2020届黑龙江省大庆市第四中学高三下学期第四次检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}14A x x =≤≤，{}*2N 23B x x x =∈-≤，则A B =( )A ．{}13x x ≤≤ B ．{}03x x ≤≤C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,3【答案】C【解析】解不等式223x x -≤，结合*N x ∈，用列举法表示集合B ，从而可求交集. 【详解】{}{}{}*2*23131,2,3B x N x x x N x =∈-≤=∈-≤≤=，{}1,2,3A B ∴⋂=.故选:C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集.易错点是忽略集合B 中*N x ∈这一条件.2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()122i z i -=+，则z z ⋅=( ) A ．4 B ．2C ．4-D ．2-【答案】A【解析】由已知可求出2221iz i i+==-，进而可求2z i =-，则可求出z z ⋅的值. 【详解】()122i z i -=+，()()()()211222111i i i z i i i i +++∴===--+，2z i ∴=-，4z z ∴⋅=. 故选:A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的概念.本题的关键是通过复数的除法运算，求出复数z . 3．设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由“|x ﹣2|＜1”得1＜x ＜3， 由x 2+x ﹣2＞0得x ＞1或x ＜﹣2，即“|x ﹣2|＜1”是“x 2+x ﹣2＞0”的充分不必要条件， 故选A ．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．4．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则·BD CD = A ．232a -B ．234a -C ．234a D ．232a 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设,BA a BC b ==，根据向量的平行四边形法则和三角形法则，可知2223•()cos602BD CD a b a a a b a a a a =+⋅=+⋅=+⨯⨯=，故选 D.【考点】向量的数量积的运算.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若888S a ==，则公差d 等于( ) A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】D【解析】由88S a =，可求出4707S a ==，进而可知40a =，结合88a =，可求出公差. 【详解】解：888S a ==，1288a a a a ∴+++=，()17747207a a a S ∴+===，40a ∴=. 又由844a a d =+，得8480244a a d --===. 故选:D. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，考查了等差中项.对于等差、等比数列问题，一般都可用基本量法，列方程组求解，但是计算量略大.有时结合数列的性质，可简化运算，减少运算量. 6．函数()cos x xy e ex -=-的部分图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由函数的奇偶性可排除A,C.代入特殊值，如1x =，通过判断函数值的符号，可选出正确答案. 【详解】 解：由()()cos xx x ee y ---=-，可知函数()cos x xy x e e -=-为奇函数，由此排除A ，C ，又1x =时，()11cos1y e e -=-，因为1,012e π><<，则110,cos10e e -->>，即此时()cos 0x xy e e x -=->，排除D .故选:B. 【点睛】本题考查了函数图像的选择.选择函数的图像时，常结合函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域排除选项，再代入特殊值，判断函数值的符号进行选择.7．甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是（ ） A ．平均数相同 B ．中位数相同 C ．众数不完全相同 D ．丁的方差最大【答案】D【解析】观察四名同学的统计图的特征，四位同学的直方图都关于5环对称，因此它们的平均数都是5，中位数相同，众数显然不完全相同，根据方差的定义分别计算四名同学的方差即可得出结论. 【详解】解：由图的对称性可知，平均数都为5；由图易知，四组数据的众数不完全相同，中位数相同；记甲、乙、丙、丁图所对应的方差分别为22221234,,,s s s s ，则()()2221450.5650.51s =-⨯+-⨯=，()()()22222450.3550.4650.30.6s =-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()2222223350.3450.1550.2650.1750.3 2.6s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，()()()()()2222224250.1450.3550.2650.3850.1 2.4s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以丙的方差最大． 故选：D ． 【点睛】本小题考查统计图表、数字特征的概念等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想、统计与概率思想；考查直观想象、数据处理、数学运算等核心素养，体现基础性、应用性．8．已知角θ的终边在直线3y x =-上，则2sin 21cos θθ=+（ ）A ．611-B ．311-C ．311D ．611【答案】A【解析】由正切函数定义得tan 3θ=-，应用二倍角公式和“1”的代换后化求值式为关于sin ,cos θθ的二次齐次式，然后弦化切后可求值． 【详解】依题意，tan 3θ=-，所以原式2222sin cos 2tan 6sin 2cos tan 211θθθθθθ===-++，故选：A ．本题考查三角函数的定义、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等核心素养，体现基础性． 9．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则 ( )． A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >b D ．a >b >c【答案】D【解析】试题分析：，，；且；.