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课 堂 练 习
例 1.设二维 r.v.(X,Y)具有概率密度 Ae-(2 xy ), x 0, y 0, f(x,y) 0, 其它 , 求 : (1)常数 A; (2)分布函数 F(x,y); (3)概率 P{Y X}.
4 - 10
§2.10 二维随机变量的边缘分布
一. 二维离散随机变量的 边缘分布 二. 边缘分布函数
第二章2《概率 论与数理统计教 程》
4-1
二维随机变量的概念
定义:
设 E 是一随机试验，{ }是其样本空间.设
X X ( ), Y Y ( ) ( )
是定义在 上的随机变量，则由它们构成的一个向量 （X，Y）称为二维随机向量或二维随机变量 注:
4-2
二维r.v. (X, Y)的性质不仅与X和Y有关, 而且还 依赖于这两个r.v.的相互关系.
x xy y i j
p(xi , yj ) 知道，则
F (x, y) p(x ,y i j)
4-6
例1. 将一枚均匀的硬币抛掷4次, X表示正面向上的 次数, Y表示反面朝上次数, 求(X,Y)的联合概率分布.
例2. 设随机变量Y~U（0，1），令
0 ,| Y | 1 0 ,| Y | 2 X , X 1 2 1 , | Y | 1 1 , | Y | 2
二维随机变量的分布函数
定义:
设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，称
F ( x , y ) P ( X x , Y y )
为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为二维随机 y 变量（X，Y）的联合分布函数. 注：若将二维随机变量（X，Y） 看作是平面上的随机点的坐标， 则分布函数在点（x，y）处的函 数值，就是随机点（X，Y）落在 如图所示的以点（x，y）为顶点 而位于该点左下方的无穷矩形区 4-3 域内的概率
求（X1，X2）的联合概率分布。
例3. 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
X
-1 0
4-7
Y
0 0.05 0.1
1 0.1 0.2
2 0.1 0.1
求:(1)常数a的取值;
(2)P(X≥0,Y≤1);
(3) P(X≤1,Y≤1)
1
a
0.2
0.05
二维连续随机变量的联合概率密度
定义:
P ( x X x x , y Y y y ) f ( x , y ) lim x 0 x y y 0
F ( x ), F ( y ) 分别称为二维随机变量（X，Y）关于 X Y
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ; x y
4 ) F ( x ,y ) u , v ) dudv ; f(
x
y
5 )设 G 是 xoy 平面上的 ,随 一 机 个 (X, Y) 点 区 落域
4-9
G
在 G 内的概 : 率 P{(X, 为 ) G} Y f(x, y)dxdy
p p p
i. 1. 2.
x x x
1 2
p 21 p 22 L p 2 j L p i1 p i 2 L p ij L
i
p.j
4 - 13
p p . 1 p .2L .j L
二、边缘分布函数
定义:
二维随机变量（X，Y）作为一 个整体，具有联合分布 函数，但由于X，Y 都是随机变量，因而也有分布函数
p ( x ) P { X x } p ( x , y ) X i i i j
j
Y的边缘概率函数为
p ( y ) P { Y y } p ( x , y ) Y j j i j
4 - 12
i
Y X
y yj p 1 y 2 . i.
p 11 p 12 L p 1 j L
为离散型 r.v. (X, Y)的联合概率函数 .
4-5
联合概率函数的性质
1) 2) 3 ) p(x i , yj ) 0, p(x , y )1;
i j i j
P (X,Y)D
(x D i , yj )
p(x , y );
i j
若二维随机r.v.的联合概率函数 联合概率分布函数为
（x，y）
O
x
联合分布函数的性质
1)
0 F ( x ,y ) 1
2）F（x，y）分别是变量x，y的单调不减函数； 3）对任意x，y，有
F ( , y ) 0F ( x , ) 0 F ( , ) 0F ( , ) 1
有 x , y y 4）对于任意的实数 x 1 2 1 2
P ( x X x , y Y y ) 1 2 1 2
F ( x , y ) F ( x , y ) F ( x , y ) F ( x , y ) 2 2 1 2 2 1 1 1
4-4
二维离散随机变量的概率分布
1. 若二维 r.v. (X,Y)的所有可能取值是有限 对 或可列多对则称 (X, Y)为离散型 r.v. 2. 记P(X x i , Y y j ) p(x i , y j ) i, j 1 , 2 , 3 ,L 则称P(X x i , Y y j ) p(x i , y j ) i, j 1 , 2 , 3, L
三. 边缘分布与联合分布 的关系 四. 二维连续随机变量的 边缘缘 概率函数
设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 则X的边缘概率函数为
P { X x , Y y ) p ( x , y ) ( i , j 1 , 2 , L ) i j i j
若此极限存在，则称此极限为二维连续随 机变量（X，Y）的联合概率密度。
4-8
二维连续随机变量联合概率 密度函数的性质
1 )f ( x, y ) 0;
2 ) ( x, y ) dxdy F ( , ) 1 ; f
3 )若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 点连 ,则 续有
