几种常见动量守恒模型例解
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程中系统动量守恒，则有ｍｙ。一（ 。＋ ） ． 从能量的角度看， 该过程系统损失的动能 全部转化为系统的热力 学能．设平均阻力大小 为Ｆ，，设子弹、木块的位 图３ 移大小分别为 、ｓ ，如图３所示，显然有ｓ 一Ｓ ：ｄ． 对子弹用动能定理有 Ｆ， 一 １仇 一 ｚ， ① 对木块用动能定理：Ｆ， 一寺 。 ， ② ①、②相减得： Ｆｆ￣ 一 １ —ｌ（ｍ。＋ ） ２一 ，③ 由上式不难求得平均阻力的大小： ｍｏ ｍ ｆｍ 赢‘ 木块前进的距离Ｓ ，可以由以上②、③相比得出： ｍ ， Ｓ２ —— — ． ｍ ｏ—ｒｍ ４滑块模型 １）模型解读 相互作用的两滑块一个在另一个上面有相对滑 动，相互作用的两滑块之间存在摩擦，有相对运动，系 统动量守恒，但系统有机械能损失，损失的机械能转 化为热力学能，与子弹打木块题型解法相似． ２）典例解析 例４ （２０１１年海南 卷）一质量为２ｍ的物体Ｐ 静止于光滑水平地面上，其 截面如图４所示．图中ｎ６为 图４ 粗糙的水平面，长度为Ｌ；ｂｃ为一光滑斜面，斜面和水 平面通过与口６和 均相切的长度可忽略的光滑圆弧 连接．现有一质量为ｍ的木块以大小为 。的水平初 速度从口点向左运动，在斜面上上升的最大高度为ｈ， 返回后在到达口点前与物体Ｐ相对静止．重力加速度 为ｇ．求： （Ｉ）木块在口６段受到的摩擦力Ｆ，； （２）木块最后距ａ点的距离ｓ． ． （１）设木块和物体Ｐ共同速度为 ，两物体 析从开始到第一次到达共同速度过程由动量 和能量守恒得： 一（ｍ＋２ｍ） ， ① １ １ 寺ｍ 一寺（ｍ＋２ｍ）ｖ。＋ｍｇｈ￣－Ｆ正， ② 由①②得： Ｆｓ－－—ｍ（—ｖ百２ｏ－－ ３一ｇｈ）， ③ （２）木块返回与物体Ｐ第二次达到共同速度与 第一次相同（动量守恒）全过程能量守恒得： 寺 一÷（ ＋２ｍ） 。＋Ｆｒ（２Ｌ—ｓ）， ④ 由①、③、④得： Ｌ． ０。ｏｇ凡 ５碰撞模型 １）模型解读 ２个物体在极短时间内发生相互作用，这种情况 称为碰撞．由于作用时间极短，一般都满足内力远大 于外力的条件，所以可以认为系统的动量守恒．分为３ 大类：一是弹性碰撞，其机械能守恒，无能量损失，若 两物体质量相等，则碰撞后速度交换，在弹性形变增 大的过程中，系统中两物体的总动能减小，弹性势能 增大，在物体形变量最大时，两物体速度相等．在形变 减小（恢复）的过程中，系统的弹性势能减小，总动能 增大．二是非弹性碰撞，其动量守恒，碰撞过程中有机 械能损失，形变不能完全恢复，则相互作用过程中产 生的热力学能增量等于系统的机械能损失．三是完全 非弹性碰撞，其动量守恒，机械能损失最大， 遵循原则是：①碰撞过程能量不增加，②若甲 追乙，则碰前甲的速度大于乙的速度，③碰后，乙球 速度必须大于或等于甲的速度． ２）典例解析 例５如图５，大小相同的摆球 和 ｂ的质量分别为ｍ和３ｍ，摆长相同，并 排悬挂，平衡时两球刚好接触，现将摆球 向左边拉开一小角度后释放，若两球的 碰撞是弹性的，下列选项中判断正确的 是（ ）． Ａ第一次碰撞后的瞬间，两球的速 度大小相等； 图５ Ｂ第一次碰撞后的瞬间，两球的动量大小相等； Ｃ第一次碰撞后，两球的最大摆角不相同； Ｄ发生第二次碰撞时，两球在各自的平衡位置 Ｑ 根据碰撞动量守恒定律和动能守恒得 析 仇 一仇 ：＋ｍ ， ｍｌ －ｓ ｍ１秒，２＋ ｚ，秒１ 十 ２ ２ ＇ 且ｍ１一ｍ，ｍ２—３ｍ，解得 ， ｍ１一ｍ 】 ， ２ｍ１ 】 一ｍ—，＋—ｍ２ 一一 １’７３２一 １＝ １， 我认为再没有比那些只顾自己鼻子尖底下一点事情的人更可悲的了
