对多值解析函数的研究

对多值解析函数的研究

摘要：本文主要分析了复变函数多值性的问题，先从实变函数的反函数对应关系类比推理到复变函数的单值性，研究了一些关键名词的定义，再对几种常见的多值复变函数进行了分析，探讨了多值函数单值化的一般方法，最后讨论了函数多值性的一些具体应用。

关键词: 复变函数; 多值性; 幅角; 单值解解析

0 引言

在学习复变函数的过程中，函数的多值性是复变函数中非常重要的一部分。为了深入研究复数域中解析函数及其应用，在多值函数的研究中，就必须在复数域中透过初等函数多值性的本质，分解出其单值分支，这样才能达到想要的结果。幅角函数的多值性是引起初等复变函数多值性的根本原因。因此，要弄清楚复变函数的多值性问题，就必须以幅角函数为切入点。本文的讨论都是基于一个复数的幅角的不唯一性，这种不确定性，使复变函数除了具有多对一的情形，还有一对多的复杂情况。不论是多对一还是一对多的映射，当然都不如一一映射讨论起来方便、清晰。所以，对于多对一的映射(函数)，类似实变函数中为了求得反函数而划分出单值区间，我们总是要将其定义域分成一些区域的和,使得在分出的每个区域上，原来的多对一映射简单地成为一一映射。

单值函数：在实变函数中，我们所定义的单值函数是：一个x∈A，有唯一的一个y∈R与之对应。按此定义，表达式： , x≥0并不给出函数，于是我们可以将其看做两个函数 和 ，x≥0的合写，总之，在实分析中，函数f(x)总是单值的。但是，实分析中定义的函数允许多对一，如y=sinx，x∈R就是无穷多个x与一个y对应。

在复变函数中,函数的定义允许一对多，即一个z∈E可以有多个w与之对应，这种情况我们称w是z的多值函数， 就是双值的，比如对于z=i，w的值可以是

以及

，形成上述原因的根本问题在于复数自身固有的特性，就是模长相等，幅角相差2kπ的两个复数是相等的。或者说，复数的表示不是唯一的。

1 几种常见的复变函数的多值性探讨

1.1复数的幅角函数

幅角的定义: 把复平面上的原点作为起点，向量z作为终点, 那么该向量与实轴正向之间的夹角就称为复数z的幅角，记为Argz，然而在此基础上±2kπ（K为任意整数）得到的角也称为复数的幅角，换言之，幅角有无数多个，其中的－π ＜ argz≤π称为幅角主值，即Argz = argz ±2kπ。

幅角主值函数argz的求法：argz 的值完全取决于复数z及z的位置。由于

时，arctan

表示第一象限角，

时，arctan

表示第四象限角，因此argz =

而再考虑argz的解析性，由于：

可以看出这个函数在原点和负实轴是不连续（解析）的，故可沿负实轴作割线割破z平面，即可得到arg的一个单值解析分支（割破平面法）。

1.2 复数的幂函数

函数w = 显然是一个多对一的函数，因为幅角彼此相差

的n个复数z都对应同一个w，这n个复数的模长相等，所以它们位于一个正n边形的顶点上。映射w = 能把z平面上的张度为

角形区域：

变为W平面上除去原点及射线n 的区域。所以Z平面上的每个张度为

的角形区域都是函数w = 的一个单叶区域，这样,我们可以给出单叶区域的一个分法（限制幅角法）:

) ,k=0,1…n-1;

每一个角形 加上同一端的边界就是函数w = 的单叶区域（单值分支）。值得一提的是在每一个这样的区域上都可以得到函数w = 的一支反函数：

, k= ,1, ,…,n-1; 1.3 方根函数

由上文讨论又易知，由于幅角的不确定性，函数 为一对多的多值函数。若设 ，则有 w=

, k=0,1,…,n-1，可见一个z会有n个函数值,它们位于半径为 的圆周上，彼此张角为

。

而我们已知z所对应的n个w值分别分布在复平面的n个角形区域 内，每个角形区域的函数值都称为函数的一个分支。如同对幅角函数的处理方法，我们把z平面沿负实轴割开那么，在此割破的平面上，当动点z从某一点 沿任意的闭曲线（此闭曲线不会跨过负实轴，也不会包含原点）运动一周，回到点 时，幅角不会改变，在运动过程中所对应的函数值将都位于同一角形区域 中，比如取- ，对应的函数单值区域就是

，此时k取0，w=

称为多值函数的主支。

1.4 对数函数

定义: w = Lnz = ln | z | + iArgz = ln | z | +iargz + 2kπi，k为任意整数。从这个定义不难看出，对数函数的多值性与解析性完全由iargz决定，故与幅角函数完全一致。

2 多值函数单值化的一般方法

2.1 关于多值函数的支点

(一) 支点的定义:

1.具有这样性质的点：当z绕这点一圈时，多值函数从一个分支变为另一分支，我们把它称为这个多值函数的支点。

2.具有下述性质的点：在其任一邻域中的任一条闭约当曲线上绕它作(一次)完全环绕，可将多值函数的一个分支变为这函数的另一分支。

3. 如果存在点 (可为 )的一个邻域，当点:沿该邻域内任一内部含 的闭Jordan曲线绕行一周时，多值函数了f(z) 从一个值变为另一个值，则称 为了 f(z) 的支点。

例如：函数w= 1 有且仅有两个支点z=1，z=3。

(二) 判另支点的方法

一般步骤：1. 求出“可能支点”: 使R(z)=0及R(z)= 的点

2. 根据定义判别“可能支点”是否是支点.

