九年级数学下册 课本的全本第三章教案 北师大版

教学设计垂径定理难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．教学策略：类比引入，猜想探索，知识应用，归纳小结。

本节课的另一个难点是如何添加辅助线，这在最后的归纳反思中应该要有足够的时间让学生交流讨论，但是限于本节课的时间，这是一个客观限制，不应该勉强在课堂上完成，效果并不理想，应该留作课后作业，让学生能通过更充分的讨论才得出结论，这样才能起到更好地交流和反思的作用。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、类比引入二、猜想探索活动内容：1.等腰三角形是轴对称图形吗？2.如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3.如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由．条件：①CD是直径；②CD⊥AB结论（等量关系）：③AM=BM；④⌒AC=⌒BC；⑤⌒AD=⌒BD。

学生思考并回答通过等腰三角形的轴对称性向圆的轴对称性过渡，引导学生思考，培养学生类比分析的能力。

证明：连接OA ,OB ,则OA =OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中,∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM . ∴AM =BM .∴点A 和点B 关于CD 对称. ∵⊙O 关于直径CD 对称,∴当圆沿着直径CD 对折时, 点A 与点B 重合,⌒AC 和⌒BC 重合, ⌒AD 和⌒BD 重合. ∴ ⌒AC =⌒BC ，⌒AD =⌒BD .2．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦。

通过以上辨析，让学生对垂径定理的两证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

第三章圆【课标要求】（1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性.②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素.③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理.④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理.⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念.⑦掌握圆内接四边形的性质（2）点与圆的位置关系①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系.②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图.（3）直线与圆的位置关系①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系.②了解切线的概念.③能运用切线的性质进行简单计算和说理.④掌握切线的识别方法.⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念.⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算.（4）圆与圆的位置关系①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系.②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系.③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算（5）圆中的计算问题①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量.②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用.③了解圆锥的高、母线等概念.④结合生活中的实例(模型)了解圆柱、圆锥的侧面展开图.⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用.⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积.【课时分布】圆的部分在第一轮复习时大约需要8个课时，其中包括单元测试.下表为内容及课时安排（仅供参考）.1、知识脉络2、基础知识（1）掌握圆的有关性质和计算①弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.②垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.④圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.（2）点与圆的位置关系①设点与圆心的距离为，圆的半径为，则点在圆外；点在圆上；点在圆内．②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（3）直线与圆的位置关系①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．②切线的性质:与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.③切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.⑥切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.（4）圆与圆的位置关系①圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含.设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦.③两圆公切线的定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线.④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.（5）与圆有关的计算①弧长公式：扇形面积公式：（其中为圆心角的度数，为半径）②圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．圆柱的侧面积＝底面周长×高圆柱的全面积＝侧面积＋２×底面积③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积3、能力要求例1 如图，AC为⊙O的直径，B、D、E都是⊙O上的点，求∠A+∠B +∠C的度数.【分析】由AC为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE，这样将∠CAD（∠A）、∠C放在了△AEC中，而∠B与∠EAD是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而解．