二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系

西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。

西安文理学院数学系本科毕业论文进度表分类号：西安文理学院数学系学士学位论文二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论系院名称数学系指导老师胡洪萍学生姓名韩晓莉学生学号 021********专业、班级数学与应用数学06级2班提交时间二〇一〇年五月二十一西安文理学院数学系二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论韩晓莉（西安文理学院 数学系，陕西 西安 710065）摘要： 本文对多元函数微分学中连续、偏导数及可微三个概念之间的关系作了较为详细的论述，并给出了简洁全面的证明，同时给出相应的反例加以说明，用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性.关键词： 二元函数；连续；偏导数；可微多元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，但在注意多元函数与一元函数的共性的同时，特别要注意多元函数所具有的特性.二元函数的连续性、偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略，比较浅显，本文就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究，对教材内容做一些适当的补充和扩展，为后继课程的学习奠定基础.1 二元函数连续、偏导、可微的定义定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0(;)P U P D δ∈，就有0()(),f P f P ε-< 则称f 关于集合D 在点0P 连续，也称f 在点0P 连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.定义2 设函数()y x f z ,=在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量()()0000,,y x f y x x f -∆+如果极限()()xy x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim存在，则称此极限为函数()y x f z ,=在点),(00y x 处对x 的偏导数.如果函数()y x f z ,=在区域D 内每一点()y x ,处对x (或对y )的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x ，y 的函数，称它为函数()y x f z ,=对自变量x （或对y ）的偏导函数.定义3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，对于()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,,若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 ()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00,其中A,B 是仅与点0P 有关的常数，22y x ∆+∆=ρ，()ρο是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微，并称上式中关于x ∆，y ∆的线性函数A x ∆＋B y ∆为函数f 在点0P 的全微分，记作()y B x A y x df ∆+∆=00, .2 二元函数的连续性一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数()y x f ,来说，即使它在某点()000,y x P 既存在关于x 的偏导数()00,y x f x ，又存在关于y 的偏导数()00,y x f y ，()y x f ,也未必在点()000,y x P 连续.不过，我们却有如下定理：定理1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在()0P U 内有界,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 任取()y y x x ∆+∆+00,∈()0P U , 则()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+= ()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+ (1) 由于()y x f x ,在()0P U 存在,故对于取定的y y ∆+0, ()y y x f ∆+0,作为x 的一元函数在以0x 和0x +x ∆为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈(0 ,1) ,使()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ将它代入(1) 式, 得()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+= ()()()000000,,,y x f y y x f x y y x x f x -∆++∆∆+∆+θ . (2) 由于()∈∆+∆+y y x x 00,θ()0P U ,故()y y x x f x ∆+∆+00,θ有界,因而当()()0,0,→∆∆y x 时, 有()y y x x f x ∆+∆+00,x ∆→0.又据定理的条件知,()y x f ,0在y =0y 连续,故当()()0,0,→∆∆y x 时, 又有()()0000,,y x f y y x f -∆+→0.所以, 由(2) 知, 有lim →∆→∆y o x [()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+] = 0.这说明()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在点()000,y x P 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义. 若()y x f x ,在()0P U 有界, ()00,y x f y 存在,则()y x f , 在点()000,y x P 连续.证明 由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，若()y x f x ,在点()000,y x P 连续, ()00,y x f y 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界. 又由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续. 同理可证如下的定理2及其推论.定理2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界,()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在()000,y x P 连续.推论1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义, ()y x f y ,在点()000,y x P 连续, ()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义, ()y x f y , 在点()000,y x P 连续, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续. 3 二元函数()y x f ,在点()00,y x 偏导与可微的关系定理3 若二元函数()y x f ,在点()y x P ,可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数存在且为y x f f ,.证明 如果函数在点()y x P ,可微，()∈∆+∆+y y x x P ,0P 的某个邻域，则()ρο+B∆+A∆=∆y x z 总成立，当y ∆=0，上式仍成立， 此时，x ∆=ρ，()()()x x y x f y x x f ∆+A∆=-∆+ο,,，()()x x f xy x f y x x f =∆-∆+→∆,,lim所以x f 存在，同理可证y f 存在.注意 函数()y x f ,在某点()y x ,可微，()y x f ,在该点偏导数必存在;但()y x f ,在某点()y x ,偏导数存在，函数在该点却不一定可微. 例1 证明函数()y x f ,=xy 在原点()0,0存在两个偏导数但不可微.证明 由于()0,0x f =()()xf x f x ∆-∆→∆0,00,lim0 =xx ∆→∆0lim 0=0 ()0,0y f =()()yf y f y ∆-∆→∆0,0,0lim=yy ∆→∆0lim 0=0所以函数在原点两个偏导数存在.下证函数在原点不可微，用反证法，设函数在原点可微，于是 df =()0,0x f x ∆+()0,0y f y ∆=0f ∆=f (0+x ∆,0+y ∆)-f (0,0)=y x ∆∆ 特别取x ∆=y ∆，有f ∆=y x ∆∆=2x ∆=x ∆ 22y x ∆+∆=ρ=2x ∆ 所以xx dff x ∆∆=-∆→∆→2limlimρρ=21≠0这说明df f -∆比ρ不是高阶无穷小，（当0→ρ时）此与可微的定义矛盾，故函数()y x f z ,==xy 在原点()0,0不可微.4 二元函数()y x f ,在点()00,y x 可微与连续的关系定理4 若二元函数()y x f ,在其定义域内一点()y x ,可微，则f 在该点必然连续.证明 事实上()ρο+B∆+A∆=∆y x z ，0lim 0=∆→z ρ，()()[]()y x f z y x f y y x x f y x ,,lim ,lim 00=∆+=∆+∆+→→∆→∆ρ故f 在()y x ,连续.注意 函数()y x f ,在某点()y x ,可微，则()y x f ,在该点连续;但()y x f ,在某点()y x ,连续，函数在该点却不一定可微.例2 证明函数()y x f ,=22sin y x +在()0,0点连续，但在该点不可微. 证明 ()200,R y x ∈∀,有()()2202200sin sin ,,y x y x y x f y x f +-+=- =22sin2cos 2202222022y x y x y x y x +-++++≤22022y x y x +-+ ()()2020y y x x -+-≤则ε∀>0，εδ=∃ ，当()()2020y y x x -+-<δ时，有()()00,,y x f y x f -<ε 则f 在()00,y x 连续，即在()0,0点连续. 又因为()()xx x f x f x x ∆∆=∆-∆→∆→∆sin lim 0,00,lim00不存在()()y y y f y f y y ∆∆=∆-∆→∆→∆sin lim0,0,0lim 00不存在 所以f 在()0,0点不存在偏导数，即在该点不可微. 5 二元函数()y x f ,在点()00,y x 连续、偏导、可微的关系对于二元函数可微的充分性条件，一般的数学分析教材如华东师范大学编的《数学分析》是这样叙述的：[]1定理 若函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点()00,y x 处连续，则函数f 在点()00,y x 可微.关于二元函数可微的充分性条件，如果完全放弃对两个偏导数的连续性要求，从另一个条件出发，仍可得到可微的充分条件的另一命题.定理5 若函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的邻域G 内()y x f x ,连续，()00,y x f y 存在，则函数f 在点()00,y x 可微.证明 对于邻域G 内任意一点()y y x x ∆+∆+00,，函数有全增量 z ∆=()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+由于一元函数()y y x f ∆+0,在点()y y x ∆+00,的邻域G 内满足微分中值定理条件，有()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ（0<θ<1）已知()y x f x ,在点()000,y x P 连续，故有()x y y x x f x ∆∆+∆+00,θ=()x x y x f x ∆+∆α00,（0lim 0=→αρ，22y x ∆+∆=ρ）又由于()00,y x f y 存在，故一元函数()y x f ,0在0y 可导，于是有()()()y y y x f y x f y y x f y ∆+∆=-∆+β000000,,, （0lim 0=→βρ）从而有z ∆=()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+ =()()y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆βα0000,,而 ρβραρβαy x yx ∆⋅+∆⋅≤∆+∆ 0→+≤βα （0→ρ）或 ()ροβα=∆+∆y x ，于是 ()()()ρο+∆+∆=∆y y x f x y x f z y x 0000,, 即函数f 在点()00,y x 可微.注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件，即()y x f z ,=在()00,y x 的邻域G 内()00,y x f y 存在但()y x f x ,不连续，但()y x f ,在点()00,y x 也可微.例3 设函数()y x f ,=()⎪⎩⎪⎨⎧++,0,1sin 2222y x y x 002222=+≠+y x y x ，讨论()y x f ,在原点 （1）()0,0y f 是否存在 （2）x f 是否连续 （3）是否可微.解 （1）由定义知()0,0y f =()()yf y f y ∆-∆→∆0,0,0lim=yy y y ∆∆∆→∆2201sinlim=0 所以()0,0y f 是否存在.（2）因为当022≠+y x 时，()y x f ,偏导数存在，故()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+=,0,1cos 11sin 2,222222y x y x y x x y x f x 002222=+≠+y x y x ， 而()y x f x y x ,lim 00→→不存在，故()y x f ,在原点不连续.（3）因为()22221siny x y x z ∆+∆∆+∆=∆，01sinlim lim2==-∆→→ρρρρρdzz所以()y x f ,在原点可微.对于二元函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续性与偏导数存在，两者之间没有必然的联系，即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.例4 证明函数()y x f ,=22y x +（圆锥）在原点的连续性，但偏导数不存在.证明 因为()()()()()220,0,0,0,lim,limy x y x f y x y x +=→→=0 =()0,0f 所以()y x f ,在原点连续.又因为()()xf x f x f x x x ∆-∆=∆∆→∆→∆0,00,lim lim 00=x x x ∆∆→∆0lim=xx x ∆∆→∆0lim此极限不存在，因此()y x f ,在原点关于x 的偏导数不存在，同理可证，()y x f ,在原点关于y 的偏导数也不存在.例5 证明函数()y x f ,=⎪⎩⎪⎨⎧+,0,22y x xy002222=+≠+y x y x ，在原点存在偏导数但不连续.证明 由偏导数的定义有()()()xf x f f x x ∆-∆=→∆0,00,lim 0,00 =xx ∆-→∆00lim 0=0同理可证()0,0y f =0，即在原点关于x 与y 的偏导数存在. 又因为当动点()y x ,沿直线mx y =而趋于定点()0,0时，由于此时()()21,,m mmx x f y x f +==所以()()()()mx x f y x f x mxy y x ,lim ,lim 00,0,→=→==21mm+ 此结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于定点时，对应得极限值也不同，故在原点没有极限，从而不连续.以上两例说明()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存,()y x f ,在点()00,y x 可以不连续；()y x f ,在某点()00,y x 连续，()y x f ,在点()00,y x 偏导数也可能不存在.即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.结束语本文以上的讨论说明了函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续、偏导数及其在该点是否可微之间的关系，它们虽然没有直接的联系，但当偏导数存在且连续时，其可微性、连续性都存在了.[参考文献][1] 华东师范大学数学系. 数学分析（下）[M] . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 – 112[2] 吉米多维奇. 数学分析习题集[M] . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-78[3]马振民. 数学分析的方法与技巧选讲[M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.[5]华东师范大学数学系. 数学分析[M] . 北京: 人民教育出版社, 1981:137-160.[6] 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论[J]. 韶关学院学报（自然科学版）.2002，23（6）: 1-6.[7] 周良正，王爱国. 偏导数存在，函数连续及可微的关系[J]. 高等函授学报（自然科学版）.2005，19（5）: 1-4.[8] 何鹏，余文辉，雷敏敛. 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究[J]. 南昌高专学报. 2005，61（6）: 1-2.[9] 黄梅英. 浅谈二元函数可微性[J]. 三名师专学报. 2000，17（1）: 1-5.[10] 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系[J]. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000，20（3）: 1-3.Dual function continuity, partial derivative anddifferentiability discussionHAN Xiao-li（Department of Mathematics, Xi’an University of Arts and Science, Xi’an710065,China）Abstract：This article to the function of many variables differential calculus in continuously, between the partial derivative and the differentiable three concept's relations has made a more detailed elaboration, and has given the succinct comprehensive proof, simultaneously gives the corresponding counter-example to explain, explained with the example their independency with the general character which has under the controlled condition.Key words：dual function; continuously;partial derivative; differentiable致谢在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师胡洪萍老师，感谢她的热情关怀和悉心指导。

