高三数学高考第一轮复习——圆锥曲线的定义，基本性质（理）人教实验A 版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线的定义，基本性质二. 重点、难点： 1. 第一定义椭圆：a PF PF 2||||21=+ 双曲线：a PF PF 2||||||21=- 2. 第二定义e l P d PF =),(||（1）)1,0(∈e 为椭圆 （2）1=e 为抛物线 （3）),1(+∞∈e 为双曲线【典型例题】[例1] 求过)2,3(-M 且与椭圆14922=+y x 共焦点的（1）椭圆方程（2）双曲线方程。
解：（1）设12222=+by a x∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=+10155149222222b a b a ba ∴1101522=+y x （2）设12222=-by a x∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=-235149222222b a b a ba ∴12322=-y x另解：14922=-+-λλy x ∴14499=-+-λλ ∴6±=λ∴λ=6时，双曲线12322=-y x 6-=λ时，椭圆1101522=+y x[例2] （1）P 为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上一点，P 不在x 轴上，21,F F 为焦点，α=∠2FPF ，求21PF F S ∆；（2）P 为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 上一点，P 不在x 轴上，21,F F 为焦点，α=∠21PF F ，求21PF F S ∆。
解：（1）221222142a PF PF PF PF =⋅++22122214cos 2c PF PF PF PF =⋅-+α∴2214)cos 1(2b PF PF =+⋅α∴αcos 12221+=⋅b PF PF∴αsin 212121⋅⋅⋅=∆PF PF S F PF ⋅=2b 2tan cos 1sin 2αααb =+（2）221222142a PF PF PF PF =-+22122214cos 2c PF PF PF PF =⋅⋅-+α∴2214)cos 1(2b PF PF =-⋅⋅α=⋅21PF PF αcos 122-b∴αsin 212121⋅⋅=∆PF PF S PF F =2cot cos 1sin 22αααb b =-⋅[例3] （1）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x M ，P 为M 上一点，3021=∠F PF ，12012=∠F PF ，求离心率；（2）已知双曲线1:2222=-by a x M ，P 为M 上一点，1521=∠F PF ， 7512=∠F PF ，求离心率。
高考圆锥曲线知识点汇总知识摘要：1、椭圆及其标准方程．椭圆的简单几何性质．椭圆的参数方程．2、双曲线及其标准方程．双曲线的简单几何性质．3、抛物线及其标准方程．抛物线的简单几何性质．一、椭圆方程 .1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离之和等于常数2a （大于 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆 . 其中两个定点 F 1，F 2 为椭圆的两个焦点， 两焦点间的距离 焦距.F F 叫做椭圆的1 2第一定义：当 P FPFaF F ，无轨迹122 1 2当 P FPFa F F ，轨迹是以 122 1 2F ， 1F 为端点的线段2当 P FPFa F F ，轨迹为椭圆1221 2第二定义：椭圆上的点到对应焦点的距离与到对应准线的距离的比等于离心率 e . 切记：“ 点点距为分子、点线距为分母 ”，其商即是离心率 e . 如图：P Fc 1eda1或P Fc2e da22、椭圆的标准方程： （1）中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22xy221( 0)a ba b（2）中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22yx221( 0) a ba b3、椭圆的一般方程：221( 0, 0) Ax ByA B22x y 4、焦点在 x轴上的椭圆的标准方程：122a b的参数方程为x y a b cos sin（其中 为参数） 5、椭圆 22xy221(a b 0)的几何性质：a b（1）顶点：( a,0) 和0, b ，其中长轴长为 2 a，短轴长为2b（2）焦点：两个焦点( c,0) ，焦距： 2 2F 1F 2c, c a b2（3）范围： a x a, b y b（4）对称性：两条对称轴x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0 ）2a（5）准线：两条准线xc（6）离心率： e ca（0 e 1），其中e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。