【解】连结AE∵AC是⊙O的直径∴∠AEC=90O∴∠CAD +∠EAD+∠C =90O∵∴∠B=∠EAD∴∠CAD +∠B+∠C =90O【说明】这里通过将∠B转化为∠EAD，从而使原本没有联系的∠A、∠B、∠C都在△AEC中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90O．解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”（直角），很好地体现了“转化”的思想方法．例2 △ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C=90O，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，求AD的长．【分析】圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH⊥AB，这只要求出AH的长就能得出AD的长．【解】作CH⊥AB，垂足为H∵∠C=90O，AC＝6，BC＝8∴AB=10∵∠C=90O，CH⊥AB∴又∵AC＝6，AB=10∴AH＝∵CH⊥AB∴AD=2AH∴AD答：AD的长为．【说明】解决与弦有关的问题，往往需要构造垂径定理的基本图形——由半径、弦心距、弦的一半构成的直角三角形，它是解决此类问题的关键.定理的应用必须与所对应的基本图形相结合，教师在复习时要特别注重基本图形的掌握.例3 (１)如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE=∠B，试说明AE与⊙O相切于点A．(２)在（１）中，若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．(1) (2)【分析】第(１)小题中，因为AB为直径，只要再说明∠BAE为直角即可．第(２)小题中，AB为非直径的弦，但可以转化为第(１)小题的情形．【解】(１)∵AB是⊙O的直径∴∠C=90O∴∠BAC＋∠B=90O又∵∠CAE=∠B∴∠BAC＋∠CAE =90O即∠BAE =90O∴AE与⊙O相切于点A．(２)连结AO并延长交⊙O于D，连结CD.∵AD是⊙O的直径∴∠ACD=90O∴∠D＋∠CAD=90O又∵∠D=∠B∴∠B＋∠CAD=90O又∵∠CAE =∠B∴∠CAE＋∠CAD=90O即∠EAD =90O∴AE仍然与⊙O相切于点A．【说明】本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第(1)小题的特殊情况,大胆提出猜想,渗透“由特殊到一般”的数学思想方法，这对于学生的探索能力培养非常重要.例4 如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5．（1）若，求CD的长．（2）若∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）．【分析】图形中有“直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD的长就转化为求DE的长.第（2）小题求扇形OAC的面积其关键是求∠AOD的度数，从而转化为求∠AOD的大小．【解】（1）∵AB是⊙O的直径，OD＝5∴∠ADB＝90°，AB＝10又∵在Rt△ABD中，∴∵∠ADB＝90°，AB⊥CD∴BD2=BE·ABCD= 2DE∵AB＝10∴BE=在Rt△EBD中，由勾股定理得∴答：CD的长为．（2）∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD∴∴∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD∵AO＝DO∴∠BAD＝∠ADO∴∠CDB＝∠ADO设∠ADO＝4k，则∠CDB＝4k由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝k∵∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°∴得k＝10°∴∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°∴∠AOC＝∠AOD＝100°则答：扇形OAC的面积为【说明】本题涉及到了圆中的重要定理、直角三角形的边角关系、扇形面积公式等知识点的综合，考查了学生对基本图形、基本定理的掌握程度．求DE长的方法很多，可以用射影定理、勾股定理，也可以运用面积关系来求，但都离不开“直角三角形及斜边上的高”这个基本图形．解题中也运用了比例问题中的设k法，同时也渗透了“转化”的思想方法．⊙O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P．已知BC：CA=4 : 3，点P在半圆AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.(l)当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；(2)当点P运动到半圆AB的中点时，求CQ的长；(3) 当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长．【分析】当点P与点C关于AB对称时，CP被直径垂直平分，由垂径定理求出CP的长，再由Rt△ACB∽Rt△PCQ，可求得CQ的长．当点P在半圆AB上运动时，虽然P、Q点的位置在变，但△PCQ始终与△ACB相似，点P运动到半圆AB的中点时，∠PCB＝４５O，作BE⊥PC于点E，CP＝PE+EC．由于CP与CQ的比值不变，所以CP取得最大值时CQ也最大．【解】(l)当点P与点C关于AB对称时，CP⊥AB，设垂足为D.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=900.∴AB=5，AC：CA=4：3∴BC=4，AC=3S Rt△ACB=AC·BC=AB·CD∴∵在Rt△ACB和Rt△PCQ中，∠ACB＝∠PCQ=900, ∠CAB＝∠CPQ，∴Rt△ACB∽Rt△PCQ∴∴(2)当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BE⊥PC于点E（如图）.∵P是弧AB的中点，∴又∠CPB=∠CABword∴∠CPB= tan∠CAB =∴从而由（l）得，(3）点P在弧AB上运动时，恒有故PC最大时，CQ取到最大值．当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ最大值为【说明】本题从点P在半圆AB上运动时的两个特殊位置的计算问题引申到求CQ的最大值，一方面渗透了“由特殊到一般”的思想方法，另一方面运用“运动变化”观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt△ACB∽Rt△PCQ）往往是解题的关键．【复习建议】①教材对圆的知识要求有了适当的降低，但教学中必须注重指导学生在较复杂的“背景”下分析出隐含的基本图形，或通过添加适当的辅助线，构造或分解基本图形．学会将较复杂问题转化为易解决问题.②对于常见的辅助线的添法，在解题中可以多加引导．③注意圆中一些隐含条件的作用．如：“同弧所对的圆周角相等”；“半径都相等”．④由特殊到一般、转化、方程、分类讨论等思想方法以及运动变化观点的渗透，在圆的综合问题中更能提高学生解决问题能力，在复习时应及时归纳并注重方法的指导．11 / 11。