一、引言对于一元函数而言,函数y=f(x在点x0处连续、导数存在、可微这三个概念的关系是很清楚的,即可微一定连续,但连续不一定可微,可微和导数存在是等价的。

对多元函数而言,由于偏导数的出现,使得他们之间的关系要复杂的多。

下面以二元函数为例,探讨其在点(x0,y0处连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系。

二、二元函数连续、偏导数存在、可微、偏导数连续之间的关系1.可微与连续的关系假设函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么在该点连续,但反之不成立(同一元函数。

证明:因为f(x,y在点(x0,y0处可微,因此有0≤f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0≤A△x+B△y+O(O→(△x→0,△y→0,所以lim(△x,△y→(0,0f(x0+△x,y0+△y=f(x0,y0,故f(x,y在点(x0,y0处连续。

反之不成立。

例1.f(x,y=x2yx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0处连续,但在该点不可微。

2.偏导数存在与可微的关系由定理17.1[1](可微的必要条件,函数f(x,y在点(x0,y0处可微,那么f(x,y在点(x0,y0的偏导数一定存在;但反之不成立,如例1中函数f(x,y在点(0,0处偏导数存在,但在此点不可微。

3.偏导数连续与可微的关系由定理17.2[2](可微的充分条件知,函数f(x,y在点(x0,y0处偏导数连续,那么f(x,y 在点(x0,y0处可微;但反之不成立,例2.f(x,y=(x2+y2sin1x2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=%’’’&’’(0在点(0,0处可微,但偏导数在点(0,0不连续。

4.连续与偏导数存在之间的关系二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。

例3f(x,y=x2+y2(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。

更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。

例4.f(x,yxyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=$在点(0,0不连续,但f y(0,0=lim△y→∞0-0=0,f y(0,0=lim△y→∞0-0△y=0。

可微偏导连续之间的关系以可微偏导连续之间的关系为标题，可以从以下几个方面展开论述。

我们需要了解可微偏导的概念。

可微偏导是指一个多元函数在某一点处的偏导数存在且连续。

在数学中，我们常常使用偏导数来描述函数在某一点处的变化率。

而可微偏导的连续性则表明函数在该点附近的所有偏导数都存在且保持一定的关系，这为我们研究函数的性质提供了很大的便利。

可微偏导连续之间的关系可以通过数学表达式来描述。

假设一个函数f(x,y)是定义在一个开区域D上的二元函数，若函数f在D上的所有偏导数都存在且连续，那么我们可以得到以下结论：可微偏导连续。

这个结论是数学分析中的一个重要定理，也是我们研究函数性质的基础。

接下来，我们来探讨可微偏导连续之间的实际意义。

可微偏导连续的条件保证了函数在某一点处的变化率是连续的，这在实际问题中具有很重要的意义。

例如，在经济学中，我们常常使用边际效用来描述某种商品对消费者满足程度的变化。

而可微偏导连续的条件则保证了边际效用的变化是连续的，使得我们能够更好地研究消费者的行为。

可微偏导连续还与极值问题有着密切的关系。

在求解极值问题时，我们往往需要通过求取函数的偏导数来确定极值点。

而可微偏导连续的条件可以保证函数在极值点附近的局部性质，从而为我们找到极值点提供了依据。

这在优化问题中具有很大的应用价值。

我们还可以将可微偏导连续与其他数学概念进行关联。

例如，可微偏导连续与连续函数之间存在一定的关系。

连续函数是指函数在定义域上的每一个点都满足极限存在的条件。

而可微偏导连续的条件则保证了函数在某一点处的偏导数的极限存在。

因此，可微偏导连续的函数在定义域上一定是连续的。

这种关联可以帮助我们更好地理解函数的性质。

可微偏导连续之间存在着紧密的关系。

可微偏导连续的条件保证了函数在某一点处的变化率连续，具有实际意义，并且与极值问题、连续函数等数学概念有着密切的关联。

通过研究可微偏导连续之间的关系，我们可以更深入地理解和应用数学分析中的相关概念，为问题的求解提供更有效的方法和思路。

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系【摘要】本文探讨了二元函数连续偏导数和全微分之间的关系。

在定义和概念部分，我们介绍了二元函数连续偏导数和全微分的基本概念。

然后我们讨论了连续偏导数的存在性，以及全微分的定义和偏导数存在的条件。

我们深入分析了全微分和偏导数之间的关系，探讨了它们在数学分析和实际问题中的重要性和应用。

通过本文的研究，我们得出了二元函数连续偏导数和全微分之间密切关系的结论，这将有助于我们更深入地理解和应用这两个重要概念。

通过本文的阐述，读者可以更好地理解和应用二元函数连续偏导数和全微分的概念，为数学分析和实际问题的解决提供了有力的理论支持和指导。

【关键词】二元函数、连续偏导数、全微分、存在性、偏导数、关系、定义、概念、条件、结论1. 引言1.1 二元函数连续偏导数和全微分之间的关系二元函数连续偏导数和全微分之间的关系是微积分中一个重要的概念。

