等比数列3

等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一个 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 ，且G 2＝ 或G ＝ . 3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝ 或a n ＝ .=-mn q_________．(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n ，其中A ＝ ；点(n ，a n )是曲线 上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，q ＝1，＝ ，q ≠1. 求和公式的推导方法是： ，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n －B (q ≠1)，其中B ＝ 且q ≠0，q ≠1. 5．等比数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝Aq n (A ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝a 1q －1q n －a 1q －1＝Bq n －B ⎝⎛⎭⎪⎫B ＝a 1q －1是常数，且q ≠0，q ≠1 ⇔{a n }是等比数列． 6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列且公比为 ， ， ， . (3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m …仍为等比数列，公比为 ．(4)等比数列前n 项和为S m (≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等比数列，且公比为 ．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数，这个函数由正比例函数a n ＝a 1q ·u 和指数函数u ＝q n (n ∈N *)复合而成．①当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递增数列； ②当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递减数列； ③当 时，它是一个常数列；④当 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．等比数列及其性质1.在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A.16 B.27 C.36 D.812.已知a ，b ，c ∈R ，如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A.b ＝3，ac ＝9B.b ＝－3，ac ＝9C.b ＝3，ac ＝－9D.b ＝－3，ac ＝－9 3.在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.124.在等比数列{a n }中，a 2015＝8a 2012，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.85.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( ) A.7 B.8 C.9 D.166.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A.100 B.－100 C.10 000 D.－10 0007.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.328.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 29.等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于()A.2nB.2n 2C.n 2D.n10.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________.11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 12.在等比数列{a n }中，若a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.13.若{a n }为公比大于1的等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则{a n }的通项公式为______________.14.已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求{a n }的通项公式.15.在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设n n a b 2log ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0. (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；等比数列的前n 项和1.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A.33 B.72 C.84 D.1892.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A.11B.5C.－8D.－113.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B.－13 C.19 D.－194.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( ) A.－2 B.－1 C.12 D.235.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( ) A.－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C.3(1－3－10) D.3(1＋3－10)6.在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A.(2n－1)2B.(2n －1)23C.4n－1 D.4n －137.等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A.2 B.12 C.4 D.148.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A.－2B.2C.－3D.39.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A.152 B.314 C.334 D.17210.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A.－3B.5C.－31D.3311.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.12.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________. 13.求和：S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *.14.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和.15.已知数列n n n a 3)12(•-=，求数列a n 的前n 项和S n等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的 等于同一个 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母q 表示(q ≠0)． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的 ，且G 2＝ 或G ＝ . 3．等比数列的通项公式(1)若{a n }是等比数列，则通项a n ＝ 或a n ＝ .=-mn q_________．(2)a n ＝a 1q n －1可变形为a n ＝Aq n ，其中A ＝ ；点(n ，a n )是曲线 上一群孤立的点．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }中，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，q ＝1，＝ ，q ≠1. 求和公式的推导方法是： ，为解题的方便，有时可将求和公式变形为S n ＝Bq n －B (q ≠1)，其中B ＝ 且q ≠0，q ≠1. 5．等比数列的判定方法(1)定义法：a n ＋1＝a n q 且a 1≠0(q 是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (2)通项公式法：a n ＝Aq n (A ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：S n ＝a 1q －1q n －a 1q －1＝Bq n －B ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＝a 1q －1是常数，且q ≠0，q ≠1⇔{a n }是等比数列． 