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SAS讲义 第二十六课协方差分析

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第二十六课 协方差分析当定量的影响因素对观察结果有难以控制的影响，甚至还有交互作用时，采用协方差分析，这些影响变量称为协变量，扣除（或消除）协变量的影响，可以得到修正后的均值估计。

一、 协方差分析概述1. 协方差分析概念协方差分析（analysis of covariance ）又称带有协变量的方差分析（analysis of variance with covariates ），是将回归分析与方差分析结合起来使用的一种分析方法。

在各种试验设计中，对主要变量y 研究时，常常希望其他可能影响和干扰y 的变量保持一致以到达均衡或可比，使试验误差的估计降到最低限度，从而可以准确地获得处理因素的试验效应。

但是有时，这些变量难以控制，或者根本不能控制。

为此需要在试验中同时记录这些变量的值，把这些变量看作自变量，或称协变量（covariate ），建立因变量y 随协变量变化的回归方程，这样就可以利用回归分析把因变量y 中受协变量影响的因素扣除掉，从而，能够较合理地比较定性的影响因素处在不同水平下，经过回归分析手段修正以后的因变量的总体均值之间是否有显著性的差别。

简单地说，协方差分析是扣除协变量的影响，或者将这些协变量处理成相等，再对修正的y 的均值作方差分析。

2. 协方差分析的假定协方差分析需要满足的假定为：①各样本来自具有相同方差2σ的正态分布总体，即要求各组方差齐性。

②协变量与主要变量y 间的总体回归系数不等于0。

③各组的回归线平等，即回归系数 ==21ββ。

如果上述的假定满足，就作协方差分析。

前述的各种试验设计，如完全随机化设计、随机区组设计、析因设计、拉丁方设计等，都可以带一个或多个协变量，按设计方案扣除协变量的影响后，对主要变量y 的修正均值作比较，得出统计结论。

3. 协方差分析的模型最简单的单因素一元协方差分析的模型，是由单因素效应模型ij i ij a y εμ++=加上协变量的影响因素)(x x ij -β而得出：ij ij i ij x x a y εβμ+-++=)((26.1)其中x 为协变量，ij x 为协变量在分类水平i 和j 上的记录值，x 为所有协变量的平均值，β为相关的回归系数。

设x βμβ-=0，为平均截距。

上式可以化简成ij ij i ij x a y εββ+++=0(26.2)设i i a +=00ββ，上式可以化简成ij ij i ij x y εββ++=0(26.3)很明显i 0β是第i 组回归线的截距，等于回归线的平均截距0β加上本组的效应i a 。

这个式揭示了，观察值ij y 的模型可以表示成一组相似的回归线，且各组具有共同的回归系数β，和各组自己的截距i i a +=00ββ。

用SAS 中的glm 过程进行协方差分析时，要注意不同试验设计时class 语句和model 语句的写法。

设分类变量为A 、B ，协变量为X ，观察值为Y ，则有：①单因素k 水平设计的协方差分析模型class A; model X A ;②随机区组设计的协方差分析模型class A B; model X A B ;③两因素析因设计的协方差分析模型class A B;model X A B A*B;二、 实例分析1. 一元协方差分析例26.1 研究牡蛎在不同温度的水中不同位置上的生长情况。

有人做了如下试验：分别在通向发电站的入口处（温度较低）不同位置（底部和表层）和出口处（温度较高）不同位置（底部和表层）及电站附近的深水处（底部和表层的中间）总共5个不同位置点上，随机地各放4袋牡蛎（每袋中有10个），共5×4=20袋。