在数学中，二元函数指的是有两个自变量的函数，而连续偏导数则是衡量函数在某一点处对每一个自变量的偏导数均存在且连续的性质。

全微分则是描述函数在某一点附近的变化情况的线性近似。

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系可以帮助我们更好地理解函数在某一点附近的变化情况。

通过对连续偏导数和全微分的研究，我们可以更深入地理解二元函数的性质和行为，从而为数学和应用领域提供有力的工具和方法。

2. 正文2.1 定义和概念二元函数是指具有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)。

在二元函数中，我们可以对各个自变量进行偏导数的求解，以了解函数在不同方向上的变化率。

连续偏导数是指在某一点处，函数对各个自变量的偏导数存在且连续。

连续偏导数的存在性是确保二元函数在某点处可以被微分的前提。

在二元函数中，全微分是描述函数在某一点附近的线性近似，通常表示为df = ∂f/∂x dx + ∂f/∂y dy。

全微分的定义涉及到对自变量的微小增量的线性近似，从而可以对函数的变化进行描述。

可微与连续,偏导数存在之间的关系
可微和连续是数学中经常被讨论的概念。

在一些情况下，可微性与偏导数的存在之间存在着密切的关系。

首先，我们来回顾一下这两个概念的定义。

如果函数在某一点处可微，那么它在该点附近存在一个线性逼近，即可以用一个一次函数来近似描述。

而连续性则要求函数在该点附近没有突变或跳跃，并且能够无限接近于该点。

现在我们来探讨可微性和偏导数存在之间的关系。

在实变函数中，我们知道可微性可以用偏导数来刻画。

考虑一个多元函数$f(x,y)$，如果在某一点$(a,b)$处的偏导数存在且连续，那么$f(x,y)$在该点处可微。

这意味着函数在该点处的各个方向的变化率是连续的，可以用一个线性函数来逼近。

反过来，如果$f(x,y)$在某一点处可微，那么该点处的偏导数必然存在且连续。

这是因为可微性要求函数在该点附近能够用一个线性函数来逼近，而线性函数本身是连续的，因此偏导数存在且连续是可微性的必要条件。

需要注意的是，偏导数存在且连续并不意味着函数在该点处可微。

这
是因为偏导数仅仅刻画了函数在某个方向上的变化率，而可微性要求函数在所有方向上的变化率都是连续的。

因此，偏导数存在且连续只是可微性的一个充分条件。

总结起来，可微性和偏导数存在之间存在着密切的关系。

在实变函数中，可微性可以用偏导数来刻画，而偏导数的存在与连续性是可微性的必要条件。

然而，偏导数存在且连续并不一定能保证函数在该点处可微。

二元函数的连续性、偏导及可微之间的联系二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的定义 1.二元函数的连续性定义 设f 为定义在D 上的二元函数，0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点) ,对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要()0;P P D δ∈⋂，就有()()0f P f P ε-<, 则称f 在P 点连续2.二元函数的偏导数定义 设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆ 时，相应地函数有增量x z ∆=0000(,)(,)f x x y f x y +∆-如果 00000(,)(,)limx f x x y f x y x∆→+∆-∆存在，则称此极限为函数z (,)f x y =在点000(,)P x y 处对x 的偏导数，记作00(,)x f x y 或()00,x y fx ∂∂对y 的偏导数同理 3.二元函数的可微性定义 设函数(,)z f x y =在点()000,P x y 的某邻域()0U P 内有定义，对于()0U P 中的点()00,(,)P x y f x x y y =+∆+∆，若函数f 在0P 处的全增量z ∆可表示为：()()0000(,),z f x x y y f x y A x B y o ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+， (1)其中AB 是仅与点P 0有关的常数，ρ=，()o ρ是较高阶的无穷小量，则称函数f 在点P 0可微.并称(1)中A x B y ∆+∆为f 在点P 0的全微分，记作000(,)P dz df x y A x B y ==∆+∆说明：1)A 、B 是与x ∆y ∆无关的常数，但与0P 可能有关；2) dz 是z ∆的线性主部0lim0z dzρρ→∆-=二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也有些差异，这些差异主要是由多元函数的“多元”而产生的.对于多元函数，我们着重讨论二元函数，在掌握了二元函数的有关理论和研究方法之后，在将它推广到一般的多元函数中去.本文将通过具体实例来讨论二元函数连续性、偏导数存在性、及可微的联系. 一、二元函数连续性与偏导存在性间的关系偏导存在不一定连续，反之连续不一定有偏导存在 1)函数(,)f x y 在点000(,)p x y 连续，但偏导不一定存在. 例1.证明函数(,)f xy =(0,0)连续偏导数不存在.证明：∵(,)(0,0)(,)lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→===,故函数(,)f x y =(0,0)连续.由偏导数定义：001,(0,0)(0,0)(0,0)limlim 1,x x x x f x f f x x ∆→∆→∆>⎧+∆-===⎨-∆<∆⎩故(0,0)x f 不存在.同理可证(0,0)y f 也不存在.2)函数(,)f x y 在点000(,)P x y 偏导存在，但不一定连续.例 2.证明函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处(0,0)x f ，(0,0)y f 存在，但不连续证明 : 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x→∆→+∆-==∆=∆ 同理可求得(0,0)0y f =∵22(,)(0,0)(,)(0,0)lim (,)lim ()1(0,0)0x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数22,0(,)1,0x y xy f x y xy ⎧+==⎨≠⎩在点(0,0)处不连续.综上可见，二元函数的连续性与偏导存在性间不存在必然的联系. 二、二元函数的可微性与偏导间的关系1.可微性与偏导存在性1) 可微则偏导存在(可微的必要条件1)若二元函数(,)f x y 在其定义域内一点000(,)P x y 处可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导都存在，且000000(,)(,)(,)x y df x y f x y dx f x y dy =+注1 定理1的逆命题不成立，2)偏导存在，不一定可微.例3证明函数22220(,)0,0x y f x y x y +≠=+=⎩在原点两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx ∆→∆→+∆--===∆∆同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性. 用反证法.若函数f 在原点可微，则[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦应是较ρ=2200lim lim f df x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆ 当动点(,)x y 沿直线y mx =趋于(0,0)时，则(,)(0,0)2222(,)(0,0)lim lim 11x y y mxx y xy m mx y m m →=→==+++ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时，对应的极限值也不同.因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微.例4. 22220(,)0,x y f x y x y +≠=+=⎪⎩在(0,0)处两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.[](0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤∆-=+∆+∆--+=⎣⎦为此考察极限limf dfρρρ→→∆-=当动点(,)x y 沿直线y =趋于时，则(,)(0,0)(,)limlim x y y mxx y →=→==0≠因此f 在原点不可微例5. 证明函数2222222,0(,)0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)两个偏导存在，但不可微.证明 由偏导数定义：00(0,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x∆→∆→+∆--===∆∆ 同理可求得(0,0)0y f =下面利用可微的定义来证明其不可微性.(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+= 222(,)(0,0)x yf f x y f x y ∆∆∆=∆∆-=∆+∆从而()222230,(0,0)222limlimlim0()()x y x y f dfx y x y x y x y ρρρρ→→∆∆→∆∆∆-∆∆∆+∆==≠=∆+∆取因此f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微例6.证明函数2222322222,0(,)()0,0x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=⎨+⎪+=⎩在(0，0)连续，且两个偏导数都存在但不可微.证明(1)∵223222()x y x y ≤+∴0,4,εδεδε∀>∃=<<∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)又00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而222220limlim ()()f dfx y x y x y ρρρ→→∆-∆∆=∆=∆∆+∆取不存在 故 f 在原点不可微注:本题还可以说明连续不一定可微2. 偏导连续与可微1)偏导连续，一定可微.(可微的充分条件)若二元函数(,)z f x y =的偏导在点000(,)P x y 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点000(,)P x y 处连续，则函数(,)f x y 在点000(,)P x y 可微.注2 偏导连续是函数可微的充分而非必要条件.2)可微，偏导不一定连续例7.证明函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有222222121(,)2sincos x x f x y x x y x y x y =-+++222222121(,)2sin cos y y f x y y x y x y x y =-+++ (1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(2sin cos )22x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-===200(0,)(0,0)1(0,0)lim lim sin 0y y y f y f f y y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=2222222211(,)(0,0)()sinsin ((,):0)f f x y f x y x y x y x y ρρ∆=-=+=∀+≠+ 从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例8. 证明函数()2222220(,)0,0x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有(,)2x f x y x =(,)2y f x y y = (1)当y=x时，极限00lim (,)lim(2x x x f x x x →→=不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点间断.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点间断.(2)∵00(,0)(0,0)(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=-=从而201cos1limlimlim cos0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.例9.证明函数2222221sin ,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微，但(,)x f x y ，(,)y f x y 在(0，0)处不连续.证明 22(,),0x y x y ∀+≠，有22222222121(,)sin cos ()x x y f x y y x y x y x y =-+++22222222121(,)sin cos ()y xy f x y x x y x y x y =-+++(1)当y=x 时，极限2200111lim (,)lim(sin cos )222x x x f x x x x x x→→=-不存在，则(,)x f x y 在(0，0)点不连续.同理可证(,)y f x y 在(0，0)点不连续.(2)∵ 00(,0)(0,0)(0,0)limlim00x x x f x f f x→→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===则(0,0)(0,0)0,x y df f dx f dy =+=221(,)(0,0)sinf f x y f x y x y ∆=∆∆-=∆∆∆+∆从而()22,1limlimx y f dfx y ρρ→∆∆→∆-=∆+∆=0即函数(,)f x y 在点(0，0)可微.三、二元函数的连续性与可微性间的关系 1)可微，一定连续(可微的必要条件2)二元函数(,)f x y 在000(,)P x y 可微,则必然连续，反之不然.2)连续，不一定可微例10.证明函数3222222,0(,)0,0x x y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵322222,x x x x x y x y=⋅≤++ ∴0,,,x y x εδεδδε∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)(0,0)limlim 1x x x f x f xf xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0),x y df f x f y x =∆+∆=∆(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而20limf dfρρρ→→∆-=不存在即函数(,)f x y 在点(0，0)不可微. 注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微.例11.证明函数222222sin(),0(,)0,0x y xy x y x y f x y x y +⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0，0)连续，且偏导存在但不可微. 证明:(1)∵22sin(),222x y x y x y x y xy xy x y xy ++++≤⋅=≤+∴0,,,2x yx y εδεδδε+∀>∃=<<<当时， ∴(,)(0,0)lim (,)0(0,0)x y f x y f →==故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2) 00(,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0x x x f x f f xx →→-===00(0,)(0,0)(0,0)lim lim 00y y y f y f f y→→-===(3) (0,0)(0,0)0,x y df f x f y =∆+∆=(,)(0,0)(,)f f x y f f x y ∆=∆∆-=∆∆从而0limf dfρρρ→→∆-=取y k x ∆=∆则23320022221sin (1)limlim (1)(1)x f dfk kx k k xk k ρρ→∆→∆-++=⋅=++ 不存在 故函数(,)f x y 在点(0，0)不可微.注：本题也可以说明偏导存在但不一定可微. 例12 .证明函数(,)f x y xy =在点(0，0)连续，但它在点(0，0)不可微.证明:(1)∵00lim (,)lim 0(0,0)x x y y f x y xy f →→→→===故函数(,)f x y xy =在点(0,0)连续.例13.证明函数222222,0(,)0,0xy x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+⎪=⎨⎪⎪+=⎩在(0，0)连续 ，但不可微.证明:(1)∵2222222222x y xyx y x y x y++≤=++ ∴00lim (,)0(0,0)x y f x y f →→== 故函数(,)f x y 在点(0,0)连续.(2)不可微见例4综上所述二元函数连续性、偏导存在性及可微性间的关系如图所示：偏导连续可微连续 偏导存在补充1.确定α的值，使得函数()222222221sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y α⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处可微.2.设函数2222(,)sin 0(,)0,0g x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩， 证明：(1)若(0,0)0g =,g 在点(0，0)处可微,且(0,0)0dg =，则 f 在点(0，0)处可微,且(0,0)0df =.(2)若g 在点(0，0)处可导,且f 在点(0，0)处可微,则(0,0)0df =.3.确定正整数α的值，使得函数()22220(,)0,0x y x y f x y x y α⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩在点(0，0)处(1)连续，(2)偏导存在，(3)存在一阶连续偏导.4.设函数222222,0()(,)00,0px x y x y f x y p x y ⎧+≠⎪+=>⎨⎪+=⎩,试讨论它在(0,0)点处的连续性.。

