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13.4最短路径问题

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巨鹿县实验中学八年级上学科导学案 编辑人： 审核人：
69
13.4最短路径问题
【导学目标】
体会利用作图解决最短路径问题.
【导学重点】
能熟练利用作图解决最短路径问题.
【导学难点】

体会利用作图解决最短路径问题.
【导学过程】

一、自主学习
认真看课本P85—P87练习上面注意：
①思考“问题1”和“问题2”.
完成下列问题。
1.求直线 的两点到直线上一点的距离
的和最小的问题，只要连接这两点，所得
与直线的交点即为所求的位置。
2.求直线 的两点到直线上一点的距离
的和最小的问题，只要找到其中一个点关于
这条直线的 ，连接 和 ，
所得 与该直线的 即为所求的置。
练习：
1.如图所示，从A地到B地有三条路可供选
择，你会选走哪条路最近？你的理由是什
么？

2.两点在一条直线异侧：已知：如图，A，B
在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB
最小。

二、合作探究
从A地到B地经过一条小河（河岸平行）今
欲在河上建一座桥（桥垂直于河的两岸），

应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的
路程最短？

解：描述一：(1)将点A沿垂直与河岸的方向
平移一个河宽到C；(2)连接BC交河岸于点
N, 过点N作河岸的MN交另一边河岸于点M
MN为所建的桥。

描述二：(1)过点A作AC 于河岸，且
AC等于河宽；(2)连接BC交靠近点B的河岸
于点N;(3)过点N作河岸的 交另一边河
岸于点M,则 为所求的桥的位置。

三、达标检测
1.如图所示，要在街道旁修建一个奶
站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什
么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．
作法：

跟踪训练1.要在河边修建一个水泵站，分别
向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么
地方，可使所用水管最短？试在图中确定水
泵站的位置，并说明你的理由。

张村
李庄

l
A

B
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2.实验中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 四.巩固练习 1.在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 2.如图所示，A，B两点在直线l的异侧，在l上分别找两点C、D，使点C到点A、B的距离之和最小，使点D到点A、B的距离之差最大. 3.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 4.已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，
在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，
组成三角形，使三角形周长最小.

5.如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一
定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，
求PE+PC最小值。

6.如图，要从小河饮水到村庄A，过点A作
AB⊥a于点B，则线段AB为最短路径，理
由是 .

7.如图，牧马人从A地出发，先到草地边某
一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，
请画出最短路径．

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人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案

人教版八年级数学上册：13.4课题学习最短路径问题(将军饮马为题)教案

5.结合实际情境，让学生体会数学与生活的密切联系，增强数学学习的兴趣和信心，培养正确的数学价值观。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握轴对称的性质，以及在实际问题中的应用。
-学会利用轴对称性质解决最短路径问题，特别是将军饮马问题。
-掌握通过直观感知、操作确认、推理证明等数学活动来解决几何问题。
其次，小组讨论环节，学生的参与度很高，大家积极分享自己的观点。但我注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，讨论一些与最短路径问题不相关的内容。这提示我在今后的教学中，需要更加明确讨论的主题和目标，适时引导学生回到主题上来。
另外，实践活动的设计上，我觉得还可以进一步优化。虽然实验操作能够帮助学生理解最短路径的概念，但我觉得可以增加一些更具挑战性和实际意义的任务，让学生在实践中遇到更多的问题，从而激发他们更深层次的思考和探索。
教学内容：
（1）回顾线段的性质，强调线段是两点间距离最短的路径。
（2）引入将军饮马问题，探讨在给定条件下如何找到最短路径。
（3）学习轴对称的性质，掌握将问题转化为轴对称问题的方法。
（4）应用轴对称性质解决将军饮马问题，得出最短路径的解法。
（5）通过例题和练习，巩固最短路径问题的求解方法。
二、核心素养目标
在难点和重点的讲解上，我尽量使用了简单的语言和生动的例子，但仍有部分学生在理解上存在障碍。我考虑在下一节课前，通过一些小测验来检测学生对这些概念的理解程度，以便我能够更有针对性地进行辅导。
此外，我也意识到，对于一些接受能力较强的学生，他们在掌握了基本概念后，可能需要更多拓展性的内容来满足他们的学习需求。因此，我计划在后续的课程中，提供一些难度较高的题目，让他们在挑战中进一步提升自己的能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调轴对称性质和线段性质这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图形比较来帮助大家理解。
人教版数学八年级上册13.4最短路径问题教案

