【高考】2018-2019学年高三高考数学二轮复习专题训练+05+Word版含答案

一、选择题1．(2018·高考天津卷)设全集为R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0<x ≤1} B ．{x |0<x <1} C ．{x |1≤x <2}D ．{x |0<x <2}解析：选B.因为B ＝{x |x ≥1}，所以∁R B ＝{x |x <1}，因为A ＝{x |0<x <2}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x <1}，故选B.2．(2018·沈阳教学质量监测(一))若i 是虚数单位，则复数2＋3i1＋i的实部与虚部之积为( )A ．－54B.54C.54i D ．－54i解析：选B.因为2＋3i 1＋i ＝(2＋3i)(1－i)(1＋i)(1－i)＝52＋12i ，所以其实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B.3．(2018·南宁模拟)已知(1＋i)·z ＝3i(i 是虚数单位)，那么复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.因为(1＋i)·z ＝3i ，所以z ＝3i1＋i ＝3i(1－i)(1＋i)(1－i)＝3＋3i 2，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，所以复数z 在复平面内对应的点位于第一象限，故选A. 4．(2018·西安模拟)设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x2}，则A ∩B ＝( )A ．(0，2]B ．(1，2]C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，所以A ∩B ＝(1，2]，故选B.5．(2018·太原模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.6．(2018·洛阳第一次联考)已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B.22C. 2D ．1解析：选B.因为z ＝－1＋i 2i ＝－1＋i 2，所以|z |＝22，故选B.7．(2018·西安八校联考)在△ABC 中，“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.法一：设AB →与BC →的夹角为θ，因为AB →·BC →＞0，即|AB →|·|BC →|cos θ＞0，所以cos θ＞0，θ＜90°，又θ为△ABC 内角B 的补角，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.法二：由AB →·BC →＞0，得BA →·BC →＜0，即cos B ＜0，所以∠B ＞90°，△ABC 是钝角三角形；当△ABC 为钝角三角形时，∠B 不一定是钝角．所以“AB →·BC →＞0”是“△ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A.8．(2018·辽宁五校联合体模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]解析：选C.集合P ＝{x |x 2－2x －8＞0}＝{x |x ＜－2或x ＞4}，Q ＝{x |x ≥a }，若P ∪Q ＝R ，则a ≤－2，即a 的取值范围是(－∞，－2]，故选C.9．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1＜0”D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题解析：选D.A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，D 正确，故选D.10．(2018·惠州第一次调研)设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( )A ．p 为假命题B ．﹁q 为真命题C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题解析：选C.函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)，－x 2(x ＜0)在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.11．(2018·辽宁五校协作体联考)已知命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0，4]C ．[4，＋∞)D ．(0，4)解析：选D.因为命题“∃x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R ，4x 2＋(a －2)x ＋14＞0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4，故选D.12．(2018·成都模拟)下列判断正确的是( ) A ．若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 对立 B ．函数y ＝x 2＋9＋1x 2＋9(x ∈R )的最小值为2 C ．若直线(m ＋1)x ＋my －2＝0与直线mx －2y ＋5＝0互相垂直，则m ＝1D ．“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件解析：选D.对于A 选项，若事件A 与事件B 互斥，则事件A 与事件B 不一定对立，反之，若事件A 与事件B 对立，则事件A 与事件B 一定互斥，所以A 选项错误；对于B 选项，y ＝x 2＋9＋1x 2＋9≥2，当且仅当x 2＋9＝1x 2＋9，即x 2＋9＝1时等号成立，但x 2＋9＝1无实数解，所以等号不成立，于是函数y ＝x 2＋9＋1x 2＋9(x ∈R )的最小值不是2，所以B 选项错误；对于C 选项，由两直线垂直，得(m ＋1)m ＋m ×(－2)＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以C 选项错误；对于D 选项，若p ∧q 为真命题，则p ，q 都是真命题，于是p ∨q 为真命题，反之，若p ∨q 为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，此时p ∧q 不一定为真命题，所以“p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的充分不必要条件，所以D 选项正确．综上选D.二、填空题13．已知z 1－i＝2＋i ，则z －(z 的共轭复数)为________．解析：法一：由z 1－i＝2＋i 得z ＝(1－i)(2＋i)＝3－i ，所以z －＝3＋i.法二：由z 1－i ＝2＋i 得⎝ ⎛⎭⎪⎫z －1－i ＝2＋i －，所以z －1＋i ＝2－i ，z －＝(1＋i)(2－i)＝3＋i. 