【考点】对数函数的单调性.10．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点M ，A 为左顶点，F 为右焦点，若MAF △为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意，结合双曲线定义，可得||||MF FA a c ==+，|'|3MF a c =+，结合1cos '2MFF ∠=，可得4c a =，即得解 【详解】由题意：||||MF FA a c ==+，设'F 为双曲线的左焦点，由双曲线的定义：|'|||23MF MF a a c =+=+，由于222()4(3)1cos '22()2a c c a c MFF c a c ++-+∠==⋅⋅+， 化为22340c ac a --=，(4)()0c a c a ∴-+=， 则4,4ac a e c===.【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求解，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算能力，属于中档题.11．在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱11C D ，11B C 的中点，过A ，E ，F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为（ ） A ．31362+ B ．21343+ C ．51333+ D ．61332+【答案】D【解析】由题意画出截面五边形，再由已知利用勾股定理求得边长得答案． 【详解】 如图，延长EF 与A 1B 1的延长线相交于M ，连接AM 交BB 1 于H ， 延长FE 与A 1D 1的延长线相交于N ，连接AN 交DD 1 于G ， 可得截面五边形AHFEG ．∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是边长为6的正方体，且E ，F 分别是棱C 1D 1，B 1C 1的中点， ∴EF ＝2AG ＝AH 2264213=+=，EG ＝FH 223213=+ ∴截面的周长为61332 故选D ． 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征及立体几何中的截面问题，补全截面图形是关键，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题． 12．定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（ ） A ．72 B ．92C ．134D ．154【答案】D【解析】计算()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图像，计算()116f x =，解得154x =，得到答案. 【详解】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--， 同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤. 作函数()y f x =的图象，如图所示.在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =. 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.二、填空题13．6x x ⎛⎝展开式中常数项为________.【答案】240【解析】先求出二项式6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式中的常数项. 【详解】6x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项公式3662166(2),rr r r r r r T C x C x x --+⎛=-=⨯-⨯ ⎪⎝⎭ 令36342r r -=⇒=,所以6x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为4462240C ⨯=,故答案为240.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 14．甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______． 【答案】13【解析】试题分析：事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1种”包含的基本事件有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）共9个；记“他们选择相同颜色运动服”为事件A,则事件A 包含的基本事件有（红，红），（白，白），（蓝，蓝）共3个；所以.【考点】古典概型.15．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为_____.【答案】8π【解析】将三棱锥P ABC -补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在Rt OBE 中，计算半径OB 即可. 【详解】因为BC ⊥平面PAB ，将三棱锥P ABC -补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同，由直三棱柱性质易知外接球球心O 应在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 记ABP △的外心为E ，由ABD △为等边三角形，即ABD △为等边三角形，3AB =，可得1BE =．又12BCOE ==， 故在Rt OBE 中，222OB OE EB =+=此即为外接球半径，从而外接球表面积为248S OB ππ=⨯=． 故答案为：8π. 【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.三、双空题16．网上购鞋常常看到下面的表格： 脚长n a /mm 220225230235240245250255260265鞋号/n b mm34 35 36 37 38 39 40 41 42 43请根据表格归纳出n b 和n a 的关系式______________；如果一个篮球运动员的脚长为282mm ，根据计算公式，他该穿的鞋的鞋号为_____号.【答案】1105n n b a =- 48 【解析】根据表格数据变化规律可知脚长与鞋号的变化满足一次函数关系，由此得到所求关系式；代入288n a =，可求得鞋号. 【详解】由表格数据可知：脚长每增加5mm ，鞋号增加1mm ，满足一次函数关系，()1342205n n b a ∴-=-，即1105n n b a =-； 若288n a =，则57.61047.6n b =-=，∴应穿的鞋号为48号. 故答案为：1105n n b a =-；48. 【点睛】本题考查函数关系式的求解、利用函数关系求解实际问题；解题关键是能够根据所给数据得到所满足的函数关系.