山西省孝义市2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题（扫描版，无答案）(1)
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山西省太原市2016-2017学年高一下学期阶段性测评期中考试数学试卷一、选择题：1.已知向量()4,2a = ，()2,b y =，且a b ∥，则y =（ ）A.4B.3C.2D.12.若α为第三象限角，则（ ） A.tan 0α<B.tan02α> C.sin 0α< D.cos 0α>3.终边在直线y x =上的角的集合是（ ） A.ππ,4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ZB.π2π,4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ZC.3ππ,4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ZD.5π2π,4k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 4.已知sin 33a =︒，cos55b =︒，sin120c =︒，则（ ） A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>5.已知四边形ABCD 为平行四边形，()2,3AB = ，()1,2AD =-，则AC BD += （ ）A.()2,4-B.()4,6C.()6,2--D.()1,9-6.已知函数()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A.函数()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称B.函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C.函数()f x 的图象向右平移3π个单位后关于原点对称 D.函数()f x 的图象向右平移π3个单位后关于直线π3x =对称7.下列说法不正确的是（ ）A.a ，b 为不共线向量，若a b a b +=-，则a b ⊥B.若a ，b 为平面内两个不相等向量，则平面内任意向量c 都可以表示为c a b λμ=+C.若a b ⋅ ，b c ⋅ ，则a 与c不一定共线D.()()a b a b λλ⋅=⋅8.若sin 2cos αα=，则sin 2α=（ ）A.25B.45C.25-D.45-9.函数()y f x =的图象向右平移π6个单位，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向上平移2个单位，得到()πsin 6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A.()πsin 216f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭B.()1πsin 1212f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C.()cos21f x x =-D.()1πsin 124f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭10.()sin 501︒︒=（ ）C.12D.111.如图，在ABC △中，O 为BC 的中点，过O 的直线交AB 、AC 所在直线于M 、N ，若AB mAM = ，AC nAN =，则m n +=（ ）A.2B.12C.1D.312.已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =-+，则()f x 的值域为（ ）A.[)1,+∞B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[]1,1-D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13.πsin6= ． 14.若()2tan 5αβ+=，1tan 4β=，则tan α= ．15.若1a = ，2b = ，()2a a b ⊥- ，则a b +=．16.如图，视一条河的两岸为两条平行直线，河宽500m ，一艘船从河的一岸A 处出发到河对岸，已知船的速度为20km /h ，水流速率为5km /h ，当行驶航程最短时，所用的时间为min ． 三、解答题17.已知向量(),3a λ= ，()2,4b =-. （1）若()2a b b +⋅，求λ；（2）若4λ=，求向量a 在b 方向上的投影cos a θ（其中θ是a 与b 的夹角）18.已知：()()()()22πsin πcos 2tan πtan cos πf αααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=--. （1）化简()f α；（2）若α为第四象限角，且sin cos22αα+=，求π3f α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.19.函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]π,2π上的单调递增区间及其在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.20.（A ）已知平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=︒，M 为CD 的中点，12AC BM ⋅=- .（1）求AB 的长；（2）设E ，F 为线段AD 、AB 上的动点，且EF BD ∥，求AE DF ⋅的最小值.（B ）已知平行四边形ABCD 中，1AD =，60BAD ∠=︒，M 为CD 的中点，12AC BM ⋅=- .（1）求AB 的长；（2）设F 为线段AB 上的动点（不包含端点），求CF DF ⋅的最小值，以及此时点F 的位置.21.（A ）已知()sin ,cos a x x ωω= ，()cos b x x ωω= ，()f x a b =⋅ ，且函数()f x 的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）若()π3235f αα+=，ππ612α-<<，()513f β=-，2π5π312β-<<-， 求()cos 22αβ-的值.（B ）已知()sin ,cos a x x ωω= ，()cos b x x ωω= ，()f x a b =⋅- ，且函数()f x 的最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程ππ2612f x f x m ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在[)0,π内有两个不同的解α，β，求证：()22cos 2215m αβ-=-.参考答案一、选择题 1.D【解析】∵a b ∥，∴44y =，∴1y =. 