答案：3＋i14．(一题多解)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{1，2}，Q ＝{－1，0，1}，则集合P *Q 中元素的个数为________．解析：法一(列举法)：当b ＝0时，无论a 取何值，z ＝a b ＝1；当a ＝1时，无论b 取何值，a b ＝1；当a ＝2，b ＝－1时，z ＝2－1＝12；当a ＝2，b ＝1时，z ＝21＝2.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12，2，该集合中共有3个元素．法二(列表法)：因为a ∈P ，b ∈Q ，所以a 的取值只能为1，2；b 的取值只能为－1，0，1.z ＝a b 的不同运算结果如下表所示：由上表可知P *Q ＝⎩⎨⎭⎬1，12，2，显然该集合中共有3个元素． 答案：315．下列命题中，是真命题的有________．(填序号) ①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x ＞sin x ；②在△ABC 中，若A ＞B ，则sin A ＞sin B ；③函数f (x )＝tan x 的图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π2，0；④∃x 0∈R ，sin x 0cos x 0＝22. 解析：①中，设g (x )＝sin x －x ，则g ′(x )＝cos x －1＜0，所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减，所以g (x )＜g (0)＝0，即x ＞sin x 成立，故①正确；②中，在△ABC 中，若A ＞B ，则a ＞b ，由正弦定理，有sin A ＞sin B 成立，故②正确；③中，函数f (x )＝tan x 的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0是函数f (x )的图象的一个对称中心，故③正确；④中，因为sin x cos x ＝12sin 2x ≤12＜22，所以④错误．答案：①②③16．已知命题p ：∀x ∈[0，1]，a ≥2x ；命题q ：∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0.若命题“p ∨q ”是真命题，“﹁p ∧q ”是假命题，则实数a 的取值范围为________．解析：命题p 为真，则a ≥2x (x ∈[0，1])恒成立， 因为y ＝2x 在[0，1]上单调递增，所以2x ≤21＝2，故a ≥2，即命题p 为真时，实数a 的取值集合为P ＝{a |a ≥2}．若命题q 为真，则方程x 2＋4x ＋a ＝0有解，所以Δ＝42－4×1×a ≥0，解得a ≤4. 故命题q 为真时，实数a 的取值集合为Q ＝{a |a ≤4}．若命题“p ∨q ”是真命题，那么命题p ，q 至少有一个是真命题； 由“﹁p ∧q ”是假命题，可得﹁p 与q 至少有一个是假命题． ①若p 为真命题，则﹁p 为假命题，q 可真可假， 此时实数a 的取值范围为[2，＋∞)；②若p为假命题，则q必为真命题，此时，“﹁p∧q”为真命题，不合题意．综上，实数a的取值范围为[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)。

专题能力训练集合与常用逻辑用语一、能力突破训练.若命题:∀∈≤,则为().∃∈>.∀∈>.∃∈≥.∀∈≥.(全国Ⅲ,理)已知集合{≥}{},则∩().{} .{} .{} .{}.命题“若()是奇函数,则()是奇函数”的否命题是().若()是偶函数,则()是偶函数.若()不是奇函数,则()不是奇函数.若()是奇函数,则()是奇函数.若()不是奇函数,则()不是奇函数.已知集合{<<}{<<},那么∪().() .().() .().设集合{}{}{∈≤≤},则(∪)∩().{} .{}.{} .{∈≤≤}.(天津,理)设∈,则“”是“<”的().充分而不必要条件.必要而不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件.已知集合{>}{},则()∩⌀⊆⊆.设∈,命题“若>,则关于的方程有实根”的逆否命题是().若关于的方程有实根,则>.若关于的方程有实根,则≤.若关于的方程没有实根,则>.若关于的方程没有实根,则≤.已知命题:“∃∈≤”为假命题,则实数的取值范围是().().().().().已知条件>,条件>,且 充分不必要条件,则的取值范围是() ≥≤≥≤.下列命题正确的是().∃∈.∀∈>>是>的充分不必要条件.若>,则>.已知命题:∃∈> ,命题:∀∈>,则().命题∨是假命题.命题∧是真命题.命题∧()是真命题.命题∨()是假命题。

[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( )A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 为( )A.74B.34C.73D.13解析：选A.由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ， 得b ＝2a ，因为cos B ＝a2＋c2－b22ac ＝a2＋4a2－2a24a2＝34，所以sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.3．(2018·洛阳第一次统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cbsinB ＝( )A.32B.233 C.33D.3 解析：选B.由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sin C ＝32·sin C ，由正弦定理得，c bsinB ＝sinC sin2B＝sinC 32sinC ＝233.故选B.4．(2018·昆明模拟)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1B.2 C.3D ．2解析：选A.法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1，故选A.法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A.5．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，所以sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，所以sin A cos C＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，整理得sin C (sin A ＋cos A )＝0.因为sin C ≠0，所以sin A ＋cos A ＝0，所以tan A ＝－1，因为A ∈(0，π)，所以A ＝3π4.