编号：Xxxxxxxx学校本科毕业论文二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论院系：数学科学系姓名：XXXX学号：XXX专业：XXXX年级：2008级指导教师：XXX职称：讲师完成日期：2012年5月摘要二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.关键词：二元函数；连续；偏导数；可微AbstractBinary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure out the binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.In this thesis, the text introduces binary function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples to demonstrate support.Key words：Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable目录摘要IABSTRACT II引言21 二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义31.1二元函数的连续性31.2二元函数的可微性31.3二元函数的偏导数42 二元函数三个概念的结论总结及证明52.1二元函数连续性的结论总结及证明52.2二元函数可微性的结论总结及证明72.3二元函数偏导数存在性的结论总结113 二元函数三个概念之间关系的总结123.1二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证123.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明123.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明123.2二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证133.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明133.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明154 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图22结束语 23参考文献 24致谢 25引言二元函数微分学是一元函数微分学的推广,因此它保留了一元函数微分学的许多性质.但由于自变量由一个增加到两个,从而产生了某些本质上的新的内容.如一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点可微,反之亦然.但在二元函数微分学中,函数在某点偏导数存在,推不出它在这点可微.又如,一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点必连续.但在二元函数微分学中,函数在某点的偏导数都存在,却推不出它在这点连续.同时二元函数微分学是高等数学教学中的一个重难点,它涉及的内容实际上是微积分学内容在二元函数中的体现,其中有关二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点.当前,二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果,但是,在国内的许多教材中只是对它们三者的定义作了说明,而对它们之间的关系很少提及或没有提到,在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略浅显,在一些学术性论文中也只是对二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性的个别关系做了具体的说明,因此在让学生学习这方面的知识时能达到对这方面知识可以做到全面的掌握让是当前教学中的一大难题.本文具体就二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系通过实例作深入的探讨,就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究,对教材内容做一些适当的补充和扩展,为后继课程的学习奠定基础.然后总结有关二元函数微分学中这关于二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这三个概念之间的关系,并对二元函数具体的实例详细加以证明,建立他们之间的关系图.这样对有效理解和掌握多元函数微积分学知识将起到重要作用.1 二元函数的连续、偏导数及可微性概念二元函数的连续、偏导数及可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限.考虑函数()y x f ,在点),(00y x 的情形,它们分别为： 1.1 二元函数的连续性定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点,或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε,总存在相应的正数δ,只要0(;)P U P D δ∈ ,就有 0()(),f P f P ε-<则称f 关于集合D 在点0P 连续,在不致误解的情况下,也称f 在点0P 连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续,则称f 为D 上的连续函数. 由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点,则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点,则f 关于D 在0P 连续等价于()()00lim P f P f DP P P =∈→1.2 二元函数的可微性与一元函数一样,在二元函数微分学中,主要讨论二元函数的可微性及其应用,我们首先建立二元函数可微性概念.定义 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,对于()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,,若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为:()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00,其中A ,B 是仅与点0P 有关的常数,22y x ∆+∆=ρ,()ρο是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 处可微,并称上式中关于x ∆,y ∆的线性函数A xB y ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000 .由上可知dz 是z ∆的线性主部,特别当x ∆,y ∆充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即()())()(,,0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈在使用上,有时也把()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00写成如下形式y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα,这里()()()()0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x1.3 二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若()x f 在点0x 可微,则函数增量()()()x x A x f x x f ∆++∆=-∆+ο00,其中()0x f A '=.同样,若二元函数f 在点),(00y x 可微,则f 在),(00y x 处的全增量可由()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z 0000,,表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此,在式子y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα中令)0(0≠∆=∆x y ,这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆,且有x x A z x ∆+∆=∆α或者α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ,由上式得A 的一个极限表示式()()xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆000000,,lim lim,容易看出,上式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数.类似地,令)0(0≠∆=∆y x , 由yx y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα又得到()()yy x f y y x f yz B y y x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00000,,l i mlim ,它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数.综上所述,可知函数()y x f z ,=在点),(00y x 处对x 的偏导数,实际上就是把y 固定在0y 看成常数后,一元函数()0,y x f z =在点0x 处的导数,同样,把x 固定在0x ,让y 有增量y ∆,如果极限存在,那么此极限称为函数()y x f z ,=在),(00y x 点处对y 的偏导数.记作()00,y x f y .因此,二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,可定义如下：定义3 设函数()y x f z ,=,(,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义,则当极限()()()xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆00000000,,lim ,lim存在时,称这个极限为函数f 在点()00,y x 关于x 的偏导数,记作()00,y x f x 或),(00|y x x f∂∂ 注意 1 这里符号x ∂∂,y ∂∂专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号dxd 相仿,但又有差别.注意 2 在上述定义中,f 在点()00,y x 存在关于x （或y ）的偏导数,f 至少在{}δ<-=00,|),(x x y y y x （或{}δ<-=00,|),(y y x x y x ）上必须有定义.若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数,则得到函数()y x f z ,=在区域D 上对x （或对y ）的偏导数（也简称偏导数）,记作()y x f x ,或x y x f ∂∂),(（()y x f y ,或yy x f ∂∂),(）,也可简单地写作x f ,x z 或x f ∂∂（y f ,y z 或yf∂∂）. 2 二元函数三个概念的进一步研究2.1 二元函数连续性的进一步研究一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续,但对于二元函数()y x f ,来说,即使它在某点()000,y x P 既存在关于x 的偏导数()00,y x f x ,又存在关于y 的偏导数()00,y x f y ,()y x f ,也未必在点()000,y x P 连续.不过,我们却有如下定理：定理1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在()0P U 内有界,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 任取()y y x x ∆+∆+00,∈()0P U , 则()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+()()()()00000000,,,,f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- (1) 由于()y x f x ,在()0P U 存在,故对于取定的y y ∆+0, ()y y x f ∆+0,作为x 的一元函数在以0x 和0x +x ∆为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈(0 ,1) ,使()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ将它代入(1) 式, 得()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+()()()000000,,,x f x x y y x f x y y f x y θ=+∆+∆∆++∆- (2)由于()∈∆+∆+y y x x 00,θ()0P U ,故()y y x x f x ∆+∆+00,θ有界,因而当()()0,0,→∆∆y x 时, 有00(,)0f x x y y x +∆+∆⋅∆→.又据定理的条件知,()y x f ,0在y =0y 连续,故当()()0,0,→∆∆y x 时, 又有0000(,)(,)0f x y y f x y +∆-→.所以, 由(2) 知, 有[]000000lim (,)(,)0x y f x x y y f x y ∆→∆→+∆+∆-=.这说明()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点0y y =连续,()y x f x ,在点()000,y x P 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义. 若()y x f x ,在()0P U 有界, ()00,y x f y 存在,则()y x f , 在点()000,y x P 连续.证明 由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,从而据定理1可得 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f x ,在点()000,y x P 连续, ()00,y x f y 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明 由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界. 又由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点0y y =连续,因而据定理1可得出 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.同理可证如下的定理2及其推论.定理 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界,()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在()000,y x P连续.推论 1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义, ()y x f y ,在点()000,y x P 连续, ()0,y x f 作为x 的一元函数在点0x x =连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义, ()y x f y , 在点()000,y x P 连续, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.2.2 二元函数可微性的进一步研究众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了.定理 3 函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微的充分必要条件是(,)f x y 在点00(,)P x y 的俩个偏导数都存在,且对0ε∀>,0δ∃>,当0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε--+≤00()x x y y -+-.