2018年秋九年级数学上册第3章图形的相似3.1比例线段教案(新版)湘教版

2018年秋九年级数学上册第3章图形的相似3.1 比例线段3.1.2 成比例线段教案（新版）湘教版
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成比例线段。

湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》教学设计4一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》是本册教材中的重要内容，主要让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质和应用。

通过本节课的学习，学生能够掌握比例线段的概念，了解比例线段的性质，能够运用比例线段解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基础知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过具体例子和实际操作来理解和掌握。

同时，学生对于实际问题的解决能力有待提高，需要通过练习来加强。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握比例线段的概念和性质，能够运用比例线段解决一些实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间观念和几何思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和问题解决能力。

四. 教学重难点1.重点：比例线段的概念和性质。

2.难点：比例线段的运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体情境，让学生在实际中感受和理解比例线段的概念和性质。

2.互动教学法：通过学生之间的交流和合作，培养学生的几何思维能力和问题解决能力。

3.实践教学法：通过实际操作和练习，让学生巩固比例线段的性质和应用。

六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体设备。

2.学具：直尺、圆规、三角板、练习本。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的比例线段实例，如楼梯的台阶、自行车的车把等，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。

2.呈现（10分钟）讲解比例线段的定义和性质，通过示例和实际操作，让学生理解和掌握比例线段的概念。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用直尺和圆规实际操作，画出一些比例线段，并判断它们是否符合比例线段的性质。

4.巩固（10分钟）学生独立完成教材中的练习题，教师巡回指导，及时纠正学生在解题过程中出现的错误。

湘教版九年级上册教学设计3.1比例线段一. 教材分析湘教版九年级上册的教学设计3.1比例线段是本节课的主要内容。

教材从实际生活中的例子引入比例线段的概念，使学生能够理解比例线段的含义，并掌握其基本性质和运算规律。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生巩固比例线段的知识，并能够应用到实际问题中。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的认知和运算能力有一定的基础。

然而，对于比例线段这一概念，学生可能比较陌生，需要通过实例和练习来逐渐理解和掌握。

在学习过程中，学生需要教师的引导和启发，通过观察、思考、交流和操作，培养空间想象能力和逻辑思维能力。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解比例线段的定义，掌握比例线段的基本性质和运算规律。

2.过程与方法：学生能够通过观察、思考、交流和操作，培养空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生能够体验数学与实际生活的联系，增强对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：学生能够理解比例线段的定义，掌握比例线段的基本性质和运算规律。

2.难点：学生能够灵活运用比例线段的知识解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际生活中的例子，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生进行思考和讨论，促进学生对比例线段的理解。

3.操作活动法：学生进行实际操作，通过剪贴、测量等方法，培养学生的空间想象能力和动手能力。

4.小组合作法：学生进行小组讨论和合作，培养学生的交流能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备教材、PPT、实物模型等教学资源。

2.学生准备：学生需要准备笔记本、尺子、剪刀等学习工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示实际生活中的例子，如比例尺地图、身高和脚长的比例等，引导学生观察和思考，激发学生的学习兴趣。

教师提出问题，如“你们认为比例线段是什么？”、“比例线段有哪些特点？”等，让学生进行思考和讨论。

湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》教学设计3一. 教材分析《比例线段》是湘教版数学九年级上册3.1的内容，这部分内容是在学生已经掌握了比例的基本性质和线段的知识的基础上进行学习的。

比例线段是指在两个相似三角形中，对应边的比例关系。

通过学习比例线段，可以帮助学生更好地理解几何图形的相似性质，并为后续的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了比例的基本性质和线段的知识，但对于比例线段的含义和应用可能还不够清晰。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索比例线段的含义和性质，从而更好地理解和掌握这部分内容。

三. 教学目标1.理解比例线段的定义和性质。

2.能够运用比例线段解决一些实际问题。

3.培养学生的观察能力、操作能力和思维能力。

四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。

2.难点：比例线段的运用和解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过案例分析，让学生理解和掌握比例线段的性质；通过小组合作学习，培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片。

2.准备教学课件和教学素材。

3.准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索比例线段的含义和性质。

例如：在两个相似三角形中，对应边的比例关系是什么？这个比例关系有什么特殊的性质？2.呈现（10分钟）通过展示相关的教学案例和图片，让学生直观地理解和掌握比例线段的含义和性质。

同时，引导学生通过观察和操作，发现比例线段的特殊性质。

3.操练（10分钟）让学生通过实际的操作和计算，巩固对比例线段的掌握。

可以设计一些相关的练习题，让学生独立完成，然后进行讲解和解析。

4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生进一步巩固对比例线段的掌握。

可以设计一些实际问题，让学生运用比例线段的知识进行解决。

湘教版数学九年级上册3.1《比例线段》教学设计一. 教材分析《比例线段》是湘教版数学九年级上册3.1章节的内容，主要介绍了比例线段的定义、性质和应用。

通过本节课的学习，学生能够理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决实际问题。

教材通过生动的实例和丰富的练习，引导学生探索和发现比例线段的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对图形的认识和理解也有一定的基础。

但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

此外，学生可能对比例线段的性质和应用有一定的困难，需要通过教师的引导和同学的交流来加深理解。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质，并能运用比例线段解决实际问题。

2.过程与方法：学生能够通过观察、操作、交流等方法，探索和发现比例线段的规律，培养逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂活动，主动与同学交流，培养合作意识和团队精神。

四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。

2.难点：比例线段的运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.引导发现法：教师通过提出问题，引导学生观察和思考，发现比例线段的性质和规律。

2.合作交流法：学生分组进行讨论和实践，分享彼此的想法和经验，共同解决问题。

3.实例分析法：教师通过出示实例，引导学生分析比例线段的运用和解决实际问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示比例线段的定义、性质和应用。

2.实例材料：准备一些实际问题，供学生练习和思考。

3.练习题库：准备一些练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过出示一些实际问题，引导学生思考比例线段的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过课件呈现比例线段的定义和性质，让学生初步了解和认识比例线段。

湘教版数学九年级上册《3.1 比例线段》教学设计3一. 教材分析《3.1 比例线段》是湘教版数学九年级上册的教学内容。

本节课的主要内容是让学生理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质和应用。

教材通过生活中的实际问题引入比例线段的概念，让学生在学习过程中感受数学与生活的联系，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，对于比例线段这一概念，学生可能较为陌生。

因此，在教学过程中，教师需要从学生的实际出发，通过生动具体的实例，引导学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质。

三. 教学目标1.理解比例线段的定义，掌握比例线段的性质。

2.能够运用比例线段解决生活中的实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和性质。

2.难点：比例线段的运用和解决实际问题。

五. 教学方法1.实例导入：通过生活中的实际问题，引导学生思考比例线段的概念。

2.小组讨论：让学生在小组内讨论比例线段的性质，培养学生的合作能力。

3.练习巩固：通过大量的练习题，让学生巩固比例线段的知识。

4.拓展应用：引导学生运用比例线段解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，以便于教学过程中的展示。

2.练习题：准备适量的练习题，用于课堂练习和巩固知识。

3.教学工具：准备尺子、黑板等教学工具，以便于讲解和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示生活中的实际问题，如：“在一条直线上，两点之间的距离是否相等？”让学生思考并回答。

