二元函数连续左右偏导可微题型一、初步概念1.1 二元函数的定义在数学中，二元函数是指自然数或实数域两个集合中元素之间的对应关系。
二元函数常用 f(x, y) 或 z = f(x, y) 表示。
1.2 连续函数的定义在某一区间上的函数，如果满足任意ε > 0，存在δ > 0，使得对于该区间上所有满足|x - c| < δ的x值，都有|f(x) - f(c)| < ε成立，则称该函数在x = c处连续。
1.3 左右偏导数的定义当二元函数在点(x, y)的邻域内有定义时，如果极限lim┬(h→0⁺)[(f(x+h,y)-f(x,y))/h]存在，那么称该极限为f(x,y)在点(x,y)处对x的右偏导数。
同理，若极限lim┬(h→0⁻)[(f(x+h,y)-f(x,y))/h]存在，那么称该极限为f(x,y)在点(x,y)处对x的左偏导数。
二、题型分类经过初步了解，我们可以将二元函数连续左右偏导可微题型分为以下几个大类：2.1 二元函数的连续性问题这类题型主要考察了解二元函数在一定条件下的连续性，能够通过极限求解，以及借助连续函数的性质进行证明。
2.2 二元函数的偏导数问题这类题型主要考察对二元函数的偏导数的理解和求解，包括了连续左右偏导数的概念和求解方法。
2.3 二元函数的可微性问题这类题型主要考察连续函数的偏导数存在的条件，并结合连续性和偏导数的定义进行分析和探讨，其中也包括了二元函数在某点处可微的充分条件。
2.4 二元函数的综合问题这类题型将连续性、偏导数和可微性融合在一起，考察对这些概念的理解和应用。
3. 解题思路对于二元函数连续左右偏导可微题型，我们可以采取以下解题思路：3.1 确定题型类型在解题之前，首先要明确题目所属的类型，包括连续性、偏导数、可微性，或者是综合型题目。
3.2 绘制图形或图像对于部分题型，可以通过绘制图形或图像来直观地理解函数的性质，从而更好地解题。
二元函数连续偏导可微之间的关系在数学中，连续偏导和可微是函数的重要性质。
它们描述了函数在不同变量方向上的变化规律，并为我们研究函数的性质提供了有力工具。
本文将探讨二元函数连续偏导和可微之间的关系，帮助读者更好地理解这两个概念的内涵。
我们来了解一下连续偏导的概念。
对于二元函数$f(x,y)$，如果它的每一个偏导数都存在且在定义域内连续，那么就称该函数在定义域内具有连续偏导。
也就是说，对于函数$f(x,y)$而言，它在每个变量方向上的偏导数都是存在的，并且这些偏导数在整个定义域内都是连续的。
而可微则是连续偏导的更高级的性质。
对于二元函数$f(x,y)$，如果它在某一点$(a,b)$处的偏导数存在且连续，那么就称该函数在该点可微。
可微性是连续偏导的一种强化，它要求函数在某一点处的偏导数不仅存在，而且还要连续。
接下来，我们来探讨连续偏导和可微之间的关系。
首先要明确的是，连续偏导是可微的充分条件，但不是必要条件。
也就是说，如果一个函数在某一点处可微，那么它在该点处一定具有连续偏导。
但是，具有连续偏导的函数未必在某一点可微。
简单来说，连续偏导是可微性的一种弱化形式。
连续偏导要求函数在整个定义域内偏导数连续，而可微则只要求函数在某一点处偏导数存在且连续。
因此，连续偏导是可微的充分条件，但不是必要条件。
举个例子来说明这个关系。
考虑函数$f(x,y)=|x|+|y|$，它在原点$(0,0)$处的偏导数不存在，因为在原点处函数不可导。
所以，这个函数在原点处不可微。
但是，这个函数在整个定义域内的偏导数都存在且连续，因此具有连续偏导。
在实际应用中，连续偏导和可微性经常用于优化问题的求解。
对于优化问题而言，我们希望找到函数的极值点。
而连续偏导和可微性可以帮助我们判断一个点是否为极值点。
如果一个函数在某一点处可微，那么在该点处的梯度为零。
而连续偏导则可以帮助我们确定该点是否为极值点。
总结起来，二元函数的连续偏导和可微是两个重要的概念。
摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)二元函数连续与可微之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词 二元函数 连续 偏导数 可微The Relationship among Continuation, Partial Derivativesand Differentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数，0D P ∈（0P 或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点），对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0,)(D P U P δ⋂∈，就有0)||()(f P f P ε<-，则称f 关于集合D 在点0P 连续.定义2 设函数(,),(,)z f x y x y D =∈，若00,)(y D x ∈且0,)(y f x 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限00000000(,))(,)(,limlimx x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆存在时，则称这个极限为函数f 在点00,)(y x 关于x 的偏导数，记作0(,)|x y fx∂∂.定义3 设函数(,)z f x y =在点000,)(y P x 某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+，其中A 、B 是仅与点0P 有关的常数，()ορρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微.2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间的关系例[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在(0,0)偏导数存在但不连续. 证明 因为 00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===， 同理可知 (0,0)0y f =. 所以 (,)f x y 在(0,0)偏导数存在. 因为220,0limx y xyx y →→+ 极限不存在，所以 (,)f x y 在(0,0)不连续.例2[2](,)f x y =在(0,0)点连续，但不存在偏导数. 证明 因为0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===，所以(,)f x y =在(0,0)点连续，因为00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-== ,该极限不存在，同理 (0,0)y f 也不存在.所以(,)f x y =在点(0,0)连续，但不存在偏导数.此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导. 二元函数连续与可微之间的关系定理1[3] 若(,)z f x y =在点(,)x y 可微，则(,)z f x y =在点(,)x y 一定连续. 证明 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+ (1)所以 当0,0x y ∆→∆→时，有0z ∆→，即 (,)z f x y =在该点连续.例3[4]证明(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在(0,0)点连续，但在(0,0)点不可微.证明 令cos ,sin x r y r θθ==，则(,)00x y r →⇔→.因为2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→,所以(,)f x y 在(0,0)点连续.按偏导数定义00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆-===∆∆, 同理 (0,0)0y f = .