证明 必要性 已知函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微,故00(,)x f x y 与00(,)y f x y 存在,且00000000(,)(,)(,)()(,)()()x y z f x y f x y f x y x x f x y y y ορ∆=-=-+-+, 其中00()()x x y y ρ=-+-. 即0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y --+[]000000(,)()(,)(,)x f x y x x f x y f x y =---+ []00000000(,)(,)()(,)(,)()y y f x y f x y y y f x y f x y ορ+---+于是,当00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y x x y y --+-+-000000(,)(,)(,)x f x y f x y f x y x x x x ρ--⋅--≤000000(,)(,)(,)()y f x y f x y f x y y y y y ορρρ--⋅--++000000(,)(,)(,)x f x y f x y f x y x x -≤--000000(,)(,)()(,)0(0)y f x y f x y f x y y y ορρρ-+-+→→-从而当0ρ→（即00(,)(,)x y x y →）时,000000(,)(,)(,)(,)0f x y f x y f x y f x y x x y y --+→-+-即0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y x x y y ε--+<-+-所以,0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε--+≤ 00()x x y y -+-.充分性 已知函数(,)f x y 在点00(,)P x y 两个偏导数存在,0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)()f x y f x y f x y f x y x x y y ε--+≤-+-令00()()x x y y ρ=-+-,则当0ρ→时,有0000(,)(,)(,)(,)0f x y f x y f x y f x y ρ--+→于是当00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)()(,)()x y y z f x y x x f x y f y y ∆--+-[]000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)()f x y f x y f x y f x y f x y f x y x x x x ⎡⎤---++-⎢⎥-⎣⎦0000000(,)(,)(,)()y f x y f x y f x y y y y y ⎡⎤-+--⎢⎥-⎣⎦从而有000000(,)()(,)()x y y z f x y x x f x y f y y ρ∆--+-=0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ρ--++0000000(,)(,)(,)()x f x y f x y x x f x y x x ρ⎡⎤---+⎢⎥-⎣⎦ 0000000(,)(,)(,)()0(0)x f x y f x y y y f x y x x ρρ⎡⎤---→→⎢⎥-⎣⎦ 所以,函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微.证毕.定理 4 若函数()y x f z ,=在()00,y x 点处,()y x f x ,连续()00,y x f y 存在（或()00,y x f x 存在,()y x f y ,连续）,则函数()y x f z ,=在()00,y x 处可微.由此定理的条件仍有对一个偏导数（二元）连续性的要求.因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性.例如：对于函数2221sin (,)0,x x y f x y ⎧⎪+=⎨⎪⎩002222=+≠+y x y x , ())0(1cos )(21sin 2,2222222322≠+++-+=y x yx y x x y x x y x f x 有 ())0(1cos )(2,22222222≠+++-=y x yx y x y x y x f y ())0(1cos 21sin20,22≠-=x xx x x x f x 从而())0(21cos 21,2≠-=x xx x x f y 由于)0,(lim 0x f x x →和),(lim 0x x f y x →都不存在,因而),(y x f x 和),(y x f y 在点)0,0(都不连续.关于),(y x f 在点)0,0(的可微性,无论是根据教材中所介绍的定理,还是根据上述定理都不能给出肯定的结论.本文给出另一个可微的充分条件,它完全放弃对两个偏导数（二元）连续性的要求,因而对某些函数可微性的判定有独到的作用.为了叙述方便,引入如下概念.定义 如果对于函数),(y x f z =存在0>η,使得当η<∆y 时,),(00y y x f x ∆+存在,且当0→∆x 时,变量000000(,)(,)(,)(0),(,)0(0),x f x x y y f x y y f x y y x x y xx α+∆+∆-+∆⎧-+∆∆≠⎪∆∆=∆⎨⎪∆=⎩ 关于y ∆一直趋向于0,即对任意的0>ε,存在0>δ,当δ<∆<x 0时,对任意y ∆（y η∆<）都有(,)x y αε∆∆<成立,我们就称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 关于y 对x 一致可导.类似地可定义),(y x f z =在点),(00y x 关于x 对y 一致可导.定理 5 若函数),(y x f z =在点),(00y x 有：),(00y x f y 存在,),(y x f 关于y 对x 一致可导,且),(y x f o x 在0y 连续,则),(y x f z =在点),(00y x 可微.证明: 因),(00y x f y 及),(00y y x f x ∆+)(η<∆y 存在,故有),(),(),(000000y x f y y x x f y x y -∆+∆+=∆),(),(),(),(00000000y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=[][]y y y x f x y x y y x f y x ∆∆++∆∆∆+∆+=)(),(),(),(0000βαy y y y x f x y x x y y x f y x ∆∆+∆+∆∆∆+∆∆+=)(),(),(),(0000βα（3）其中),(y x ∆∆α如前述定义,而0)(→∆y β（)0,0→∆→∆y x ）, 于是有0)(lim22=∆+∆∆⋅∆→∆→∆yx yy y x β （4）又因为),(0y x f x 在0y 连续,故有),(),(lim 000000y x f y y x f x y x x =∆+→∆→∆ （5）再由),(y x ∆∆α所具备的性质知,对任意0>ε,存在)(0ηδδ<>,当δδ<∆<∆y x ,且022≠∆+∆y x 时,有εα<∆∆),(y x 此即0),(lim 00=∆∆→∆→∆y x y x α从而0),(lim220=∆+∆∆∆∆→∆→∆yx xy x y x α （6）综合（3）——（6）式即得[]0),(),(),(lim2200000000=∆+∆∆+∆-∆→∆→∆y x yy x f x y x f y x f y x y x可见),(y x f 于),(00y x 可微.显然,调换定理条件中x f 和y f 的位置,结论仍然成立.指出,尽管定理5已完全放弃对两个偏导数的（二元）连续性要求,但它所给出的条件仍然不是可微的必要条件.因此,如何用两个偏导数所应具备的性质来等价地刻画二元函数的可微性,就需要进一步的探讨,这对以后仍是大我们还要有裨益的.1. 若果f 在点),(00y x 处不连续或偏导数不存在,则f 在点),(00y x 处不可微.2. 若果f 在点),(00y x 处连续,存在),(00y x f x 、),(00y x f y ,则f 在点),(00y x 处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式： （1） ),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆220000(),(),(y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=ε其中0→ε（当0,0→∆→∆y x ）（2） ),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆y x y y x f x y x f y x ∆=∆+∆+∆=210000),(),(εε 其中120,0εε→→（当0,0→∆→∆y x 时）推论 4 若二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y ,00(,)y f x y 均存在,且00(,)xy f x y 或者00(,)yx f x y 存在,则函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微.证明 不妨设00(,)xy f x y 存在（00(,)yx f x y 存在的情形可作类似证明）.因为000000(,)(,)(,)limx x xy y y f x y f x y f x y y y →-=-所以000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →=,即0(,)x f x y 在0y y =处连续.根据定理3可知函数(,)f x y 在00(,)x y 处连续. 2.3 二元函数偏导数存在性进一步研究二元函数()y x f ,在点),(0o y x 的两个偏导数有明显的几何意义：设)),(,,(00000y x f y x M 为曲面),(y x f z =上的一点,过0M 作平面0y y =,截此曲面得一曲线,此曲线在平面0y y =上的方程为),(0y x f z =,则导数0|),(0x x y x f dxd→, 即偏导数),(00y x f x ,就是这曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.同样,偏导数),(00y x f y 的几何意义是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续.但对于二元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P 沿着平行于坐标轴的方向趋于0P 时,函数值)(p f 趋于)(0p f ,但不能保证点P 按任何方式趋于0P 时,函数值)(p f 都趋于)(0p f .3 二元函数三个概念之间关系的总结3.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证对一元函数来说,可导必连续.但对二元函数来说,即使x f ,y f 存在但f 也不一定连续.事实上,对于二元函数来说,函数在一点处的偏导数存在和函数在该点处连续是没有必然联系的.下面加以说明这个问题. 3.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明例 1 讨论函数()22,y x y x g +=在点()0,0处的连续性和偏导数是否存在？ 解： 由()()()()()220,0,0,0,lim,lim y x y x g y x y x +=→→0=(0,0)g =可知函数()22,y x y x g +=在点()0,0连续. 而由偏导数定义：0(0,0)(0,0)(00)limx x g x g f x∆→+∆-=∆2001,0lim lim 1,0x x x x x x x x ∆→∆→∆>∆⎧∆===⎨-∆<∆∆⎩该极限()0,0x g 不存在,同理可证()0,0y g 也不存在. 所以函数),(y x g 在()0,0点的偏导数不存在. 由此说明,二元函数在一点连续,偏导数未必存在. 3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明例 2 函数()22,,1,x y f x y ⎧+=⎨⎩ 00≠=xy xy 在点()0,0处()0,0x f ,()0,0y f存在,但不连续.证明 由偏导数定义：()()()xf x f f x x ∆-∆+=→∆0,00,0lim 0,00 0lim x x ∆→=∆0= 同理可求得 ()0,00y f = 因为()()()()()()()22,0,0,0,0lim,lim00,01x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数()22,,1,x y f x y ⎧+=⎨⎩00≠=xy xy 在点()0,0处不连续.综上可见,对于二元函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续性与偏导数存在,两者之间没有必然的联系,即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否,与其在该点是否连续无关.但如果假定函数的各个偏导数有界,即有下面命题：命题 1 如果二元函数f 在点00(,)P x y 的某邻域()U P 内的偏导数x f ,y f 有界,则f 在()U P 内连续.证明 由x f ,y f 在()U P 内有界,设此邻域为1(,)U P δ,存在0M >,使x f M <,y f M < ,在1(,)U P δ内成立,由于12(,)(,)(,)(,)x y Z f x x y y f x y f x x y y x f x y y y M x M yθθ∆=+∆+∆-=+∆+∆∆++∆∆≤∆+∆（其中120,1θθ≤≤）.所以对任意的正数ε,存在1,2(1)M εδδ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭,当,x y δδ∆<∆<时,有(,)(,)f x x y y f x y ε+∆+∆-<,故f 在(,)U P δ内连续.3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证 3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明定理 6 （可微的必要条件）若二元函数()y x f z ,=在其定义域内一点()000,y x P 处可微,则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且()()()000000|,,,x x d x y f x y dx f x y dy =+ ,()00,y x f A x =,()00,y x f B y =. 证明 由于()y x f ,在点),(000y x P 可微,则())(),(,0000ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z其中,y x ∆∆,为自变量y x ,的该变量,B A ,仅与点),(000y x P 有关,而与y x ∆∆,无关,22y x ∆+∆=ρ.若令0y y =即0=∆y ,于是x ∆=ρ,故)(x x A z ∆+∆=∆ο可见xx A x z∆∆+=∆∆)(ο,Axx A x zy x f x y x x =∆∆+=∂∂=→∆))((lim |),(0),(0000ο,即()A y x f x =00,,类似可证()B y x f y =00,.可见,对于二元函数,偏导数的存在是函数),(y x f z =可微分的必要条件.但是偏导数的存在不是函数可微分的充分条件.事实上,当一个二元函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数yzx z ∂∂∂∂,都存在时,尽管形式上可以写成式子y y zx x z ∆∂∂+∆∂∂,但是它与z ∆之间可以不是22y x ∆+∆=ρ的高阶无穷小,因而由定义,此时函数),(y x f z =在点),(y x 处是不可微的.注 1：定理5的逆命题不成立.即二元函数()y x f ,在点()000,y x P 处的偏导数即使存在也不一定可微.下面用例3说明函数在一点的偏导数存在,但函数在该点却不可微.例 3 证明函数()22,,0,xy x y f x y ⎧⎪+=⎨⎪⎩002222=+≠+y x y x 在原点两个偏导数存在,但不可微.证明 由偏导数的定义：()()()xf x f f x x ∆-∆+=→∆0,00,0lim0,00=000lim0x x∆→-=∆同理可证()0,00y f =,即在原点关于x 与y 的偏导数存在. 