第三章圆教学设计1圆 (1)2圆的对称性 (3)3垂径定理 (5)4圆周角和圆心角的关系 (9)第1课时圆周角定理 (9)第2课时圆周角定理的推论 (12)5确定圆的条件 (15)6直线和圆的位置关系 (19)第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质 (19)第2课时切线的判定及三角形的内切圆 (22)7切线长定理 (24)8圆内接正多边形 (27)9弧长及扇形的面积 (30)1圆1．理解圆的定义，掌握弦、直径、圆弧、半圆、等圆、等弧等基本概念．2．掌握点和圆的三种位置关系，通过利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系．3．经历由生活现象揭示其数学本质的过程，培养抽象思维和归纳概括的能力．重点掌握点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的3种位置关系．难点会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系．一、情境导入看下图的投圈游戏，投圈目标都是图中的花瓶．他们呈“一”字排开，你若是其中一员，想站在哪里？为什么？对其他同伴公平吗？你认为排成什么样的队形才公平？二、探究新知1．圆的相关概念引导学生自学教材第65页的内容，提出问题：(1)圆的定义是什么？(2)圆心、半径、直径是如何规定的？(3)弦、弧、半圆、等圆、等弧是如何规定的？2．点与圆的位置关系引导学生的练习本上用圆规画一个圆，提出问题：(1)此圆把纸张分成了几部分？(2)请你在每一部分中各找一点作为代表，写出点与圆的位置关系；(3)设此圆的半径为r，请写出与位置关系相对应的数量关系．归纳：点与圆的位置关系：若点A在⊙O内⇔OA＜r；若点A在⊙O上⇔OA＝r；若点A在⊙O外⇔OA＞r.三、举例分析例设AB＝3 cm，作图说明满足下列要求的图形：(1)到点A和点B的距离都等于2 cm的所有点组成的图形；(2)到点A和点B的距离都小于2 cm的所有点组成的图形；(3)到点A的距离都小于2 cm，且到点B的距离都大于2 cm的所有点组成的图形．解：(1)有两个点，如图①，C，D就是所求的点．(2)有无数个点，如图②，阴影部分内的点，都符合．(3)有无数个点，如图③，阴影部分内的点都符合．四、练习巩固1．与圆心的距离不大于半径的点的集合是( )A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆2．以点O为圆心画圆，可以画____________个．3．已知A，B两点的距离是3 cm.(1)画半径为3 cm的圆，使它经过A，B两点并回答这样的圆能画几个？(2)过A，B两点的所有圆中，是否存在最小圆和最大圆？若存在，请指出它们圆心的位置和半径的大小；若不存在，请简要说明理由．五、课堂小结1．易错点：(1)大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示；小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示；(2)能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．归纳小结：(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆；(2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径；(3)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．3．方法规律：圆O的半径为r，点到圆心的距离为d时，d与r的关系：点在圆外⇔d>r；点在圆上⇔d＝r；点在圆内⇔d<r.六、课外作业1．教材第66页“随堂练习”第1、2题．2．教材第68～69页习题3.1第1、2、3、4题．本节课的设计总体思路清晰，对于圆及相关知识的概念理解较为深刻．通过对教材中圆的概念的阅读，让学生找出关键词，从而让学生理解圆的概念．对例题的分析，是本节课的一个难点，为分散难点，本节课用了小问题的形式进行，关注教学建模过程，抓住问题的本质：判断每一个点与圆的位置的关系．2圆的对称性1．理解圆既是轴对称性图形，又是中心对称图形．2．利用圆的旋转不变性理解圆心角、弧、弦之间相等关系定理．重点探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．难点圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及定理的证明．一、复习导入1．圆的两要素是________、________，它们分别决定圆的________、________.2．下列3种图形：①等边三角形；②平行四边形；③矩形．既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(填序号)________．二、探究新知1．圆的对称性课件出示教材第70页图3～7，提出问题：(1)请同学们拿出准备好的圆形纸片，你知道圆有哪些基本性质吗？(2)圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么得到的？(3)圆是中心对称图形吗？如果是，它的对称中心是什么？你是怎么得到的？轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．旋转不变性：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心为圆心．2．探究圆心角、弧、弦之间的关系定理精读教材第70页“做一做”，合作探究：根据圆的旋转不变性能够得到什么？第一步：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′(图①)；第二步：将两圆重叠，并固定圆心(图②)，然后把其中一个圆旋转一个角度，使得OA 与O′A′重合(图③)．图① 图② 图③(1)通过操作，对比图①和图③，你能发现哪些等量关系？(2)你得到这些等量关系的理由是什么？(3)由此你能得到什么结论？解：(1)AB ︵＝A′B′︵，AB ＝A′B′.(2)理由：∵半径OA 与O′A′重合，∠AOB ＝∠A′O′B′，∴半径OB 与O′B′重合．∵点A 与点A′重合，点B 与点B′重合，∴ AB ︵与 A ′B′︵重合，弦AB 与弦A′B′重合．即 AB ︵＝A′B′︵，AB ＝A′B′.(3)结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．3．探索圆心角、弧、弦之间的关系定理的逆定理(1)在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，这两个圆心角相等吗？那么它们所对的弦相等吗？你是怎么想的？结论1：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等．(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？结论2：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的优弧相等、劣弧相等．(3)如果不加“在同圆或等圆中”，该定理是否也成立呢？(4)一条弦所对的弧有几条？(5)上面的命题怎样叙述能够更准确？(6)观察以上所得出的结论，你能将其总结为一条定理吗？定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三、举例分析例 (课件出示教材第71页例题)精读教材第71页例题思考如下问题：(1)∠AOD 和∠BOE 的度数有什么数量关系？(2)根据角的数量关系可以得到哪两条弧相等？(3)根据已知条件如何转化弧的等量关系？(4)根据弧之间的关系你能得到正确的结论吗？(5)试着合作完成证明过程．