复变函数 2.3初等多值解析函数

主值支 w l n z l n |z | i a r g z L n z l n z i 2 k ,k Z .
(2)运算性 (3)解析性
Ln(z1z2)Ln(z1)Ln(z2);Ln(z1/z2)Ln(z1)Ln(z2);
Ln(z)nnLn(z);Ln(nz)1 nLn(z).
作业！
2 i
2
c o s z s i n z
注: 正、余弦函数可以大于1.
函数图像
2.性质
(1)单值性
(2)周期性 T 2.
(3)奇偶性 cosz 偶 ,sinz 奇 .
(4)三角公式
(5)解析性 整 个 复 平 面 解 析 且 ( s i n z ) ' c o s z , ( c o s z ) ' s i n z .
§2.3 初等函数
• 指数函数 • 对数函数 • 三角函数与反三角函数 • 双曲函数与反双曲函数 • 幂函数 • 小结
2.3.1 指数函数
1.定义 对于复数z =x+iy,定义指数函数为
w e z e x p (z ) e x ( c o sy is in y ) 函数图像
注:
x 0 E u l e r 公 式 ： e i y ( c o s y is i n y ) ;
017－44/1－2
教学方式与要求
• 方式
板书结合PPT 源于课本稍高于课本
• 要求
适当做笔记 按质完成作业
《复变函数与积分变换》主要内容
解析函数(讲 共9周36课时
级数
两者关系: 留数
积分变换
Fourier 变换
Laplace变换
复球面
4.4 罗朗级数
反 函 数

1. 指数函数具有周期性 ( 周期为 2πi ) 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 4. 双曲正弦与余弦都是周期函数
21
本章小结 • 解析函数
– 复变函数的导数与微分 – 函数解析的充要条件
f z 在D内解析
f z 在D内可导
f z 在z0 解析
13
2.3 初等函数
1 iz iz 1 y xi y xi ( 2 ) sin z ( e e ) ( e e ) 2i 2i sin x chy i cos x shy
| sin z | sin xch y cos xsh y
2 2 2 2 2
1
2.3 初等函数
特殊情况:
1) 当 b n (正整数)时,
a n e nLna e Lna Lna Lna e Lna e Lna e Lna
(指数 n 项)
(因子 n 个) (因子 n 个)
a a a.
2
2.3 初等函数
特殊情况（续）:
5
2.3 初等函数
2. 幂函数的解析性
(1) 幂函数 z 在复平面内是单值解析 的,
n
n 1 (z ) nz .
n
( 2) 幂函数 z 是多值函数, 具有n个分支.
1 n
它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 1 1 1 Lnz 1 n 1 n z z en zn . n
2 又 cos(5 z 2 ) cos 5( z ) 5 2 故T 5
15
2.3 初等函数
其他复变数三角函数的定义

s inz,c ozs作 为 复 变,函 是 数 否 与 实 变 函 数
有类似的:结si果 nz 1, cozs 1.
5) 由正弦和余弦函及 数指 定数 义函数 的加法定理可推三 知角 一公 些式
scionzzs1(1( zz22)) scionzz1s1ccoozzs2s2csionzzs11ssiin nzz22 sin 2zco2sz1
当x0时, eiy coysisiny, 从而得到 : eiy coysisiny
e iy e iy
e iy e iy
si y n
cy o s
y R(2 )
2 i
2
推广到复变数情形
定义
ezi ezi sinz
ezi ezi co sz
(3)
2i
2
称 为z的 正 弦 与 余 弦 函 数
uv v u x y x y
上述条件满足时,有
f'(z)uxivxux iuyvy iuy vy ivx
最易记忆
仅用u 表示
仅用v 表示
定理2 函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在D内解析充要 条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且 满足Cauchy-Riemann方程
第三讲 解析函数的充要条件 初等函数
§2.2 解析函数的充要条件
1. 解析函数的充要条件 2. 举例
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定 义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。
问题 如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。

2
2
cos1cosh1 i sin1sinh 1.
4.双曲函数的定义
ez ez shz
2
ez ez chz
2
双曲函数的性质
e z -e z thz e z +e z
1） 2） (shz) chz,
(chz) shz.
3）
chiy cos y,
shiy isiniy
ch
x
iy
第二章 解析函数
--------复变函数研究的主要内容
第二节 复变初等函数
2.1 指数函数
2.2 对数函数
2.3 乘幂与幂函数 2.4 三角函数与双曲函数
2.5 反三角函数与反双曲函数
2.4 三角函数与双曲函数
1.三角函数的定义
余弦函数 正弦函数
e iz e iz
cos z
;
2
e iz e iz
31
z
2
3i
2 2i 2
i, 22
z 1,arg z .
z cos
i sin
e 6.
6
6
6
法二 由于分子分母互为共轭复数 z 1
Argz Arg 3 i Arg 2 2i
arg
z
3 .
i
2 2i
2m
3
2n
2
2m
n
6
6
例2 设 z1 与 z2 是两个不同的复数.
cos z
sin z
cos z
sin z
例8 求 cos(1 i) 的值.
解 cos(1 i ) ei(1i ) ei(1i ) e1i e1i
2
2
1[e1(cos1 i sin 1) e(cos1 i sin 1)] 2