高一数学必修3：随机事件的概率

§3.1随机事件及其概率3.1.1 随机现象3.1.2 随机事件的概率内容要求 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念(重点)；2.正确理解事件A出现的频率的意义(重点)；3.正确理解概率的概念和意义，明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系(难点).知识点一必然事件、不可能事件与随机事件事件类型定义必然事件在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件.不可能事件在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件.随机事件在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件.下面给出五个事件：①某地2月3日下雪；②函数y＝a x(a＞0，且a≠1)在定义域上是增函数；③实数的绝对值不小于0；④标准大气压下，水在1 ℃结冰；⑤a，b∈R，ab＝ba.其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________(填序号).解析①是随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪.②是随机事件，当a＞1时，函数y＝a x在其定义域上是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝a x在其定义域上是减函数.③是必然事件，实数的绝对值永远都是非负数.④是不可能事件，在标准气压下，水在0 ℃结冰.⑤是必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立.答案③⑤④①②知识点二随机事件的频率与概率1.随机试验(1)试验可以在相同的条件下重复进行；(2)试验的结果都明确可知，但不止一种；(3)每次试验总是出现这些结果中的一种，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果.称这样的试验是一种随机试验，简称试验.2.随机事件的频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An为事件A 出现的频率. 3.随机事件的概率若随机事件A 在n 次试验中发生了m 次，则当试验次数n 很大时，可以将事件A 发生的频率m n 作为事件A 的概率的近似值，即P (A )≈m n. 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) 1.抛掷硬币试验是随机试验.( ) 2.频率就是概率.( )3.随机事件A 的概率范围是0≤P (A )≤1.( ) 答案 1.√ 2.× 3.√题型一 确定性现象与随机现象【例1】 判断以下现象是否是随机现象： (1)某路口单位时间内发生交通事故的次数； (2)冰水混合物的温度是0 ℃； (3)三角形的内角和为180°；(4)一个射击运动员每次射击的命中环数；(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的开口方向.解 (1)某路口单位时间内发生交通事故的次数有可能是0,1,2等，不能确定，因此是随机现象.(2)常温常压下，冰水混合物的温度是0 ℃.若改变气压就不一定是0 ℃了，因此是随机现象.(3)三角形的内角和一定是180°，是确定的，因此是确定性现象.(4)射击运动员每次射击的命中环数可能是3，也可能是1等，因此是随机现象.(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，当a ＞0时开口向上，当a ＜0时开口向下，故在a ≠0的条件下开口方向可能向上也可能向下，因此是随机现象.规律方法 (1)判断一个现象是否为随机现象，一定要注意其“可能发生，也可能不发生”这一本质特征.(2)随机现象就是在相同条件下，多次进行同一试验或调查同一现象，所得结果不完全相同，而且无法准确地预测下一次所得的结果的现象.但实践证明，如果同类的随机现象大量重复出现，那么它的总体就会呈现出一定的规律性.(3)确定性现象和随机现象是有条件的，离开限定条件就很难判断是确定性现象还是随机现象.【训练1】指出下列现象是确定性现象还是随机现象：(1)三个球全部放入两个盒子，其中一个盒子有一个以上的球；(2)函数y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域(－∞，0]上是增函数；(3)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的点的坐标可使不等式(x－a)2＋(y－b)2＜r2成立.解判断某一现象是否为随机现象，关键是看这一现象发生的可能性.若一定发生或一定不发生，则它为确定性现象，否则为随机现象.(1)随机现象；(2)随机现象；(3)确定性现象.题型二事件的分类与判断【例2】判断下列事件是随机事件、必然事件还是不可能事件：(1)某人购买福利彩票中奖；(2)导体通电时发热；(3)在标准大气压下，水加热到100 ℃沸腾；(4)某人投篮10次，1次也没投中；(5)早上看到太阳从西方升起；(6)抛掷一颗骰子出现的点数为偶数；(7)向上抛出的石头会下落；(8)当x∈R时，|x|＜0.解判断一个事件是哪类事件，首先要看清条件，其次看它在这一条件下是否一定发生某种结果.判断事件发生的可能性要有充分的依据，这些依据有的来自人们长期的实践经验和客观规律，还有的来自一些科学试验以及逻辑推理.由题意知(2)(3)(7)是必然事件；(5)(8)是不可能事件；(1)(4)(6)是随机事件.规律方法(1)判定一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，需考查该事件在一定条件下是必然发生、不可能发生还是既可能发生也可能不发生.(2)必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象，而随机事件反映的则是随机现象.(3)对随机事件，可以进行大量重复的试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现出一定的规律性.【训练2】指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x ∈R ，则x 2＋1≥1；(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书. 解 (1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件. (3)中的事件一定会发生，所以是必然事件. (4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.探究1 频率与概率关系的理解【例3－1】 下列说法正确的是________(填序号).