四、练习巩固1．下列命题中，正确的是( )A ．圆只有一条对称轴B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴2．下列叙述不正确的是________(填序号)．①圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；②圆有无数条对称轴，任何一条直径都是它的对称轴；③相等的弦所对的弧相等；④等弧所对的弦相等．3．如图，在⊙O 中，AB ︵＝ AC ︵，∠ACB ＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.五、课堂小结1．易错点：(1)一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合；(2)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，“直径是圆的对称轴”的说法是错误的；(3)圆中的圆心角、弧、弦之间的关系定理是以“同圆或等圆”为前提，定理中的“弧”一般指劣弧．2．归纳小结：(1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；(2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心；(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．3．方法规律：(1)使用的方法有：叠合法、轴对称、旋转、推理证明等；(2)圆具有旋转不变性；(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．六、课外作业1．教材第72页“随堂练习”第1、2、3题．2．教材第72～73页习题3.2第1、2、3题．本节课的教学策略是通过学生自己动手画图叠合、观察思考等操作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探索过程，在通过教师演示动态教具引导，让学生感受圆的旋转不变性，并得出圆心角、弧、弦三者之间的关系，能用这一关系定理，解决圆的计算、证明问题，同时注重培养学生的探索能力和逻辑推理能力，力求体验教学的生活性、趣味性．3 垂径定理1．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．2．运用垂径定理及其逆定理解决问题．重点利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．难点垂径定理及其逆定理的证明，以及应用时如何添加辅助线．一、复习导入1．等腰三角形是轴对称图形吗？2．如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？3．如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？二、探究新知1．垂径定理课件出示：如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD⊥AB，垂足为M.(1)该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？(3)你能给出几何证明吗？(写出已知、求证并证明)解：(1)该图是轴对称图形，对称轴是直线CD.(2)AM ＝MB ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.(3)已知：如图，AB 是⊙O 的一条弦，CD 是⊙O 的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M.求证：AM ＝BM ，AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.证明：连接OA ，OB ，则OA ＝OB.在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵OA ＝OB ，OM ＝OM ，∴Rt △OAM ≌ Rt △OBM.∴AM ＝BM.∴点A 和点B 关于直线CD 对称．∵⊙O 关于直线CD 对称，∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC ︵和BC ︵重合，AD ︵ 和BD ︵重合．∴ AC ︵＝BC ︵，AD ︵＝BD ︵.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．2．垂径定理的逆定理课件出示：如图，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M.(1)下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？(2)图中有哪些等量关系？说一说你的理由．(3)你能模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理吗？(4)你能正确表述逆定理的内容吗？(5)“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？分析：条件：CD 是直径；AM ＝BM ；结论(等量关系)：CD⊥AB；AC ︵＝BC ︵；AD ︵ ＝BD ︵.归纳得到垂径定理逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．三、举例分析例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD ︵，点O 是CD ︵所在圆的圆心)，其中CD ＝600 m ，E 为CD ︵上一点，且OE⊥CD，垂足为F ，EF ＝90 m ．求这段弯路的半径．引导学生思考如下问题：(1)如何利用所学定理添加辅助线？(2)这样添加辅助线的目的是什么？(3)你想利用直角三角形的什么知识来解决问题？(4)大家能合作完成求解过程吗？解：连接OC.设弯路的半径为R m ，则OF ＝(R －90 ) m .∵OE ⊥CD ，∴CF ＝12CD ＝12×600＝300(m )． 在Rt △OCF 中，根据勾股定理，得 OC 2＝CF 2 ＋OF 2，即R 2＝3002＋(R －90)2.解这个方程，得R ＝545.所以，这段弯路的半径为545 m .例2 已知：如图，在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C ，D 两点． 求证：AC ＝BD.问：(1)证明两条线段相等，最习惯用什么方法？(2)在此用三角形全等怎么证明？(3)用垂径定理怎样证明？处理方式：教师引导学生共同解决问题．四、练习巩固1．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB⊥CD 于点E ，CE ＝2，AE ＝3，则△ACB 的面积为( )A ．3B ．5C ．6D ．82．在⊙O 中，弦AB 等于⊙O 的半径，OC ⊥AB 交⊙O 于点C ，则∠AOC＝ ________°.3．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的弦，C ，D 是直线AB 上两点，AC ＝BD.求证：OC ＝OD.五、课堂小结1．易错点：(1)垂径定理中的两个条件缺一不可——直径(半径)，垂直于弦；(2)垂径定理的逆定理中“不是直径”不可或缺，否则错误．2．归纳小结：(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；(2)垂径定理的逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．3．方法规律：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线、作垂直于弦的直径、连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．