6．等比数列的性质(1)在等比数列中，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ·a q ＝a m ·a n ；若2m ＝p ＋q ，则a 2m ＝a p ·a q (p ，q ，m ，n ∈N *)．(2)若{a n }，{b n }均为等比数列，且公比为q 1，q 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{p ·a n }(p ≠0)，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍为等比数列且公比为 ， ， ， . (3)在等比数列中，按序等距离取出若干项，也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋m ，a n ＋2m …仍为等比数列，公比为 ．(4)等比数列前n 项和为S m (≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等比数列，且公比为 ．(5)对于一个确定的等比数列，在通项公式a n ＝a 1q n －1中，a n 是n 的函数，这个函数由正比例函数a n ＝a 1q ·u 和指数函数u ＝q n (n ∈N *)复合而成．①当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递增数列； ②当a 1＞0， 或a 1＜0， 时，等比数列{a n }是递减数列； ③当 时，它是一个常数列；④当 时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列．【答案】1．比 常数 公比2．等比中项 ab ±ab 3．(1)a 1qn －1a m qn －mm n a a(2)a 1qy ＝⎝⎛⎭⎫a 1q q x 4．na 1 a 1（1－q n ）1－q a 1－a n q 1－q乘公比，错位相减a 1q －16．(2)1q 1 q 1 q 1q 2 q 1q 2(3)q m (4)q m (5)①q ＞1 0＜q ＜1 ②0＜q ＜1 q ＞1 ③q ＝1 ④q ＜0等比数列及其性质1.在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5的值为( ) A.16 B.27 C.36 D.81答案 B 解析 ∵a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9. ∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2.已知a ，b ，c ∈R ，如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A.b ＝3，ac ＝9B.b ＝－3，ac ＝9C.b ＝3，ac ＝－9D.b ＝－3，ac ＝－9 答案 B 解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号， ∴b ＝－3，且a ，c 必同号.∴ac ＝b 2＝9.3.在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A.9 B.10 C.11 D.12答案 C 解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.4.在等比数列{a n }中，a 2015＝8a 2012，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 A解析 ∵a 2 015＝8a 2 012＝a 2 012·q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.5.在数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，则a 4的值为( )A.7B.8C.9D.16答案 B 解析 点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝2x 上，∴a n ＋1＝2a n ，∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a 4＝1×23＝8. 6.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A.100 B.－100 C.10 000 D.－10 000答案 C 解析 ∵lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝6， ∴a 38＝106∴a 8＝102＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10000.7.在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( )A.56B.65C.23D.32答案 D 解析 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且 a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6. ∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5. 解得q ＝26或q ＝36(舍去)，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.8.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A.1＋ 2B.1－ 2C.3＋2 2D.3－2 2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，a 1≠0，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1±2. ∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 9.等比数列{a n }满足a n >0，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥3时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于()A.2nB.2n 2C.n 2D.n 答案 C解析 log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1)2222222121252522log ()log ()log (2)log 2.nn n n n n n a a a a n --===== 10.已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2＝________. 答案 －6解析 由题意知，a 3＝a 1＋4，a 4＝a 1＋6.∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1a 4，∴(a 1＋4)2＝(a 1＋6)a 1，解得a 1＝－8，∴a 2＝－6.11.已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝________. 答案 8解析 由等比数列的性质得a 3a 11＝a 27，∴a 27＝4a 7.∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 7＝a 7＝4.再由等差数列的性质知b 5＋b 9＝2b 7＝8.12.在等比数列{a n }中，若a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________. 答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.13.若{a n }为公比大于1的等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，则{a n }的通项公式为______________.答案 a n ＝2×3n －3解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则q >1.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203，解得q 1＝13(舍)，q 2＝3.由q ＝3知，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.14已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求{a n }的通项公式.解 由S n ＋1＝qS n ＋1①可知当n ≥2时，S n ＝qS n －1＋1②，两式相减可得a n ＋1＝qa n ，又n ＝1时，S 2＝qS 1＋1，即a 1＋a 2＝qa 1＋1，解得a 2＝q ≠0，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n＝q (n ≥2).又a 2a 1＝q ，∴{a n }是公比为q 的等比数列. 