下面利用可微的定义来证明其不可微 用反证法：若函数f 在原点可微,则())(()()00,00,00,00,0y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤⎡⎤∆-=+∆+∆--+⎣⎦⎣⎦ 22x y x y∆∆=∆+∆应是较22y x ∆+∆=ρ的高阶无穷小量,为此考察极限2200limlimy x yx dff ∆+∆∆∆=-∆→→ρρρ当动点()y x ,沿直线mx y =趋于()0,0时, 则()()()()220,0,220,0,11lim limm mm m y x xy y x mx y y x +=+=+→=→ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微. 3.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明定理 7 （可微的充分条件） 若二元函数()y x f z ,=的偏导在点()000,y x P 的某邻域内存在且x f 与y f 在点()000,y x P 处连续,则函数()y x f ,在点()000,y x P 可微.可微的充分条件可以改进： 如果函数()y x f z ,=满足以下条件： 1. (,)x f x y 在点00(,)x y 处存在；2. (,)y f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内存在；3. (,)y f x y 在点00(,)x y 处连续； 则(,)f x y 在点00(,)x y 处可微.证明 由于00(,)x f x y 存在,即有：0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y x ∆→+∆-=∆ 即：0000(,)(,)(,)x f x x y f x y f x y xα+∆-=+∆（其中0lim 0x α∆→=）则000000(,)(,)(,)x f x x y f x y f x y x x α+∆-=⋅∆+⋅∆由于(,)x f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内存在,不妨设(,)y f x y 在ω={01(,)|x y x x ψ-<且02y y ψ-<}内存在设0()(,)g y f x x y =+∆并规定1x ψ∆<则()g y 在20|2y y y ψ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭上每一点都存在,从而()g y 在20|2y y y ψ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭上每一点都连续,规定：22y ψ∆≤则根据中值定理存在1y ,使得：001()()()g y y g y g y y +∆-=∆（其中10y y y -≤∆）即：000001(,)(,)(,)y f x x y y f x x y f x x y y +∆+∆-+∆=+∆⋅∆当220x y ∆+∆→且0y ∆→ 从而有00x x x +∆→,10y y →又由于0100(,)(,)y y f x x y f x y +∆=在点00(,)x y 处连续0100(,)(,)y y f x x y f x y β+∆=+其中220lim 0x y β∆+∆→=则000000(,)(,)(,)y f x x y y f x x y f x y y y β+∆+∆-+∆=⋅∆+⋅∆综上所述有：0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-[][]00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y f x x y y f x y =+∆+∆-++∆+∆- 0000(,)(,)x y f x y x x f x y y y αβ=∆+⋅∆+∆+⋅∆又由于2222lim0x y x yx yαβ∆+∆→⋅∆+⋅∆=∆+∆故(,)f x y 在点00(,)x y 点可微.证毕.教材中关于二元函数的微分一般只是分别给出了必要条件和充分条件,对可微的充要条件涉及比较少.偏导数的存在是函数可微的必要条件而不是充分条件,但是,如果在假设函数的各个偏导数连续,则函数是可微的.但此条件给的太强,于是我们总结了判别二元函数在某点可微的一个充分条件,可对此定理的条件进行减弱,得出：定理 8 若函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的邻域G 内()y x f x ,连续,()00,y x f y存在,则函数f 在点()00,y x 可微.证明 全增量()),(,0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆[][]),(),(),(),(00000000y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=这里第一个括号是当y y y ∆+=0时函数关于x 的增量,而第二个括号则是当0x x =时函数关于y 的增量,对于它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,得()y y y x f x y y x x f z y x ∆∆++∆∆+∆+=∆),(,200010θθ )1,0(21<<θθ 由于()y x f x ,,()00,y x f y 在点()00,y x 连续,因而有()αθ+=∆+∆+),(,00010y x f y y x x f x x ,()βθ+=∆+),(,00200y x f y y x f y y , 其中当)0),((→∆∆y x 时,0,0→→βα.所以()()y x y y x f x y y x f z y x ∆+∆+∆+∆=∆βα0000,, 令22y x ∆+∆=ρ,则当0→ρ时,ερρβραρβα⋅=∆+∆=∆+∆)(yxy x 是关于ρ的高阶无穷小.事实上,由于βαρβραε+≤∆+∆=yx而当0→ρ时0→ε,即)(ροερβα=⋅=∆+∆y x .这就证明了),(y x f z =在点),(00y x 是可微的.例 4 求证21sin ,0(,)0,0x e y y y f x y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)可微.证明 因为0(,)(,)(,)lim x f f x x y f x y x y x x∆→∂+∆-=∂∆22011sin sin limx x x x e y e y y yx+∆∆→-=∆201sin (1)limx xx e y e yx∆∆→-=∆21sin(0)x e y y y=≠0(,)(,)limy f f x y y x y x y∆→∂+∆=∂∆ 22011()sin sin limx x y e y y e y y y yy∆→+∆-+∆=∆11112sincos (2sin cos )x x x e y e e y y y y y=-=-.(0)y ≠ 00(,0)(,0)00(,0)lim lim 0x x f f x x f x x x xx ∆→∆→∂+∆--===∂∆∆同理(0,)0fy y∂=∂ 即21sin ,0(,)0,0x e y y f y x y x y ⎧≠∂⎪=⎨∂⎪=⎩ 11(2sin cos ),0(,)0,0xe y yf y y x y x y ⎧-≠∂⎪=⎨∂⎪=⎩于是(0,0)(0,0)0x y f f == 又2001lim sin0x x y e y y∆→X →=, 所以(,)x f x y 在点(0,0)连续. 但0011lim (2sincos )x x y e y y y∆→X →-不存在,即(,)y f x y 在(0,0)点不连续. 又定理8可知(,)f x y 在点(0,0)可微.显然,与传统的判别方法相比,这个充分条件更加减弱了判别条件,进一步阐明了二元函数偏导数与可微性的关系,使适用范围扩大,适用性加强.注意 这个条件是可微的充分条件并非必要条件,即()y x f z ,=在()00,y x 的邻域G 内()00,y x f y 存在但()y x f x ,不连续,但()y x f ,在点()00,y x 也可微.下面我们用例5说明函数在一点可微,但它的偏导数在该点却不连续. 例 5 求函数()()22221sin ,,0,x y x y f x y ⎧+⎪+=⎨⎪⎩ 002222=+≠+y x y x ,在原点()0,0处,（1）()0,0y f 是否存在 （2）x f 是否连续（3）是否可微.解 （1） 由定义知()()()0,0,00,0limx y f y f f y∆→∆-=∆221sinlim 0y y y y∆→∆∆==∆所以()0,0y f 存在.（2） 因为当022≠+y x 时,()y x f ,偏导数存在,故()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+=,0,1cos 11sin 2,222222y x y x y x x y x f x 002222=+≠+y x y x , 而()y x f x y x ,lim 00→→不存在,故()y x f ,在原点不连续.（3）法 1：因()()200,00,01(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-=== ()()2000,0,01(0,0)limlim sin 0y y y f y f f y y y→→-=== 则()()0,00,00x y df f dx f dy =+=()22221,(0,0)()sinf f x y f x y x y∆=-=++ 221sinρρ=（()22,:0x y x y ∀+≠）从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(),f x y 在点()0,0可微.法 2：(0,0)0x f =,(0,0)0y f =,(0,)(0,0)(0,0)lim00x x xy y f y f f y →-==-即(0,0)x f ,(0,0)y f 存在,且(0,0)xy f 存在.根据推论4可知题设所给函数(,)f x y 在(0,0)处可微.3.3 二元函数连续性与可微性的关系及例证类似于一元函数的连续性与可导性间的关系,即二元函数(),f x y 在点()000,P x y 可微,则必连续.反之不然.定理 9 若二元函数()y x f ,在其定义域内一点()y x ,可微,则f 在该点必然连续.证明 事实上()ρο+B∆+A∆=∆y x z ,0lim 0=∆→z ρ,()()[]()y x f z y x f y y x x f y x ,,lim ,lim 0=∆+=∆+∆+→→∆→∆ρ故f 在()y x ,连续.注意 函数()y x f ,在某点()y x ,可微,则()y x f ,在该点连续;但()y x f ,在某点()y x ,连续,函数在该点却不一定可微.例 6 证明函数(),||f x y xy =在点()0,0连续,但它在点()0,0不可微.证明 （1） 因为()()000lim ,lim ||00,0x x y y f x y xy f →→→→===,故函数(),||f x y xy =在点()0,0连续.（2） 因为(0,0)(0,0)||||f f x y f x y ∆=+∆+∆-=∆∆()()0,00,00x y df f dx f dy =+=所以 2200||||limlim()()x y x y f dfx y ρρ→∆→∆→∆∆∆-=∆+∆当动点(),x y 沿直线y x =趋于()0,0时,有2200||||1lim02()()x y x y x y ∆→∆→∆∆=≠∆+∆ 即0lim0f dfρρ→∆-≠,故(),f x y 在原点()0,0不可微.例 7 函数y x y x f +=),(在点)0,0(处连续,但在)0,0(点不可微. 解： 因为()()()()())0,0(0)(lim ,lim0,0,0,0,f y x y x f y x y x ==+=→→所以y x y x f +==),(在点)0,0(处连续. 又因为xx x f x f f x x x ∆∆=∆-∆+=→∆→∆00l i m )0,0()0(l i m)0,0(,此极限不存在；同理)0,0(y f 的极限也不存在.因此不能把)(ρο+∆+∆=∆y B x A z 的形式.4 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 可微分,则函数在该点必连续,反之不一定成立.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 可微分,则函数在该点的偏导数必存在,反之一定成立.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 连续,则偏导不一定存在. 如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 偏导存在,则不一定连续.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 偏导连续,则函数在该点必可微,反之不一定成立.综上所述二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的关系如下图所示.偏导连续可微连续偏导存在结束语本文对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的讨论,根据分析可以看出二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系比一元函数连续、导数存在及可微之间的关系要复杂的多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极限对自变量的要求更高、更复杂.如0lim ()x x f x →只要求在x 从0x 的左右俩侧趋向于0x 时,()f x 趋于同一值.而对()()()00,,lim,x y x y f x y →要求点(),x y 以任何方式趋向于点()00,x y 时,(),f x y 都趋向于同一极限,任何方式包含了x 与y 的不同关系以及趋向时的不同路径,从而导致二元函数产生了二重极限与累次极限的区别,正是由于二元函数极限的这种复杂性导致了二元函数诸多关系的复杂性.依据本文的分析得出它们三者之间的关系,不但对学习是一种积极的推动作用,有助于使学生对这方面的知识不会产生干扰,能较好地辨别它们之间的本质区别,使得原有知识更加牢固,也同时抓住了函数的本质.这方面的知识繁多,证明的方法难易悬殊,使用技巧各异,而且同一问题也可用多种不同方法来解决. 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的知识是人类智慧最伟大的成就之一,是数学上的伟大创造,它现在广泛影响着生产技术和科学的发展,如今已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具.以上我从比较初等的方法入手,进而对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的若干概念、定理、性质等内容这一方面的内容作了浅显的论述,将初等数学和高等数学的有关内容衔接起来,从而在整体上更好地理解有关这方面的知识.至于解决具体问题时个人可依据知识的储备、问题的要求来进行方法的选择.本文列举了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这方面的知识和证明方法,根据证明方法、举例、适用范围进行了归纳总结,力求有理论依据、有例题参考、有实用价值．从定义出发证明是最“原始”的做法,不易被人想到,但它在证明中确有其优势.证明的方法应该还有很多,对于其它新的方法有待于进一步探索与研究.为此,我们有必要学习好、掌握好二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系这方面的知识,配以先进的管理观念和现代化的通信、网络、计算机技术,尽可能的把这些知识灵活运用推广,满足其他行业对这些知识的需要,创造更好的经济效益和社会效益.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（下）[M] . 北京: 高等教育出版社,2001: 100 –112[2] 吉米多维奇. 数学分析习题集[M] . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-78[3]马振民. 数学分析的方法与技巧选讲[M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.[5] 华东师范大学数学系. 数学分析[M] . 北京: 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二元函数连续偏导数和全微分之间的关系1. 引言1.1 二元函数连续性的重要性二元函数的连续性在数学中具有重要意义。