六、课外作业1．教材第76页“随堂练习”第1、2题．2．教材第76～77页习题3.3第1～4题．垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件、结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作等教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果．4 圆周角和圆心角的关系第1课时 圆周角定理1．理解圆周角的定义，掌握圆周角定理．2．会熟练运用圆周角定理解决问题．重点圆周角定理及其应用．难点圆周角定理证明过程中的“分类讨论”思想的渗透．一、复习导入1．圆心角的定义是什么？2．如图，圆心角∠AOB 的度数和它所对的AB ︵的度数有何关系？3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条________、两条________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．二、探究新知1．圆周角的定义引导学生自学教材第78页的相关内容，思考如下问题：(1)我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时，我们得到几种情况？(2)图③中的∠BAC 的顶点在什么位置？(3)角的两边有什么特点？圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角．2．圆周角定理课件出示教材第78页图3－14，提出问题：当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC ，∠AEC.(1)在图中，AC ︵所对的圆周角有几个？(2) AC ︵所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？(3)你是通过什么方法得到的？圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．三、举例分析例1 如图，∠AOB ＝80°.(1)你能画出几个 AB ︵所对的圆周角吗？(2)圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？(3)这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？(4)这几个圆周角的大小有什么关系？(5)改变∠AOB 的度数，上面的结论还成立吗？(6)你能选择其中之一进行证明吗？(7)大家通过合作探究还能解决其他两种情况吗？解：如图①，∠ACB ＝ 12∠AOB . 理由：∵ ∠AOB 是△ACO 的外角，∴∠AOB ＝∠ACO＋∠CAO.∵OA ＝OC ，∴∠ACO ＝∠CAO.∴∠AOB ＝2∠ACO. 即∠ACB＝ 12∠AOB. 例2 问题回顾：当球员在B ，D ，E 处射门时，他所处的位置对球门AC 分别形成三个张角∠ABC，∠ADC ，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？解：∠ABC＝∠ADC＝∠AEC.理由：连接AO ，CO.∵∠ABC ＝12∠AOC，∠ADC ＝12∠AOC，∠AEC ＝ 12∠AOC. ∴∠ABC ＝∠ADC＝∠AEC.圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．四、练习巩固1．如图，在⊙O 中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝( )A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°第1题图第2题图2.如图，在⊙O 中，∠BOC ＝50°，则∠BAC＝________°.五、课堂小结1．易错点：(1)一条弦所对的圆周角有两种情况：优弧、劣弧分别对着不同的圆周角；(2)圆上一条弧所对的圆周角能作出无数个；(3)圆周角和圆心有三种位置关系．2．归纳小结：(1)圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角；(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；(3)圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．3．方法规律：(1)圆周角和圆心的位置关系只有三种：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部；(2)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；(3)同弧或等弧所对的圆周角相等．六、课外作业1．教材第80页“随堂练习”第1、2题．2．教材第80～81页习题3.4第1、2、4题．这节课的教学主线非常清晰，重点明确，就是让学生经历观察、操作、猜想、证明等一系列探索活动．从提出猜想到证明猜想的过程中，教师始终将探索发现的空间留给学生，所设计的问题由浅入深、循序渐进，学习任务从易到难，挑战性问题在逐步提高，这是一种能激发学生学习兴趣的设计．本节课不足之处在于定理的证明根据圆心与圆周角的位置关系分三种情况，虽然借助了几何画板动态演示了这一过程，但是为何要分类，教学中似乎显得有些生涩．第2课时圆周角定理的推论1．掌握圆周角定理的2个推论的内容．2．理解圆的内接四边形、四边形的外接圆的概念．3．会熟练运用圆周角定理的推论解决问题．重点圆周角定理的几个推论的应用．难点理解2个推论的“题设”和“结论”．一、复习导入1．圆周角是如何定义的？2．圆周角定理是什么？3．圆周角定理的推论1是什么？二、探究新知1．直径所对的圆周角是直角课件出示：如图，BC是⊙O的直径．(1)直径BC所对的圆周角指的是哪个角？(2)猜想它所对的圆周角有什么特点？(3)请同学们用量角器实际测量，看看猜测是否准确；(4)你能对自己的猜想给出证明吗？解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°. 理由：∵BC为直径，∴∠BOC＝180°.∴∠BAC＝12∠BOC＝90°.2．90°的圆周角所对的弦是直径课件出示：如图，圆周角∠BAC＝90°.(1)∠BAC所对的弦指的是哪条线段？(2)∠BAC所对的弦是直径吗？(3)你是通过什么方法得到的？解：弦BC是直径．理由：连接OC，OB.∵∠BAC＝90°，∴∠BOC＝2∠BAC＝180°.∴B，O，C三点在同一直线上．∴BC是⊙O的一条直径．(4)从上面的学习，你能得出什么推论？推论2：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3．圆内接四边形的对角互补课件出示：如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径．(1)请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？解：∠BAD与∠BCD互补．理由：∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∠ADC＝90°.∵∠ABC＋∠BCD＋∠ADC＋∠BAD＝360°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.∴∠BAD与∠BCD互补．(2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？为什么？解：∠BAD 与∠BCD 的关系仍然成立．理由：连接OB ，OD ，∵ ∠BAD ＝12∠2，∠BCD ＝12∠1，∠1＋∠2＝360°， ∴∠BAD ＋∠BCD＝180°.