通过实际问题，引导学生思考比例线段的概念。

2.呈现（10分钟）讲解比例线段的定义和性质，通过具体的例子，让学生理解比例线段的概念。

同时，引导学生发现比例线段的性质，如：在同一三角形中，两边之比等于第三边与这两边之比的倒数。

3.操练（10分钟）让学生在小组内讨论，总结比例线段的性质。

朔方的雪花在纷飞之后，却永远如粉，如沙，他们决不粘连，撒在屋上，地上，枯草上，就是这样。

屋上的雪是早已就有消化了的，因为屋里居人的火的温热。

别的，在晴天之下，旋风忽来，便蓬勃地奋飞，在日光中灿灿地生光，如包藏火焰的大雾，旋转而且升腾，弥漫太空；使太空旋转而且升腾地闪烁。

第3章图形的相似3．1 比例线段3．1.1 比例的基本性质教学目标【知识与技能】1．理解比例的基本性质．2．能根据比例的基本性质求比值．3．能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形．【过程与方法】通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力．【情感态度】建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣．【教学重点】比例的基本性质．【教学难点】比例的基本性质及运用．教学过程一、情景导入，初步认知1．举例说明生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形．如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的像、不同大小的国旗、两把不同大小但都含有30°角的三角尺等．2．美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，许多美丽的形状都与0.618这个比值有关．你知道0.618这个比值的来历吗？3．如何求两个数的比值？【教学说明】说明学习本章节的重要意义．二、思考探究，获取新知1．阅读与思考题(1)什么是两个数的比？2与－3的比；－4与6的比如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？(2)比与比例有什么区别？(3)用字母a，b，c，d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项和第四比例项的概念吗？【归纳结论】如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例．通常我们把a，b，c.d四个实数成比例表示成a∶b＝c∶d或ab＝cd，其中a，d叫作比例外项，b，c叫作比例内项．2．如果四个数a 、b 、c 、d 成比例，即a b ＝c d，那么ad ＝bc 吗？反过来呢？ 【教学说明】引导学生利用等式的性质一起证明．由此，你能得到比例的基本性质吗？【归纳结论】比例的基本性质：如果a b ＝c d，，那么ad ＝bc. 3．已知四个数a 、b 、c 、d 成比例，即：a b ＝c d，下列各式成立吗？若成立，请说明理由． b a ＝d c ；a c ＝b d ；a ＋b b ＝c ＋d d. 分析：(1)比较条件和结论的形式得到解题思路；(2)采用设比值较为简单．【教学说明】这三个小题反映了在比例式的变形中的两种常用方法：一是利用等式的基本性质；二是设比值．4．根据下列条件，求a∶b 的值．(1)4a ＝5b ，(2)a 7＝b 8. 解：(1)∵4a＝5b ，∴a b ＝54. (2)∵a 7＝b 8， ∴8a＝7b ，∴a b ＝78. 三、运用新知，深化理解1．已知：x∶(x＋1)＝(1—x)∶3，求x.解：根据比例的基本性质得，(x ＋1)(1－x)＝3x.解得：x ＝－3＋132或x ＝－3－132. 2．若2x －3y x ＋y ＝12，求y x. 解：根据比例的基本性质得，2(2x －3y)＝x ＋y ，4x －6y ＝x ＋y ，3x ＝7y ，y x ＝37. 3．已知a∶b∶c＝1∶3∶5且a ＋2b －c ＝8，求a 、b 、c.解：设a ＝x ，则b ＝3x ，c ＝5x ，∴x＋2×3x－5x ＝8，2x ＝8，x ＝4，∴a＝4，b ＝3×4＝12，c ＝5×4＝20.。