2.C.【解析】∵α为第三象限角，∴sin 0α<，cos 0α<. 3.A【解析】与α终边在一条直线上的角的集合为{}π,k k ββα=+∈Z ，∴与π4终边在同一直线上的角的集合是ππ,4a k k α⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选A4.C【解析】 首先化为同名三角函数，sin 33a =︒，cos55sin 35b =︒=︒，sin120sin 60c =︒=︒， ∵sin y x =在[]0,90︒︒上单调递增，∴c b a >>. 5.A【解析】()1,5AC AB AD =+= ，()3,1BD AD AB =-=-- ，所以()2,4AC BD +=-.故选A.6.C【解析】 对轴为：2π2π3x k =+，对称中心为π2π,03k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以A ，B 错， 函数()f x 的图象向右平移π3个单位得到()1sin 2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为奇函数，所以选C.7.B【解析】A 选项中，a ，b 为不共线向量，则两向量均为非零向量，a b a b +=-表示以向量a ，b模长为邻边的平行四边形两对角线长度相等，则该平行四边形为矩形，则邻边垂直，正确；B 选项，由平面向量的基本定理知，一组非零且不共线的向量可以表示出平面内的任意向量，a ，b为平面内两个不相等向量，若共线仍无法作为一组基底表示，错误；C 选项，若a ，b ，c 均为非零向量，则a 与c 共线，若b 为零向量，则a 与c不一定共线，零向量与平面内的任意向量共线，正确；D 选项，符合向量数乘的运算法则，正确. 8.B【解析】因为sin 2cos αα=，22cos sin 1αα+=，则22cos 4cos 1αα+=，21cos 5α=，则24sin 22sin cos 4cos 5αααα===. 9.C【解析】由()f x 横坐标变为2倍得()g x ，可排除B ，D ，A 选项变换后得到()cos g x x =-，排除；C 选项变换后得到()ππππcos sin sin 3236f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，符合题意.10.D【解析】()()()sin50cos102sin50sin 1030sin501sin501cos10cos102cos40sin 40sin801sin80sin80︒︒︒⎛︒︒+︒︒︒=︒+== ︒︒⎝⎭︒︒︒===︒︒11.A【解析】因为O 是BC 的中点，所以2AB AC AO += ，即2mAM nAN AO +=，即1122AO mAM nAN =+ ，因为O 、M 、N 三点共线，即所以11122m n +=，即2m n +=.12.D【解析】设(sin cos x x t t -=≤，所以21sin cos 2t x x -=，则()()()2211sin cos sin cos 1122t f x x x x x f t t t -=-+⇒=+=--+，由函数单调性可知()f t在⎡⎤⎣⎦上单调递增，在⎡⎣上单调递减，所以当1t =时，函数取得最大值()()max 11f x f ==，当t =()(min 12f x f ==，所以函数的值域为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 二、填空题13.12【解析】 π1sin62=14.322【解析】()()()213tan tan 35420tan tan 21221tan tan 2215420αββααββαββ-+-=+-====+++⨯【解析】 由()2a a b ⊥-知，()222120a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅= 知21a b ⋅= ，()222221146a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，所以a b +=【解析】当路线垂直于两岸时，航程最短，实际速率为/h 时，时间t ===. 三、解答题17.解：（1）∵(),3a λ= ，()2,4b =- ，∴()222,10a b λ+=-， 又()2a b b +⊥ ，∴()20a b b +⋅=，∴()()2224100λ-⨯-+⨯=，∴11λ=.（2）由4λ=，可知()4,3a = ，()2,4b =-，∴4a b ⋅=，b =cos a b a bθ⋅===18.解：（1）()()()()2222πsin πcos sin sin 2sin tan πtan cos πtan tan cos f αααααααααααα⎛⎫-+ ⎪-⋅⎝⎭===---⋅.（2）sin cos 22αα+=，24sin cos 1sin 225ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，1sin 5α=-，∵α是第四象限角，cos α=，∴ππππsin sin sin cos cos sin 33333f πααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭19.解：（1）由图象可知，1A =，2πππ2362T =-=，所以πT =，又2ππT ω==，所以=2ω，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭在图象上，所以ππsin 2166f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题可知6πϕ=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）()f x 的单调递增区间为()πππ2π22π262k x k k -≤+≤+∈Z ，即()ππ2π22π33k x k k 2-≤≤+∈Z ， 即()ππππ36k x k k -≤≤+∈Z ，又[]π,2πx ∈，所以单调递增区间为7ππ,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5π,2π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π7π13π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，根据函数的性质可得，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 20.（A ）解：（1）()()()22111222AC BM AB BC BC CM AD AB AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⋅=++=+-=+⋅- ⎪⎝⎭22211111cos60122422AD AB AD AB x x =+︒-=+-=- ，设AB x = ，则有21130242x x --=，解得2x =或32x =-，故2AB = .