高考数学解题方法专题讲解专题(十四) 三角函数模型中“ω”值的求法在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点．本文整理了以下几种ω的求法，以供参考．一、结合三角函数的单调性求解[例1] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[π3，π2]上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[0，23]B ．[0，32]C ．[23，3]D ．[32，3]解析：令π2＋2k π≤ωx ≤32π＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在[π3，π2]上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω.得：6k ＋32≤ω≤4k ＋3.又ω>0，所以k ≥0，又6k ＋32<4k ＋3，得0≤k <34，所以k ＝0.即32≤ω≤3，故选D.答案：D名师点评根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f (x )的单调递减区间，根据函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[π3，π2]上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．[变式练1] 已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω>0.若f (x )在[－π4，2π3]上单调递增，求ω的取值范围．二、利用三角函数的对称性求解[例2]已知函数f(x)＝cos(ωx＋π3)(ω>0)的一条对称轴x＝π3，一个对称中心为点(π12，0)，则ω有()A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1解析：因为函数的中心到对称轴的最短距离是T4，两条对称轴间的最短距离是T2，所以，对称中心(π12，0)到对称轴x＝π3间的距离用周期可表示为π3－π12＝T4＋kT2(k∈N，T为周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝2πω，所以(2k＋1)2πω＝π，则ω＝2(2k＋1)，当k＝0时，ω＝2最小．故选A.答案：A名师点评三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函数的对称轴必经过其图象上的最高点(极大值)或最低点(极小值)，函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)的对称中心就是其图象与x轴的交点，这又说明，我们也可利用三角函数的极值点(最值点)、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定“ω”的取值．[变式练2]若函数y＝cos(ωx＋π6)(ω∈N*)的图象的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为()A．1B．2C ．4D ．8三、利用三角函数的最值求解[例3] 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．解析：显然ω≠0.若ω>0，当x ∈[－π3，π4]时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω<0，当x ∈[－π3，π4]时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，即ω≤－2.所以ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．答案：(－∞，－2]∪[32，＋∞)名师点评利用三角函数的最值与对称或周期的关系，可以列出关于ω的不等式，进而求出ω的值或取值范围．[变式练3] 已知f (x )＝sin(ωx ＋π3)(ω>0)，f (π6)＝f (π3)，且f (x )在区间(π6，π3)内有最小值无最大值，则ω＝________.专题(十四)变式练1解析：因为函数f (x )＝2sin ωx 的周期T ＝2πω，所以[－π2ω，π2ω]是f (x )的一个单调递增区间．又f (x )在[－π4，2π3]单调递增，所以[－π4，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]．于是有－π2ω≤－π4，π2ω≥2π3.又ω>0，解得0<ω≤34.故ω的取值范围是(0，34]．变式练2解析：依题意得cos(πω6＋π6)＝0，则πω6＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，解得ω＝6k ＋2，又ω∈N *，所以ω的最小值为2.故选B.答案：B变式练3解析：因为f (π6)＝f (π3)，而12(π6＋π3)＝π4，所以f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，又f (x )在区间(π6，π3)内有最小值无最大值，所以f (x )min ＝f (π4)＝sin(πω4＋π3)＝－1，所以πω4＋π3＝2k π－π2，k ∈Z ，解得ω＝8k －103.再由f (x )在区间(π6，π3)内有最小值无最大值，得2πω＝T ≥π3－π6，解得ω≤12，所以k ＝1，ω＝143.答案：143。
一、基础知识考点1三角函数的诱导公式（1）=α+π)sin(k 2________ =α+π)(k os 2c ______ =α+π)tan(k 2______ （2）=α+π)sin(________ =α+π)cos(________ =α+π)tan(_______ （3）=α-π)sin(________ =α-π)cos(_______ =α-π)tan(________ （4）=α-π)sin(2________ =α-π)cos(2________ =α-π)tan(2________ （5）=α-)sin(________ =α-)cos(________ =α-)tan(________（6）=α-π)sin(2________ =α-π)cos(2________ =α-π)tan(2________（7）=α+π)sin(2________ =α+π)cos(2________ =α+π)tan(2________（8）=α-π)sin(23________ =α-π)cos(23_______ =α-π)23tan(________（9）=α+π)sin(23________ =α+π)cos(23________ =α+π)23tan(________任意角的三角函数值，等于这个角的终边与x 轴非负半轴所夹锐角的三角函数值，前面加上这个角的终边所在象限的符号．考点2三角函数的诱导公式的应用诱导公式一：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈ 诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α 诱导公式三： sin()sin αα-=-； cos()cos αα-= 诱导公式四：sin(180)sin αα-=； cos(180)cos αα-=- 诱导公式五：sin(360)sin αα-=-； cos(360)cos αα-=可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值、化简带来很大的方便．二、例题精析【例题1】下列三角函数值分别为（填序号） (1) sin390°＝ ； (2) cos=π619 ； (3) tan(－330°) ＝ ； A ．3B ．21C ．33D ．23-【例题2】（1）若m =︒140sin ，则 =︒2020cos （ ） A ．m- B ．m C ．21m --D ．21m -（2）若54)sin(=α+π，α为第三象限的角，则 =α-π)2cos(（ ） A ．54- B ．53- C ．54± D ．53【例题3】 化简：（1）sin(180)sin()tan(360)tan(180)cos()cos(180)αααααα-++--+++-+-；（2）)(cos )5sin()4sin()3(sin )(cos )4cos(222π-θ-π+θ⋅π-θπ+θ⋅π+θ⋅π+θ．【例题４】已知2tan =α，则=α-π-α-α+π+α+π)cos()sin()cos()3sin(（ ）A ．0B ．31C ．1D ．3【例题５】已知41)6sin(=π+x ，求)65(cos )67sin(2x x -π+π+的值．三、课堂运用【基础】1. 