例如：求 n

的支点，其中 、 、 为互不相同的复常数。

解：（1）令

、 ，得 、 、 、 。故w的可能支点为 、 、 、 。

（2） n

n n n

n n n

（k ）

对于z=α，取充分小邻域N( , )使其内不含 、 。在N( , ) 内任作一条内部含α的闭Jordan曲线C，在C上任取一点 ，分别取arg( )= 、arg( )= 、arg( )= ，井由此任意取定函数在 的一个值，不妨令 n n n

当点z从 出发沿C按逆时针方向绕行一周回到 时，arg( 由 变到 ，而arg( )、arg( ) 仍为 、 ，此时函数值 变为 。故z=α是支点。同理可以证明 、 也是支点。

对于 ，取充分小邻域 （R充分大，使R 、 、 ），在此区域内任取一条围绕 的Jordan闭曲线c，仿照之前方法同样可证明 是支点。

2.2 关于多值函数的单值分支

(一)可分连续分支区域

定理2.1 多值函数f(z)在区域D内可分单值连续分支的充要条件是，对一于区域D内的任一闭曲线C，当点z沿C绕行一周后了f(z)的值不变。

这个定理可以检验怎样取简单曲线连接支点作为割线是“适当的”，即是一可分单值分支区域。一个函数的可分单值分支区域，随割线不同而不同，其任一子区域都是可分单值分支区域，故可分单值分支区域不是唯一的。为使可分单值分支区域尽量的“大”，也为便于讨论多值函数，一般取线段、射线作割线。

3 多值函数单值化方法的应用

3.1 三个引理

引理1 ，这里 g是不通过点a的 Jordan 曲线。

引理2 设

……

…… 则

，g是不通过P(z)，Q(z)零点的曲线。

引理3 n ，这里 g 是不通过P(z)，Q(z)零点的Jordan曲线。

引理4 n

与

有相同的支点。

（n为自然数，k为任意整数。）

定义3.1 设D为多值函数的单值分支f(z)的解析区域，单值解析分支表达式 终 ，其中g为D内某一条可求长的Jordan曲线， ，z分别为g的起点与终点。

3.2 两类函数可单值分支区域的作法

前文提到过，连接所有支点的 Jordan曲线为支割线，将复平面沿支割线割开所得区域一定是可单值分支区域。但在处理实际问题时，总是想取割线更短一些，使可单值分支区域更大些。下面就两类函数的情形进行讨论。

第一类： 的可单值分支区域。如果 可分解为 。其中 为一有理式，其分子分母次数相同，而 本身不能作类似的分解。则只要将 有关的所有支点（不含 ）连接起来，就可分出 的单值分支。因 ，故之后只需考虑 ，的多值性。仿照 的分解方法，对 再分解下去，如此，可得 的最大可单值分支区域。

第二类： 的可单值分支区域。如果 可分解为 。其中 为一有理式，其分子分母次数之差为n的整数倍，而 本身不能作类似分解。将 的各支点连接在一起作割线。再对 同样分解如此进行下去，便得出 的最大可单值分支区域。

例如，求 1 的可单值分支区域。

容易看出 z=1,2,3,4是 的支点，显然在复平面上沿实轴从z=1到z=4作割线，在所得的区域D内，即是可单值分支区域。但为了使割线尽可能短些，现在考查仅含两个支点的Jordan闭曲线。

设g是一条不通过z=1,2,3,4且仅包含z=1,2的Jordan闭曲线，则

1 1

.

根据引理3，有 ，同理，若取C是仅包含z=3,4的Jordan闭曲线，也可得 。于是做连接z=1，z=2的直线段及连接z=3，z=4的直线段为割线所得的区域D就是 的可单值分支区域。 3.2 应用实例

研究 n 1 的支点，并求满足条件： 的一个解析分支在z=2处的值。

解 由引理4 知 n 1 与 1 有相同的支点，易知为i,-i, 。

割线可以取从-i到i的射线，或者反过来。但考虑到z=0,z=2不能再割线上，所以取-i到-1，从i到-1，并沿实轴的负方向的直线为割线，从而割破平面得单值解析分支区域D。由初值定义及已知条件：