在将每袋牡蛎放入位置点之前，先洗干净称出每袋的初始体重，放在5个不同点一个月后再称出最后体重。

试验结果数据见表26.1所示。

表26.1 牡蛎在不同温度和位置上的生长数据位置 trt 重复数rep （x 为初始体重，y 为最后体重） 1 234x y x y x y x y 1（入口底部） 27.2 32.6 32.0 36.6 33.0 37.7 26.8 31.0 2（入口顶部） 28.6 33.8 26.8 31.7 26.5 30.7 26.8 30.4 3（出口底部） 28.6 35.2 22.4 29.1 23.2 28.9 24.4 30.2 4（出口顶部） 29.3 35.0 21.8 27.0 30.3 36.4 24.3 30.5 5（附近中部） 20.424.619.623.425.130.318.121.8程序如下：data growth;do trt=1 to 5; do rep=1 to 4;input x y @@; output;end;end;cards;27.2 32.6 32.0 36.6 33.0 37.7 26.8 31.028.6 33.8 26.8 31.7 26.5 30.7 26.8 30.428.6 35.2 22.4 29.1 23.2 28.9 24.4 30.229.3 35.0 21.8 27.0 30.3 36.4 24.3 30.520.4 24.6 19.6 23.4 25.1 30.3 18.1 21.8;proc anova data=growth;class trt;model y=trt;proc glm data=growth;class trt;model y=trt x /solution;means trt;lsmeans trt /stderr tdiff;contrast 'trt12 vs trt34' trt -1 -1 1 1 0;estimate 'trt1 adj mean' intercept 1 trt 1 0 0 0 0 x 25.76;estimate 'trt2 adj mean' intercept 1 trt 0 1 0 0 0 x 25.76;estimate 'adj trt diff' trt 1 -1 0 0 0;estimate 'trt1 unadj mean' intercept 1 trt 1 0 0 0 0 x 29.75;estimate 'trt2 unadj mean' intercept 1 trt 0 1 0 0 0 x 27.175;estimate 'unadj trt diff' trt 1 -1 0 0 0 x 2.575;run;程序说明：定性变量trt的5个不同位置点对y可能有较大的影响，因此class语句中分组变量为trt，先选用anova过程进行方差分析。

然而，牡蛎的初始体重x对牡蛎的最后体重y可能也有一定的影响，故适合选用glm过程进行协方差分析，在model语句中不仅包括分组变量trt，而且应包括协变量x。

选择项solution要求输出回归系数的估计值及其标准误差和假设检验等结果。

means和lsmeans语句要求输出分组变量trt各水平下y的未修正均值和修正后的均值，选择项stderr要求输出y的修正均值的标准误差、各修正均值与0比较的假设检验结果；选择项tdiff要求输出y的各修正均值之间两两比较所对应的t值和p值。

Contrast语句是用来比较入口处底部和顶部均值之和与出口处底部和顶部均值之和是否相等。

前三条estimate语句是用来估计入口处底部和顶部调整后的均值及它们之差，并假设检验是否为0，后三条estimate语句是用来估计入口处底部和顶部未调整的均值及它们之差，并假设检验是否为0。

程序输出的主要结果见表26.2（a）（b）（c）所示。

表26.2（a）单因素trt一元x的协方差分析表26.2(a)中结果分析：对分组变量trt的方差分析表明，即使当初始体重x不考虑，各分The SAS SystemAnalysis of Variance ProcedureDependent Variable: YSource DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 4 198.40700000 49.60175000 4.64 0.0122 Error 15 160.26250000 10.68416667Corrected Total 19 358.66950000R-Square C.V. Root MSE Y Mean0.553175 10.59706 3.26866436 30.84500000Source DF Anova SS Mean Square F Value Pr > F TRT 4 198.40700000 49.60175000 4.64 0.0122General Linear Models ProcedureDependent Variable: YSource DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model 5 354.44717675 70.88943535 235.05 0.0001 Error 14 4.22232325 0.30159452Corrected Total 19 358.66950000R-Square C.V. Root MSE Y Mean0.988228 1.780438 0.54917622 30.84500000Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F TRT 4 198.40700000 49.60175000 164.47 0.0001 X 1 156.04017675 156.04017675 517.38 0.0001 Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F TRT 4 12.08935928 3.02233982 10.02 0.0005 X 1 156.04017675 156.04017675 517.38 0.0001T for H0: Pr > |T| Std Error of Parameter Estimate Parameter=0 EstimateINTERCEPT 2.494859769 B 2.43 0.0293 1.02786287组最后体重均值的区别也统计显著（0.0122<0.05），其中分组变量trt的平方和为198.40700000。