连续性是函数在定义域内连续变化的性质，它保证了函数在某一点附近的变化是平滑的，没有突变或间断。

对于二元函数而言，连续性的重要性更加显著。

二元函数的连续性直接影响到函数在给定点的极限存在性。

如果一个二元函数在某点处不连续，那么在该点处的极限也将不存在。

这将导致在对函数进行分析或求解问题时出现困难，因为在极限点附近的函数值无法确定，使得无法准确描述函数的性质。

连续性也是进行微分和积分运算的前提条件之一。

在实际问题中，我们常常需要对二元函数进行微分或积分来得到某些性质或信息。

如果函数不是连续的，那么在这些点处微分或积分将无法进行，进而影响到对问题的解决。

二元函数的连续性还与函数的可导性有密切关系。

在连续性的基础上，我们可以讨论函数是否可导。

可导性是用来描述函数在某点处的变化率，是求导数和偏导数的基础。

如果一个二元函数不连续，那么在该点处不可能存在偏导数，这将限制我们对函数变化率的研究。

二元函数的连续性是数学分析中的基础性概念，它影响着函数的极限、微分、积分以及可导性等方面。

对于研究二元函数的性质和求解实际问题具有重要作用，因此我们必须重视二元函数连续性的重要性。

1.2 连续偏导数的概念连续偏导数是二元函数中非常重要的概念，它描述了函数在某一点处对不同方向的变化率。

在二元函数中，我们通常会对每个自变量求偏导数，而这些偏导数是否连续就决定了函数在该点是否具有连续性。

具体来讲，如果一个二元函数在某一点处的偏导数存在且连续，那么我们称该函数在该点处具有连续偏导数。

连续偏导数的概念是基于一元函数的连续性延伸而来的，它告诉我们函数在该点附近不仅在某一方向上变化平稳，而且在所有方向上都变化平稳。

连续偏导数的存在意味着函数在该点处是光滑且连续的，而这对于研究函数的性质和行为至关重要。

通过连续偏导数，我们可以更好地理解函数的局部性质，包括强调函数的斜率、曲率以及其他微分性质。

可微与连续,偏导数存在之间的关系可微和连续是微积分中的两个重要概念，它们在函数的性质和导数的存在性方面有关联。

具体来说，一个函数在某一点可微意味着它在该点处连续且有定义的导数存在。

首先，我们来了解可微和连续的定义：1. 连续：一个函数在某个点处连续，意味着函数在该点的函数值与其极限值相等。

换句话说，如果一个函数在某点的左右两侧极限都存在，并且相等，那么函数在该点处连续。

2. 可微：如果一个函数在某个点处可微，意味着函数在该点处连续且有定义的导数存在。

换句话说，可微性是连续性和导数存在性的结合。

然而，连续性并不保证函数在某一点处的导数存在。

为了确保导数的存在性，我们需要引入可微性这一更强的条件。

在微积分中，一个函数在某点处可微的充分必要条件是它在该点处的左右两侧的导数存在且相等。

这意味着如果一个函数在某点处可微，则它在该点处的导数是唯一确定的。

换句话说，可微性是对于导数存在性的一个更强的要求。

如果一个函数在某点处的导数存在，那么它在该点处连续，但反之则不成立。

总结起来，可微性是连续性和导数存在性的结合。

连续性是可微性的充分条件，而导数的存在性则是可微性的必要条件。

因此，可微和连续之间存在着密切的关系。

需要注意的是，可微性和连续性还与函数的定义域有关。

对于闭区间上的函数，函数在端点处的可微性和连续性需要额外的讨论。

此外，对于多元函数，可微性和连续性的定义也有所不同。

总而言之，可微和连续是微积分中重要的概念，它们在函数的性质和导数的存在性方面有着密切的关系。

可微性是连续性和导数存在性的结合，连续性是可微性的充分条件，而导数的存在性则是可微性的必要条件。

关于二元函数可微性的判定
函数可微分的概念是微积分中的重要概念之一。

二元函数的可微性判定是指在某一点附近，二元函数的变化足够小，可以用一个线性函数来近似描述。

具体来说，如果二元函数在某一点处满足偏导数存在且连续，那么该二元函数在该点处就是可微的。

二元函数可微性的判定有两个重要定理，分别是偏导数存在定理和全导数存在定理。

1. 偏导数存在定理：
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，在点(x0,y0)处，如果偏导数
fx'(x0,y0)和fy'(x0,y0)均存在，则函数在该点处可微。

具体的求导公式如下：
（1）当z=f(x,y)可微时，有dz=f'(x,y)dxdy=f'xdxdy+f'ydydx，其中f'x和f'y分别表示函数z=f(x,y)对x和y的偏导数。