①频率反映事件出现的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的概率P (A )＝mn； ③含百分比的数是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.解析 根据频率与概率的定义可知①正确；频率不是概率，而②中求出的是事件A 发生的频率，因此②错误；概率是一个数值，可以是百分数也可以是小数，因此③错误；根据概率的定义可知概率是一个客观值，频率是一个试验值，因此④正确，⑤正确. 答案 ①④⑤探究2 用频率估计概率【例3－2】 某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1 000 落在“铅笔”区域的次数m 68111136345564701 落在“铅笔”区域的频率m n(2)请估计，当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？ (3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？解(1)(3)获得铅笔的概率约是0.7.探究3 概率意义的理解【例3－3】某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就一定能击中9次？解从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是0.9并不意味着射击10次就一定能击中9次.只有进行大量射击试验时，击中靶心的次数约为910n（其中n为射击次数）.而且n越大，击中的次数就越接近910n.探究4 概率的应用【例3－4】某中学高一年级有12个班，要从中选2个班代表学校参加某项活动.由于某种原因，一班必须参加，另外再从二班至十二班中选1个班.有人提议用如下的方法：掷两个骰子得到的点数和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？解列表如下：的几率比较低.所以每个班被选中的可能性不一样.所以这种方法不公平.规律方法(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值. (2)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性大小，近似反映了概率的大小.比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的.(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变.从数量上反映随机事件发生的可能性大小.课堂达标1.下列事件中的随机事件为________(填序号). ①若a ，b ，c 都是实数，则a (bc )＝(ab )c ； ②没有水和空气，人也可以生存下去； ③抛掷一枚硬币，反面向上；④在标准大气压下，温度达到60 ℃时水沸腾.解析 ①中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a ，b ，c 是恒成立的，故①是必然事件；在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故②是不可能事件；抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故③是随机事件；在标准大气压的条件下，只有温度达到100 ℃，水才会沸腾，当温度是60 ℃时，水是绝对不会沸腾的，故④是不可能事件. 答案 ③2.从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中的必然事件是________(填序号). ①3人都是男生；②至少有1名男生； ③3人都是女生；④至少有1名女生.解析 由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生. 答案 ②3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的频率为________.解析 做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为m n.如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率.故810＝45为事件A 的频率.答案 454.从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个.①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品.其中必然事件是________，不可能事件是________， 随机事件是________(填序号).解析 从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”.答案 ⑥ ④ ①②③⑤5.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表：射击次数(n ) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m ) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率⎝ ⎛⎭⎪⎫m n(1)(2)这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少？ 解 (1)如下表：射击次数(n ) 10 20 50 100 200 500 击中10环次数(m ) 8 19 44 93 178 453 击中10环频率⎝ ⎛⎭⎪⎫m n0.80.950.880.930.890.906(2)课堂小结1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).2.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.3.写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关描述，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等.基础过关1.下列事件：①明天下雨；②3＞2；③某国发射航天飞机成功；④x ∈R ，x 2＋2＜0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x ∈R ，x ＋2＝0. 其中随机事件的个数为________.解析 ①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件. 答案 42.下列事件中，不可能事件为________(填序号). ①三角形中大边对大角，大角对大边； ②锐角三角形中两个内角和小于90°； ③三角形中任意两边的和大于第三边.解析 若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，∴②为不。