化 所以选项Ａ正确，选项Ｂ错误．根据÷ｍｙ 一ｍｇｈ一 厶 ｍｇＲ（１－－ＣＯＳ ），可知第一次碰撞后，两球的最大摆角 相同，选项Ｃ错误．根据单摆的等时性，选项Ｄ 正确． ６爆炸。反冲模型 １）模型解读 内力远大于外力，所以动量守恒，但由于有内力 做功，热力学能要转化为机械能，所以系统机械能增 加， Ｅ一告ｍ１７３ｊ＋专ｍｚ ｉ． ２）典例解析 例６如图６所示，一人 站在一辆小车上，车上还有 ２５个质量均为仇的小球，人、 球与小车总质量为ｌＯＯｍ．人 图６ 与车相对静止一起沿水平光滑轨道以 。的速度运 动．若人沿运动方向以相对地面５ 的速度将球一个 个相继抛出．求： （１）抛出第，ｚ个球后小车的瞬时速度． （２）抛出若干小球后，车能否变成反向滑行？若 能则求出刚开始反向滑行时小车的速度大小；若不能 则求出将球全部抛出后小车的速度大小． （１）系统合力为零，水平方向动量守恒，设抛 析 出第 个小球的瞬间小车的速度为 ， 则有： １００ｍ７３ｏ＝５ｖｏｎｍ＋（１００ —ｎｍ） ， ： 一 １００一 ‘ （２）设初速度方向为正，当小车的速度 小于零 时，小车将反向运动，由上式可得： 一（１００７３ｏ一５ｖｏｎ）／（１００一ｎ）＜Ｏ， ＞２０． 所以当抛出第２１个小球时小车将反向，则 ２１：（１Ｏ０—２１ Ｘ ５）口。／（１ｏ０—２１）一一５ｖ０／７９． 例７如图７所示，在足 够长的光滑水平轨道上静止 ３个小木块Ａ、Ｂ、Ｃ，质量分 别为ｍＡ＝＝＝１ ｋｇ， Ｂ一１ ｋｇ， ｍ 一２ ｋｇ，其中Ｂ与Ｃ用一个轻弹簧固定连接，开始 时整个装置处于静止状态；Ａ和Ｂ之间有少许塑胶炸 药，Ａ的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰 撞过程没有能量损失）．现在引爆塑胶炸药，若炸药爆 炸产生的能量有Ｅ一９ Ｊ转化为Ａ和Ｂ沿轨道方向的 动能，Ａ和Ｂ分开后，Ａ恰好在Ｂ、Ｃ之间的弹簧第一 次恢复到原长时追上Ｂ，并且在碰撞后和Ｂ粘到一 起．求： （１）在Ａ追上Ｂ之前弹簧弹性势能的最大值； （２）Ａ与Ｂ相碰以后弹簧弹性势能的最大值． （１）塑胶炸药爆炸瞬间取Ａ和Ｂ为研究对 析象，假设爆炸后瞬ＩＮ Ａ、Ｂ的速度大小分别为 、口。，取向右为正方向，由动量守恒得一 ＋ ｍ ｍ 一０，爆炸产生的热量有９ Ｊ转化为Ａ、Ｂ的 动能： Ｅ一寺ｍＡ ＋寺ｍＢ ， 带人数据解得：７３Ａ一 Ｂ一３ ｍ・ｓ－。． 由于Ａ在炸药爆炸后再次追上Ｂ的时候弹簧恰 好第一次恢复到原长，则在Ａ追上Ｂ之前弹簧已经 有一次被压缩到最短（即弹性势能最大），爆炸后取 Ｂ、Ｃ和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短 时Ｂ、Ｃ达到共速口Ｂｃ，此时弹簧的弹性势能最大，设 为Ｅ。１． 由动量守恒得ｍＢ Ｂ一（ｍＢ＋ ｃ）７３ＢＣ，由能量守 恒有： 寺ｍＢ 一寺（ｍＢ＋ｍｃ） ＋Ｅ ｐ１． 带人数据得： Ｅ。 一３ Ｊ． （２）设Ｂ、Ｃ之间的弹簧第一次恢复到原长时Ｂ、 Ｃ的速度大小分别为 和 。，则由动量守恒和能量 守恒有 ｍＢ Ｂ＝仇Ｂ Ｂ１＋ｍｃ ｃ１， 丢Ｂ １ ＋ １ｒｏＢ７３ ￣ｇｌＢ７３ ｍｃ７３ ．一 十 ・ 带人数据解得： Ｂ１一一１ ｍ・ｓ。。。， ｃ１—２ ｍ・ｓ ． （７３Ｂ１—３ ｍ・ｓ～， ｃ１—０不合题意，舍去．） Ａ爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后 速度大小不变，反向弹回．当Ａ追上Ｂ，发生碰撞瞬间 达到共速７３ＡＢ，由动量守恒得 ｍＡ Ａ＋ｍＢ Ｂ１＝（仇Ａ＋ｉｎＢ）７３ＡＢ， 解得： ７３ＡＢ＝１ ｍ・ｓ～． 当Ａ、Ｂ、Ｃ三者达到共同速度７３ＡＢ 时，弹簧的弹 性势能最大为Ｅ。 ，由动量守恒得： （ｍＡ＋ｍＢ） ＡＢ＋ｍｃ ｃ１一（ｍＡ＋ｍＢ＋ｍｃ）７３ＡＢｃ． 由能量守恒： 百１（７７ｚＡ＋ ） ＋ 一 ÷（ｍＡ＋优Ｂ十ｍｃ）７３ ｃ＋ＥＤｚ． 带人数据得： Ｅ ｚ一０．５ Ｊ． （作者单位：重庆市丰都中学校）
我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的