（2）当z=f(u(x,y),v(x,y))可微时，有dz=f'u(x,y)dx+f'v(x,y)dy。

全导数存在定理是偏导数存在定理的推论。

全导数的存在性说明了在满足偏导数存在的条件下，函数的偏导数还需要连续性的要求。

需要注意的是，偏导数存在且连续并不意味着函数在该点处可微。

函数的可微性判断仍然需要根据偏导数的定义和连续性来确定。

二元函数的可微性判定可以通过偏导数存在定理和全导数存在定理来判定。

偏导数存在且连续是判定可微性的基本条件，而全导数存在则是在偏导数存在的基础上进一步的连续性要求。

通过这些定理，我们可以判断二元函数是否是可微的，并应用可微函数的性质进行进一步的研究和计算。

目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)引言 (1)1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义 (1)2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系 (2)2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系 (2)2.2二元函数连续与可微之间的关系 (3)2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系 (3)2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系 (4)二元函数连续、偏导数、可微的关系图 (6)参考文献 (7)致谢 (8)本科生毕业论文2二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.关键词 二元函数 连续 偏导数 可微The Relationship among Continuation, Partial Derivatives andDifferentiability in Binary FunctionAbstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..Key words binary function continuation partial derivatives differentiability引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义定义1 设为定义在点集上的二元函数，（或者是的聚点，f 2D R ⊂0D P ∈0P D 或者是的孤立点），对于任给的正数，总存在相应的正数，只要D εδ，就有，则称关于集合在点连续.0,)(D P U P δ⋂∈0)||()(f P f P ε<-f D 0P 定义2 设函数，若且在的某一邻域(,),(,)z f x y x y D =∈00,)(y D x ∈0,)(y f x 0x 内有定义，则当极限存在时，则称这个00000000(,))(,)(,limlim x x x f x y f x y f x x y x x∆→∆→+-=∆∆∆∆本科生毕业论文3极限为函数在点关于的偏导数，记作.f 00,)(y x x 0(,)|x y fx∂∂定义3 设函数在点某邻域内有定义，对于中的(,)z f x y =000,)(y P x 0()U P 0()U P 点，若函数在点处的全增量可表示为00,)(,)(y P x y x x y ++=∆∆f 0P ，其中、是仅与点有关0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+A B0P 的常数，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微.()ορρ=ρf 0P 2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系2.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系例 在偏导数存在但不连续.[1]122,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩(0,0)证明 因为 ，00(,0)(0,0)00(0,0)limlim 0x x x f x f f x x→→--===同理可知 . 所以 在偏导数存在.(0,0)0y f =(,)f x y (0,0)因为 极限不存在，所以 在不连续.220,0limx y xyx y →→+(,)f x y (0,0)例在点连续，但不存在偏导数.2[2](,)f x y =(0,0)证明 因为 ，0,00,lim (,)lim0(0,0)x y x y f x y f →→→→===所以 在点连续，(,)f x y =(0,0)因为 ,该极限不存在，00(,0)(0,0)(0,0)lim x x x f x f f x →→-==同理 也不存在.(0,0)y f 所以 在点连续，但不存在偏导数.(,)f x y =(0,0)此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导.2.2 二元函数连续与可微之间的关系本科生毕业论文4定理 若在点可微，则在点一定连续.1[3](,)z f x y =(,)x y (,)z f x y =(,)x y 证明 在点可微，(,)z f x y =(,)x y (1)0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+所以 当时，有，即 在该点连续.0,0x y ∆→∆→0z ∆→(,)z f x y =例 证明在点连续，3[4](,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩(0,0)但在点不可微.(0,0)证明 令，则.cos ,sin x r y r θθ==(,)00x y r →⇔→因为,2cos sin |||cos sin |0(0)r r r r r θθθθ==≤→→所以在点连续.(,)f x y (0,0)按偏导数定义,00(,0)(0,0)0(0,0)limlim 0x x x f x f f xx ∆→∆→∆-===∆∆同理 .(0,0)0y f =若在点可微，则(,)f x y(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)x y z dz f x y f f x f y ∆-=+∆+∆--∆-∆=应是较高阶的无穷小量.ρ=因为 该极限不存在,所以在点不可微.220limlimz dzx yx y ρρρ→→∆-∆∆=∆+∆(,)f x y (0,0)此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.2.3 二元函数可微与偏导数存在之间的关系定理 若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个2[5]f 00,)(y x f本科生毕业论文5自变量的偏导数都存在，且(1)式中的.0000,),,)((x y A f y B f y x x ==证明 因为 在点可微，则(,)z f x y =(,)x y .0000)(,)(,()A z f x x y y f x y x B y ορ++=∆=∆∆-∆+∆+若令上式中 ,则,0y ∆=0000(,)(,)(||)z f x x y f x y A x x ο=+∆∆-=∆+∆所以 .000000(,)(,)(||)limlim x x A xf x x y f x y x A x ο∆→∆→=∆+∆-∆+=∆即.类似可证.A zx=∂∂B z y =∂∂例 设,则在点偏导数存在，但在该4[6]2222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩(,)f x y (0,0)点不可微.解 事实上（1），(,0)(0,0)(0,0)lim0x x f x f f x→-==,(0,)(0,0)(0,0)lim0y y f y f f y→-==故 在点偏导数存在.(,)f x y (0,0)（2）因为 ，0,limlimx y f dfρρ→∆→∆→∆-=此时若令，则，y kx ∆=∆0,0,limlimx y x y ∆→∆→∆→∆→=此极限显然不存在，所以不存在，limf dfρρ→∆-所以 在点不可微.(,)f x y (0,0)此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别.2.4 函数可微与偏导数连续之间的关系定理若二元函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与3[7](,)z f x y =00(,)x y x f本科生毕业论文6在点处连续，则函数在点处可微.y f 00(,)x y f 00(,)x y 证明 我们把全增量0000,)(,)(y f x y z f x x y ++-∆=∆∆ 00000000[,),)][,)(,)](((y y y f x y f x x y f x y f x y =++-+++-∆∆∆∆在第一个括号里，它是函数关于的偏增量;在第二个括号里，则是函数0,)(y f x y +∆x 关于的偏增量.0(,)f x y y 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，得 （2）010002,),(()x y y y z f x x y x f x y y θθ++++∆=∆∆∆∆∆12,10θθ<<由于与在点处连续，x f y f 00(,)x y 因此有 ， （3）01000,)(,)(x x y x y f x x y f θα++=+∆∆ , （4）00200,(,)()y y y x y f x y f θβ++∆=其中 当时，有.0,0x y ∆→∆→0,0αβ→→将（3） ，（4）代入（2）式，则得.0000(,)(,)x y x y x y z f x f y x y αβ=+∆∆∆+∆+∆所以 函数在点处可微.f 00(,)x y 例在处可微，但与5[8]22()sin (,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩(0,0)(,)x f x y 均在处不连续.(,)y f x y (0,0) 解 因为,220,0lim ()sin0(0,0)x y x y f →→+==所以 在处连续.(,)f x y (0,0),00(,0)(0,0)(0,0)lim 0x x x f x f f x→→-===本科生毕业论文7同理 .(0,0)0y f =当时，极限不存在,220x y +≠0,0lim 2x x y f x →→=故在点不连续. 同理可证在处不连续.(,)x f x y (0,0)(,)y f x y (0,0),lim0f dfρρρ→→∆-==所以在处可微.(,)f x y (0,0)此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.定理若在内存在，且在连续，4[9](,)f x y 0()U P (,)x f x y (,)x f x y 00(,)o P x y 在存在，证明：在可微.(,)y f x y 0P f 0P 证明 0000(,)(,)f f x x y y f x y ∆=+∆+∆- 00000000[(,)(,)][(,)(,)]f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆-由已知 存在，且在连续,(,)x f x y 0(,)o x y 有0000010(,)(,)(,)x f x x y y f x y y f x x y y xθ+∆+∆-+∆=+∆+∆∆ ,11(,)(0)xf x y x x αα=∆+∆→因为 ，0000000(,)(,)lim(,)y y f x y y f x y f x y y∆→+∆-=∆所以 ，00000022(,)(,)(,)(0)y f x y y f x y f x y y y αα+∆-=∆+∆→又因 ，所以 在点可微.1212||||||0x yααααρ∆+∆≤+→f 0P 注 此定理中与互换，结论仍然成立.(,)x f x y (,)y f x y 二元函数连续、偏导数、可微的关系如图二元函数连续二元函数偏导数存在本科生毕业论文8二元函数可微二元函数偏导数连续参考文献[1]常庚哲，史济怀，数学分析[M].北京：高等教育出版社，2003.6：97[2]刘文灿，刘夜英，数学分析[M].西安：陕西人民出版社，2004.9：116[3]朱正佑，数学分析[M].上海：上海大学出版社，2001.7：188[4]黄玉民，李成章，数学分析[M].北京：科学出版社，1995.5：61-62[5]华东师范大学数学系. 数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，110[6]周良金，王爱国，函数连续及可微的关系[J].高等函授学报2005.10，19（5）：35[7]陈纪修，於崇华，金路，数学分析（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004.10：142-143[8]刘新波，数学分析选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.3：151[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148致谢感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导本科生毕业论文对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.9。

连续和可微的条件关系
连续和可微的条件关系主要涉及函数的极限、导数和连续性。

首先，对于一元函数，如果它在某点的导数存在，那么它必定在该点连续。

这意味着，如果函数在某点的切线存在，那么函数在该点是连续的。

其次，对于二元函数，可微意味着函数在该点连续并且偏导数存在。

换句话说，如果函数在某点的所有方向上的导数都存在，那么函数在该点连续。

总的来说，可微是连续和偏导数存在的必要条件，但不是充分条件。

也就是说，如果函数在某点可微，那么它一定在该点连续，并且偏导数存在。

但是，如果函数在某点连续或者偏导数存在，并不意味着它在该点可微。

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系
在微积分中，连续函数的偏导数和全微分是两个不同的概念，但它们之间存在一定的关系。

我们来定义连续函数的偏导数。

对于一个二元函数 f(x, y)，我们可以对 x 或 y 进行偏导，得到偏导函数 fx(x, y) 和 fy(x, y)。

如果这两个偏导函数在某一点 (x0, y0) 处都存在且连续，那么我们就称函数 f(x, y) 在该点是可微分的。

接下来，我们来定义全微分。

对于一个可微分的二元函数 f(x, y)，其全微分 df 可以表示为：
df = fx(x, y) dx + fy(x, y) dy
这里的 dx 和 dy 分别表示自变量 x 和 y 的增量。

全微分可以看作是函数在某一点附近的线性逼近。

根据偏导数的定义，我们可以知道，当函数 f(x, y) 可微分时，它的偏导数 fx 和fy 都存在且连续。

而全微分中的 fx 和 fy 恰好就等于函数 f 的偏导数。

在这个关系中，偏导数是全微分的一部分。

但需要注意的是，全微分除了包含偏导数外，还包含了 dx 和 dy 这两个自变量的增量。

二元函数连续偏导数和全微分之间的关系二元函数是指具有两个自变量的函数，通常表示为f(x, y)，其中x和y分别是自变量。

在二元函数中，我们可以讨论其连续偏导数和全微分之间的关系。

这两个概念是微积分中非常重要的内容，对于研究函数的性质和特点具有重要意义。

我们来了解一下二元函数的连续偏导数。

在二维空间中，二元函数的偏导数表示了函数在某一方向上的变化率，连续偏导数则表示在整个定义域上都存在偏导数且偏导数也是连续函数。

假设f(x, y)是一个定义在某个区域上的二元函数，我们可以分别对x和y求偏导数，得到f对x的偏导数记为f_x，对y的偏导数记为f_y。

如果f_x和f_y都存在且都是连续函数，则称f在该区域上具有连续偏导数。

全微分则是描述了函数在某一点附近的线性逼近。

对于二元函数f(x, y)，它的全微分可以表示为df = f_x dx + f_y dy。

这里dx和dy分别表示自变量x和y的微小增量，df表示函数值的微小增量。

全微分的存在性保证了函数在该点的局部可微性，也就是函数在该点附近的变化可以通过全微分进行线性逼近。

定理：若二元函数f(x, y)在某一点(a, b)附近有连续偏导数，则在该点附近存在全微分df = f_x(a, b)dx + f_y(a, b)dy，其中dx和dy为自变量x和y的增量。

这个定理说明了连续偏导数和全微分之间的密切关系。

当函数具有连续偏导数时，我们可以通过偏导数来构造全微分，从而描述函数在该点的局部变化。

这也说明了连续偏导数是全微分存在的一个必要条件。

接下来，我们来看一个具体的例子来说明连续偏导数和全微分之间的关系。

考虑二元函数f(x, y) = x^2y + y^2，我们来求该函数在点(1, 2)处的全微分。

我们计算f对x和y的偏导数：f_x = 2xy，f_y = x^2 + 2y。

可以看出，f_x和f_y在定义域上都存在且都是连续函数，因此f在定义域上具有连续偏导数。

二元函数的连续与可微分之间的关系二元函数是数学中常见的一种函数形式，它由两个自变量和一个因变量组成。

在数学中，连续与可微分是两个重要的概念。

二元函数的连续与可微分之间存在着密切的关系。

我们来了解一下连续函数的定义。

一个二元函数在定义域上连续，意味着在该定义域内的任意点上，只要自变量的微小变化，函数值也会有微小变化。

换句话说，对于二元函数f(x, y)，当自变量的微小变化引起函数值的微小变化时，我们称这个二元函数是连续的。

那么，可微分是什么意思呢？在数学中，可微分表示函数在某一点上有切线，并且函数在该点附近的变化可以用切线近似表示。

对于二元函数f(x, y)，如果该函数在某一点(x0, y0)处可微分，那么在该点处可以找到一个切平面，使得函数在该点附近的变化可以用该切平面近似表示。

连续与可微分是紧密相关的概念。

事实上，连续函数必定可微分，但可微分的函数不一定是连续的。

这是因为可微分的定义包含了连续的要求。

如果一个函数在某一点可微分，那么该函数在该点连续是显然的。

因此，可微分函数一定是连续的。

然而，连续函数不一定可微分。

对于二元函数f(x, y)，如果在某一点(x0, y0)处存在不可导的情况，那么该函数在该点处不可微分。

不可导意味着在该点的某个方向上，函数值的变化速度无法通过切线来近似表示。

这种情况下，虽然函数在该点连续，但不满足可微分的条件。

总结起来，连续与可微分之间的关系是连续函数一定可微分，但可微分的函数不一定连续。

这意味着连续性是可微分性的充分条件，但不是必要条件。

在实际应用中，连续与可微分的概念具有重要的意义。

连续函数可以描述一些物理量的变化趋势，如温度、压力等。

而可微分函数可以帮助我们理解函数的变化率和趋势，有助于求解最优化问题和优化算法的设计。

因此，对连续与可微分之间的关系的深入理解，对于数学和应用领域都具有重要意义。

二元函数的连续与可微分之间存在着密切的关系。

连续函数一定可微分，但可微分的函数不一定连续。