而在协方差分析中，分组变量trt的类型1的平方和等于方差分析中的平方和198.40700000，分组变量trt的类型3的平方和为12.08935928，大大小于类型1的平方和，是因为类型3的平方和反映了经过共同的协变量x调整后的平方和，减去了协变量的影响，所以平方和大幅减小。

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sas计算协方差矩阵

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sas计算协方差矩阵摘要：一、引言1.介绍SAS 软件2.说明协方差矩阵的作用二、SAS 计算协方差矩阵的方法1.使用PROC CORR 过程2.PROC CORR 过程的语法与参数说明3.结果解释与分析三、SAS 计算协方差矩阵的应用1.举例说明协方差矩阵在实际问题中的应用2.分析协方差矩阵对问题解决的影响四、总结1.回顾SAS 计算协方差矩阵的方法2.强调协方差矩阵在数据分析中的重要性正文：一、引言SAS（Statistical Analysis System）是一种广泛应用于数据分析和统计建模的软件。

在数据分析过程中，协方差矩阵是一个重要的工具，用于描述多变量之间的关系。

本文将介绍如何使用SAS 计算协方差矩阵，并探讨其在实际问题中的应用。

二、SAS 计算协方差矩阵的方法1.使用PROC CORR 过程在SAS 中，可以使用PROC CORR 过程计算协方差矩阵。

该过程可以计算多个变量之间的相关系数和协方差矩阵，同时还可以计算主成分和得分。

2.PROC CORR 过程的语法与参数说明以下是PROC CORR 过程的语法：```PROC CORRVAR =变量1 变量2 变量3 ...;```其中，`VAR`表示需要计算相关系数和协方差矩阵的变量。

可以输入一个或多个变量，用空格隔开。

3.结果解释与分析PROC CORR 过程将输出相关系数矩阵、协方差矩阵、主成分和得分。

相关系数矩阵反映了变量之间的相关程度，值越接近1，表示相关性越强；值越接近-1，表示负相关。

协方差矩阵描述了变量之间的共同变化程度，主成分分析可以将多个变量压缩成少数几个主成分，从而简化数据分析。

三、SAS 计算协方差矩阵的应用假设我们有一个数据集，包含以下变量：销售额、广告费用、促销活动和产品类型。

我们希望通过计算协方差矩阵，了解这些变量之间的关系，并找出对销售额影响最大的因素。

1.输入以下命令：```PROC CORRVAR 销售额广告费用促销活动产品类型;```2.分析结果，发现广告费用与销售额的协方差矩阵值最大，说明广告费用对销售额的影响最大。

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(3-1ห้องสมุดไป่ตู้)
39
式中， 异；
为两个处理校正平均数间的差
为两个处理校正平均数差数标准误； 为误差离回归均方； n为各处理的重复数； 为处理i的x变量的平均数； 为处理j的x变量的平均数； SSe(x)为x变量的误差平方和 例如，检验食欲添加剂配方1与对照校正50日 龄平均重间的差异显著性：
40
=10.3514-12.0758=-1.7244 =37.59/43=0.8742 =1.52,
18
表3-2 不同食欲增进剂仔猪生长情况表
（单位：kg）
19
此例，
=18.25+15.40+15.65+13.85=63.15
=141.80+130.10+144.80+133.80 =550.50 k=4，n=12，kn=4×12=48
20
协方差分析的计算步骤如下： (一)求x变量的各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度
(二)求y变量各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度
23
2、处理间平方和与自由度
3、处理内平方和与自由度
(三) 求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由度 1、总乘积和与自由度
24
=kn-1=4×12-1=47 2、处理间乘积和与自由度
=1.64
25
=k-1=4-1=3 3、处理内乘积和与自由度
29
回归分析的步骤如下： (1) 计算误差项回归系数，回归平方和， 离回归平方和与相应的自由度 从误差项的平方和与乘积和求误差项回归 系数： (3-10) 误差项回归平方和与自由度 (3-11)
dfR(e)=1
30
误差项离回归平方和与自由度
协方差分析