若(,)f x y 在点(0,0)可微，则(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是ρ=较高阶的无穷小量. 因为220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 该极限不存在,所以(,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理2[5] 若二元函数f 在其定义域内一点00,)(y x 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的0000,),,)((x y A f y B f y x x ==.证明 因为 (,)z f x y =在点(,)x y 可微，则0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+.若令上式中0y ∆= ,则0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆, 所以 000000(,)(,)(||)lim lim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆. 即A zx=∂∂.类似可证B z y =∂∂. 例4[6]设2222222,0(,)0,0x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则(,)f x y 在点(0,0)偏导数存在，但在该点不可微.解 事实上（1）0(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x →-==，(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==,故 (,)f x y 在点(0,0)偏导数存在. （2）因为200,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=，此时若令y k x ∆=∆，则230,0,lim limx y x y ∆→∆→∆→∆→=此极限显然不存在，所以0limf dfρρ→∆-不存在，所以 (,)f x y 在点(0,0)不可微.此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别. 函数可微与偏导数连续之间的关系定理3[7] 若二元函数(,)z f x y =的偏导数在点00(,)x y 的某邻域内存在，且x f 与yf 在点00(,)x y 处连续，则函数f 在点00(,)x y 处可微.证明 我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数0,)(y f x y +∆关于x 的偏增量;在第二个括号里，则是函数0(,)f x y 关于y 的偏增量.对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆ 12,10θθ<< （2） 由于x f 与y f 在点00(,)x y 处连续，因此有 01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆， （3）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆= ,（4）其中 当0,0x y ∆→∆→时，有0,0αβ→→. 将（3） ，（4）代入（2）式，则得0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆. 所以 函数f 在点00(,)x y 处可微.例5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)处可微，但(,)x f x y 与(,)y f x y 均在(0,0)处不连续.解因为220,0lim ()sin0(0,0)x y x y f →→+==,所以 (,)f x y 在(0,0)处连续.00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===,同理 (0,0)0y f =.当220x y +≠时，0,0lim 2sinx x y f x →→=极限不存在,故(,)x f x y 在点(0,0)不连续. 同理可证(,)y f x y 在(0,0)处不连续.lim0f dfρρρ→→∆-==,所以(,)f x y 在(0,0)处可微.此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理4[9] 若(,)f x y 在0()U P 内(,)x f x y 存在，且(,)x f x y 在00(,)o P x y 连续，(,)y f x y 在0P 存在，证明：f 在0P 可微.证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆-00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- 由已知 (,)x f x y 存在，且在0(,)o x y 连续,有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→,因为 0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆，所以 00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→ ， 又因 1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→，所以 f 在点0P 可微. 注 此定理中(,)x f x y 与(,)y f x y 互换，结论仍然成立. 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.。
二元函数连续可微可导三者关系二元函数的连续、可微和可导是数学分析中极为重要的概念，它们描述了函数在其中一点的连续性、平滑性和变化率。
在本文中，我们将详细讨论这三者之间的关系。
首先，我们来了解一下二元函数的连续性。
二元函数的连续性表示函数在定义域内的任意点上都具有无间断的性质。
具体来说，对于一个定义在平面上的二元函数f(x,y)，如果在定义域内的任意点(x0,y0)，当(x,y)趋近于(x0,y0)时，函数值f(x,y)也趋近于f(x0,y0)，那么我们说函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续。
接下来，我们考察二元函数的可微性。
二元函数的可微性表示函数在其中一点附近用线性映射来近似可以很好地近似原函数。
具体地说，对于一个定义在平面上的二元函数f(x,y)，如果在点(x0,y0)处，存在一对常数A和B，使得当(x,y)趋近于(x0,y0)时，有以下关系成立：f(x,y)-f(x0,y0)=A(x-x0)+B(y-y0)+o(√((x-x0)²+(y-y0)²))其中o(√((x-x0)²+(y-y0)²))表示当(x,y)趋近于(x0,y0)时，o(√((x-x0)²+(y-y0)²))相对于√((x-x0)²+(y-y0)²)趋近于0。
这里，A 和B分别称为函数在点(x0,y0)的偏导数，可以用矩阵的形式表示为：Df(x0,y0)=[∂f/∂x,∂f/∂y]=[A,B]如果一个函数在定义域内的所有点上都可微，那么我们称其为可微函数。
最后，我们来看二元函数的可导性。
二元函数的可导性是可微性的一种特殊情况。
具体地说，对于一个定义在平面上的二元函数f(x,y)，如果在点(x0,y0)处存在极限：lim (f(x0 + dx, y0 + dy) - f(x0, y0))(dx,dy)->(0,0)那么我们称函数f(x,y)在点(x0,y0)处可导，并且这个极限值称为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的导数，记作：∇f(x0,y0)=(∂f/∂x,∂f/∂y)=(∂f/∂x,∂f/∂y)(x0,y0)其中，∂f/∂x和∂f/∂y分别表示函数f(x,y)对x和y的偏导数。