四、解答题17．在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，且sin 2sin A B A +=.（1）求C ；（2）已知2a =，8AB BC ⋅=-，求ABC 的面积.【答案】（1）23C π=；（2）【解析】（1）计算得到sin sin 3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据题意得到cos 4c B =，1cos sin 2B c B -=得到sin c B =.【详解】（1）由sin 2sin 3cos A B A +=，得31sin cos sin 22B A A =-，故sin sin3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即23B A π=+. 因为B 为锐角，所以3B A π=-，即3B A π+=，故23C π=. （2）由8AB BC ⋅=-，得()cos 8ca B π-=-，故cos 8ca B =. 因为2a =，所以cos 4c B =①. 根据正弦定理，sin sin a c A C =，及3A B π=-，23C π=，2a =，得23sin 3B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin 33c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故31cos sin 322c B c B -=②.①代入②，得123sin 32c B -=，所以sin 23c B =. 所以ABC 的面积等于11sin 2232322ac B =⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为长方形，PA ⊥底面ABCD ，4PA AB ==，3BC =，E 为PB 的中点，F 为线段BC 上靠近B 点的三等分点.（1）求证：AE ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 与平面PCD 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）17830. 【解析】（1）通过BC PA ⊥，BC AB ⊥可证明BC ⊥平面PAB ，进而可得AE BC ⊥，结合AE PB ⊥证明线面垂直.（2）以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，可求出平面AEF 的法向量()1,4,1m =--，平面PCD 的法向量()0,4,3n =，则可求出两向量夹角的余弦值，从而可求二面角的正弦值. 【详解】 （1）证明：PA AB =，E 为线段PB 中点，AE PB ∴⊥.PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PA ∴⊥.又底面ABCD 是长方形，BC AB ∴⊥.又PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB .AE ⊂平面PAB ，AE BC ∴⊥. 又PB BC B ⋂=，AE ∴⊥平面PBC .（2）解：由题意，以,,AB AD AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,2E ，()4,1,0F ，()0,0,4P ，()4,3,0C ，()0,3,0D . 所以()2,0,2AE =,()4,1,0AF =，()4,3,4PC =-，()0,3,4PD =-，设平面AEF 的法向量(),,m x y z =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22040x z x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则4y =-，1z =-，()1,4,1m ∴=--，同理可求平面PCD 的法向量()0,4,3n =，192cos ,30,m n m n m n⋅∴==-，2178sin 1cos ,30,m m n n ∴=-=， 即平面AEF 与平面PCD 所成角的正弦值为17830.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，考查了二面角正弦值的求解，考查了同角三角函数的基本关系.证明线线垂直时，可结合等腰三角形三线合一、勾股定理、矩形的邻边、菱形的对边、线面垂直的性质证明.19．在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++）【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望12；方差4.8【解析】（1）完成列联表，代入数据即可判断；（2）利用分层抽样可得X的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知(20,0.6)Y B，计算出期望与方差.【详解】（1）2245(1516104)7.29 6.63525201926K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取209445⨯=人， X 的可能取值为0，1，2，3，4，44420(0)C P X C ==，31416420(1)C C P X C ==，22416420(2)C C P X C ==13416420(3)C C P X C ==，416420(4)C P X C ==，所以，X 的分布列：②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为150.625=，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为Y ，则(20,0.6)YB ，故()200.612E Y =⨯=，()200.6(10.6) 4.8D Y =⨯⨯-=. 【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.20．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为AB =． （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．【答案】（1）22194x y +=；(2)12-． 【解析】分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. （II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ,从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =215x x =，可5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-．