1 2015届高考数学一轮总复习 10-3相关关系、回归分析与独立性检验
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)(2013·长春调研)已知x，y的取值如下表：
x 0 1 4 5 6 8
y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y^＝0.95x＋a，则a＝( )
A．1.30 B．1.45
C．1.65 D．1.80
[答案] B
[解析] 依题意得，x－＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y－＝16×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25.又直线y^＝0.95x＋a必过样本中心点(x－，y－)，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a，由此解得a＝1.45，选B.
(理)(2013·衡阳联考)已知x与y之间的一组数据：
x 0 1 2 3
y m 3 5.5
7
已求得y关于x的线性回归方程y^＝2.1x＋0.85，则m的值为( )
A．1 B．0.85
C．0.7 D．0.5
[答案] D
[解析] ∵x－＝1.5，代入y^＝2.1x＋0.85中得，y－＝4，
∴14(m＋3＋5.5＋7)＝4，∴m＝0.5.
2．(2012·东北三校模拟)某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则所得到的统计学结论是：有( )的把握认为“学生性别与支持活动有关系”．( )
A．0.1% B．1%
C．99% D．99.9%
附：
P(χ2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
[答案] C
[解析] 由题意得，从给出的附表中可得P(χ2≥6.635)＝0.010，又7.069∈(6.635,10.828)，所以有99%的把握性认为学生性别与支持该活动有关系，故选C. 2 3．(2012·新课标全国，3)在一组样本数据(x1，y1)、(x2，y2)、„、(xn，yn)(n≥2，x1，x2，„，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，„，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A级 基础达标演练
(时间：40分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )．
A．正方体的棱长与体积
B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量
C．日照时间与水稻的亩产量
D．电压一定时，电流与电阻
解析 A、B、D中两个变量间的关系都是确定的，所以是函数关系；C中的两个变量间是相关关系，对于日照时间一定的水稻，仍可以有不同的亩产量，故选C.
答案 C
2．(2012·石家庄调研)下列结论正确的是( )．
①函数关系是一种确定性关系；
②相关关系是一种非确定性关系；
③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；
④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
解析 由回归分析的方法及概念判断．
答案 C
3．(2011·莱芜二模)在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )．
A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌
B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌
C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人
D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有
解析 统计的结果只是说明事件发生可能性的大小，具体到一个个体不一定发生． 答案 D
4．(2011·陕西)设(x1，y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )．
A．直线l过点(x，y)
B．x和y的相关系数为直线l的斜率
C．x和y的相关系数在0到1之间
D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
解析 由样本的中心(x，y)落在回归直线上可知A正确；x和y的相关系数表示为x与y之间的线性相关程度，不表示直线l的斜率，故B错；x和y的相关系数应在－1到1之间，故C错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故D错．
模块4 成对数据的统计分析
§第1节 一元线性回归模型及其应用
一、内容提要
本节主要归纳变量的相关关系、一元线性回归模型及其应用等内容，先梳理一些基本概念.
1. 样本相关系数r：用于判断线性相关关系的强弱，以及是正相关还是负相关.
①计算公式： r=∑i=1n(xi−x̅)(yi−y̅)√∑i=1n(xi−x̅)2∙√∑i=1n(yi−y̅)2=∑i=1nxiyi−nx̅∙y̅√∑i=1nxi2−nx̅2∙√∑i=1nyi2−ny̅2, 且按此求得的 r必在[-1,1]上;
②当r>0时, 变量x和y正相关, 当r<0时, 变量x和y负相关;
③|r|越接近1，变量x与y的线性相关程度越大； |r|越接近0，x与y的线性相关程度越小.
2. 一元线性回归模型参数的最小二乘估计：在y关于x的经验回归方程 ŷ=b̂x+â中，参数b和a的最小二乘估计公式分别为 b̂=∑i=1n(xi−x̅)(yi−y̅)∑i=1n(xi−x̅)2=∑i=1nxiyi−nx̅y̅∑i=1nxi2−nx̅2,â=y̅−b̂x̅.
注：上式中 ∑i=1n(xi−x̅)(yi−y̅)=∑i=1nxiyi−nxy̅̅̅,∑i=1n(xi−x̅)2=∑i=1nxi2−nx̅2,这种公式的转换需熟悉，可能出现给的是其中一种形式，但计算时却必须用另一种的情况，下面给出
∑i=1n(xi−x̅)(yi−y̅) =∑i=1nxiyi−nx̅y的证明过程.
3. 残差：用回归方程拟合两个变量x和y的关系时，对于样本点(x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn,yn),称观测值y₁与预测值. ŷi的差 yi−ŷi为相对于样本点( (xᵢ,yᵢ)的残差, 其中i=1,2,…,n. 将所有样本点的残差绘制成图形即可得到残差图，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，且这样的区域越窄，模型的拟合效果越好. 例如，下面是用两个不同的线性回归模型l₁和 𝑙₂对同一组观测数据进行拟合以及对应的残差图，对比可得线性回归模型l₁的残差点分布在 x 轴附近狭窄的带状区域内，拟合效果比 𝑙₂好.
第四节 变量间的相关关系、统计案例
变量间的相关关系、统计案例
1．变量间的相关关系
(1)会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用数点图认识变量间的相关关系．
(2)了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
2．统计案例
了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题．
(1)独立性检验
了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．
(2)回归分析
了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
知识点一 回归分析
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．两个变量的线性相关
(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
(2)回归方程为y^＝b^x＋a^，其中b^＝∑ni＝1xiyi－nx y∑ni＝1x2i－nx2，a^＝y－b^x.
(3)通过求Q＝∑ni＝1 (yi－bxi－a)2的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．
(4)相关系数：
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 易误提醒
1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