第三章 图形的相似 3.1 比例线段3.1.1 比例的基本性质1.理解比例的定义并能熟练运用.2.掌握比例的基本性质.（重点，难点）一、情境导入数学来源于生活，数学中很多定理都可以用生活中的常识来解释.例如配制糖水的问题，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.试着举出更多利用比例的生活实例.二、合作探究探究点一：比例的基本性质已知3x ＝2y ，那么下列式子成立的是（ ）A.3x ＝2yB.xy ＝6C.x y ＝23D.y x ＝23解析：根据比例的基本性质可知3y ＝2x ，所以可得x y ＝32，y x ＝23即得A 、C 项错误，B 项“xy ＝6”无法由“3x ＝2y”变化得到，故选D.方法总结：本题考查的知识点为比例的基本性质，解题时从基本性质出发进行变化.探究点二：比例基本性质的拓展【类型一】根据给定条件，求简单比值若3m－nn＝13，求mn的值.解析：根据比例的基本性质，将比例式变为等积式，然后化简，变形得出答案.解：∵3m－nn＝13，∴3（3m－n）＝n，∴9m－3n＝n，9m＝4n，∴mn＝49.方法总结：解题时首先运用比例的基本性质对已知条件进行转化，化简，最后再利用比例的基本性质求比值.【类型二】根据给定条件，求复杂比值已知ab＝cd＝ef…＝mn＝3，且b＋a＋f…＋n≠0，求a＋c＋e＋…＋mb＋d＋f＋k…＋n的值.解析：把比例式化为等积式，可得a＝3b，c＝3d，…，m＝3n代入即可求解.解：∵ab＝cd＝ef＝…＝mn＝3，∴a＝3b，c＝3d，e＝3f，…，m＝3n，又∵b＋d＋f＋…＋n≠0，∴a＋c＋e＋…＋mb＋d＋f＋…＋n＝3b＋3d＋3f＋ (3)b＋d＋…＋n＝3（b＋d＋f＋…＋n）b＋d＋f＋…＋n＝3.方法总结：本题考查比例的等比性质，需要用到等值替换的解题思想，在解答此类题目时，要充分运用题设条件，将复杂问题简单化求解.三、板书设计比例⎩⎪⎨⎪⎧概念性质：如果ab＝cd，那么ad＝bc.在教学过程中，通过情景导入引导学生进入一个全新的数学情景，学生经过自主探究，发现事物间存在的规律，在激发学生学习兴趣的同时，适时引入新的知识，类比学习.本课时注重对学生创新思维的培养.3.1.2 成比例线段1.理解线段的比与成比例的线段的关系.（重点，难点）2.了解并掌握黄金分割问题.（重点，难点）一、情境导入古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓为矩形（如图所示），以矩形ABCD 的宽为边在其内部作正方形AEFD ，那么我们可以惊奇地发现BC BE ＝AB BC.你能求出AEAB的值吗？二、合作探究探究点一：线段的比与成比例线段 【类型一】线段的比在等腰直角三角形中，直角边与斜边的比是 ，斜边与直角边的比是 ，斜边上的高与斜边的比是 Ｗ.解析：作一等腰三角形如图所示，设边长为x ，由勾股定理可得，斜边长为2x ，斜边上的高为22x ，即直角边与斜边的比为1∶2，斜边与直角边的比是2∶1，斜边上的高与斜边的比为1∶2.故填1∶2，2∶1，1∶2.方法总结：在解答此题时要明确等腰直角三角形各边的比例关系，并且注意题目要求，避免错解.【类型二】与比例尺相关的线段的比在比例尺为1∶200的地图上，测得A 、B 两地之间的图上距离为4.5cm ，则A 、B两地间的实际距离是多少？解析：根据比例尺＝图上距离∶实际距离，列出比例式，求解即可.解：设A、B两地间的实际距离为x cm，则1∶200＝4.5∶x，∴x＝900（cm）＝9（m），故A、B两地间的实际距离为9m.方法总结：熟练利用成比例线段的概念是解决本题的关键，要注意长度单位的换算.【类型三】成比例线段下列线段的长度成比例的是（）A.2cm，3cm，4cm，5cmB.1.5cm，2.5cm，4cm，5cmC.1.1cm，2.2cm，3.3cm，4.4cmD.1cm，2cm，3cm，6cm解析：A项中2cm3cm≠4cm5cm，B项中1.5cm2.5cm≠4cm5cm，C项中1.1cm2.2cm≠3.3cm4.4cm，D项中1cm2cm＝3cm6cm ＝2，故选D.方法总结：判断四条线段是不是成比例的步骤是：（1）化成相同的单位；（2）按照大小排列；（3）分组求比值；（4）看是否相等，相等即成比例，不等则不成比例.探究点二：黄金分割【类型一】黄金分割的基本概念如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且ACBC＝BCAC，那么下列说法中错误的是（）A.线段AB被点C黄金分割B.点C叫做线段AB的黄金分割点C.AB与AC的比叫黄金分割比D.AC与AB的比叫黄金分割比解析：黄金分割比是分得的两条线段中的较长的一条与整条线段的比，即AC与AB的比，不是AB与AC的比，故选C.方法总结：准确掌握黄金分割的概念是解决问题的关键.【类型二】黄金分割的相关计算如果线段上一点P把线段分割为两条线段P A，PB，当P A2＝PB·AB，即P A≈0.618AB 时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现在已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点（P A>PB），那么线段PB的长约为（）A.6.18B.0.382C.0.618D.3.82解析：P A≈0.618AB＝0.618×10＝6.18，PB≈10－6.18＝3.82，故选D.易错提醒：本题易错选A，产生错解的原因是误认为PB就是黄金分割所得较长线段，事实上，较长线段是P A，所以P A≈10×0.618＝6.18，PB≈10－6.18＝3.82.【类型三】黄金分割的实际应用在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A.12.36cmB.13.6cmC.32.36cmD.7.64cm解析：书的宽与长之比为黄金分割比，即约为0.618.∴书的宽度约为20×0.618＝12.36（cm ）.故选A.方法总结：解决此类问题要先将实际问题转化为数学模型，然后利用黄金分割的定义求解.三、板书设计成比例线段⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧线段的比成比例线段：一般地，在四条线段中，如果两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段黄金分割：一点C 将一条线段AB 分成两部分，使较短的CB 与较长的AC 之比等于AC 与原线段AB 的比，那CB AC ＝ACAB ，那么线段AB 被点C 黄金分割教学过程中，注重引导学生就生活实例展开联想，直观感受数学的魅力所在.在自主探究和合作交流过程中，适时引入新知识.并通过引导学生建立新的数学模型，开拓思维，提升学生认知能力.3.2 平行线分线段成比例1.理解并掌握平行线等分线段定理.（重点）2.掌握平行线分线段成比例定理的推论.（重点，难点）一、情境导入梯子是我们生活中常见的工具，观察如图所示的梯子简图，仔细观察每一级梯子.你能从中发现那些熟悉的数学规律？二、合作探究探究点一：平行线等分线段定理如图，l 1∥l 2∥l 3，若AB ＝BC ，则DE ＝ .解析：∵l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，由平行线等分线段定理知DE ＝EF ，故填EF . 方法总结：本题利用平行线等分线段定理求解，要注意是截同一直线上的两线段相等.探究点二：平行线分线段成比例的概念【类型一】利用平行线分线段成比例进行判断如图，AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（ ）A.AD DF ＝BC CEB.BC CE ＝DF ADC.CD EF ＝BC BED.CD EF ＝AD AF解析：∵AB ∥CD ∥EF ，∴由平行线分线段成比例知AD DF ＝BCCE，故选A. 方法总结：两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，解题时要注意线段的对应.【类型二】平行线分线段成比例的运用如图所示，直线l 1∥l 2∥l 3，另两条直线分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C 及点D ，E ，F ，且AB ＝3，DE ＝4，EF ＝2，则（ ）A.AC ∶DE ＝1∶2B.BC ∶DE ＝2∶3C.BC ·DE ＝8D.BC ·DE ＝6解析：由平行线分线段成比例定理，∵l 1∥l 2∥l 3，∴AB BC ＝DEEF .∵AB ＝3，DE ＝4，EF ＝2，∴BC ·DE ＝AB ·EF ＝6，故选D.方法总结：本题考查平行线分线段成比例定理的基本运用.探究点三：平行线分线段成比例定理的推论【类型一】平行线分线段成比例定理的推论的运用如图所示，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，已知AE ＝1，AC ＝5，AB ＝6，则AD 的长是（ ）A.1B.1.2C.2D.2.5解析：∵DE ∥BC ，∴AE AC ＝AD AB ，又∵AE ＝1，AC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝AE ·AB AC ＝1×65＝1.2.故选B.方法总结：本题涉及比例的基本性质及平行线分线段成比例的推论，解题时要注意线段间比例的对应.【类型二】平行线分线段成比例定理的推论在实际生活中的运用如图所示的是一块三角形梨园，梨园的一边BC 靠近河边，A 处建有恒温保鲜库，把这块梨园按人口分给三户人家，这三户人家的人口分别为2人，3人，5人，要求都能利用河水浇地，并且保证不经过其他家的梨园把梨运往公用恒温保鲜库储存，你将如何分配？解：按以下方法进行分割：①过B 点作射线BD ；②在射线BD 上依次截取线段BE ，EF ，FG ，使BE ∶EF ∶FG ＝2∶3∶5；③连接CG ，过点E ，F 分别作CG 的平行线交BC 于P ，Q ；④连接AP ，AQ .三户人家分别分得三角形地块ABP ，APQ ，AQC .方法总结：将线段按比例分割问题，常利用平行线分线段成比例的推论，作一条射线并按比例在射线上依次截取线段，最后作平行线，将线段分割.三、板书设计平行线分线段成比例⎩⎪⎨⎪⎧定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例本课时的教学是在上一课时的基础上进行的适当延伸，在开展新的教学内容并引入新的知识点之前，应该引导学生进行回顾反思，巩固基础.自主探究过程中鼓励学生自己动手应用新的知识，更好地吸收所学知识.3.3 相似图形1.理解相似图形的基本概念.（重点）2.理解并掌握相似三角形的概念及其基本性质.（重点，难点）3.理解并掌握相似多边形的概念及其基本性质.