3、频率是概率的近似值，随着试 验次数的增加，频率会越来越接近 概率。
1、相关概念
随机事件 必定事件 不可能事件 确定事件
2、频率与概率的定义，它们之间的区别 与联系
关键是比较A发生的可能性和B发 生的可能性的大小。
频率与概率的区别与联系
思考：事件A发生的频率fn(A)是不 是不变的？事件A发生的 概率P(A) 是不是不变的？
频率与概率的区别与联系
1、频率本身是随机的，在试验前 不能确定。做同样次数的重复试验 得到事件的频率会不同。 2、概率是一个确定的数，与每次 试验无关。是用来度量事件发生可 能性大小的量。
思考：概率的取值范围是什么？ [0，1]
我们现在能不能解决前面的问题了？
这个游戏是否公平？
这样的游戏公平吗?
小军和小民玩掷色子是游戏，他们约定：两颗色子掷 出去，如果朝上的两个数的和是5，那么小军获胜，如果朝 上的两个数的和是7，那么小民获胜。这样的游戏公平吗？ 事件：掷双色子 A：朝上两个数的和是5 B：朝上两个数的和是7
这个游戏是否公平？
这样的游戏公平吗?
小军和小民玩掷色子是游戏，他们约定：两颗色子掷 出去，如果朝上的两个数的和是5，那么小军获胜，如果朝 上的两个数的和是7，那么小民获胜。这样的游戏公平吗？ 事件：掷双色子 A：朝上两个数的和是5 B：朝上两个数的和是7
关键是比较A发生的可能性和B发 生的可能性的大小。
计算机模拟掷硬币试验
程序 框图:
开始 输入”次数”n
程序:
DO INPUT n i=1 s=0 DO d=INT(RND*2)+1 IF d=1 THEN s=s+1 END IF i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT n,s,s/n INPUT “x/0”;p LOOP UNTIL p=0 END

《3.1.3随机事件的概率》I．章节名称：《3.1.3随机事件的概率》II．教材地位、作用和特点：《3.1.3随机事件的概率》是人教B版高中数学必修3第三章第一节。

学生在初中已经接触过随机事件、不可能事件、必然事件以及频率和概率等相关概念，对本节课的学习有一定的认知基础，而本节课又为学生高中阶段较为系统的学习概率知识打下基础，起到了承上启下的作用。

本节课主要是通过试验让学生体会“随机事件发生的不确定性以及大量重复试验下又表现出的频率的稳定性”这一抽象知识点；通过剖析试验数据理解频率与概率的关系。

III．教学目标（1）知识与技能：①了解随机事件、必然事件、不可能事件的概念：②正确理解事件A出现的频率的意义和概率的概念和意义，明确事件A发生的频率与概率的区别与联系；（2）过程与方法：通过经历试验、统计等活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力；通过获取试验数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性；使学生正确理解事件A出现的频率的意义，真正做到在探索中学习，在探索中提高。

（3）情感、态度、价值观：通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的含义，体会数学知识与现实生活的联系。

IV.教学重点与难点重点：1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；2.正确理解概率的意义；难点：理解随机事件发生的随机性，以及随机性中表现出的规律性。