（7）焦点半径：“左加右减”I 、设P(x0 ,y0 ) 为椭圆2 2x y2 2 1(a b 0)a b上的一点， F 1,F 2 为左、右焦点，则PF 1 a e0x,P F2 a e0 xⅡ、设P(x0, y0 ) 为椭圆2 2y x2 2 1(a b 0)a b上的一点， F 1,F 2 为上、下焦点，则PF 1 a ey0 , PF 2 a ey0（8）通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经： d2 2b2 a2 2x y注：若P 是椭圆： 12 2a b上的点. F 1,F 2 为焦点，若 F 1PF 2 ，则PF 1F 2 的面积为2b （用余弦定理与PF1 PF 2 2a 可得）tan2二、双曲线方程.1. 双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1 ，F2 的距离之差的绝对值等于常数 2 a （且的点的轨迹叫做双曲线. 02a F F ）1 2当PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹为双曲线当PF1 PF2 2a F1F2 ，轨迹是以F1 ，F2 为端点的射线当PF1 PF2 2a F1F2 ，无轨迹第二定义：平面内到定点 F 的距离与它到定直线的距离的比为常数e（e 1）的点的轨迹叫做双曲线.MF如图：，d 为点M 到定直线的距离.ed切记：“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e.2、双曲线的标准方程：（1）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程：2 2x y2 2 1(a 0,b 0)a b（2）中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的标准方程：2 2y x2 2 1( 0, 0)a ba b3、双曲线的一般方程： 2 2 1( 0)Ax By A B4、双曲线2 2x y2 2 1( 0, 0)a ba b的几何性质：（1）顶点：( a,0) ，其中实轴长为 2 a，虚轴长为2b（2）焦点：两个焦点( c,0) ，焦距： 2 2F1F2 2c, c a b （3）范围：x a, y R（4）对称性：两条对称轴x 0, y 0 ，一个对称中心（0,0 ）（5）准线方程：两条准线x2 a c（6）离心率： e ca（e 1）（7）渐近线方程：b y xa（8）焦点半径：“长加短减”原则：2 2x y焦点半径公式：对于双曲线方程1（F 1,F 2 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双2 2a b曲线的上下焦点）MF MF 12exexaa构成满足MF1MF22aMMFF12exexaa（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）▲y▲yM' MF1MxxF 1 F2M'F2MF 1 eyaMF 2 eyaM F 1 eyaM F 2 eya5、等轴双曲线：双曲线x2 y2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x ，离心率 e 2 .三、抛物线方程.3. 设p 0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：2 y 2 2 px x 2 2 py x2 2 pyy 2px图形▲y▲y ▲y ▲yx x xxOO OO焦点p p p pF ( ,0) F ( ,0) F (0, ) F (0, )2 2 2 2准线x p2xp2yp2yp2范围x 0, y R x 0, y R x R, y 0 x R, y 0 对称轴x轴y 轴顶点（0，0）离心率 e 1半焦距p p p p PF 1x PF yPF x PF y1 112 2 2 224ac b b注：①ay2 by c x 顶点)(4a 2a.2 px p②y 2 ( 0) 则焦点半径P2 py pPF ; x 2 ( 0) 则焦点半径为x2Py.PF2③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.2④y 2px2（或x 2py ）的参数方程为2x 2 ptx 2pt（或y 2 pt y 2 pt2）（t 为参数）.注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2 的距离1．到两定点F1,F2 的距之和为定值 2 a (2离之差的绝对值为定值a>|F1F2|)的点的轨迹2 a (0<2 a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离2．与定点和直线的距离与定点和直线的距离相等之比为定值 e 的点的轨之比为定值 e 的点的轨的点的轨迹.迹.（0<e<1）迹.（e>1）图形略略略方标准2 2 2 2x y x y方程1( a b >0) 12 2 2 2a b a b(a>0,b>0) 2 2y px参数方程xy(参数a cosb sin为离心角）xyasecb tan(参数为离心角）xy2 pt2pt2程(t 为参数) 范围x 0a x a,b y b x a, y R中心原点O (0,0) 原点O(0,0)顶点( a,0),(0, b) (a ,0) ，( a ,0) (0,0)对称轴x轴，y 轴；x轴，y 轴 ; x轴长轴长 2 a,短轴长2b 实轴长 2 a, 虚轴长2b.焦点pF1 ( c,0), F2 (c,0) F1( c,0), F2 (c,0) ,0)F (2 焦距2c （c= 2 b2a ）2c （c=2 b2a ）离心率 c ce (0 e 1) e (e 1)e=1a a准线x=2acx=2acxp2渐近线y=±ba x焦半径r a exr (ex a) r x p 2通径22b 2b22pa a焦参数a 2 2aPc c。