可逆摆运动特性的研究

可逆摆运动特性的研究

刘勇（安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011）

指导老师：张 杰

摘要：本文根据可逆摆的物理图象和运动学方程，建立了可逆摆的目标函数和控制数学模型。通过对目标函数控制物理机理的研究，寻找目标函数的极值，然后利用MATLAB 的Simulink 进行了可逆摆的运动学仿真。在仿真过程中我们应用全维状态观测设计控制器实现了状态反馈，在此基础上用状态反馈控制配置系统极点，能够在最短的时间内寻找到系统的平衡位置。仿真结果表明，该方法可使系统稳定工作并具有良好的动态性能，并能较好地解释可逆摆实验中一系列物理现象。这为我们提供了一种利用状态反馈进行控制系统优化的手段。

关键词：可逆摆，状态反馈，MATLAB ，自动控制，仿真

1．引言

北京大学赵凯华教授指出[1]：“物理学家对事物是最好穷本极源的，他们在研究的过程中不段地思考，凡事总喜欢问个‘为什么’。理论物理学家不能仅仅埋首于公式的推演，应该询问其物理实质，从中构想出鲜明的无论图象来；实验物理学家不应满足于现象和数据的记录，或某种先进的指标，而要追究其中的物理机理”。 可逆摆问题在控制理论的研究中是一个很典型的范例[2-3]。本文根据可逆摆运动学方程，建立可逆摆目标函数的物理图象，分析（L-x ）图象的形成机理，研究可逆摆上的大锤对目标函数控制的物理机理，从而较好地解释了可逆摆实验中一系列物理现象。

2．可逆摆原理及运动方程

2.1可逆摆的振动周期

在大学实验教材中，可逆摆是一种可倒过来摆动的物理摆[4]，实验原理如图1，它是均匀钢体C 上装有2个均匀且平整的钢盘A 和B ，杆C 穿过钢盘，且穿过盘心。O 1，O 2为杆C 的两刀口，当可逆摆正挂做摆角很小的摆动时，它做简谐振动，其周期为

Mga I T 1

12π

= （1）

式中I 1为摆在此时的转动惯量，M 为摆的总质量，a 为刀口O 1到质心O 的

距离。为了消去难于测量I 1与a ，需保持整个摆的结构不变而仅将摆倒过来绕O 2（称作倒摆）摆动则其周期为

Mgb I T 2

22π

= （2）

式中I 2为摆此时的转动惯量，b 为刀口O 2到摆质心O 的距离，两者也难于侧准，为了消去I 1，I 2，a ，b ，再用平行轴定理

2

01Ma I I += ( 3 )

2

02Mb I I += （4）

则由(1)、(2)、(3)、(4)可得

图1可逆摆

2

22

122)

(4bT aT b a g --=

π （5）

式中a ，b 虽然难于测量准，但a+b 是两刀口之间的距离，可测得足够准确，所以，当条件满足T 1= T 2= T 时，由a+b=L 可得[5]

24T L

g π=

（6）

L 为等值摆长，即O 1，O 2之间的距离。

由以上推导可知，要准确的测量可逆摆的振动周期，最关键的是确定移动锤B 的位置，即当A 在一定范围内移动时，使其满足T 1= T 2的要求。我们可以利用可逆摆方程计算出活动锤B 的取值范围。

２.2 可逆摆的运动学方程[6-7]

由以上推导可知，显然当ａ=ｂ=L/2时，在摆完全对称条件下，显然有T 1=T 2=T ，但这样测出的g 是无意义的，那么当E 在其它位置时是否有意义呢？是否有T 1=T 2存在？我们要具备什么样的条件才能准确的测定T 1=T 2？

由（1）～（4）式以及T 1=T 2=T ；L=ａ+ｂ可得

)2(3200223=-++-LI a I M L LMa Ma （7）

可分解为：

20(/2)()0a l Ma LMa I --+= （8）

对于（8）式，当a= L /2时，虽有T 1=T 2，但因a-b=0而使所得到的g 无意义。所以，本测量能否成功就由方程

02=+-I LMa Ma （9）

应具备什么条件才有T 1=T 2决定了。因此，我们必须求去I 0。设杆总长为Lc ，它与盘E 。盘A ，B 的质量分别为m c ，m E ，m a ，m b =m1（即M=m c +m E +2m ）.当将摆调至上下、前后、左右都对称时，可算得

2

3

2312

203)(3)()(X m L a L m L a L m a L M I E C

c C c +++++-= （10）

式中L 1和L 2分别是刀口O 1和O 2到各自杆正端的距离，x 为盘E 中心到摆质心O 的距离，根据质心的定义有

C

C

E L b L a L b M L b L a L m X M a M c 2)

)((2)

)((222111+++

=+++

+ （11）

由L 1=L 2，b=L-a ，L c =L+2L 1，M 2=m 1.可得

a

m L

m m X E

c -+=

2)2(1 （12）

将式(12)带入(10)，并简带得

2222

2211011(2)(3)(2)[2]()]]124c C C c c E E

m m M L L m m I m m a La m L m m +++=++++++ （13）

将I 0带入式(9)便得到可逆摆方程

2222

221111(2)(3)(2)[42]()[]0124c C C c c E E m m M L L m m m m m a La m L m mE

++++++++++= （14）

方程中除a 外其它各量均可精确测定，故它是关于a 的二次方程.其实根必能满足T 1=T 2的条件。虽然我

们从理论上讨论了可逆摆的机理，但在实际测量中仍存在很多困难，使得可逆摆实验做起来非常复杂。这里我们仅讨论了系统绕固定点振动的情况，如果再增加策动力，系统的运动行为将更加复杂，实验上难以完成。随着计算机技术的发展，利用计算机仿真技术进行实验的模拟已经得到广泛应用，下面我们将利用计算机仿真技术进行可逆摆的运动学仿真。

3．可逆摆运动学仿真模型

3.1可逆摆运动学仿真模型[8]

一般情况下的可逆摆系统原理如图(2)所示。长度为l ，质量为m 的可逆摆，用铰链安装在质量为M 的小车上，小车受执行电机操纵，在水平方向施加控制力u ，相对参考系产生位移z ，为简化问题并保留实质不变，忽略摆杆质量，执行电机惯性以及摆轴 。栊轴。栊与接触面之间的摩擦及风力。若不给小车施加控制力，倒摆会、向左或向右倾倒，是一个不稳定系统。控制的目的是当倒摆出现偏

角Q 以后能通过小车的水平运动使倒置摆保持在平衡位置。要求建

立该系统思想模型，用状态反馈配置系统极点，利用维分及降维状态观察实现状态反馈。

设小车瞬时位置为Z ，摆心瞬时位置为（Z+LsinQ ）。在u 的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与u 平衡，于是有

u dt Q L z md dt z Md =++2

222)

sin (

即

u Q mlQ Q mLQ Z m M =-++sin cos )(2 （15） 绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有 2

[md (Z+LsinQ)]LsinQ=mLgsinQ

即

Q g Q Q LQ Q LQ Q z sin cos sin cos cos 2

2=-+ （16） 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性话处理.由于控制的目的保持倒置摆直立，

在施加合适u 的条件下，假设Q ，u 接近0是合理的，此时sinQ=Q ，cosQ=1.且可忽略QQ 项，于是有

()

M m mLQ u Z ++= （17） gQ LQ Z =+ （18）

联立求解可得

M u

M mgQ Z +-

= （19）

ML u

Mu gQ M m Q -

+=

)( （20）

消去Q 可得四阶系统微分方程

图2可逆摆原理图