一、情境导入仔细观察图片内容.试着比较每一组图片，发现它们之间存在的联系.二、合作探究探究点一：相似图形的概念及基本性质 【类型一】相似图形的概念下列图形：①两个长方体；②两个半径不等的圆；③同一张底片冲洗出来的2寸和5寸照片；④圆柱和圆锥.其中相似的图形有（ ）A.①③B.②③C.①④D.②③④解析：两个半径不等的圆的形状相同，是相似的；同一张底片冲洗出来的2寸和5寸照片的形状相同，只是大小不等，是相似的，所以相似的图形有②③.故选B.方法总结：解决此类问题要紧扣定义中“图形”及“形状相同”.【类型二】相似三角形概念及基本性质的运用已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且BC ＝3cm ，B ′C ′＝6cm ，△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为 ；△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为 Ｗ.解析：△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为BC B ′C ′＝3cm 6cm ＝12，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为B ′C ′BC ＝6cm 3cm ＝2.故填12；2. 方法总结：在一对相似的三角形中，三角形的前后次序不同，所得相似比不同.探究点二：相似多边形【类型一】相似多边形的概念下列说法中正确的有（）①所有的正三角形都相似；②所有的正方形都相似；③所有的等腰直角三角形都相似；④所有的矩形都相似；⑤所有的菱形都相似.A.2个B.3个C.4个D.5个解析：④所有矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不一定相似；⑤所有菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，也不一定相似；正确的说法：①②③.故选B.方法总结：相似多边形的概念，同时也是它的判定定理，即两个边数相同的多边形在同时满足“对应边成比例，对应角相等”这两个条件时，才可判定这两个多边形相似.【类型二】相似多边形的应用如图所示，在小区绿化过程中，有一个矩形草坪，长20米，宽10米，沿草坪四周要修一宽度相等的环形中路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，能否做到？并说明理由.解析：先假设能做到，列出比例式，求小路宽度，然后验证是否符合题意.解：不能.假设能做到，设小路的宽为x米，因为小路内外边缘所成的矩形相似，所以其对应边成比例，即2020＋2x＝1010＋2x，解得x＝0.与题设不符，故舍去.所以不能做到.方法总结：解决此类问题的方法是先假设问题成立，然后进行推理，若得出正确的结论，则说明成立；若得出错误的结论，则说明不成立.三、板书设计相似图形⎩⎪⎨⎪⎧相似三角形⎩⎪⎨⎪⎧概念性质：三个角对应相等，三条边对应成比例相似多边形⎩⎪⎨⎪⎧概念性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例相似比：相似图形对应边的比叫做相似比本课时中，将进一步对所学知识进行延伸，引入新知识的难度逐步增大.因此在教学过程中应当把握教学进度，关注学生对于新知识的理解和吸收程度，及时调整教学计划和方法.确保学生能够很好地理解掌握新知识，为日后的学习打好基础.3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定 第1课时 利用平行判定三角形相似1.理解并掌握判定三角形相似的预备定理.（重点）2.运用判定三角形相似的预备定理解决简单问题.（重点，难点）一、情境导入观察下列一组图形，观察其中的规律，图①中l 1∥l 2∥l 3，图②中l 1，l 2，l 3不存在平行关系.图① 图②试着判断△AB 1C 1，△AB 2C 2，△AB 3C 3之间是否相似，并探究其中规律.二、合作探究探究点一：判定三角形相似的预备定理如图所示，DE ∥FG ∥BC ，图中相似三角形共有（ ）A.4对B.3对C.2对D.1对解析：△ADE ∽△AFG ，△ADE ∽△ABC ，△AFG ∽△ABC ，故选B.方法总结：本题考查判定三角形相似的预备定理，解题时要考虑到所有情况，避免错解.探究点二：判定三角形相似的预备定理的简单应用【类型一】利用平行线判定三角形相似如图，EF在平行四边形ABCD的边AB的延长线上，且EF＝AB，DE交CB于点M.求证：△BME∽△BCF.解析：要证△BMF∽△BCF，可先证ME∥CF.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.又∵EF在AB的延长线上，且EF＝AB，∴EF∥CD，EF=CD.即四边形CDEF为平行四边形，∴ME∥CF，∴△BME∽△BCF.方法总结：本题考查判定三角形相似的预备定理的基本运用，与平行四边形的性质相结合，解题时要注意利用平行关系进行转化.【类型二】利用平行线判定三角形相似求值如图所示，在平行四边形ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE∶EB ＝2∶3，EF＝4，则CD的长为Ｗ.解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB,EF∥AB∥CD，又∵DE∶EB ＝2∶3，∴EFAB＝DEDE＋EB＝25，又∵EF＝4，∴AB＝10＝CD.故填10.方法总结：本题考查应用相似三角形的判定的预备定理求值，解题时利用到比例的性质和平行四边形的性质.如图，DE∥BC交AB于点D，交AC于E，若AD∶DB＝3∶5，求DE∶BC的值.解析：由DE∥BC得△ADE∽△ABC，进而推出对应边成比例.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC＝ADAB，∵ADDB＝35，∴ADAB＝38，∴DEBC＝38.方法总结：由平行线三角形相似线段成比例，上述过程是求线段比值的一个基本思路.三、板书设计判定三角形相似的预备定理⎩⎪⎨⎪⎧内容：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似应用⎩⎪⎨⎪⎧证明三角形相似求值⎩⎪⎨⎪⎧求线段的比值求线段的长求角的度数教学过程中，将对前几课时涉及的问题进行深入学习讨论，在情景导入环节需要引发学生学习兴趣，使学生自发学习，自主探究，在学习过程中形成良好的学习习惯，提升逻辑思维能力.第2课时 相似三角形的判定定理11.理解并掌握相似三角形的判定定理1.（重点，难点）2.运用相似三角形的判定定理1解决简单数学问题.（重点，难点）一、情境导入观察下列几组图形，探究其中规律.试着判断这几组图形是否相似，并探究其中规律.二、合作探究探究点一：相似三角形的判定定理1如图所示，在△ABC 中，∠AED ＝∠B ，则下列等式成立的是（ ）A.DE BC ＝AD DBB.AE BC ＝AD BDC.DE CB ＝AE ABD.AD AB ＝AE AC解析：由相似三角形的判定定理1可得△ADE ∽△ACB ，即可得DE CB ＝AEAB ，故选C.方法总结：在解此题时一定要明确对应关系，由于△ADE ∽△ACB ，所以AE 对应AB ，AD 对应AC ，ED 对应BC .探究点二：相似三角形的判定定理1的应用 【类型一】利用相似三角形的判定定理1求值如图所示，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AC ⊥CE ，点B ，D ，C 分别为垂足，点C是线段BD 的中点，若ED ＝1，BD ＝4，则AB ＝Ｗ.解析：由题设可证△ABC ∽△CDE ，∴AB CD ＝BCDE ，又∵ED ＝1，BD ＝4，C 为BD 的中点，∴AB ＝CD ·BC DE ＝2×21＝4.故填4.方法总结：根据三角形内角和可判定∠ACB ＝∠CED ，再结合相似三角形判定定理1得出△ABC 与△CDE 的相似关系，从而求解.【类型二】利用相似三角形的判定定理1证明相似如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.解析：已知∠B是公共角，判定两三角形相似，再找一组角相等即可，由题易证AD⊥BC，有∠ADB＝∠CEB＝90°，即可得证.证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB ＝90°，又∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.方法总结：解此类题型时首先要根据题设寻求两三角形相似的条件，再证明两三角形相似，并根据相似获得题目要求的数量关系.三、板书设计教学过程中，注重引导学生自主探究并且验证相关定理，在实际学习的过程中反复验证定理的准确性，进而加深学生对定理的理解和记忆，巩固基础知识.为进一步学习打下坚实基础.第3课时相似三角形的判定定理21.理解并掌握相似三角形的判定定理2.（重点，难点）2.相似三角形的判定定理2的相关应用.（重点，难点）一、情境导入观察下列几组图形，探究其中规律.二、合作探究探究点一：相似三角形的判定定理2根据下列条件，判断△ABC 与△A ′B ′C ′是否相似，并说明理由. ∠A ＝120°，AB ＝7cm ，AC ＝14cm ，∠A ′＝120°，A ′B ′＝3cm ，A ′C ′＝6cm. 解析：根据已知条件，两夹角相等，证两边是否成比例，即可判断是否相似. 解：∵AB AC ＝7cm 14cm ＝12，A ′B ′A ′C ′＝3cm 6cm ＝12，∴AB AC ＝A ′B ′A ′C ′，又∵∠A ＝∠A ′＝120°，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′. 方法总结：判定两个三角形相似，如果已知条件中给出两组对应边成比例，一般可以考虑判断两边所夹的角是否相等，若相等，则两个三角形相似.探究点二：相似三角形的判定定理2的应用 【类型一】利用相似三角形的判定定理2求值如图所示，在△ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AB ＝AE AC ＝12，BC ＝6，则DE ＝ Ｗ.解析：∵∠A ＝∠A ，AD AB ＝AE AC ＝12，∴△ADE ∽△ABC .∵△ADE ∽△ABC ，∴DE BC ＝AEAC ＝AD AB ＝12，又∵BC ＝6，∴DE ＝3，故填3. 方法总结：此题考查相似三角形判定定理2的应用，首先根据已知条件证明两三角形相似，再利用相似得出相应结论求解.【类型二】利用相似三角形的判定定理2证明相似如图所示，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且OA＝1，OB＝1.5，OC＝3，OD＝2，求证：△OAD∽△OBC.