（2）∵EF BD ∥，∴AE AFAD AB=，设AE AD λ=，AF AB λ=， 则()222AE DF AD AB AD AD AB AD λλλλλλ⋅=⋅-=⋅-=- ，221124λλλ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，故2λλ-的最小值为14-，∴AE DF ⋅ 的最小值为14-.（B ）解：（1）AC AB AD =+ ，12BM AD AB =-，()2221111111222242AC BM AB AD AD AB AD AB AB AD AB AB ⎛⎫⋅=+-=-+⋅=-+=- ⎪⎝⎭，∴2AB =.（2）设AF AB λ= ，则()1CF AD AB λ=--- ，DF AD AB λ=-+，∴()()()()2221121462CF DF AD AB AD AB AD AB AB ADλλλλλλλ⎡⎤⋅=-+--+=-+-+-⋅⎣⎦=-+-，所以当34λ=时，∴14CF DF ⋅= ，此时F 为AB 的四等分点（靠近B ）即32AF =.21.（A ）解：（1）()21πsin cos sin 2sin 223f x a b x x x x x x ωωωωω⎛⎫=⋅=⋅+-==+ ⎪⎝⎭ ，周期为π，即=1ω. （2）()ππcos 22cos 2233ππππcos 2cos 2sin 2sin 23333αβαβαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()35f α=，ππ612α-<<，π3sin 235α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ0232α<+<，∴π4cos 235α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()513f β=-，2π5π312β-<<-，π5sin 2313β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，πππ232β-<+<-，∴π12cos 2313β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，代入上式的()ππ4123563cos 22cos 223351351365αβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（B ）解：（1）()211sin 2sin 222f x a b x x x ωωω=⋅-=+=+-1πsin 2sin 223x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. ∵πT =，2π2T ω=，∴=1ω，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）求证：ππ2612f x f x m ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2sin 233123x x m ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++++= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.∵2sin 2cos 2x x m +=，∴222sin 2cos 2sin 2cos 21x x mx x +=⎧⎨+=⎩， 225sin 4sin 210x m x m -+-=，方程在[)0,π内有两个不同的解，∴4sin 2sin 25m αβ+=，21sin 2sin 25m αβ-⋅=，∴()()cos2cos22sin 22sin 2m m αβαβ⨯=--()()22sin 2sin 24sin 2sin 2m m αβαβ=-++⨯2455m =-. ∴()222412cos 22cos2cos2sin 2sin 21555m m m αβαβαβ---=⋅+⋅=+=-.。
山西省应县2016-2017学年高一数学下学期3月月考试卷一、选择题 （每小题只有一个正确选项，每题5分，共60分） 1.-300°化为弧度是 （ ）A.34π-B.35π- C ．32π- D ．65π- 2.点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则xy值为( )A.3B. - 3C. 33D. -333. 化简OP →- QP → + PS → + SP →的结果是( )A. QP →B. OQ →C. SP →D. SQ →4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋32π的图象( ) A ．关于直线x ＝－π4对称 B ．关于直线x ＝－π2对称C ．关于直线x ＝π8对称D ．关于直线x ＝54π对称5．设b →是a →的相反向量, 则下列说法一定错误的是( ) A. a →与b →的长度相等 B. a →//b →C. a →与b →一定不相等D. a →是b →的相反向量 6．将函数sin()3y x π=-的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移3π个单位，则所得函数图像对应的解析式为 （ ）A ．1sin2y x =B ．1sin()22y x π=-C ．1sin()26y x π=-D ．sin(2)6y x π=-7. 下列命题错误的是( )A. 两个向量的和仍是一个向量B. 当向量a →与向量b →不共线时，a →+b →与a →, b →都不同向，且|a →+b →| < |a →|+|b →| C. 当非零向量a →,b →同向时，a →+b →与a →, b →都同向，且|a →+b →| = |a →|+|b →| D. 当非零向量a →,b →反向时，a →-b →与a →或b →反向，且|a →-b →| = |a →|-|b →|8．若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A ．－310B.310 C ．±310D.349.如图是一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上的点P 到水面的距离y （米）与时间x （秒）满足函数关系式()2sin ++=ϕωx A y，则有（ ）A.ω=152π，A =3B.ω=π215，A =3 C.ω=152π，A =5 D.ω=π215，A =510. 已知非零向量a →,b →满足：|a →|>|b →|. ①a →与b →反向；②|a →+b →| = |a →|—|b →|. 则有( )A. ①可得出②B. ②可得出①C. ①可得出②,且②可得出①D. ①不可得出②,且②也不可得出①11．函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现20个最小值，则ω的最小值是( )A ．38πB ．38.5πC ．39.5πD ．40π12．已知x ∈[0，π]，f (x )＝sin(cos x )的最大值为a ，最小值为b ，g (x )＝cos(sin x )的最大 值为c ，最小值为d ，则( )A ．