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章§8.14 圆锥曲线中的探索性与综合性问题题型一 探索性问题例1 (2023·广州模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为，点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程；(2)已知点F(1,0)，直线l：x＝4与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数λ，使得∠MFD＝λ∠NFD？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.即∠MFD＝2∠NFD，所以存在λ＝2，使得∠MFD＝2∠NFD.思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.(3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.跟踪训练1 (2023·阜阳模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为(6,4).(1)求C的方程；点A的坐标为(6,4)，得c＝4，设焦点F2(0,4)，F1(0，－4)，则D(0,2m)，故M(0，m)，当直线PQ斜率存在时，如图，设直线PQ的方程为y＝kx＋m(k≠0)，与双曲线方程联立得(3k2－1)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，由已知得3k2≠1，Δ>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，①②题型二 圆锥曲线的综合问题如图，F(4,0)，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线MN：x＝ty＋4，代入3x2－y2＝12，整理得(3t2－1)y2＋24ty＋36＝0，由于y1y2<0，不妨设y1>0，y2<0，(2)试判断以MN为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.令y＝0，有x2－(x1＋x2)x＋x1x2＋y1y2＝0，综上，以MN为直径的圆过定点(－2,0).思维升华圆与圆锥曲线综合问题中，圆大多数是以工具的形式出现，解决此类问题的关键是掌握圆的一些常用性质.如：圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；圆的弦的垂直平分线过圆心；若AB是圆的直径，则圆上任一点P有＝0.(1)求抛物线E的方程；当直线AB斜率存在时，Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2＝4p2(k2＋1)>0，显然当直线AB斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E：y2＝4x.△ABH面积S的最小值.)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，设A(x若G(t,0)(t为定值)，H(m,0)，∴H也为定点.故△ABH面积S的最小值为22.知识过关(1)求双曲线C的方程；1234由题意得，c＝2，(2)过点F的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，在x轴上是否存在异于F的点P，使得点F到直线PA，PB的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.假设存在P(n,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率不为0，当直线AB的斜率存在时，设直线AB：x＝my＋2(m≠0)，则3m2－1≠0，Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，因为点F到直线P A，PB的距离相等，所以PF是∠APB的平分线，则y1(my2＋2－n)＋y2(my1＋2－n)＝0，整理得2my1y2＋(2－n)(y1＋y2)＝0，即3m－2m(2－n)＝0，因为m≠0，(1)求椭圆C的方程；求直线l的方程，若不存在，请说明理由.因为点F为△EAB的垂心，记A(x1，y1)，B(x2，y2)，能力拓展3.(2024·唐山模拟)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线交抛物线于M，N两点，|MN|＝8.(1)求抛物线E的方程；所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，则p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x.(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由.设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，令y＝0得x＝－x0，即B(－x0,0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，所以四边形ACBF为菱形.(1)若椭圆上存在两点B1，B2关于直线y＝x＋m对称，求实数m的取值范围；由题意得，c＝2，A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)，P (x ，y )，12·PA PA k k ①∴a 2＝2b 2，∵a 2＝b 2＋4，∴a 2＝8，b 2＝4，设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)， ⊥l ，设 ：y ＝－x ＋t ，12B B l 12B B l。