解析：已有对顶角相等，再证两边对应成比例，即可得△OAD∽△OBC.解：∵OAOB＝11.5＝23，ODOC＝23，∴OAOB＝ODOC，且∠AOD＝∠BOC，∴根据相似三角形的判定定理2得△OAD∽△OBC，即证.方法总结：解答此类问题应先找成比例线段，再利用判定定理2证三角形相似.三、板书设计相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.此次教学过程中，对前一课时内容进行拓展.而本课时所涉及的知识点在考试中多出现在综合应用问题中，综合性和变化性强，在教学过程中需学生应用创新意识，结合实际情况灵活运用.第4课时相似三角形的判定定理31.理解并掌握相似三角形的判定定理3.（重点，难点）2.相似三角形的判定定理3的相关应用.（重点，难点）一、情境导入观察下列几组图形，探究其中规律.试判断与△ABC 相似的三角形.二、合作探究探究点一：相似三角形的判定定理3根据下列条件，判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由.（1）AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，AC ＝10cm ，DE ＝18cm ，EF ＝24cm ，DF ＝30cm ； （2）AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝8cm ，DE ＝12cm ，EF ＝18cm ，DF ＝21cm. 解析：已知两个三角形三边边长，只需证三边是否成比例，即可判断是否相似. 解：（1）∵AB DE ＝6cm 18cm ＝13，BC EF ＝8cm 24cm ＝13，AC DF ＝10cm 30cm ＝13∴AB DE ＝BC EF ＝ACDF，∴△ABC ∽△DEF .（2）∵AB DE ＝4cm 12cm ＝13，BC EF ＝6cm 18cm ＝13，AC DF ＝8cm 21cm ，∴AB DE ＝BC EF ≠ACDF ，∴△ABC 与△DEF不相似.方法总结：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，首先要找准对应边，可以把两个三角形的边按从小到大排列，再看是否符合三角形相似的判定定理3即可.探究点二：相似三角形的判定定理3的应用 【类型一】利用相似三角形的判定定理3求值如图所示，已知AB BD ＝BC BE ＝CAED，则∠ABD ＝∠ Ｗ.解析：∵AB BD ＝BC BE ＝CAED ，∴△ABC ∽△DBE ，∴∠ABC ＝∠DBE ，而∠ABC ＝∠ABD ＋∠DBC ，∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ，∴∠ABD ＝∠CBE ，故填CBE .方法总结：解答此题时要注意对应边与对应角，根据三组对应边成比例得出相似，再通过转化得到结果.【类型二】利用相似三角形的判定定理3证明相似如图所示，在正方形ABCD中，P是BC边上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点.求证：△ADQ∽△QCP.解析：先设参数，求出各边，证明三边成比例，即可证△ADQ∽△QCP.证明：设正方形ABCD的边长为4a.∵P是BC边上的点，且BP＝3PC，∴PC＝a，∵Q 是CD的中点，∴QC＝QD＝2a，AQ＝25a，QP＝5a，而QCAD＝2a4a＝12，QPAQ＝5a25a＝12，CPDQ ＝a2a＝12，即QCAD＝QPAQ＝CPDQ，∴△ADQ∽△QCP.方法总结：在确定对应关系时，要注意最长边对应最长边，最短边对应最短边.本题也可以利用相似三角形的判定定理2证明.三、板书设计相似三角形的判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似本次教学过程完成了对相似三角形判定定理的教学，在课程引入时，应注重引导学生就所学知识进行回顾归纳，并系统的回顾相关知识点，形成完整的知识架构，进一步锻炼学生的归纳总结能力，培养良好的逻辑思维能力.3.4.2相似三角形的性质第1课时相似三角形对应高、中线、角平分线的性质1.理解并掌握相似三角形的基本性质.（重点）2.学会运用相似三角形的高，中线和角平分线解题.（难点）一、情境导入下面几组图形，探究其中规律.（各图中△ABC ∽△A ′B ′C ′）试探求AD A ′D ′与ABA ′B ′（△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比）间的关系.二、合作探究探究点一：相似三角形对应高的比等于相似比如图所示，在△ABC 中，点E ，F 在BC 边上，点D ，G 分别在AB ，AC 边上，四边形DEFG 是矩形，若矩形DEFG 的面积与△ADG 的面积相等，设△ABC 的BC 边上的高AH 与DG 相交于点K ，求DGBC的值.解析：由矩形DEFG 的面积与△ADG 的面积相等，可以得到AH 与AK 的比，由矩形的对边平行，则可找到两个三角形相似，而DG 与BC 刚好是对应边，进而求解.解：∵矩形DEFG 的面积与△ADG 的面积相等，∴KH AK ＝12，∴KH ＋AK AK ＝32，即AH AK ＝32，又由DG ∥BC 可得△ADG ∽△ABC ，∴DG BC ＝AK AH ＝23.方法总结：本题考查相似三角形对应高的性质的应用，将已知面积关系转化成相似三角形的对应高的比，进而求解.探究点二：相似三角形对应中线的比等于相似比如图所示，已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的高和中线，求证：AD ·B ′E ′＝BE ·A ′D ′.解析：由△ABC∽△A′B′C′，可以得到ADA′D′，BEB′E′都等于相似比，即可得证.证明：∵△ABC∽△A′B′C′，设△ABC和△A′B′C′的相似比为k，∵AD，BE分别是△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，∴ADA′D′＝k，BEB′E′＝k，∴ADA′D′＝BEB′E′，∴AD·B′E′＝BE·A′D′.方法总结：本题考查相似三角形对应高和中线的性质，解题时应从三角形的相似出发，寻找对应的比例关系解题.探究点三：相似三角形对应角平分线的比等于相似比如图所示，△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm，求DH的长.解析：由△ABC∽△DEF，可以得到角平分线，AG∶DH等于相似比，已知BC、EF、AG的长，代入比例式，可求得DH.解：∵△ABC∽△DEF，AG，DH分别是△ABC和△DEF的角平分线，∴BCEF＝AGDH，又∵BC＝6cm，EF＝4cm，AG＝4.8cm，∴DH＝AG·EFBC＝4.8cm×4cm6cm＝3.2cm.方法总结：本题考查相似三角形对应角平分线的性质，找准相似三角形，运用对应角平分线的比等于相似比解题.三、板书设计教学过程中，就前几课时所学习的理论知识进行进一步深入探讨.要求学生能够灵活运用，因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，形成正确的数学思维和严密的逻辑性，进一步提升学生自主探究和创新的能力.第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质1.理解并掌握相似三角形的周长和面积的有关性质.（重点）2.学会综合运用相似三角形的性质解题.（难点）一、情境导入如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB 平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE 的面积为10平方米，CE 长为4m ，BE 长为6m.根据所测得的数据，请你计算出整个花坛△ABC 的面积.二、合作探究探究点一：相似三角形的面积的比等于相似比的平方 【类型一】与相似三角形的面积相关的性质如图所示，D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）A.△ADE ∽△ABCB.S △ABF ＝S △AFCC.S △ADE ＝14S △ABCD.DF ＝EF解析：∵D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，且相似比为1∶2，∴S △ADE ＝14S △ABC ，由AF 是中线得S △ABF ＝S △AFC .故选D.方法总结：本题考查运用相似三角形解决面积问题，要注意相似三角形的面积等于相似比的平方.【类型二】利用相似三角形的性质求面积如图，在ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE ，BD 且AE 与BD 交于点F ，S △DEF＝4cm 2，求S △ABF .解析：先证明△DFE ∽△BF A ，然后依据相似三角线的性质求出面积比，从而求出S △ABF . 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△DEF ∽△BAF ，∴S △ABF ∶S △DEF＝AB 2∶DE 2，又AB ＝CD ＝2DE ，∴S △ABF ＝4S △DEF ＝16（cm 2）.方法总结：熟练运用相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键，避免出现面积比等于相似比的错误.探究点二：相似三角形的周长的比等于相似比如图所示，△ABC 和△EBD 中，AB EB ＝BC BD ＝AC ED ＝53，△ABC 与△EBD 的周长之差为10cm ，求△ABC 的周长.解析：首先根据已知条件探索三角形相似，然后依据相似三角形的性质得出比例式，最后求得结果.解：设△ABC 与△EBD 的周长分别为p 1cm ，p 2cm.∵AB EB ＝BC BD ＝AC ED ＝53，∴△ABC ∽△EBD ，且p 1p 2＝53，又∵△ABC 与△EBD 的周长之差为10cm ，∴p 1－p 2＝10，∴p 1p 1－10＝53，解得p 1＝25，p 2＝15，∴△ABC 的周长为25cm. 方法总结：本题首先从条件出发判定两个三角形相似，进而利用相似三角形的性质求解.三、板书设计相似三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧相似三角形周长之比等于相似比相似三角形面积之比等于相似比的平方教学过程中，归纳总结相似三角形的性质，需要对前一段的学习进行复习.因此在自主探究过程中要帮助学生完善思考，构建完整的知识体系，进一步开发学生潜能，培养严谨的。

