2.3.1 双曲线及其标准方程
课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.
这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
2.双曲线定义的集合表示
设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.
注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:
①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0),则点P在左支上.如图①所示.
②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支上.如图②所示.
(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”. ①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.
②若2a>2c,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.
3.双曲线的标准方程
标准方程 22xa-22yb=1
(a>0,b>0) 22ya-22xb=1
(a>0,b>0)
双曲线在
坐标系中
的位置
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 c2=a2+b2
注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小则不确定.
3.2.1双曲线及其标准方程
教学设计
本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第二节《双曲线》。以下是本节的课时安排：
第三章 圆锥曲线的方程
课时内容 3.2.1双曲线及其标准方程 3.2.2双曲线的简单几何性质
所在位置 教材第118页 教材第121页
新教材
内容
分析 双曲线是生产生活中的常见曲线，教材在用拉链画双曲线的过程中，体会双曲线的定义，感知双曲线的形状，为选择适当的坐标系，建立双曲线的标准方程、研究双曲线的几何性质做好铺垫。 通过对双曲线标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养 通过双曲线的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对双曲线的定义理解，培养数学抽象的核心素养。 通过双曲线的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与双曲线的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线 双曲线的标准方程、几何性质
学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,培养数学抽象的核心素养．
2.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程，培养逻辑推理的核心素养.
重点：双曲线的定义及双曲线的标准方程
难点：运用双曲线的定义及标准方程解决相关问题
（一）新知导入
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
（二）双曲线及其标准方程
知识点一 双曲线的定义
【探究1】取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
1 2.3.1双曲线及其标准方程学案
课 题 双曲线及其标准方程 课型 新授 授课人
学习
目标
（1）了解双曲线的定义及焦距的概念;（重点）
（2）了解双曲线的几何图形、标准方程.（难点）
教 学 内 容
（一） 知识链接
问题1：椭圆的定义是什么？
问题2：椭圆的标准方程是怎样的?
（二） 新课导学
如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点12,FF的距离的差的__________等于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线.
两定点12,FF叫做双曲线的____________，两焦点间的距离12FF叫做双曲线的___________．
反思：设常数为2a，为什么122aFF?
122aFF时，轨迹是___________________；
122aFF时，轨迹是___________________．
试试：点1,0,1,0AB，若1ACBC，则点C的轨迹是______________．
新知2：双曲线的标准方程： 222210,0,xyabab
思考：若焦点在y轴上，标准方程又如何？
（三）典型例题
题型一 双曲线标准方程的理解
例1 .若曲线C：22141xykk表示双曲线，求k的取值范围.
小结：双曲线的焦点在x轴上标准方程中2x项的系数为___________
双曲线的焦点在y轴上_________________________________
变式训练
1. 到两定点123,0,3,0FF的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.线段 C.双曲线 D.两条射线
2. 双曲线221259xykk的焦距为( )
A.16 B.8 C.4 D.234
§2.3.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1．掌握双曲线的定义；
2．掌握双曲线的标准方程．
学习过程
一、课前准备
复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？
复习2：在椭圆的标准方程22221xyab中，,,abc有何关系？若5,3ab，则?c
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
新知1：双曲线的定义：
平面内与两定点12,FF的距离的差的 等于常数(小于12FF)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,FF叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12FF叫做双曲线的 ．
反思：设常数为2a ，为什么2a12FF？
2a12FF时，轨迹是 ；
2a12FF时，轨迹 ．
试试：点(1,0)A，(1,0)B，若1ACBC，则点C的轨迹是 ．
新知2：双曲线的标准方程：
22222221,(0,0,)xyabcabab（焦点在x轴）其焦点坐标为1(,0)Fc，2(,0)Fc．
思考：若焦点在y轴，标准方程又如何？
※ 典型例题
例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F，2(5,0)F，双曲线上任意点到12,FF的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
变式：已知双曲线221169xy的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离为 .
例2 已知,AB两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340/ms，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
变式：如果,AB两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
※ 动手试试
练1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在x轴上，4a，3b；
