(秋)九年级数学上册 22.2 一元二次方程的解法(第3课时)教案 (新版)华东师大版
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22.2一元二次方程的解法
第三课时配方法
教学目标：
知识技能目标
1.正确理解并会运用配方法将形如x2＋px＋q＝0(p2-4q≥0)的方程变形为(x＋m)2＝n(n ≥0)类型；
2.会用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的数字系数的一元二次方程；
3.培养学生准确、快速的计算能力以及观察、比较、分析问题的能力；
过程性目标
1.让学生经历配方法的推导形成过程，并能够熟练地运用配方法求解一元二次方程；
2.让学生探索用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)数字系数的一元二次方程，并与形如x2＋px＋q＝0的方程进行比较，感悟配方法的本质．
情感态度目标
通过本节课，继续渗透由未知向已知转化的思想方法，配方法是解决某些代数问题的一个很重要的方法．
重点和难点
重点：掌握用配方法解一元二次方程；
难点：把一元二次方程化为(x＋m)2＝n的形式．
教学过程
一、创设情境
问题：怎样解下列方程：(1)x2＋2x＝5；(2)x2－4x＋3＝0．
二、探究归纳
思考能否经过适当变形，将它们转化为(x－m)2＝n(n≥0)的形式，应用直接开平方法求解？
分析对照公式：a2±2ab+b2＝(a+b)2，对于x2＋ax型的代数式，只需再加上一次项系
数一半的平方，即可得到
2
2
2
2
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
+
a
x
a
ax
x完成转化工作．
解(1)原方程化为x2＋2x＋1＝5＋1．
即(x＋1)2＝6．
两边开平方，得x＋1＝±6．
所以x1＝6－1,x2＝－6－1．
(2)原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4
即(x－2)2＝1．
两边开平方，得x－2＝±1．
所以x1＝3, x2＝1．
归纳上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为(x－2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．这样，就能应用直接开平方的方法求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
运用配方法解一元二次方程的步骤：第一步是移项，将含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到方程的另一边；第二步是配方，方程的两边同时加上一次项系数一半
的平方，进行这一步的依据是等式的基本性质和完全平方公式a 2±2ab +b 2＝(a +b )2；第三步是用直接开平方法求解．
三、实践应用
例1 用配方法解下列方程：(1)x 2－6x －7＝0；(2)x 2＋3x ＋1＝0．
解 (1)移项，得x 2－6x ＝7 ……第一步 方程左边配方，得x 2－2∙x ∙3＋32＝7＋32 ……第二步
即 (x －3)2＝16．
所以x －3＝±4．
原方程的解是x 1＝7， x 2＝-1．
(2)移项，得x 2＋3x ＝－1．
方程左边配方，得x 2＋2∙x ∙
23＋(23)2＝－1＋(23)2, 即(x ＋23)2＝4
5． 所以x ＋23＝±2
5． 原方程的解是x 1＝－
23＋25，x 2＝－23－25．
试一试 用配方法解方程：x 2＋px ＋q ＝0(p 2-4q ≥0)
解 移项，得x 2＋px ＝－q ， 方程左边配方，得2
222222⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+p q p p x x 即44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 当p 2-4q ≥0时，得2
422q p p x -±=+ 原方程的解是242422
21q p p ，x q p p x ---=-+-=
例2 如何用配方法解方程：2x 2＋3＝5x ．
分析 这个方程化成一般形式后，二次项的系数不是1，而上面的几个方程二次项的系数都是1，只要将这个方程的二次项系数化为1，就变为上面的问题．因此只要在方程的两边都有除以二次项的系数2就可以了．
解 移项，得：2x 2－5x ＋3＝0，
把方程的各项都除以2，得02
3252=+-x x ，
配方，得22245234525⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-x x ， 即161452=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x ， 所以4
145±=-
x ， 原方程的解是12321==x x ，． 说明 例2中方程的特点和例1不同的是，例2的二次项系数不是1．因此要想配方，
必须化二次项系数为1．对形如一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)用配方法求解的步骤是：
第一步：化二次项系数为1；
第二步：移项；
第三步：配方；
第四步：用直接开平方法求解．
思考 怎样解方程9x 2－6x ＋1＝0比较简单？
解法(1) 化二次项的系数为1，得091962=+-
x x ， 移项，得9
1962-=-x x ， 配方，得22231913196⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-x x , 所以，0312=⎪⎭⎫ ⎝
⎛-x ． 原方程的解是3
121==x x ． 解法(2) 原方程可整理为(3x －1)2＝0． 原方程的解是3
121==x x ． 比较上面两种方法，让学生体会配方法是通用方法，但有时用起来麻烦；解法(2)是据方程的特点所采用的特殊的方法，较解法(1)简捷，明快．所以学习不要机械死板，在熟练掌握通法的基础上，可根据方程的结构特点灵活地选择简单的方法，培养灵活运用能力．
四、交流反思．
1.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，其步骤如下：
(1)把二次项系数化为1；
(2)移项，使方程左边为二次项，一次项，右边为常数项；
(3)配方．依据等式的基本性质和完全平方公式，在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)用直接开平方法求解．配方法的关键步骤是配方．配方法是解一元二次方程的又一种方法．
2.对于二次项的系数不是1的一元二次方程，通常在方程的两边都除以二次项的系数，转化为二次项系数为1的方程，从而用配方法求解；
3.通过观察、比较、分析去发现新旧知识的联系，以旧引新，学会化未知为已知的转化思想是学习数学常用策略；配方法是一种重要的方法，在后面的学习中经常会用到．
五、检测反馈
1.填空：
(1)x 2＋6x ＋( )＝(x ＋ )2；
(2)x 2－8x ＋( )＝(x － )2；
(3)x 2＋2
3x ＋( )＝(x ＋ )2； (4)4x 2－6x ＋( )＝4(x － )2＝(2x －
)2． 2.用配方法解方程：
(1)x 2＋8x －2＝0； (2)x 2－5x －6＝0；
(3)4x 2－12x －1＝0； (4)3x 2＋2x －3＝0．
六、布置作业
习题22．2的4(1)\(2)\(3)\(4).。