湘教版九年级数学上册第3章《图形的相似》课堂教学设计3.1 比例线段3.1.1 比例的基本性质【学习目标】ad=bc. 【预习导学】预习教材P62—P63的内容，完成下列问题.呈现： 4:58:10=. （1）认识吗？叫什么？ （2）正确吗？为什么？ （3）分别求比值.1.如果两个数的比值与另外两个数的比值相等，就说这四个数（ ）；2.把四个数理解为实数，写成式子就是 a:b=c:d 或 （ ），则四个数a,b,c,d成比例，其中b,c 称为比例的（ ），a,d 称为比例的（ ）.3.你能说出下面比例的内项和外项各是多少吗？（1）1.4：354=4:55（2）612714= 【探究展示】ad=bc ）思考:(1)两内项之积等于两外项之积;(2)两个内项的位置可以交换,等式仍然成立; 两个外项的位置也可以交换,等式仍然成立;2.比例基本性质的逆定理的教学动脑筋：如果a d=bc ，那么a c b d=.（其中a ，b ，c ，d 为非零实数） （学生合作推导,总结得出）展示1：. 已知四个数a,b,c,d 成比例.（1）若a=-3,b=9,c=2, 求d ；（2）若3,2,a b c =−==求d ；展示2：已知四个数a,b,c,d 成比例，即a cb d= . 下列各式成立吗？若成立，请说明理由. ()()()1;2;3.b d a b a b c d a c c d b d++===展示3：25,3a b a b a a−+=已知求的值。