协方差分析

一、对试验进行统计控制 为了提高试验的精确性和准确性 ，对处理 以外的一切条件都需要采取有效措施严加控制， 使它们在各处理间尽量一致，这叫试验控制。
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但在有些情况下，即使作出很大努力也难以 使试验控制达到预期目的。例如：
研究几种配合饲料对猪的增重效果，希望试 验仔猪的初始重相同，因为仔猪的初始重不同， 将影响到猪的增重。经研究发现：增重与初始重 之间存在线性回归关系。但是，在实际试验中很 难满足试验仔猪初始重相同这一要求。
于是，样本相关系数r可用均方MSx、MSy，
均积MPxy表示为：
r MPxy MSx MSy
（10-3）
上一张 下一张 主 页 退 出
相应的总体相关系数ρ可用x与y的总体标
准差 x 、 y ，总体协方差COV(x,y)或 xy 表
示如下：
CO(Vx,y) xy xy xy
（10-4）
均积与均方具有相似的形式 ， 也有相似的
可以控制的混杂因素：最好在设计阶段（也可 在分析阶段）进行控制。 难以控制的混杂因素：在分析阶段进行控制。
常见的实例
（1）比较不同施肥量对果树单株产量的影 响，果树起始干周是混杂因素。 （2）比较两种药物治疗高血压的疗效，年 龄是一个混杂因素。 （3）研究不同饲料对动物增加体重的作用 时，动物的初始体重、进食量等因素。 （4）… …
方差
2 x
的无偏估计量；
(xx)(yy) 称为x与y的平均的离均差 n1
的乘积和，简称均积，记为MPxy，即
(xx)(yy)
MxP y
n1
xy(x)n(y) n1
（10-2）
与 均 积 相 应 的 总 体参 数 叫 协 方 差
SAS方差分析

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• 5.2.1 ANOVA过程 1．ANOVA过程简介 ANOVA过程主要用于处理均衡设计（即：对于每
个因素、每个水平的观测数是相等的，另外还可 以处理拉丁方设计、正交设计等）的一元、多元 方差分析和重复测量的方差分析，也可用于多个 变量的对比检验。
PROC ANOVA过程首先要检查试验设计是否均 衡，如果不均衡，也不是上面提到的几种情况之 一，就建议使用GLM过程。ANOVA过程和GLM 过程最后需用QUIT语句退出。
MEANS 因素名 / 拟选用的方法名 ALPHA=p ; (0<p<1)
1. 仅控制比较误差率（CER）的两两比较法 Ｔ法：即成组比较的ｔ检验法，但误差的均方不是由所比较
的2组数据算得，而是由全部数据算得的。拒绝域：若 T≥t （α ，υ），则p≤α，即可称被比较的2组总体均值 之间差异显著。 注意：用此法所作比较的次数越多，其试验误差率（MEER） 就越大，结论安全性较差。 LSD法：也叫最小显著差法，只用于2组样本数相等的场合。 LDS的值被称为Fisher的最小显著差值。当｜X-i- X-j｜ ≥LSD时，则p≤α，即可称被比较的2组总体均值之间差 异显著。 注意：用此法所作比较的次数越多，其试验误差率（MEER） 就越大，安全性较差。 DUNCAN法（参见本节“多级检验”部分）
5.3.2 一元方差分析应用举例
输出结果中的Duncan Grouping列标识相同符号表 示组间没有差异，标识不同符号表示组间存在差 异。所以（a2与a5），（a4与a7）品种的玉米青 贮之间的可溶性有机物wsc的含量没有差异，而 其它品种（a2,a5）与a6与a1与（a4,a7）与a3的玉 米青贮之间的可溶性有机物wsc的含量均存在显 著差异。从专业角度说明：青贮玉米中的可溶性 有机物wsc的含量越高，饲料使用价值越高，因 此可以认为a2高油玉米115a和a5农大80两个品种 的玉米青贮饲料使用价值较高。