由正弦定理得sin C ＝c·sinAa ＝2×222＝12，又0<C <π4，所以C ＝π6.6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24C.64D.63解析：选C.依题意得，BD ＝AD ＝DE sinA ＝22sinA ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BCsin ∠BDC＝BD sinC ，4sin2A ＝22sinA ×23＝423sinA ，即42sinAcosA ＝423sinA，由此解得cos A ＝64.二、填空题7．若sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝________．解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π3－α＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－α－1＝2×⎝⎛⎭⎫142－1＝－78.答案：－788．(2018·高考全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________．解析：因为cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42.答案：429．(2018·惠州第一次调研)已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sinA ＝c sinC ，得4sinA ＝csin2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A－16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b264－16b ＝（4－b ）（4＋b ）16（4－b ）＝4＋b 16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210)三、解答题10．(2018·沈阳教学质量监测(一))在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(1)求C ；(2)若a ＋b ＝6，△ABC 的面积为23，求c .解：(1)由正弦定理得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，又sin A ＝sin(B ＋C )，所以2sin C cos B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ，所以2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，所以2sin B cos C ＋sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos C ＝－12.又C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ＝23，所以ab ＝8，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b )2－ab ＝28，所以c ＝27.11．(2018·石家庄质量检测(二))已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3c acosB＝tan A ＋tan B .(1)求角A 的大小；(2)设AD 为BC 边上的高，a ＝3，求AD 的取值范围．解：(1)在△ABC 中，因为3c acosB ＝tan A ＋tan B ，所以3sinC sinAcosB ＝sinA cosA ＋sinB cosB ，即3sinCsinAcosB＝sinAcosB ＋sinBcosAcosAcosB，所以3sinA ＝1cosA ，则tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，所以AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b2＋c2－a22bc ≥2bc －32bc ，所以0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以0<AD ≤32.12．(2018·郑州质量检测(二))已知△ABC 内接于半径为R 的圆，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C，c ＝3. (1)求A ；(2)若AD 是BC 边上的中线，AD ＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)对于2R (sin 2B －sin 2A )＝(b －c )sin C ，由正弦定理得，b sin B －a sin A ＝b sin C －c sin C ，即b 2－a 2＝bc －c 2，所以cos A ＝b2＋c2－a22bc ＝12，因为0°<A <180°，所以A ＝60°.(2)以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC ，连接DE ，易知A ，D ，E 三点共线．在△ABE 中，∠ABE ＝120°，AE ＝2AD ＝19，在△ABE 中，由余弦定理得AE 2＝AB 2＋BE 2－2AB ·BE cos120°，即19＝9＋AC 2－2×3×AC ×⎝⎛⎭⎫－12，得AC ＝2.故S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ＝332.[B 组大题增分专练]1．(2018·长春质量监测(二))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积S ＝b 2sin A .(1)求cb的值；(2)设内角A 的平分线AD 交于BC 于D ，AD ＝233，a ＝3，求b .解：(1)由S ＝12bc sin A ＝b 2sin A ，可知c ＝2b ，即cb ＝2.(2)由角平分线定理可知，BD ＝233，CD ＝33，在△ABC 中，cos B ＝4b2＋3－b22·2b·3，在△ABD 中，cos B ＝4b2＋43－432·2b·233，即4b2＋3－b22·2b·3＝4b2＋43－432·2b·233，解得b ＝1.2．(2018·贵阳模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c .(1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值；(2)若C ＝π4，M ＝a2＋b2＋13c2ab，求M 的值．解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，所以sin A ＝45，tan A ＝43，所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c2，所以BC ＝CD2＋BD2＝⎝⎛⎭⎫23c 2＋⎝⎛⎭⎫c 22＝5c 6，由正弦定理得：sin ∠ACB ＝ABsinABC ＝c×455c 6＝2425.