b <d <a <cB ．d <b <c <aC ．b <d <c <aD ．d <b <a <c二、填空题（每题5分，共20分，将答案写在答题纸上） 13. 一艘船从点A 出发，以2km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，船实际行驶速度的大小为4km/h, 则河水的流速的大小为 . 14．函数y ＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛+4πx 的单调增区间为________. 15. 已知扇形的周长是10cm ，面积是42cm ，则扇形的半径是________.16. 给出下面四个结论：① 若线段AC=AB+BC ，则向量AC →=AB →+BC →; ② 若向量AC →=AB →+BC →，则线段AC=AB+BC; ③ 若向量AB →与BC →共线，则线段AC=AB+BC; ④ 若向量AB →与BC →反向共线，则|AB →-BC →|=AB+BC. 其中正确的结论有________.三、 解答题（解答应写出文字说明或演算步骤，共70分） 17．(本小题满分10分)已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求()()()ααπαπαπ--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-sin 23sin 22cos 5sin 的值．18.（本题满分12分）已知α为第三象限角，()3sin()cos()tan()22tan()sin()f ππααπαααπαπ-+-=----．（１）化简()fα（２）若31cos()25πα-=，求()f α的值19．(本小题满分12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值； (3)求使y ≤0时，x 的取值范围．20．(本题满分12分)已知cos x ＋sin y ＝12，求sin y －cos 2x 的最值．21.(本小题满分12分) 函数()sin()(0,0,)2f x A x x R A =+∈>><πωϕωϕ，的一段图象如图5所示：将()y f x =的图像向右平移(0)m m >个单位，可得到函数()y g x =的图象，且图像关于原点对称，(1).求A ωϕ、、的值；(2).求m 的最小值，并写出()g x 的表达式； (3).若关于x 的函数2tx y g ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最小值为2-，求实数t 的取值范围.22．（本小题满分12分）已知()162sin 2++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x x f π（1）若[0,]2x π∈且1a =时，求()f x 的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值时x 的值；（2）若[0,]x π∈且1a=-时，方程()f x b =有两个不相等的实数根1x 、2x ，求b 的取值范围及12x x +的值。
2016-2017学年山西省大同一高一（下）5月月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合M={x|（x﹣1）=0}，那么（）A．0∈M B．1∉M C．﹣1∈M D．0∉M2．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（）A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．63．若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞04．不等式≥2的解集为（）A． D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）5．已知函数f（x）=，则f=（）A．cos B．﹣cos C．D．±6．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数7．函数的值域是（）A． B． C． D．8．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]9．已知sin（α一β）=，cos（α+β）=﹣，且α﹣β∈（，π），α+β∈（，π），则cos2β的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1的取值范围是（）A． B．∪（0，3] C．∪（1，4] D．∪12．已知不等式m2+（cos2θ﹣5）m+4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤4 B．1≤m≤4 C．m≥4或m≤0 D．m≥1或m≤0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为°．14．数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ．15．已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n= ．16．已知正数数列{a n}的前n项和为S n，，设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则实数c的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x+a＜0}．（1）当a=﹣2时，求A∩B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．18．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．19．已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．（Ⅰ）若，求θ；（Ⅱ）求|的最大值．20．已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．21．某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．22．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．2016-2017学年山西省大同一高一（下）5月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．已知集合M={x|（x﹣1）=0}，那么（）A．0∈M B．1∉M C．﹣1∈M D．0∉M【考点】12：元素与集合关系的判断．【分析】化简M，即可得出结论．【解答】解：集合M={x|（x﹣1）=0}={1}，∴0∉M，故选D．2．已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则•等于（）A．