展示4：根据下列条件，求a:b 的值：()()145;2;78a b a b ==展示5：求下列各式中x 的值. ()()11314:15:9;2::;235x x == :【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.我们是怎样:探究比例的基本性质的？2. :探究比例的基本性质主要是利用什么性质来探究的？【当堂检测】1.如果bc ad =，那么下列比例式中，错误的是 （ ）A.d c b a =B.d b c a =C.b c d a =D.cd a b = 2.若3=y x ，则=+y y x 3.已知543z y x ==，则=++xz y x 4.已知a.b.c 为△ABC 的三边，且1:7:)2()(:)(:)(−=−+−b c b a c a ， 试判断△ABC 的形状.（选做题）【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？ 3.1.2 成比例线段 【学习目标】1.使学生了解线段的比和成比例线段的概念，通过实例使学生了解“黄金分割”.2.能通过计算，判定四条线段是否成比例.【预习导学】预习教材P64—P66的内容，完成下列问题.1.比例的基本性质： ；2. 比例基本性质的相关结论.【探究展示】1.比例线段如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）△ABC 和△A ’B ’C ’ ，它们的顶点都在格点上.试求出线段AB ，BC ，AC ，A ’B ’，B ’C ’，A ’C ’ 的长度，并计算AB 与A ’B ’，BC 与B ’C ’，AC 与A ’C ’ 的长度的比值.（方法与过程：首先学生动手量出所要求线段的长度，再求出其比值，进行对比比较）方法总结：通过操作，计算比较，得出：一般地，如果选用同一长度单位量得两条线段AB ，A ’B ’ 的长度分别为m ，n ，那么把它们的长度的比m n 叫作这两条线段AB 与A ’B ’ 的比，记作如果m n 的比值为k ，那么上述式子也可写成 (2)在上图中，对于△ABC 和△A ’B ’C ’ 有 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.例如，已知四条线段a ，b ，c ，d ，若a c b d=，则a ，b ，c ，d 是 ，线段d 叫做a .b .c . 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即c b b a =（或a :b =b :c ），那么线段b 叫做线段a 和c 的 ..类似地，如果AB BC AC A B B C A C=='''''' ,那么称线段AB ，BC ，AC 与线段''''''A B ,B C ,A C 对应成比例.例3 已知四条线段a ，b ，c ，d 的长度分别为0.8 cm ， 2 cm ， 1.2 cm ， 3 cm ，问a ，b ，c ，d 是比例线段吗？.AB BC AC A B B C A C ===''''''05==''''，或 AB k AB kA B A B ::=''=''AB m AB A B m n A B n（方法与过程：学生自主 学习，然后分组展示.质疑.点评）对应练习：1. 已知四个数a,b,c,d 成比例. （1）若a = 0.8 cm ，b = 1 cm ，c= 1 cm ，求d ；（2）若a = 12 cm ，c = 3cm ，d=15 cm ，求b ；（3）若a = 5 cm ，b = 4 cm ，d=8 cm ，求c ．例4 等比性质：证明 如果n m d c b a =⋅⋅⋅==（0≠+⋅⋅⋅++n d b ），那么n d b m c a +⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++＝ba ． 2. 黄金分割比问题情境引入：古希腊数学家.天文学家欧多克塞斯(Eudoxus ，约公元前400—前347)提出一个问题：能否将一条线段AB 分成不相等的两部分，使较短线段CB 与较长线段AC 的比等于线段AC 与原线段AB 的比？它约等于0.618，教师引导学习）阅读课本66页 ，通过阅读提高学生学习的兴趣，感受“黄金分割比”的生活艺术效果.22～23°C，你能解释吗？【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.2 平行线分线段成比例【学习目标】1.使学生掌握基本事实：平行线分线段成比例.2. 使学生了解“两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等”，“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例”.【预习导学】预习教材P68—P71的内容，完成下列问题.二.探究展示（一）.引入新课由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到平行线等分线段定理）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么 . （注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．）下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．（二）.新知探究1.做一做：1）在横格纸上画直线l1，使得l1与横线垂直，观察l1被各条横线分成的线段是否相等.2）再画一条直线l2（与l1不平行），那么l2被各条横线分成的线段有何关系？结论：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.2.定理证明：已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC求证： DE=EF证明：过E作GH∥AC，分别交l1.l3于点G.H定理的符号语言∵直线l1∥l2∥l3，AB=BC∴ DE=推论: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.在△ABC中，E是AB的中点，EF∥BC，则F是AC的中点，EF是△ABC的中位线.对应练习：1.若AB∥CD∥EF，AC=CE，则 BD=DF=AC=CE.( )2.已知AD∥EF∥BC，E是AB的中点，则DG= ，H是的中点，F是的中点.3.已知AD∥EF∥BC，且AE=BE，那么DF= .4.已知AB∥CD∥EF，AF交BE于O，且AO=OD=DF，若BE=60厘米，那么BO= 厘米.三.知识梳理以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.平行线分线段成比例？定理 .2.推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必 .四.当堂检测1.已知△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CM交AB于N，如果AB=6厘米，则PN= 厘米.2.已知△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD交BC于E，DF∥CB交AB于F，AF=4厘米，则AB= 厘米.7.已知：平行四边形ABCD中，E.F分别是AB.DC的中点，CE.AF分别交BD于M.N，求证：BM=MN=ND.（学生合作推导,总结得出）【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.3 相似的图形【学习目标】1.通过具体的实例使学生认识图形的相似.2.了解相似多边形.相似三角形和相似比.3.知道相似三角形和相似多边形的定义.【预习导学】预习教材P73—P75的内容，完成下列问题.1.平行线分线段成比例的性质：（1）（2）（3）【探究展示】在课堂上展示两张大小不同的正方形纸片，思考两张纸片图形各有什么特点及其两者有何联系？(一)“相似”概念的学习 观察：下面的两组图，它们分别是由其中的一幅图放大或缩小得到的.把一个图形放大（或缩小）得到的图形与原图形之间有什么关系呢？（说明：这样能够提高学生对知识的求知欲，达到学生为主体的目的.）方法总结：通过学习，总结内容：（1）直观上，把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是 .（2）在两个大小不相等的图形中，我们可以认为大的图形是由小的图形 而成，或小的图形是由大的图形 而成的.对应练习：下列六个平行四边形中，哪些是相似的？(二)相似三角形的学习想一想：你的两块三角形是不是相似三角形？和同学的有没有相似的？与老师的呢？实际生活中还有那些三角形是相似的？（学生说说）动脑筋：下图中，右边的△A B C ''' 是由左边的△ABC 放大得到的.这两个三角形相似吗？分别度量它们的三个角和三条边，它们的对应角相等吗？对应边成比例吗？分析总结：我们通过分析发现，有：（1）以上两个三角形的对应角 ，且对应边 ；（2）我们把三个角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做 三角形；（3）如果△A B C '''与△ABC 相似，且点A ’.B ’.C ’分别与点A.B.C 对应，则记作： ，读作： ；（4）相似三角形对应边的比叫做 ；（5）一般地，若△A B C '''与△ABC 的相似比为K ，则△ABC 与△A B C '''的相似比为（6）特别地，如果相似比K=1，则△A B C ''' △ABC . （7）相似三角形的性质：相似三角形的 ，对应 .例1：如图，已知 △ABC ≌ △A B C '''，且∠A=48°，AB = 8，''A B =4，AC = 6． 求A '∠ 的大小和 ''A C 的长度.（方法与过程：学生自主学习与体验，老师指导与汇总分析，通过例题的学习掌握好三角形相似的知识）对应练习：展示1.已知△ADE∽△ABC，点A.D.E 分别与点 A.B.C 对应，且相似比为25， 若DE= 4cm ，求BC 的长.(二)相似多边形的学习类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等.对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形. 相似多边形的对应边的比也叫作相似比.如果四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1 相似， 且点A.B.C.D 分别与点A 1.B 1.C 1.D1对应， 则记作：“四边形ABCD ∽四边形A 1B 1C 1D 1”.对于相似多边形，有：相似多边形的对应角 ，对应边 .【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2. 在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？（说明：学生独立总结出本节知识点，小组内讨论交流，互相补充完善，教师及时给与指导，形成正确的知识归纳.）【当堂检测】1.给出下列4对多边形：①两个正方形；②两个菱形；③两个长方形；④两个正六边形，请指出其中哪几对是相似多边形，哪几对不是相似多边形，并简单说明理由.（提示：判断两个多边形是否相似，必须具备两个条件(1)对应角相等；(2)对应边成比例，二都缺一不可. ）2.已知四边形ABCD 相似于四边形A B C D '''' ，如图，求出∠A 与x 的值.【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第1课时利用平行判定三角形相似【学习目标】1.了解相似三角形的判定方法，即平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.2.会用上述方法判定两个三角形相似.【预习导学】预习教材P77—P78的内容，完成下列问题.1.怎样的图形是相似的？2.三角形相似的概念与性质？3.三角形全等与相似的关系.【探究展示】在八年级上册，我们已经探讨了两个三角形全等的条件，下面我们来探讨两个三角形相似的条件.(一) 相似三角形的判定定理之引理的学习动脑筋：如图，在△ABC中，D 为AB上任意一点. 过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.（1）△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？（2）分别度量△ADE 与△ABC 的边长，它们的边长是否对应成比例？（3）△ADE 与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？（教师提示：要说明两个三角形相似，现在我们只要找到满足相似三角形定义的条件，就能说明两个三角形相似，这是我们思考这个问题的方向.）小结：由此得到以下结论：于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与相似.展示1 如图，在△ABC 中，已知点D，E分别是AB，AC边的中点.求证：△ADE ∽△ABC.（说明：学生利用上述结论，自主学习解答.展示，教师巡视观察，指正.）