高考理科数学一轮总复习课件第8章命题探秘2第3课时圆锥曲线中的证明、探索性问题

第八章 圆锥曲线

知识结构

高考能力要求

1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程．

2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质．

3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．

4．了解圆锥曲线的初步应用．

高考热点分析

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形兼备，兼容并包，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容。纵观近几年高考试题中对圆锥曲线的考查，基本上是两个客观题，一个主观题，分值21分~24分，占15%左右，并且主要体现出以下几个特点：

1．圆锥曲线的基本问题，主要考查以下内容：

①圆锥曲线的两种定义、标准方程及a、b、c、e、p五个参数的求解．

②圆锥曲线的几何性质的应用．

2、求动点轨迹方程或轨迹图形在高考中出现的频率较高，此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数法．

3．有关直线与圆锥曲线位置关系问题，是高考的重热点问题，这类问题常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的形式出现．

4．求与圆锥曲线有关的参数或参数范围问题，是高考命题的一大热点，这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函数、不等式的综合，特别近年出现的解析几何与平面向量结合的问题，是常考常新的试题，将是今后高考命题的一个趋势．

高考复习建议

1．圆锥曲线的定义、标准方程及几何性质是本章的基本内容．复习中对基本概念的理解要深,对公式的掌握要活,充分重视定义在解题中的地位和作用,重视知识间的内在联系．椭圆、双曲线、抛物线它们都可以看成是平面截圆锥所得的截线，其本质是统一的.因此这三种曲线可统一为“一个动点P到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的轨迹”，当0＜e＜1、e＝1、e＞1时,分别表示椭圆、抛物线和双曲线．复习中有必要将椭圆、抛物线和双曲线的定义，标准方程及几何性质进行归类、比较，把握它们之间的本质联系，要学会在知识网络交汇处思考问题、解决问题．

1

[方法与技巧]

1．求定值问题常见的方法有两种

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

2．定点的探索与证明问题

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．

[失误与防范]

1．在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况．

2．中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．

3．解决定值、定点问题，不要忘记特值法．

[设而不求，整体代换]

典例 (15分)椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交 2 C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k2≠0，证明1kk1＋1kk2为定值，并求出这个定值．

思维点拨 第(3)问，可设P点坐标为(x0，y0)，写出直线l的方程；联立方程组消去y得关于x的一元二次方程，则Δ＝0；变为1k1k1＋1k2，把k与1k1＋1k2均用x0，y0表示后可消去．

规范解答

解 (1)由于c2＝a2－b2，将x＝－c代入椭圆方程x2a2＋y2b2＝1，得y＝±b2a.[2分]

由题意知2b2a＝1，即a＝2b2.

又e＝ca＝32，所以a＝2，b＝1.

所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1.[4分]

(2)设P(x0，y0) (y0≠0)，

又F1(－3，0)，F2(3，0)，

1 第2课时 范围、最值问题

考点1 范围问题——综合性

(2021·梅州二模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x＋y＋22－1＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆C的方程；

(2)△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．

解：(1)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F2(c,0)，则以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆：(x－c)2＋y2＝a2，

所以圆心到直线x＋y＋22－1＝0的距离d＝|c＋22－1|12＋12＝a．

又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以a＝2c，b＝3c，

解得a＝2，b＝3，c＝1，

所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1．

(2)设B(m，n)，设M，N的中点为D，直线OD与椭圆交于A，B两点．

因为O为△BMN的重心，则BO＝2OD＝OA，所以D－m2，－n2，

即B到直线MN的距离是原点O到直线MN距离的3倍．

当MN的斜率不存在时，点D在x轴上，所以此时B在长轴的端点处．

由|OB|＝2，得|OD|＝1，则O到直线MN的距离为1，B到直线MN的距离为3．

当MN的斜率存在时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x214＋y213＝1，x224＋y223＝1，

两式相减，得(x1＋x2)(x1－x2)4＋(y1＋y2)(y1－y2)3＝0． 2 因为D为M，N的中点，所以x1＋x2＝－m，y1＋y2＝－n，所以k＝y1－y2x1－x2＝－3m4n， 所以直线MN的方程为y＋n2＝－3m4nx＋m2，即6mx＋8ny＋4n2＋3m2＝0，

所以原点O到直线MN的距离d＝4n2＋3m264n2＋36m2．

第八章平面解析几何

第8讲圆锥曲线中的热点问题

1. 定值问题

如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值,

探讨定值的问题可以为解答题，也可以为证明题，求定值的

基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结

果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出

定值，然后再予以证明，因为毕竟是解析几何中的定值问题, 所以讨论的立足点是解析几何知识，工具是代数、三角等知 识，基本数学思想与方法的体现将更明显，更逼真.教材回顾▼夯实基础 课本温故追根求源

2. 最值问题

圆锥曲线中最值问题是高中数学的重要内容，试题把代数、

三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活

性.常用的方法有⑴利用定义求解；⑵构造基本不等式；⑶

利用数形结合；（4）构造函数等.

3. 范围问题

求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、

合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决

问题.对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相

互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度及“，b, c, e

之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效.

產D -做一做•

1.直线y=〉+ 3与双曲线器一* = 1的交点个数是

1

解析：因为直线丿=纭+3与双曲线的渐近线y=^x平行，所

以它与双曲线只有1个交点.

2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个 焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正

方形，设P为该椭圆上的动点，C, D的坐标分别是（7,

0）,（边，0）,则PC PD的最大值为& .

2 2

解析：设椭圆的标准方程为》+器=l@>b>0）, C2=a2—b2.

由正方形的对角线性质可得:

b=c,又该正方形面积为4,

则4X；X沪=4,所以b=c=逸,则C, D即为椭圆的焦点,

所以疋喀便仟斗=—心=4 til

要点整食r

1.必明辨的2个易错点