∴∠BAD 与∠BCD 互补．(3)两个四边形ABCD 有什么共同的特点？四边形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．(4)圆内接四边形的对角有什么关系？推论3：圆内接四边形的对角互补．三、举例分析例 如图，∠DCE 是圆内接四边形ABCD 的一个外角.(1)四边形ABCD 是圆的什么四边形？(2)∠A 和∠BCD 有什么数量关系？(3)∠BCD 和∠DCE 有什么数量关系？(4)这几个圆周角的大小有什么关系？(5)∠A 与∠DCE 的大小有什么关系？为什么？解：∠A＝∠DCE.理由：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠A ＋∠BCD＝180°.∵∠BCD ＋∠DCE＝180°， ∴∠A ＝∠DCE.四、练习巩固1．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝55°，则∠BCD 的度数为( ) A ．35° B ．45° C ．55° D ．75°2．如图，AB 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的任意一点(不与点A ，B 重合)，延长BD 到点C ，使DC ＝BD ，则△ABC 的形状为____________．3．如图所示，AD为△ABC外角∠CAE的平分线，交△ABC的外接圆于点D.求证：BD＝CD.五、课堂小结1．易错点：(1)“直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径”这个推论由特殊到一般地证明；(2)从复杂图形中找到符合要求且能利用推论的条件；(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．2．归纳小结：(1)直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；(2)四个顶点都在圆上的四边形叫圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆；(3)圆内接四边形的对角互补．3．方法规律：(1)解决问题应该经历“猜想—试验验证—严密证明”三个基本环节；(2)从特殊到一般的研究方法，对特殊图形进行研究，从而改变特殊性，得出一般图形，总结一般规律．六、课外作业1．教材第83页“随堂练习”第1、2、3题．2．教材第83～84页习题3.5第1～4题．在本节课的教学中，我结合本节课教学内容、教学目标和学生的认知规律，在教学设计上，一是注重创设情境，激发学生学习的兴趣、主动性和求知欲望，为下一步教学的顺利展开开个好头；二是注重引导学生经历探索、验证、论证、应用数学新知的过程，鼓励学生用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，使学生在数学活动中深刻地理解知识和掌握由特殊到一般的认知方法.5确定圆的条件1．了解不在同一直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法．2．理解确定圆的条件及三角形的外接圆和外心的定义．3．能确定一个圆形纸片的圆心．重点会作三角形的外接圆，理解三角形的外接圆、外心等概念．难点利用“确定圆的条件”的知识解决相关问题．一、复习导入1．经过一点你能画出几条直线？2．经过两点你能画出几条直线？3．已知线段AB，你会作线段AB的中垂线吗？4．经过几点能确定一个圆？二、探究新知1．过一点作圆作圆，使它经过已知点A.你能作出几个这样的圆？引导学生思考：(1)已知作圆的关键是确定圆心和半径，过已知点A的圆的圆心能是点A吗？为什么？不能，因为点A在圆上．(2)过已知点A的圆的圆心怎么确定？半径呢？以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．(3)同学们按照：先找到圆心，再确定半径，最后画圆的方法，尝试能作出多少个圆？由于圆心是任意的．因此这样的圆心有无数个，从而过已知点A能作无数个圆．2.过两点作圆作圆，使它经过已知点A，B.(1)你是如何作的？(2)除此以外还有符合条件的圆吗？你能作出几个这样的圆？能作出无数个符合条件的圆．(3)你作出的圆的圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么位置关系？为什么？圆心到A，B的距离相等，圆心在线段AB的垂直平分线上．(4)线段AB的垂直平分线上有多少个点？这些点都可以作为圆心吗？线段AB的垂直平分线上有无数个点，这些点都可以作为圆心，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．3.过不在同一直线上的三点作圆作圆，使它经过已知点A，B，C(A，B，C三点不在同一条直线上)．(1)要作一个圆经过A，B，C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到A，B，C三点的距离有何关系？确定一个点使它到A，B，C三点的距离相等．(2)到三角形三个顶点距离相等的点是三角形什么线的交点？三角形三边的垂直平分线的交点，它就是圆心．(3)这个交点就是圆心的理由是什么？这个交点满足到A，B，C三点的距离相等．(4)究竟应该怎样找圆心呢？先作线段AB的垂直平分线，找到过A，B两点的圆的圆心；再作线段CB的垂直平分线，找到过C，B两点的圆的圆心，它们的交点就是要找的圆心．作法图示1.连接AB，BC2.分别作线段AB，BC的垂直平分线DE和FG，DE和FG相交于点O3.以O为圆心，OA为半径作圆．⊙O就是所要求画的圆．经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．(5)如果A，B，C三点在同一条直线上，你还能作出过A，B，C三点的圆吗？为什么？不能，找不到圆心．原因是：线段AB的垂直平分线和线段BC的垂直平分线平行，没有交点．三、举例分析例已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆．它们外心的位置有怎样的特点？(1)锐角三角形的外心在三角形的什么位置？(2)直角三角形的外心在三角形的什么位置？(3)钝角三角形的外心在三角形的什么位置？锐角三角形直角三角形钝角三角形四、练习巩固1．下列命题不正确的是( )A．过一点能作无数个圆B．过两点能作无数个圆C．直径是圆中最长的弦D．过已知三点一定能作圆2．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径是________．3．△ABC外接圆的面积是100πcm2，且外心到BC的距离是6 cm，求BC的长．五、课堂小结1．易错点：(1)确定圆的条件一定注意“不在同一直线上”；(2)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；(3)三角形的三个顶点确定的圆是三角形的外接圆．2．归纳小结：(1)不在同一直线上的三个点确定一个圆；(2)三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．3．方法规律：(1)锐角三角形的外心在三角形的内部；(2)直角三角形的外心在斜边的中点；(3)钝角三角形的外心在三角形的外部；(4)“经过三点能否确定一个圆”培养学生分类讨论的数学思想．六、课外作业1．若一个三角形的外心在这个三角形的一边上，则这个三角形是( )A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形2．教材第87～88页习题3.6第1～4题．本节课通过问题导入激发了学生的学习兴趣，通过探究题的设计，调动了学生学习的积极性、主动性，提高了课堂效率．本课堂首先充分调动了学生的积极性．不论从回答问题还是画图点评都比预想的结果好，碰到难题主动交流，小组合作非常默契．。