根据2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，由等差数列性质可得2a 2＋a 2＋2＝2a 3，即2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12，由q >0可知，q ＝2，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.15.在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1＞1，公比q ＞0.设n n a b 2log =，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项a n ；(1)证明 因为b n ＝log 2a n ，所以b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1－log 2a n ＝log 2 a n ＋1a n＝log 2q (q ＞0)为常数，所以数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)解 因为b 1＋b 3＋b 5＝6，所以(b 1＋b 5)＋b 3＝2b 3＋b 3＝3b 3＝6，即b 3＝2.又因为a 1＞1，所以b 1＝log 2a 1＞0，又因为b 1·b 3·b 5＝0，所以b 5＝0，即⎩⎨⎧ b 3＝2，b 5＝0，即⎩⎨⎧ b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎨⎧b 1＝4，d ＝－1，因此S n ＝4n ＋n (n －1)2(－1)＝9n －n 22.又因为d ＝log 2q ＝－1，所以q ＝12，b 1＝log 2a 1＝4，即a 1＝16，所以a n ＝25－n (n ∈N *).等比数列的前n 项和1.在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A.33B.72C.84D.189答案 C解析 由S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21且a 1＝3，得q 2＋q －6＝0.∵q >0，∴q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝q 2·S 3＝22·21＝84.2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A.11 B.5 C.－8 D.－11答案 D 解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q 4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B.－13 C.19 D.－19答案 C 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.4.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则a 1等于( )A.－2B.－1C.12D.23答案 B 解析 由S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，得a 3＋a 4＝3a 4－3a 2，即q ＋q 2＝3q 2－3，解得q＝－1(舍去)或q ＝32，将q ＝32代入S 2＝3a 2＋2中得a 1＋32a 1＝3×32a 1＋2，解得a 1＝－1，故选B.5.已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( )A.－6(1－3－10)B.19(1－3－10)C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)答案 C 解析 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列.又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3(1－3－10). 6.在等比数列{a n }中，对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A.(2n －1)2B.(2n －1)23C.4n －1D.4n －13 答案 D 解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，∴a 1＝21－1＝1.∵a 1＋a 2＝1＋a 2＝22－1＝3，∴a 2＝2，∴{a n }的公比为2.∴{a 2n }的公比为4，首项为a 21＝1.∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 21(1－4n )1－4＝4n －13. 7.等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( )A.2B.12C.4D.14答案 C 解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4，故选C. 8.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A.－2B.2C.－3D.3答案 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m＝2， 与题中条件矛盾，故q ≠1.∵S 2m S m＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9，∴q m ＝8.∴a 2m a m＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.9.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314. 10.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A.－3 B.5 C.－31 D.33答案 D解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33. 11.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 ∵S 6＝4S 3，∴q ≠1，∴a 1(1－q 6)1－q ＝4·a 1(1－q 3)1－q，∴q 3＝3，∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 12.数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.答案 2n －1解析 a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1， 即⎩⎨⎧ a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.13.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________.答案 13解析 由已知4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3).∴a 2＝3a 3，∴{a n }的公比q ＝a 3a 2＝13. 14.求和：S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，n ∈N *. 解 S n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， 则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ∴－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1 ＝(1－n )×2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.15.已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式；(2)求{b n }的前n 项和.解 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n 得b n ＋1＝b n 3，因此{b n }是首项为1，公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32－12×3n －1. 15.已知数列n n n a 3)12(•-=，求数列a n 的前n 项和S n。

5.数列 {an} 中, a1=1, a2=2. 数列 {anan+1} 是公比为q(q>0)的 等比数列. (1)求使 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(nN*) 成立的 q 的取 值范围; (2)若 bn=a2n-1+a2n (nN*), 求 {bn} 的通项公式.
n-1 . 1+ 5 (2) b =3 q n (1) 0<q< 2 ; 6.已知 {an} 是首项为 a1, 公比为q 的等比数列. (1)求和: a1C0 22 1 2 3 0 a2C1 2+a3C2 , a1C3-a2C3+a3C3-a4C3 ; (2)由(1)的结果归纳概括出 关于正整数 n 的一个结论, 并加以证明; (3)设q≠1, Sn 是 {an} 的 n 0-S C1 +S C2 -S C3 + … +(-1)nS 前 n 项和, 求 S1Cn 2 n 3 n 4 n n+1Cn .