为下列三角函数选值（填选项字母） (1)cos225°； (2)sin311π； (3)sin(319π-)； (4)cos(-2 040°). A ．23- B ．22- C ．23 D ．21-【巩固】２. 已知sin(3π＋θ)＝13，求cos (π＋θ)cos θ[cos (π－θ)－1]＋cos (θ－2π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos (θ－π)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ的值．【拔高】３. 三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ， cos A －sin C )， 则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是________．四、课程小结公式一至六可用一句话“纵变横不变，符号看象限”来记忆，简单方便，不会遗忘．利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种策略，要细心去体会，去把握．利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度．五、课后作业【基础】1．cos330°等于( )A.21 B.21- C.23 D.23-2．已知sin 110°＝a ，则cos 20°的值为________． 3．已知cos 31°＝a ，则sin 239°·tan 149°＝________．4．化简:790cos 250sin 430cos 290sin 21++ 5．化简cos315°+sin(－30°)+sin225°+cos480°． 【巩固】1．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为________．2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________.3．已知cos(π－α)＝817，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝________.4．sin()sin()()sin()cos()n n n Z n n απαπαπαπ++-∈+-．【拔高】1．求证:θθπθθπθπθπtan )5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(=+----.2．化简.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(a a a a a a a a +-----++-ππππππππ3．已知sinα是方程06752=--x x 的根，且α为第三象限角．求)cos()cos()tan()(tan )sin()sin(a a a a a a +π⋅-π-π⋅-π⋅-π⋅π+22223232的值．课后作业参考答案【基础】1．C 2．a 3．21a - 4．1-解析：790cos 250sin 430cos 290sin 21++=)70720cos()70180sin()70360cos()70360sin(21++++-+=70sin 70cos |70sin 70cos |70cos 70sin 70cos 70sin 21--=+-- =170sin 70cos 70cos 70sin -=--. 5．1-【巩固】 1． m ＋1m －1解析： ∵sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)＝sin (－4π＋π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝sin (π＋α)－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1，又tan(5π＋α)＝m ， ∴tan(π＋α)＝m ，tan α＝m ，∴原式＝m ＋1m －1.2． －23解析： sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23． 3．158解析： cos(π－α)＝－cos α＝817，即cos α＝－817，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2， ∴sin α＜0，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.4．当2,n k k Z =∈时，原式＝αcos 2； 当21,n k k Z =+∈时，原式＝－αcos 2． 解析：①当2,n k k Z =∈时，原式sin(2)sin(2)2sin(2)cos(2)cos k k k k απαπαπαπα++-==+-；②当21,n k k Z =+∈时，原式sin[(21)]sin[(21)]2sin[(21)]cos[(21)]cos k k k k απαπαπαπα+++-+==-++-+．【拔高】1．解析：左边=)5sin()cos ()6cos()2sin()2tan(θπθθπθπθπ+----=)sin()cos ()cos()sin()tan(θπθθθθ+----=θθθθθsin cos cos sin tan =tanθ=右边.所以原式成立． 2． －tanα解析：原式=)]2(4sin[)]sin()[sin()cos ()]2(5cos[)sin )(cos )(sin (a a a a a a a a +++----+---ππππππ=)2sin()]sin ([sin )cos ()]2cos([cos sin 2a a a a a a a +------ππ=aacos sin -=－tanα． 3．43 解析： ∵06752=--x x 的两根2=x 或53-=x ， ∵1sin 1≤α≤-，∴53sin -=α. 又∵α为第三象限角，∴α-=α2sin -1cos =54-， ∴tanα=43． ∴原式==α=-⋅-⋅⋅-⋅-tan )sin (sin )tan (tan )cos ()cos (a a a a a a 243．。
精锐教育学科教师辅导教案切化弦(13tan10)+ cos 21,tan()cos 23ααβα=-=-等），（答：特别提醒：这里t ∈这里将函数f(x)看成关于cos2x 的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法y=asinx+bcosx 型处理方法：引入辅助角ϕ，化为y=22b a +sin （x+ϕ）,利用函数()1sin ≤+ϕx 即可求解。
Y=asin 2x+bsinxcosx+mcos 2x+n 型亦可以化为此类。
例4：已知函数()R x x x x y ∈+⋅+=1cos sin 23cos 212当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合。
[分析] 此类问题为x c x x b x a y 22cos cos sin sin +⋅+=的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为x b x a y cos sin +=型求解。
解： ().47,6,2262,4562sin 21452sin 232cos 2121452sin 432cos 41122sin 2322cos 121max =∈+=∴+=+∴+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=+⋅++⋅=y z k k x k x x x x x x x x y ππππππ5. 利用数形结合 例5： 求函数y xx=+s in c o s 2的最值。
解：原函数可变形为y x x =---s i n c o s ().02这可看作点Ax xB (c o s s i n )()，和，-20的直线的斜率，而A 是单位圆x y 221+=上的动点。
由下图可知，过B ()-20，作圆的切线时，斜率有最值。
由几何性质，y y m a x m i n .==-3333，6、换元法 例6：若0<x<2π，求函数y=(1+1sinx )(1+1cosx )的最小值.解 y=(1+1sinx )(1+1cosx )=1+sinx+cosx+1sinxcosx令 sinx+cosx=t(1<t ≤ 2 ), 则sinx ·cosx=t 2-12，∴y=1+2121-+t t =t 2+2t+1t 2-1=t+1t-1 =1+2t-1, 由1<t ≤ 2 ,得y ≥3+2 2 , ∴函数的最小值为3+2 2 . 7. 利用函数在区间内的单调性例7： 已知()π,0∈x ，求函数xx y sin 2sin +=的最小值。