展示2 如图，点D为△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F ，使DE=EF.求证：△CFE∽△ABC.（说明：老师巡视，学生讨论完成.）【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2. 在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？【当堂检测】1.如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°．正方形EFCD的三个顶点E.F.D分别在边AB，BC，AC 上.已知AC= 7.5，BC= 5，求正方形的边长．2.如图，已知点O在四边形ABCD 的对角线AC上，OE∥BC，OF∥CD. 试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理1【学习目标】1.使学生了解相似三角形的判定定理1.2.会用相似三角形的判定定理1判定两三角形相似.【预习导学】预习教材P79—P80的内容，完成下列问题.1.平行线分线段成比例定理： .2.相似三角形的判定定理之引理是： . 【探究展示】(一)相似三角形的判定定理1的学习动脑筋'''，使∠A=∠A'，∠B=∠B'.任意画△ABC 和△A B C（1）∠C =∠C'吗？（2）分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？（3）把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？过程与方法：教师出示问题，学生阅读课本79页的证明后，讨论得出结论：相似三角形的判定定理1： .展示1 如图，在△ABC 中，∠C=90°．从点D分别作边AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H．求证：△DEH∽△BCA．展示2 如图，在Rt△ABC 与Rt△DEF中，∠C=90°，∠F = 90°．若∠A =∠D，AB = 5，BC = 4，DE = 3，求EF的长．展示3.如图，点E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F.请指出图中有几对相似三角形，并说明理由.展示4. 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，点C是线段BD 的中点，且AC⊥CE. 已知ED= 1，BD= 4，求AB的长．【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2. 在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？【当堂检测】1.在△ABC与△DEF中，∠A=390，∠B=610，∠E=390，∠F=800，则△DEF ∽△ABC.2.证明：顶角相等的两个等腰三角形相似.已知：求证：3.如图所示，在锐角△ABC 中，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高， 求证：BC AC BE AD =【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定【学习目标】1.使学生了解相似三角形的判定定理2.2.会用相似三角形的判定定理2判定两三角形相似.【预习导学】预习教材P81—P82的内容，完成下列问题.1.相似三角形的判定定理之引理是： .2.三角形相似的判定定理1是： .【探究展示】教师叙述：前面我们学习了判定两三角形相似的判定定理，大家想一想，还有没有其他的判定方法或定理呢？想掌握更多的判定定理吗？这节课我们就来探讨一下.(一) 相似三角形的判定定理2的学习动脑筋：任意画△ABC 和△A B C '''，使∠A=∠A ′,AB AC k A B A C ==''''（1）分别度量∠B 和∠B ′，∠C 和∠C ′的大小，它们分别相等吗？（2）分别量出BC 和B C ''的长，它们的比等于k 吗？（3）改变∠A 或k 的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？ABCE（教师提示：这两个三角形相似，下面请同学们自己证明，然后由学生展示.）由此得到以下结论：相似三角形的判定定理2： . 展示1 如图，在△ABC 与△DEF 中，已知∠C=∠F=70°，AC=3.5cm ，BC=2.5cm ，DF =2.1cm ， EF=1.5cm.求证：△ABC ∽△DEF.（说明：学生利用上述结论，自主学习解答，教师巡视观察，指正.）展示2 如图，在△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且 2CD AD BD =⋅求证：∠ACB = 90°.（说明：老师巡视，学生讨论完成.）【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2. 在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？【当堂检测】1.如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ，AB = 6， BC = 4，AC = 5，CD= 7.5，求AD 的长．2.如图，点B ，C 分别在△ADE 的边AD ，AE 上，且AC = 6，AB = 5，EC = 4，DB=7.求证：△ABC ∽△AED ．【学后反思】 通过本节课的学习， 1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第4课时 相似三角形的判定定理3【学习目标】1.使学生了解相似三角形的判定定理3.2.会用相似三角形的判定定理3判定两三角形相似.【预习导学】预习教材P83—P84的内容，完成下列问题.1.相似三角形的判定定理1是： .2.三角形相似的判定定理2是： .【探究展示】教师叙述：前面我们学习了判定两三角形相似的判定定理，大家想一想，还有没有其他的判定方法或定理呢？想掌握更多的判定定理吗？这节课我们就来探讨一下.(一) 相似三角形的判定定理3的学习动脑筋任意画两个三角形△ABC 和△A B C '''，使△ABC 的边长是△A B C ''' 的边长的k 倍. 分别度量∠A 和∠A '，∠B 和∠B ' ，∠C 和∠C '的大小，它们分别相等吗？由此你有什么发现？（过程与方法：完全由学生参照前一判定定理的学习方法进行学习.）通过上面的分析证明，我们可得到相似三角形的判定定理3： .'''中，∠C =90°，∠C'=90°，展示1 ：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B C'''求证：Rt△ABC∽Rt△A B C（思路与方法：已知两边成比例，只要得到第三边成比例，即可完成证明）展示2：判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由.【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2. 在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？【当堂检测】1.如图，已知点D，E，F分别是△ABC 三边的中点，求证：△EDF∽△ACB.2.判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？3.4.2 相似三角形的性质第1课时相似三角形对应高、中线、角平分线的性质【学习目标】1.使学生了解相似三角形的性质定理，相似三角形对应线段的比等于相似比.2.能运用相似三角形的性质定理解决数学问题. 【预习导学】 预习教材P85—P86的内容，完成下列问题. 1.相似三角形的判定定理之引理是： .2.三角形相似的判定定理1是： .3.三角形相似的判定定理2是： .4.三角形相似的判定定理3是： .5.三角形相似的相似比： .【探究展示】教师叙述：请大家回顾一下“相似三角形的定义”其中定义的两个条件：（1） ，（2） .以上就是相似三角形的两个性质，那相似三角形还有没有其他的性质呢？有，又有哪些呢？这节课我们来学习相似三角形的性质.（一) 相似三角形的性质1的学习动脑筋如图，已知△ABC ∽△A B C '''， AH.A H ''分别为对应边BC ，B C ''上的高，那么AH AB A H A B='''' 吗？教师指引：要证明四条线段成比例，则在哪样的两个三角形中有对应线段成比例呢？应先证三角形相似，再用相似的定义说明.由此得出：相似三角形对应高的比 .展示1 如图，CD 是Rt△ABC 斜边AB 上的高， DE ⊥AC ，垂足为点E.已知CD=2，AB=6，AC=4，求DE 的长.（二) 相似三角形的性质2的学习展示2 如图，已知△ABC ∽△A B C ''' ， AT.A T '' 分别为对应角∠BAC ，∠B A C ''' 的角平分线.求证：AT AB A T A B =''''方法与结论：以学生自主学习为主，教师引导为辅的方法进行教学，通过学习可以类似地得到：相似三角形另外的两组角平分线的比也 . 由此得出：相似三角形对应的角平分线的比 .（三) 相似三角形的性质3的学习议一议 已知△ABC ∽△A B C '''， 若AD.A D ''分别为△ABC ，△A B C '''的中线， 那么AD AB A D A B='''' 成立吗？ 由此你能得出什么结论？得出结论：相似三角形对应的边上的中线的比 .【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2. 在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？（说明：学生独立总结出本节知识点，小组内讨论交流，互相补充完善，教师及时给与指导，形成正确的知识归纳.）【当堂检测】1.已知△ABC ∽△DEF ， AM ，DN 分别△ABC ， △DEF 的一条中线，且AM= 6cm ， AB= 8cm ，DE= 4cm ，求DN 的长.2.如图，△ABC ∽△A B C '''，AD ，BE 分别是△ABC 的高和中线，A D ''，B E '' 分别是△A B C ''' 的高和中线 ，且 AD = 4，A D ''= 3，BE= 6，求B E '' 的长．【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？3.4.2 相似三角形的性质第2课时 相似三角形对应周长和面积的性质 【学习目标】 1.使学生了解相似三角形的性质定理，“相似三角形的面积比等于相似比的平方”. 2.能运用相似三角形的性质定理解决数学中的计算问题. 【预习导学】 预习教材P87—P88的内容，完成下列问题.1.相似三角形的定义是： .2.三角形相似的性质定理1是： .3.三角形相似的性质定理2是： .4.三角形相似的性质定理3是： .【探究展示】教师叙述：请大家回顾一下“相似三角形对应边的比等于相似比”则周长比.面积比与相似比有什么关系呢？（一) 相似三角形的性质4的学习动脑筋如图，已知 △ABC ∽△A B C '''，相似比为k ，则S △ABC ∶S △A B C ''' 的值是多少呢？方法总结：用启发式教学，我们看到所求是面积之比，所以用三角形的面积公式之比求两个三角形的面积比，从而得到：相似三角形的面积比等于 .展示1 如图，在△ABC 中， EF ∥BC ，12AE EB = S 四边形BCFE = 8， 求S △ABC . （教法：在教师的引导下，学生独立完成，然后同学间互相讨论总结）展示2 已知△ABC 与△A B C '''的相似比为23 ， 且 S △ABC + S △A B C ''' = 91， 求△A B C '''的面积.展示3. 证明：相似三角形的周长比等于相似比.展示 4. 已知△ABC 与△A B C '''，它们的周长分别为60cm 和72cm ，且AB=15cm ，B C ''=24cm ，求BC ，AC ，A B ''，A C '' 的长.【知识梳理】以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.1.本节课重点有掌握的知识是什么？2. 在学习的过程中你的困惑是什么？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪里？（说明：学生独立总结出本节知识点，小组内讨论交流，互相补充完善，教师及时给与指导，形成正确的知识归纳.）【当堂检测】1.△ABC 与△DEF 的相似比为2:1，△DEF 的面积为3cm 2，△ABC 中，AB 的长为4cm ，则AB 边上的高为（ ）A.3cmB.6cmC.12cmD.4cm2.已知△ABC 与△DEF 的相似且面积比为4:25，则△ABC 与△DEF 的相似比为3.如图所示，在锐角△ABC 中，AD ，BE 分别是边BC ，AC 上的高， 求证：4.有一个直角三角形的边长分别为3，4，5，另一个与它相似的直角三角形的最小边长为7，则另一个直角三角形的周长和面积分别是多少？【学后反思】通过本节课的学习，1.你学到了什么？A B C D E AD AC BE BC=2.你还有什么样的困惑？3.你对自己本节课的表现满意的地方在哪儿？哪些地方还需改进？3.5 相似三角形的应用【学习目标】1.会用相似三角形解决实际问题。