人教版数学八年级上册13.4最短路径问题教案

首先，我发现通过生活中的实际问题引入新课，极大地激发了学生的兴趣。他们能够将数学知识与现实生活联系起来，感受到数学的实用性和趣味性。在今后的教学中，我还要多设计一些贴近生活的案例，让学生感受到数学的无处不在。
其次，在新课讲授环节，我发现学生们对轴对称性质的理解较为扎实，但在将其应用于最短路径问题的求解过程中，部分学生还是显得有些吃力。针对这一点，我在讲解过程中尽量放慢速度，通过详细的步骤解析和直观的图形演示，帮助他们理解。在之后的课堂中，我还需要加强对学生的个别辅导，确保他们能够真正掌握这一知识点。
（2）确定最短路径问题中的对称轴：在实际问题中，确定对称轴可能较为困难，尤其是当问题涉及多个线段或点时。
难点解析：通过具体例子，展示如何寻找和确定线段、点到线段的最短路径问题中的对称轴。
（3）计算最短路径长度的方法：在确定对称轴和对称点后，如何进行有效计算，避免复杂和繁琐的步骤。
难点解析：教授学生运用几何图形的直观和代数计算相结合的方法，简化计算过程，如利用勾股定理等。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了轴对称的基本概念、最短路径问题的求解方法及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了人教版数学八年级上册13.4节“最短路径问题”。这节课让我感受到了学生们对几何问题的热情，也让我意识到了一些教学中的亮点和需要改进的地方。
4.培养学生的团队合作意识，通过小组讨论和合作完成最短路径问题的求解，提高学生的沟通与协作能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）轴对称图形的性质及其应用：轴对称图形的对称轴、对称点等基本概念，以及如何利用这些性质解决最短路径问题。
人教版数学八年级上册13.4新课学习,最短路径的问题优秀教学案例

人教版数学八年级上册13.4新课学习,最短路径的问题优秀教学案例

2.结合实际案例，讲解如何将最短路径问题转化为数学模型。
-以道路施工情境为例，演示如何利用坐标系求解最短路径。
3.分析解题步骤，引导学生掌握求解最短路径的基本方法。
-梳理解题思路，强调关键步骤，提高学生解题能力。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成小组，针对给定的问题进行讨论，共同寻找最短路径的解决方案。
本案例以一个具体的实际情境为背景：假设我们所在的城市的某段道路正在施工，需要找到一条从起点到终点的最短路径。通过这个情境，让学生感受到数学知识在解决实际问题时的重要性，激发他们的学习兴趣。在此基础上，我们将引导学生运用坐标系中的距离公式，结合生活实际，寻求最佳解决方案。
在教学过程中，注重培养学生的合作意识和探究精神，鼓励他们积极参与课堂讨论，分享自己的解题思路和心得。通过师生互动、生生互动，共同探索最短路径问题，使学生在轻松愉快的氛围中掌握数学知识，提高解决问题的能力。
-引导学生思考如何在复杂的道路网中找到一条最短路径。
2.通过生活中的实例，让学生认识到最短路径问题的实际意义。
-示例：“假设我们从学校出发，到附近的超市购物，如何选择一条最短路径？”
-让学生初步感知最短路径问题与日常生活的紧密联系。
（二）讲授新知
1.介绍平面直角坐标系中两点间距离的计算方法。
-讲解距离公式的推导过程，让学生理解并掌握其原理。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，使其认识到数学在解决实际问题中的重要性。
2.培养学生面对问题时，勇于挑战、积极探究的精神风貌，增强自信心。
3.通过解决最短路径问题，使学生体会数学知识在实际生活中的应用，培养学以致用的意识。
4.培养学生具有严谨、细致的学习态度，养成良好的学习习惯。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例

3.课堂小结，教师引导学生总结本节课的学习内容，使学生对最短路径问题有一个全面的认识。
4.鼓励学生在课后进行深入研究，不断提高自己的数学素养。
五、案例亮点
1.生活实例引入：通过引入实际生活中的最短路径问题，如旅行路线规划、物流配送等，使学生能够直观地理解最短路径问题的意义和应用，提高学生的学习兴趣。
3.教师引导学生运用坐标系、函数、图论等知识，分析问题、解决问题。
（三）小组合作
1.学生分组进行讨论，培养学生的团队合作意识。
2.教师组织小组间的交流与分享，促进学生间的互帮互助。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点进行针对性指导。
（四）反思与评价
1.教师引导学生对自己的学习过程进行反思，总结最短路径问题的解决方法。
人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为“人教版八年级数学上册13.4课题学习最短路径问题”，是在学生已经掌握了平面直角坐标系、一次函数和二次函数等基础知识的基础上进行学习的。通过对最短路径问题的探究，旨在培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力和解决问题的能力。
3.组织学生探讨、交流最短路径问题的解决方法，培养学生合作学习的能力。
4.引导学生运用图论中的最短路径算法解决实际问题，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。
5.对学生进行评价，了解学生对最短路径问题的理解和运用程度，及时进行教学调整。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的积极性。
2.设计具有挑战性和吸引力的数学问题，激发学生的求知欲。
3.创设轻松、愉快的学习氛围，使学生在课堂上敢于发表自己的观点，培养学生的创新精神。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题，如“如何找到两点之间的最短路径？”、“最短路径问题在实际生活中有哪些应用？”等。