当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21．已知函数()ln 1a x bf x x x=++曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为230x y +-=.（1）求,a b 的值；（2）证明：当0x >且1x ≠时，()ln 1xf x x >-. 【答案】（Ⅰ）1a =，1b =． （Ⅱ）略【解析】()1先对函数求导，利用切线方程求出切线的斜率及切点，利用函数在切点处的导数值为曲线切线的斜率及切点也在曲线上，列出方程组，求出a b ，的值()2将不等式变形，构造新函数，求出新函数的导数，判断出导函数的符号，得到函数的单调性，从而得证． 【详解】（1）()()221ln '1x x b x f x x x α+⎛⎫-⎪⎝⎭=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11,1'1,2f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =.（2）由（1）知f(x)=ln 1,1x x x++所以 ()22ln 112ln 11x x f x x x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭考虑函数()()2120x h x lnx x x-=->则h′(x)=()()222222112x x x x x x----=- 所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,故x ()0,1∈时h(x)>0可得()ln 1xf x x >-, x ()1∈+∞， h(x)<0可得()ln 1xf x x >-, 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 1xf x x >-.【点睛】本题考查了导函数的几何意义，在切点处的导数值为切线的斜率，考查了通过判断导函数的符号判断出函数的单调性，通过求函数的最值证明不等式的恒成立，属于中档题．22．在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为33,x kt y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33,x m y km =-⎧⎨=⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的普通方程；（2）设Q 为圆()222:43C x y +-=上任意一点，求PQ 的最大值．【答案】（1）2219x y +=（3x ≠）；（2） 【解析】（1）消元法消去参数t 得1l 的普通方程，同理表示2l 的普通方程，最后将其消去k 整理后可得答案；（2）由椭圆的参数方程表示其上任意点的坐标，由两点间的距离公式表示2PQ ，再由三角函数求的值域确定最大值，最后开方即可. 【详解】解法一：（1）消去参数t 得1l 的普通方程为33x ky +=， 消去参数m 得2l 的普通方程为()33k x y -=-．联立()33,33x ky k x y+=⎧⎨-=-⎩消去k 得()()2339x x y +-=-，所以1C 的普通方程为2219x y +=（3x ≠）． （2）依题意，圆心2C 的坐标为()0,4，半径r =．由（1）可知，1C 的参数方程为3cos ,sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且2π,k k θ≠∈Z ），设()3cos ,sin P θθ（2π,k k θ≠∈Z ），则()()22223cos sin 4PC θθ=+-()2291sin sin 8sin 16θθθ=-+-+28sin 8sin 25θθ=--+，当1sin 2θ=-时，2PC=又2PQ PC r +≤，当且仅当2,,P Q C 三点共线，且2C 在线段PQ 上时，等号成立．所以max PQ ==解法二：（1）消去参数t 得1l 的普通方程为33x ky +=， 消去参数m 得2l 的普通方程为()33k x y -=-．由()33,33x ky k x y +=⎧⎨-=-⎩得()22231,12,1k x k k y k ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩故P 的轨迹1C 的参数方程为()22231,12,1k x k k y k ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩（k 为参数）， 所以1C 的普通方程为2219x y +=（3x ≠）．（2）同解法一． 【点睛】本题主要考查参数方程、曲线与方程等基础知识；考查运算求解能力、逻辑推理能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查数学运算、直观想象等核心素养，属于中档题．23．已知函数()11f x x m x m =-+++（其中实数0m >）. （Ⅰ）当1m =，解不等式()3f x ≤； （Ⅱ）求证：()()121f x m m +≥+.【答案】（Ⅰ）57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析 【解析】（Ⅰ）根据题意，代入1m =，化简绝对值不等式，化成分段函数，分类讨论不等式的解集，取并集即可求解；（Ⅱ）根据题意，运用绝对值三角不等式，化简式子，结合0m >，再利用基本不等式即可证明. 【详解】（Ⅰ）由条件知1m =时，()12,121311,1222112,22x x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=-++=-≤<⎨⎪⎪-+<-⎪⎩于是原不等式可化为①11232x x ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩；②112332x ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩；③121232x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ 解①得714x ≤≤；解②得112x -≤<；解③得5142x -≤<-， 所以不等式()3f x ≤的解集为57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. （Ⅱ）由已知得()()()111111f x x m x m m m m m +=-++++++()()11111111x m x m m m m m m m ⎛⎫≥--++=++ ⎪++++⎝⎭ 1111211m m m m m m=++-=+≥++ 当且仅当1m =时，等号成立，于是原不等式得证. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用证明，考查基本不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.。