难点突破：给学生亲自动手操作的机会，使学生在实践过程中形成对随机事件发生的随机性以及随机性中表现出的规律性的直接感知。

V.教学媒体和器材：多媒体教学课件辅助教学；每位学生一枚一元硬币；三角板或直尺；VI.教学过程设计一、创设情境，引入新知精彩回顾：张梦雪里约奥运夺首金思考一：在张梦雪射击前，你能知道她会获得冠军吗？定义：必然事件、不可能事件、随机事件思考二：既然能否夺冠是随机事件，为什么派张梦雪参加奥运会，而不是派其他射击运动员参加？定义：频率、概率二、合作交流，探究新知（一）动手试验，探究随机事件的可能性大小（1）试验目的：探究随机事件“抛掷一枚硬币，正面向上”的可能性大小.（2）试验要求：①假设硬币的材质是均匀的，所有的硬币都相同；②从离桌面大约30cm的高度，让其自由下落在桌面上；③5人一组，每人抛掷20次，共100次，各自认真记录“正面向上”出现的次数，组长汇总本组的总次数.（二）汇总数据，观察频率的特征（三）观察分析，探究频率的规律性（四）感知升华，概括结论1.概率的定义在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某一个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫做随机事件A的概率，记作P(A)2.求随机事件概率的方法3.“概率”和“频率”的区别与联系区别：频率反映了随机事件出现的频繁程度，是随机性的；概率是确定的，是客观存在的，与试验无关.联系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值.三、自主练习，应用新知例1.判断下列说法的对错：（1）在对一批种子进行的发芽试验中，抽取的10粒种子全部发芽，所以该种子的发芽率为100%；（2）乒乓球比赛中，小李比小王获胜的概率大，若两人打一局比赛，小李一定获胜；（3）因为抛掷一枚硬币出现正面的概率是0.5，所以抛掷12000次时，出现正面的次数很有可能接近6000次;（4）某种彩票中奖的概率为1/1000，那么买1000张彩票一定能中奖.能力提升：在10个同类产品中，有8个正品，2个次品，从中任意抽出3个检验，据此列出其中的不可能事件、必然事件、随机事件．(1)计算表中击中靶心的各个频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约为多少？能力提升：从某自动包装机包装的白糖中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496497 503 506 508 507 492 496 500 501 499根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装白糖质量在497.5～501.5 g之间的概率约为________．四、课堂小结，再现新知通过本节课的学习，你都有哪些收获呢？（1）概率的统计定义；（2）概率与频率的区别与联系；（3）求概率的方法；（4）体会随机事件的随机性与稳定性（偶然与必然的辩证统一）.五、课下探究，拓展新知课后作业：课本P113练习1、2、3探究1：站错队在超市购物后结账，人多的时候，多数情况自己站的队伍慢，其它队伍快，总让人很是烦恼，你能利用所学的概率知识消除我的烦恼吗？探究2：当你的指尖敲打着电脑键盘时，你是否想过，键盘上的字母为什么不按顺序排列？我们不妨一起来做一次统计，先选取一篇英文文章，然后统计总的字母数，每个字母出现的频数与频率，你能发现什么？。

安边中学高一年级下学期数学学科导学稿执笔人：邹英总第课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：6周集体备课个人空间一、课题：3.1随机事件的概率二、学习目标1．能区分频率与概率的关系，能用频率估计随机事件的概率．2．会区分随机事件、必然事件、不可能事件．3．通过抛硬币、抛骰子的试验中获取数据，归纳总结试验结果，发现规律，在探索中学习，在探索中提高。

三、教学过程【自主预习】阅读教材119-126页1．概率：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个________附近摆动，即随机事件A发生的频率具有________性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．我们有________≤P(A)≤________。

2．什么是频率？它和概率之间有什么关系？【合作探究】合作探究、随机现象的判断1、（1）如果a＞b，那么a一b＞0；（2）在标准大气压下且温度低于0°C时，冰融化；（3）从分别标有数字l，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；（4）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；（5）手电筒的的电池没电，灯泡发亮；（6）随机选取一个实数x，得|x|≥0。

合作探究、用频率估计概率及应用2、某射手在同一条件下进行射击，结果如下表：射击次数n 10 20 50 100 200 500击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455m击中靶心的频率n（1）计算表中击中靶心的各个频率；如上表（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？- 1 -- 2 -【检测训练】1、在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于5这一事件是（ ）A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均不正确2、随机事件A 的频率n m满足（ ）A. n m =0B. n m =1C.0<n m <1D.0≤n m≤13、“某彩票的中奖概率为11000”意味着( )．A ．买1 000张这种彩票就一定能中奖B ．买1 000张这种彩票中一次奖C ．买1 000张这种彩票一次奖也不中D ．购买这种彩票中奖的可能性是110004、某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10000个鱼卵能孵出8513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：（1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）；（2）30000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？（3）要孵化5000尾鱼苗，大概得备多少鱼卵？（精确到百位）反思栏- 3 -。