北师大版初中数学九下第三章圆教案圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合，是初中九年级的数学学习重点内容，下面店铺为你整理了北师大版初中数学九下第三章圆教案，希望对你有帮助。

北师大版数学九下圆教案：圆的有关性质教学过程：一、复习旧知：1、角平分线及中垂线的定义(用集合的观点解释)2、在一张透明纸上画半径分别1cm，2cm，3.5cm的圆，同桌的两个同学将所画的圆的大小分别进行比较(分别对应重合)。

并回答：这些圆为什么能够分别重合?并体会圆是怎样形成的?二、讲授新课：1、让学生拿出准备好的木条照课本演示圆的形成，用圆规再次演示圆的形成。

分析归纳圆定义：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定的端点叫做圆心，线段叫做半径。

注意：“在平面内”不能忽略，以点O为圆心的圆，记作：“⊙O”，读作：圆O2、进一步观察，体会圆的形成，结合园的定义，分析得出：① 圆上各点到定点(圆心)的距离等于定长(半径)② 到定点的距离等于定长的点都在以定点为圆心，定长为半径的圆上。

由此得出圆的定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

例如，到平面上一点O距离为1.5cm的点的集合是以O为圆心，半径为1.5cm的一个圆。

3、在画圆的过程中，还体会到圆内各点到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。

圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。

同样有：圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。

4、初步掌握圆与一个集合之间的关系：⑴已知图形，找点的集合例如，如图，以O为圆心，半径为2cm的圆，则是以点O为圆心，2cm长为半径的点的集合;以O为圆心，半径为2cm的圆的内部是到圆心O的距离小于2cm的所有点的集合;以O为圆心，半径为2cm的圆的外部是到圆心O的距离大于2cm的点的集合。

⑵已知点的集合，找图形例如，和已知点O的距离为3cm的点的集合是以点O为圆心，3cm长为半径的圆。

北师大版九年级数学下册：第三章 3.2《圆的对称性》精品教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第三章《圆》是整个初中数学的重要内容，而本节课《圆的对称性》则是这一章节的重点和难点。

教材从圆的轴对称性入手，引导学生探究圆的对称性质，进而推导出圆的直径所在的直线即为圆的对称轴。

本节课通过丰富的实例和生动的活动，让学生深刻理解圆的对称性，并为后续学习圆的性质打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了八年级数学的大部分内容，对轴对称图形有了一定的认识，能够理解并运用轴对称的性质。

但他们对圆的对称性的理解还不够深入，需要通过本节课的学习，进一步加强对圆对称性质的认识。

同时，学生对圆的相关知识掌握程度不一，需要在教学过程中关注不同学生的学习需求。

三. 教学目标1.理解圆的对称性，掌握圆的对称轴的定义及性质。

2.能够运用圆的对称性解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、动手操作能力和推理能力。

四. 教学重难点1.圆的对称性的理解。

2.圆的对称轴的定义及性质的掌握。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作探究法和实例分析法，引导学生从实际问题中发现圆的对称性，通过自主探究和合作交流，深入理解圆的对称性质。

六. 教学准备1.准备相关的实例和图片，用于引导学生发现圆的对称性。

2.准备圆规、直尺等学具，让学生动手操作，加深对圆对称性质的理解。

3.准备一些实际问题，用于巩固学生对圆对称性的运用。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的图片，如剪纸、建筑等，引导学生对对称性产生兴趣。

