=-=---------λλλλλλλ11111111所以，特征值是不变的。

因为 00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ所以，1210,,,--n n a a a a 是不变的，为系统的不变量。

从而 称为状态转移矩阵
1 22 1 k k e = I + At + A t + L + A t + L 2! k!
At
x(t ) = e At x0
x(t ) = e A( t −t0 ) x0 这个解反映了从初始时刻的状态向量 x0 ，到任意时 刻的状态向量 x(t ) 的一种变换关系，变换矩阵就是 e At 称为状态转移矩阵，通常记为 φ (t ) 矩阵指数， 几个特殊的矩阵指数函数 1. 若A为对角线矩阵 2. 若A能通过非奇异变换变换成对角线矩阵 3. 若A为约旦矩阵
二、φ (t ) 或 e
1. 根据
At
的计算
e
At
或 φ (t )的定义直接计算
例： 试求如下线性定常系统的状态转移矩阵
& x1 0 x = − 2 &2
At
1 x1 −3 x 2
2 2 3
1 0 0 1 0 1 t 0 1 3 Φ (t ) = e = + −2 −3 t + −2 −3 2! + −2 −3 t + L 0 1 3 7 t − t2 − t3 +L 1− t 2 + t3 +L 2 6 = −2t + 3t 2 − 7 t 3 + L 1 − 3t + 7 t 2 − 5 t 3 + L 3 2 2
t 0 0
At
t
− Aτ
t
Bu (τ ) dτ
x(t ) = e x0 + ∫ e A(t −τ ) Bu (τ )dτ

§2-2 矩阵指数函数---- 状态转移矩阵
矩阵指数函数:
e At I At 1 A2t 2 1 A3t 3 ... 1 Ak t k ....
2!
3!
k!
从
可看出:
形式上是一个矩阵指数函数，且也是一个各元
素随时间t变化的n×n矩阵。但本质上，它的作用是将
时刻的系统状态矢量
转移到t时刻的状态矢量
1 0 ... 0
A J 0
1 ...
0
.......... .......... ......
0
0
0 ...
1 t
1 t2 ... 2!
(
n
1 - 1)!
t
n1
0 1 t
...
(n
1 - 2)
!
t
n
2
则
(t) eJt et ..............................................
1 t
1 t2 2!
...
1 t n1 (n -1)!
0 1 t
...
(n
1 - 2)!
t
n
2
.
.
T * et ............................
*T 1
0 0 0 .... t
0 0 0 ... 1
控制系统状态空间表达式的解
4. 应用凯莱-哈密尔顿定理(Cayley－Hamilton)求eAT
e 1t
0
T
*
e2t ...........
*
T
1
0
ent
控制系统状态空间表达式的解

第二章 控制系统状态空 间表达式的解
2.1.线性定常连续系统状态方程的解
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状 态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t ) 故称其 为状态转移矩阵.一般用 ( t ) e At 来表示。 A( t t ) ( t t0 ) e 3.求齐次状态解的关键是求转移矩阵 eAt
At
x( t ) e
x(t0 ) e A Bu( )d
t0
t t0
t
x( t ) e
A( t t0 )
x(t0 ) e A( t ) Bu( )d
t
也就是 x(t ) (t t0 ) x(t0 ) t (t )Bu( )d
d At At e x ( t ) e Bu dt
e At Ax x
在区间[t0,t]上积分
e
At
x( t )
t t0
e A Bu( )d
t0
t
e
即
e
At
x( t )
t t0
e A Bu( )d
t0
At0
t
s 3 1 1 2 s s s 3 2
s 1 s 2 s s 1 s 2 1
s3 s 1 s 2 2 s 1 s 2
s 1 ( sI A) 1 s 2
Φ(t ) L
1
sI A
1
(1 t )e t t te