河南省新野三高高中数学 1.4 两条直线的交点导学案 北师大版必修2(1)

函数概念

【学习目标】

1．能用集合语言刻画函数．

2．理解)(xfy的含义．

3．理解构成函数的三要素，会求简单函数的定义域和值域．

【重点突破】

1．正确理解函数符号)(xfy的含义(难点)．

2．会求简单函数的定义域、值域(重点)．

3．本节内容常与不等式、集合等内容结合命题．

【预习导学】

1、函数的定义

2、区间的概念

设a，b是两个实数，且ba，

这里实数a，b都叫作相应区间的端点。

3、无穷大概念

(1)实数集R用区间表示为 ，“∞”读作 ，“－∞”读作

，“+∞”读作 。

(2)无穷区间的表示

【达标训练】

【拓展延伸】

1、函数xxxf21)(（0≤x≤2且x∈N+）的值域是（ ）

2、

3、函数0)2(12)(xxxf的定义域是 ．

4、函数]2,1[,21xxy的值域是 ．

5、已知函数24)(xxxf．

（1）求)(xf的定义域；

（2）求)3(f，)32(f的值．

6、已知15)(2xxxf，若2)(af，求a的值．

1．4 两条直线的交点

一般地，如果两条不重合的直线方程分别为

l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.

要判断它们是否平行，即看它们的斜率是否相等．如果不等，则两直线相交，问题就转化成二元一次方程组求解的问题．

两条直线相交，交点一定同时在这两条直线上，交点坐标是这两个方程组成的方程组的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解，那么以这个解为坐标的点，必是直线l1和l2的交点．因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的公共解．

1．若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.且l1与l2的交点为P(x0，y0)，则P的坐标应满足什么关系？

[答案] A1x0＋B1y0＋C1＝0且A2x0＋B2y0＋C2＝0.

2．已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？

[答案] 只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．

题型一两直线的交点问题

【典例1】 已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．

[思路导引] 求出交点坐标，第四象限横坐标大于零、纵坐标小于零．

[解析] 由 5x＋4y＝2a＋1，2x＋3y＝a，得 x＝2a＋37，y＝a－27，

由 2a＋37>0，a－27<0，得 a>－32，a<2.∴－32

[引申探究] 若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则a的取值范围又如何？

[解] 由典例得交点坐标为2a＋37，a－27，

则由 2a＋37<0，a－27<0，得a<－32.

解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．

[针对训练1] 若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是( )

晨鸟教育

1．4 两条直线的交点

知识点 两条直线的交点

[填一填]

(1)求法：用代数方法求两条直线的交点坐标，两直线方程联立方程组，此方程组的解就

是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．

(2)应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位置关系．

一般地，将直线 l

1 和直线 l

2 的方程联立，得方程组Error!

当方程组有唯一解时，l

1 和 l

2 相交，方程组的解就是交点坐标．

当方程组无解时，l

1 与 l

2 平行．

当方程组有无数组解时，l

1 与 l

2 重合．

[答一答]

如果一条直线的方程中含有一个参数，那么这条直线可能恒过一个定点，怎样求出定点

的坐标呢？

提示：当方程中含有一个参数，直线 l 通常经过一个定点时，令参数取两个特殊值后得

到两个直线方程，那么定点必在这两个方程表示的直线上．因此，转化为求这两条直线的交

点，即得到的两个方程联立方程组，方程组的解就是直线 l 经过的定点的坐标．

1．两直线相交的条件

(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解

时，两直线相交．

(2)设 l

1：A

1x＋B

1y＋C

1＝0；l

2：A

2x＋B

2y＋C

2＝0.则 l

1 与 l

2 相交的条件是 A

1B

2－A

2B

1≠0

A1 B1

或 ≠ (A

2，B

2≠0)．

A2 B2

(3)设两条直线 l

1：y＝k

1x＋b

1；l

2：y＝k

2x＋b

2，则 l

1 与 l

2 相交⇔k

1≠k

2.

2．过两条直线交点的直线系方程

(1)经过两条直线 l

1：A

1x＋B

1y＋C

1＝0(A

1，B

1 不同时为 0)，l

2：A

2x＋B

2y＋C

2＝0(A

2，B

2

不同时为 0)的交点的直线为(A

1x＋B

1y＋C

1)＋λ(A

2x＋B

2y＋C

2)＝0(其中 λ 为参数)，此方程表示

的直线不包括直线 l

2.

(2)这个参数形式的方程在解题中很有用处，但在解题中要注意验证 l

2 是否符合题意，否

2.1.4 两条直线的交点

教学目标：

1．知道两条直线的相交、平行和重合三种位置关系，对应于相应的二元一次方程组有唯一解、无解和无穷多组解

2．当两条直线相交时，会求交点坐标

3．学生通过一般形式的直线方程解的讨论，加深对解析法的理解，培养转化能力

教学重点：

根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两直线相交求交点

教学难点：

对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解

教学过程：

1．引入新课

问题：任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示，那么两条直线是否有交点与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系？

2．两条直线的交点

设两条直线的方程分别是1l:0111CyBxA,2l:0222CyBxA．

方程组00222111CyBxACyBxA的解 一组 无数组 无解

两条直线21,ll的公共点 一个 无数个 零个

直线21,ll的位置关系 相交 重合 平行

研究两条直线21,ll的位置关系(相交、重合、平行)可以转化为两条直线方程所得的方程组00222111CyBxACyBxA的解的个数问题．

3．例题讲解

例1．分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点：

(1)1l:72yx，2l:0723yx；

(2)1l:0462yx，2l:08124yx；

(3)1l:0424yx，2l:32xy．

解：(1)0723072yxyx的解为31xy，直线1l与2l相交，交点坐标为13，．

(2)081240462yxyx有无数组解，这表明直线1l和2l重合．

(3)0320424yxyx无解，这表明直线1l和2l没有公共点，故12llP．

例2．直线l经过原点，且经过另外两条直线0832yx，01yx的交点，求直线l的方程．