(2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ，所以c 2＝324ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ，所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ，所以M ＝a2＋b2＋13c2ab ＝22abab＝22.3．(2018·合肥质量检测)已知△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝22，∠DBC ＝45°.(1)若CD ＝25，求△BCD 的面积；(2)若角C 为锐角，AB ＝62，sin A ＝1010，求CD 的长． 解：(1)在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos45°，即20＝8＋BD 2－4BD ，解得BD ＝6，所以△BCD 的面积S ＝12×22×6×sin45°＝6.(2)在△ABC 中，由BC sinA ＝AB sinC 得221010＝62sinC，解得sin C ＝31010.由角C 为锐角得，cos C ＝1010， 所以sin ∠BDC ＝sin(C ＋45°)＝255.在△BCD 中，CD sin ∠DBC ＝BC sin ∠BDC ，即CD 22＝22255，解得CD ＝5.4．(2018·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理a sinA ＝bsinB，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得tan B ＝3.又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a <c ，故cos A ＝27.因此sin2A ＝2sin A cos A ＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17，所以，sin(2A －B )＝sin2A cos B －cos2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.。

限时规范训练二十一 坐标系与参数方程限时30分钟，实际用时分值40分，实际得分解答题(本题共4小题，每小题10分，共40分)1．(2017·河南六市联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程．(2)若射线θ＝π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝7cos α，y ＝2＋7sin α(其中α为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝7. 因为曲线C 2：(x －1)2＋y 2＝1，所以把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －1)2＋y 2＝1， 得到曲线C 2的极坐标方程(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ)2＝1， 化简得ρ＝2cos θ.(2)依题意设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π6， 因为曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρsin θ－3＝0， 将θ＝π6(ρ＞0)代入曲线C 1的极坐标方程，得ρ2－2ρ－3＝0，解得ρ1＝3，同理，将θ＝π6(ρ＞0)代入曲线C 2的极坐标方程．得ρ2＝3，所以|AB |＝|ρ1－ρ2|＝3－ 3.2．(2017·武昌区调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α| ＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.3．(2017·广东普宁模拟)在极坐标系中曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ，点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．斜率为－1的直线l 过点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程． (2)求点M 到A ，B 两点的距离之积． 解：(1)令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝4cos θ，得ρ2sin 2θ＝4ρcos θ， 所以y 2＝4x ，所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ， 因为点M 的直角坐标为(0,1)，直线l 的倾斜角为3π4，故直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos 3π4，y ＝1＋t sin 3π4，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)．(2)把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)代入曲线C 的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22t 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22t ， 即t 2＋62t ＋2＝0， Δ＝(62)2－4×2＝64，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2，又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得点M 到A ，B 两点的距离之积|MA |·|MB |＝|t 1||t 2|＝|t 1·t 2|＝2.4．(2017·黑龙江哈尔滨模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)求C 1的极坐标方程，C 2的直角坐标方程．(2)求C 1与C 2交点的极坐标(其中ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t y ＝5＋5sin t，消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25， 即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，变为ρ2＝2ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋y 2－2y ＝0.(2)因为C 1的普通方程为x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.。