﹣10 B．﹣6 C．0 D．6【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据∥，可得﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2，则•=x﹣8，运算求得结果．【解答】解：∵向量=（1，2），=（x，﹣4），∥，∴﹣4﹣2x=0，∴x=﹣2．则•=x﹣8=﹣2﹣8=﹣10，故选 A．3．若tanα＞0，则（）A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦得答案．【解答】解：∵tanα＞0，∴，则sin2α=2sinαcosα＞0．故选：C．4．不等式≥2的解集为（）A． D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为基本的分式不等式，利用穿根法解决即可，也可用特值法．【解答】解：⇔⇔⇔⇔﹣1≤x＜0故选A5．已知函数f（x）=，则f=（）A．cos B．﹣cos C．D．±【考点】3T：函数的值．【分析】由已知得f（﹣）=cos（﹣）=cos=，从而f=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣）=cos（﹣）=cos=，f=f（）==．故选：C．6．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D【解答】解：A显然正确；∵=D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）==D（x），∴T=1为其一个周期，故C错误；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．7．函数的值域是（）A． B． C． D．【考点】HW：三角函数的最值．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，结合正弦函数的值域求得原函数的值域．【解答】解：函数=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故该函数的值域为，故选：B．8．已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．（0，] D．（0，2]【考点】H5：正弦函数的单调性．【分析】由条件利用正弦函数的减区间可得，由此求得实数ω的取值范围．【解答】解：∵ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在（，π）上单调递减，则，求得≤ω≤，故选：A．9．已知sin（α一β）=，cos（α+β）=﹣，且α﹣β∈（，π），α+β∈（，π），则cos2β的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知求出cos（α﹣β），sin（α+β）的值，再由cos2β=cos，展开两角差的余弦求解．【解答】解：由sin（α﹣β）=，cos（α+β）=﹣，且α﹣β∈（，π），α+β∈（，π），得cos（α﹣β）=，sin（α+β）=，∴cos2β=cos=cos（α+β）cos（α﹣β）+sin（α+β）sin（α﹣β）=（﹣）×（﹣）+=．故选：C．10．已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如图所示，则函数g（x）=a x+b的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】4A：指数函数的图象变换；53：函数的零点与方程根的关系．【分析】根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=a X+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．【解答】解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；在函数g（x）=a x+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；故选A．11．已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1的取值范围是（）A． B．∪（0，3] C．∪（1，4] D．∪【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在上的奇函数，∴当x∈∪，故选：B．12．已知不等式m2+（cos2θ﹣5）m+4sin2θ≥0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．0≤m≤4 B．1≤m≤4 C．m≥4或m≤0 D．m≥1或m≤0【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】先利用三角函数公式将抽象不等式变为三角不等式，再由三角函数的有界性结合一次函数的性质求参数m的范围，即可选出正确选项．【解答】解：∵m2+（cos2θ﹣5）m+4sin2θ≥0，∴m2+（cos2θ﹣5）m+4（1﹣cos2θ）≥0；∴cos2θ（m﹣4）+m2﹣5m+4≥0恒成立⇔不等式恒成立⇔m≤0或m≥4，故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，则角C的大小为60 °．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据三角形的面积公式S=absinC，由锐角△ABC的面积为3，BC=4，CA=3，代入面积公式即可求出sinC的值，然后根据C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出C 的大小．【解答】解：由题知，×4×3×sinC=3，∴sinC=．又∵0＜C＜90°，∴C=60°．故答案为60°．14．数列{a n}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= 1 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，得：，整理得：，即+5a1+a1+4d．化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．∴q==．故答案为：1．15．已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，则数列{a n}的通项公式a n= 2n．【考点】8H：数列递推式．【分析】通过，求出等比数列的首项与公比的关系，通过2（a n+a n+2）=5a n+1求出公比，推出数列的通项公式即可．【解答】解：∵，∴，∴a1=q，∴，∵2（a n+a n+2）=5a n+1，∴，∴2（1+q2）=5q，解得q=2或q=（等比数列{a n}为递增数列，舍去）∴．故答案为：2n．16．