三、判断、证明方法
1.定义法;
2.通项公式法; 3.等比中项法.
典型例题
1.设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S1=1, S2=3, 且 Sn+1-3Sn+ 2Sn-1=0(n≥2), 试判断 {an} 是不是等比数列. a1=1, a2=2, Sn+1-Sn= 2(Sn-Sn-1), an=2n-1, {an}是等比数列. 2.设等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S3+S6=2S9, 求数列的 公比 q. 3 -1 2 4 3.三个数成等比数列, 若将第三项减去 32, 则成等差数列, 再 将此等差数列的第二项减去 4, 又成等比数列, 求原来的三个数. 设三数为 a, b, c, 得 b=2+4a, c=7a+36. 26 , 338. 2, 10, 50 或 2 , 9 9 9 4.已知数列 {an} 的各项均为正数, 且前 n 和 Sn 满足: 6Sn=an2+ 3an+2. 若 a2, a4, a9 成等比数列, 求数列的通项公式. an+1-an=3, a1=1, an=3n-2.

由(2)知,SE<ak+1.于是3l-1=al≤SF≤SE<ak+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.
从而SF≤a1+a2+…+al=1+3+…+3l-1=
3l
2
1
≤
3k
1 2
1
=
ak
2
1
≤
S
E 2
1
,
故SE≥2SF+1,所以SC-SC∩D≥2(SD-SC∩D)+1,
解析 本题考查等比数列的概念及其运算.
(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=
1
(2)n 3
.
由Sm=63得(-2)m=-188.此方程没有正整数解.
2
因此,ST<ak+1. (3)下面分三种情况证明. ①若D是C的子集,则SC+SC∩D=SC+SD≥SD+SD=2SD. ②若C是D的子集,则SC+SC∩D=SC+SC=2SC≥2SD. ③若D不是C的子集,且C不是D的子集. 令E=C∩∁UD,F=D∩∁UC,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀. 于是SC=SE+SC∩D,SD=SF+SC∩D,进而由SC≥SD得SE≥SF. 设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.
(3)由(2)可得 an =2n-1,所以an=n·2n-1.
n
方法规律 等比数列的判定方法: 证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于填空 题中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.

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(3)若等比数列为常数列，即q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1.由此 可知，数列{Sn}的图象是函数y＝a1x图象上一系列孤立的点．
(4)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(其中q≠0，且q≠1，AB≠0)， 则A＝－B是数列{an}为等比数列的充要条件．
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解：选①②作为条件证明③： 设Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)， 则Sn＝Aqn－1－a1， 当n＝1时，a1＝S1＝A－a1， 所以 A＝2a1，a1＝A2； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)， 因为{an}是等比数列，所以A（qq－1）＝A2， 解得 q＝2，所以 a2＝2a1.
3．等比数列的常用性质 (1)项的性质
若 m＋n＝p＋l＝2k(m，n，p，l，k∈N*)，则 am·an＝_□_6 _a_p_·__a_l __＝a2k.
(2)和的性质
①若等比数列{an}有 2k(k∈N*)项，则SS偶 奇＝_□_7 _q__；
②公比不为－1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn，S2n－Sn，
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选①③作为条件证明②： 因为 a2＝2a1，{an}是等比数列，所以公比 q＝2， 所以 Sn＝a1（11－－22n）＝a1(2n－1)， 即 Sn＋a1＝a12n， 因为SSn＋n＋1＋aa1 1＝2，所以{Sn＋a1}是等比数列．
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___□8__S_3_n－__S_2_n_仍成等比数列，其公比为_□_9__q_n _．
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