第1轮总复习理科数学课件第69讲圆锥曲线性质的探讨与几何证明的简单应用

3 5 并且椭圆经过点 ( , ) ； 2 2
y 2 x2 2 1（ a b 0 ） ， 2 a b
解析： （2）∵椭圆焦点在 y 轴上，故设椭圆的标准方程为
由椭圆的定义知，
3 5 3 5 3 1 2a ( )2 ( 2)2 ( )2 ( 2)2 10 10 2 10 ， 2 2 2 2 2 2
A1
.F . . O M . F
2
0
A2
x
F1
其中 a2 b2 c2 , a 0, b c 0 ， F0 , F1 , F2 是对应的焦点。 B1 （1）若三角形 F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
b （2）若 A1 A B1 B ，求 的取值范围； a
焦点分别为 F1 , F2 ，点 P 在双曲线的右支上，且
| PF1 | 4 | PF2 | ，则此双曲线的离心率 e 的最大值为
8 解一：由定义知 | PF1 | | PF2 | 2a ，又已知 | PF1 | 4 | PF2 | ，解得 PF1 a ， 3 2 PF2 a ， 在 PF1F2 中 ， 由 余 弦 定 理 ， 得 3
1 1 1 1 a 2 16 将 2 和 2 看着整体，解得 ， a b 1 1 b2 9
2 a y 2 x2 16 ∴ 2 即双曲线的标准方程为 1 。 16 9 b 9
点评：本题只要解得 a 2 , b 2 即可得到双曲线的方程，没有 必要求出 a , b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
x2 y2 1 有共同渐近线， (4) 与双曲线 9 16
且过点 (3,2 3) 。

所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率 之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求 此时直线l的方程；若不能，请说明理由.
由(1)得M(2,1)， 设点 Ax1，x421，Bx2，x422， 则 kMA＝x1＋4 2，kMB＝x2＋4 2， 所以 kMAkMB＝x1＋4 2×x2＋4 2＝－2， 得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0； 设直线AB方程为y＝kx＋b，
因为直线 OC 的斜率为yx11＝yy121＝y81， 8
所以直线 OC 的方程为 y＝y81x.
由1yx＝62 ＋y811yx22，＝1，
得 y264×y21 16＋112＝1，
则 y2E64×y21 16＋112＝1，
同理可得 y2F64×y22 16＋112＝1，
所以 y2E·y2F64×y22 16＋11264×y21 16＋112＝1，
1234
由 AF⊥BE 得x1－y1 2·y2x＋2 2＝－1， 所以 y1y2＋2y1＋x1x2－ 2x2＝0， 将 y1＝－ 22x1＋t，y2＝－ 22x2＋t 代入上式， 得 3x1x2－ 2(t＋2)(x1＋x2)＋(2t2＋4t)＝0， 所以 3×6t27－4－ 2(t＋2)·6 72t＋(2t2＋4t)＝0，
4＋2t＝－2t， 所以－4t＝t2＋3， 解得t＝－1. 即M(－1,0). 综上，满足条件的点M存在，其坐标为(－1,0).
思维升华
存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则 存在，若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件. (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.

【解析】(1)设 Q(x0,0)，由 F(－c,0)，A(0，b)知F→A＝(c， b)，A→Q＝(x0，－b)．
因为F→A⊥A→Q，所以 cx0－b2＝0，x0＝bc2.
设 P(x1，y1)，由A→P＝85P→Q， 得 x1＝183bc2，y1＝153b.
因为点 P 在椭圆上， 所以18a3b2c22＋153bb2 2＝1. 整理得 2b2＝3ac，即 2(a2－c2)＝3ac,2e2＋3e－2＝0， 故椭圆的离心率 e＝21.
(1)证明：直线 AP 与直线 AQ 的斜率乘积恒为定值； (2)以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ 有几个？请说 明理由．
【解析】 (1)设直线 l 的方程为 x＝m(y＋2)＋3.
x＝my＋2＋3 由y2＝4x
得 y2－4my－8m－12＝0.
设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 y1＋y2＝4m，y1y2＝－8m－12， kAP·kAQ＝yx11－－21·yx22－－21＝y1＋4 2·y2＋4 2 ＝y1y2＋21y16＋y2＋4＝－2.
(2)由(1)知 2b2＝3ac，得bc2＝23a， 由ac＝12，得 c＝21a， 于是 F(－12a,0)，Q(32a,0)， △AQF 的外接圆圆心为(12a,0)，
半径 r＝12|FQ|＝a， 所以|12a2＋3|＝a，解得 a＝2，所以 c＝1，b＝ 3， 所求椭圆方程为x42＋y32＝1.
【解析】 (1)设 P(x，y)，则P→A＝(1－x，－y)，P→B＝(－1－x， －y)，A→B＝(－2,0)，B→A＝(2,0)．
因为|P→A|·|B→A|＝P→B·A→B， 所以 1－x2＋y2·2＝2(x＋1)，即 y2＝4x， 所以点 P 的轨迹 C 的方程为 y2＝4x .

圆锥曲线的分类和特点
椭圆是所有与两个焦点距离之和为常数的点的集合，拥有一对对称轴和两个 焦点。
抛物线是所有与一个焦点距离等于到直线的距离的点的集合，拥有对称轴和 焦点。
双曲线是所有与两个焦点距离之差为常数的点的集合，拥有两个分离的极限 以及一对对称轴。
椭圆的性质和方程
焦点定理
椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等 于椭圆的长轴长度。
2
Hale Waihona Puke 中心和极限双曲线有两个分离的极限和一个中心。
3
方程表达
双曲线的标准方程为(x²/a²) - (y²/b²) = 1，其中a和b分别是双曲线的半轴的长度。
圆锥曲线在实际应用中的应用
天体轨道
行星和卫星的轨道通常是 圆锥曲线。椭圆轨道用于 行星运行，而抛物线轨道 用于发射卫星。
天体旅行
太空探索任务中，航天器 的轨迹也遵循圆锥曲线的 某种形式，以实现特定的 目标和任务。
圆锥曲线ppt课件
本课件将带您深入了解圆锥曲线，包括定义、概念、分类和特点。我们还会 探讨椭圆、抛物线和双曲线的性质、方程以及实际应用。
圆锥曲线的定义和概念
圆锥曲线是平面解析几何学中的重要概念，是指在平面上由一个动点P和两个 定点F1、F2（称为焦点）决定的点集。
根据动点P到焦点F1、F2的距离之和的大小关系，可以分为椭圆、抛物线和双 曲线。
通信天线
圆锥曲线形状的抛物面天 线可实现定向和增强信号 接收和传输。
总结和重点系统回顾
在本课程中，我们全面了解了圆锥曲线的定义、分类和特点。我们还探索了椭圆、抛物线和双曲线的性 质和方程，以及它们在不同领域的应用。
方程表达
椭圆的标准方程为(x/a)²+ (y/b)²= 1，其中a和 b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。