已知正数数列{a n}的前n项和为S n，，设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则实数c的取值范围是（﹣∞，2] ．【考点】8H：数列递推式．【分析】，可得n≥2时，S n﹣S n﹣1=﹣1，化为：﹣=1．利用等差数列的通项公式可得S n=n2．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，S n﹣S n﹣1=﹣1，化为：=S n﹣1＞0，解得﹣=1．n=1时，﹣1，解得a1=1=S1．∴数列是等差数列，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n．∴S n=n2．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，∵2≥（m+1+n+1）2=（2k+2）2=4（k+1）2．∴（m+1）2+（n+1）2≥2（k+1）2，则实数c的取值范围是c≤2．故答案为：（﹣∞，2]．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．设全集是实数集R，A={x|2x2﹣7x+3≤0}，B={x|x+a＜0}．（1）当a=﹣2时，求A∩B；（2）若A∩B=A，求实数a的取值范围．【考点】1E：交集及其运算．【分析】（1）解不等式求出A，a=﹣2时化简集合B，根据交集的定义写出A∩B；（2）根据A∩B=A得A⊆B，根据子集的定义写出实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|2x2﹣7x+3≤0}={x|≤x≤3}，当a=﹣2时，B={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，∴A∩B={x|≤x＜2}；（2）∵A∩B=A，∴A⊆B，又B={x|x+a＜0}={x|x＜﹣a}，∴﹣a＞3，解得a＜﹣3，即实数a的取值范围是a＜﹣3．18．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC 面积的最大值．【考点】H5：正弦函数的单调性；GQ：两角和与差的正弦函数；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；所以f（x）的单调递增区间是，（k∈Z）；单调递减区间是：，（k∈Z）；（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，由题意知A为锐角，所以cosA=，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．因此S=bcsinA≤，所以△ABC面积的最大值为．19．已知向量=（sinθ，1），=（1，cosθ），﹣＜θ＜．（Ⅰ）若，求θ；（Ⅱ）求|的最大值．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系；9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】（I）根据两个向量垂直的性质可得 sinθ+cosθ=0，由此解得tanθ的值，从而得出θ．（II）利用向量的模的定义化简|，再根据三角函数的变换公式结合三角函数的性质求出|的最大值．【解答】解：（I）.，⇒•=0⇒sinθ+cosθ=0，==当=1时有最大值，此时，最大值为．20．已知等差数列{a n}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{a n}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|a n|}的前n项和．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式；8G：等比数列的性质．【分析】（I）设等差数列的公差为d，由题意可得，，解方程可求a1，d，进而可求通项（II）由（I）的通项可求满足条件a2，a3，a1成等比的通项为a n=3n﹣7，则|a n|=|3n﹣7|=，根据等差数列的求和公式可求【解答】解：（I）设等差数列的公差为d，则a2=a1+d，a3=a1+2d由题意可得，解得或由等差数列的通项公式可得，a n=2﹣3（n﹣1）=﹣3n+5或a n=﹣4+3（n﹣1）=3n﹣7（II）当a n=﹣3n+5时，a2，a3，a1分别为﹣1，﹣4，2不成等比当a n=3n﹣7时，a2，a3，a1分别为﹣1，2，﹣4成等比数列，满足条件故|a n|=|3n﹣7|=设数列{|a n|}的前n项和为S n当n=1时，S1=4，当n=2时，S2=5当n≥3时，S n=|a1|+|a2|+…+|a n|=5+（3×3﹣7）+（3×4﹣7）+…+（3n﹣7）=5+=，当n=2时，满足此式综上可得21．某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD=60m，AB=40m，且△EFG中，∠EGF=90°，经测量得到AE=10m，EF=20m．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点G作一直线交AB，DF于M，N，从而得到五边形MBCDN的市民健身广场，设DN=x（m）（1）将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；（2）当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）作GH⊥EF，垂足为H，过M作MT∥BC交CD于T，求出，可得S MBCDW=S MBCT+S MTDN=，从而可得五边形MBCDN的面积y表示为x的函数；（2）将函数变形，利用基本不等式，可求市民健身广场的面积最大值．【解答】解：（1）作GH⊥EF，垂足为H，因为DN=x，所以NH=40﹣x，NA=60﹣x，因为，所以，所以…过M作MT∥BC交CD于T，则S MBCDN=S MBCT+S MTDN=，所以=…由于N与F重合时，AM=AF=30适合条件，故x∈（0，30]，…（2），…所以当且仅当，即x=20∈（0，30]时，y取得最大值2000，…所以当DN=20m时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为2000m2．…22．已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．【考点】8E：数列的求和．【分析】（1）通过a n+2=qa n、a1、a2，可得a3、a5、a4，利用a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，计算即可；（2）通过（1）知b n=，n∈N*，写出数列{b n}的前n项和T n、2T n的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．【解答】解：（1）∵a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴a n=；（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．。