然后提出问题：“你们认为什么样的图形才能称为对称图形？”让学生回顾轴对称图形的概念。

2. 呈现（10分钟）呈现圆的轴对称性实例，如圆形的剪纸、钟表等，引导学生观察并描述圆的对称性质。

同时提出问题：“圆有对称轴吗？如果有，在哪里？”让学生思考并讨论。

3. 操练（10分钟）让学生分组，每组用圆规和直尺画出一个圆形，并用折纸的方法找出圆的对称轴。

教师备课笔记上课日期月日星期的距离有什么关系?用什么方法可以判断，大家动手做一做．[生]……[师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么 [生]OA=OB．[师)刚才是两个特殊点，教师备课笔记上课日期月日星期的垂线，得到新可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．．求为什么?在其中一条线弦上，(3)教师备课笔记上课日期月日星期将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?[生]重合．通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的]教师叙述步骤，同学们一起动手操作．]通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由． [生甲]由已知条件可知∠AOB＝∠A′O′B′．如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．2教师备课笔记上课日期月日星期Ⅰ．创设问题情境，引入新课[师]前面我们学习了与圆有关的哪种角？它有什么特点？请同学们画一个圆心角．[生]学习了圆心角，它的顶点在圆心．[师]圆心是圆中一个特殊的点，当角的顶点在圆心时，就有圆心角．这样角与圆两种不同的图形产生了联系，在圆中还有比较特殊的点吗？如果有，把这样的点作为角的顶点，会是怎样的图形？Ⅱ．讲授新课1．圆周角的概念[师]同学们请观察下面的图(1)．(出示投影片3．3．1A)这是一个射门游戏，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角(∠ABC)有关．[师]图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？[生]∠ABC的顶点B在圆上，它的两边分别和圆有另一个交点．(通过学生观察，类比得到定义)圆周角(angle in a circular segment)定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．[师]请同学们考虑两个问题：(1)顶点在圆上的角是圆周角吗？(2)圆和角的两边都相交的角是圆周角吗？请同学们画图回答上述问题．[师]通过画图，相互交流，讨论认清圆周角概念的本质特征，从而总结出圆周角的两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．补充练习1(出示投影片§3．3．1B)判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由．答：由圆周角的两个特征知，只有C是圆周角，而A、B、D、E都不是．3．研究圆周角和圆心角的关系．[师]在图(1)中，当球员在B、D、E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大小有什么关系？我们知道，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．那么，在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角有什么关系？[师]请同学们动手画出⊙O中所对的圆心角和圆周角．观察所对的圆周角有几个？它们的大小有什么关系？你是通过什么方法得到的？所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？[生] 所对的圆周角有无数个．通过测量的方法得知：所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．[师]对于有限次的测量得到的结论，必须通过其论证，怎么证明呢？说说你的想法，并与同伴交流．[生]互相讨论、交流，寻找解题途径．[师生共析]能否考虑从特殊情况入手试一下．圆周角−−−→特殊一边经过圆心．由下图可知，显然∠ABC＝12∠AOC，结论成立．(学生口述，教师板书)如上图，已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．生甲]如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，ABD＋∠CBD＝1(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝教师备课笔记上课日期月日星期所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠的直径．当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠教师备课笔记上课日期月日星期都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段ABA、B两点的距离相等，所以在上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图锐角三角形直角三角形钝角三角形为外接圆的圆心，即外心．锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．Ⅳ．课时小结本节课所学内容如下：教师备课笔记上课日期月日星期它们分别是相交、相切、相离．当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线．当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．中的三个图形是轴对称图形吗?如果是，你能画出它们的对称轴吗教师备课笔记上课日期月日星期，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移如何变化，然后互相交流意见．的距离为d1，d1<r，这时直沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐与⊙O的位置关系是相切：当O到l的距离为d2，d2<r，由小变大，点O到l的距离d也分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．的平分线BE和CF，交点为I(如右上图，垂足为D．即可，而由已知条件可知°．教师备课笔记上课日期月日星期大家的归纳、总结能力很强，能说出五种位置关系中各自有什么特点吗公共点的个数和一个圆上的点在另一个圆的内部还是外部来考虑．外离：两个圆没有公共点，并且每一个圆上的点都在另一个圆的两个圆有唯一公共点，除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的外部；相交：两个圆有两个公共点，一个圆上的点有的在另一个圆的外部，有的在内切：两个圆有一个公共点，除公共点外，⊙O2上的点在⊙O1的内部；内含：两个圆没有公共点，⊙O2上的点都在⊙O1的内部．的大小．如图，请大家互相交流．在图(1)中，两圆相外切，切点是A．因为切点A在连心线O1O2上，所以R+r，即d=R+r：反之，当d＝R+r时，说明圆心距等于两圆半径之和，在一条直线上，所以⊙O1与⊙O2只有一个交点A，即⊙O1与⊙O2外切．(2)中，⊙O1与⊙O2相内切，切点是B.因为切点B在连心线O1O即d＝R-r：反之，当d＝R-r时，圆心距等于两半径之差，即O教师备课笔记上课日期月日星期．转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米?，传送带上的物品A被传送多少厘米?，传送带上的物品A被传送多少厘米?分析：转动轮转一周，传送带上的物品应被传送一个圆的周长；因为圆的的圆心角，所以转动轮转1°，传送带上的物品A分析：要求管道的展直长度．即求弧AB的长，根据弧长公式为圆心角，R为半径．n=110．，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应的教师备课笔记上课日期月日星期＝·2＝2π＝2258()202+π≈≈2×分析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积S 侧＝360n πR 但是得求出底面圆的半径，因为AB 垂直于底面圆，，问题就解决了．．教师备课笔记上课日期月日星期Ⅱ．具体内容巩固[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．一、圆的有关概念及性质[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？你能举出例子吗？[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？请说明理由．O AB C ABOC垂直于AB吗？OC的长度是多少？[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？[生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦(不是直径)的直径，应用逆定理．[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？[生]1．解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，∴四边形ADOE是矩形．∵AC＝AB，∴AE＝AD．∴四边形ADOE是正方形．2．解：∵C为AB的中点，∴OC⊥AB，＝2AB ＝22225025253OA AC -=-=(mm)所对的劣弧为圆的3，圆的半径为的度数为120°，教 师 备 课 笔 记上课日期 月 日星期四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．为圆心，OA为半径的圆上．Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？＝222234OD PD +-+＝＝22OD DR +＜＝22OD DQ +＞＝2AB ＝2BC ＝2CD ＝2AD 如图，点A 的坐标是(－4，3)，以点A 为圆心，4为半径作圆，则⊙A 与x 轴、y 轴、原点有怎样的位置关系？分析：因为x 轴、y 轴是直线，所以要判断⊙A 与x 轴、y 轴的位置关系，即是。