第三章概率的进一步认识1用树状图或表格求概率第3课时配紫色游戏素材一新课导入设计情景导入置疑导入归纳导入类比导入激趣同学们，前面我们已经学习了用树状图或列表求简单事件的概率，本节课我们继续来学习用树状图或列表求简单事件的概率，概率是对随机现象的一种数学描述，它可以帮助我们更好地认识随机现象，并对生活中的一些不确定情况作出自己的决策．[说明与建议] 说明：通过教师启发，使学生进一步巩固用树状图或列表求概率，有利于明确学习目标．建议：在引入时可以适当添加一些实际问题，从而培养学生应用所学知识解决问题的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力．小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，如图3－1－27，每个转盘被分成相等的几个扇形．游戏规则：游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．图3－1－27(1)利用树状图或列表的方法表示游戏者所有可能出现的结果；(2)游戏者获胜的概率是多少？[说明与建议] 说明：以“配紫色”游戏为主要情境，复习回顾了上节课所学知识，让学生再次经历利用树状图或列表的方法求出概率并解决问题的过程．建议：先让一位学生动手转动转盘，再让另一位学生口述转动转盘A会有几种结果，转动转盘B会有几种结果．然后再让另外两名学生根据自己选择的方法分别表示游戏者所有可能出现的结果，其余学生在练习本上进行画图求解．完成后让其他学生进行点评，教师及时强调画树状图或列表时要不重不漏．素材二教材母体挖掘65页想一想用图3－1－28所示的转盘进行“配紫色”游戏．图3－1－28小颖制作了下图，并据此求出游戏者获胜的概率为12；图3－1－29小亮则先把转盘A 的红色区域等分成2份，分别记作“红色1”“红色2”，然后制作了下表，据此求出游戏者获胜的概率也是12.你认为谁做得对？说说你的理由． 【模型建立】转盘游戏中，双转盘游戏倍受命题者的青睐．双转盘问题一般包括数字的奇偶性问题、配色问题及游戏是否公平问题等．【变式变形】1．[杭州中考] 让图3－1－30中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的区域，则这两个数的和是2的倍数或是3的倍数的概率等于(C )图3－1－30A .316B .38C .58D .13162．如图3－1－31，有两个可以自由转动的均匀转盘A ，B ，转盘A 被均匀地分成4等份，每份分别标上1、2、3、4四个数字；转盘B 被均匀地分成6等份，每份分别标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：图3－1－31同时自由转动转盘A 与B ，转盘停止后，指针各指向一个数字(如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止)，用所指的两个数作乘积，如果得到的积是偶数，那么甲胜；如果得到的积是奇数，那么乙胜(如转盘A 指针指向3，转盘B 指针指向5，3×5＝15，按规则乙胜)．你认为这样的规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．[答案：不公平，其他略]素材三 考情考向分析[命题角度1] 单次抽样的概率初中阶段所考查的概率问题都是有限等可能概率，其概率P(A)＝mn (n 是基本事件的总和，m 是满足条件的基本事件数)．例 [淮安中考] 一个不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出红球的概率为__34__．[命题角度2] 多次无放回抽样的概率无放回抽样与有放回抽样的区别在于取出的小球不再放回，其解决方法也有两个：第一个方法是P(A)＝mn ，第二个方法是依次算好每次抽取的概率，然后把每次抽取的概率相乘即得多次抽取的概率．例 [玉林中考] 一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是(C )A .12B .14C .16D .112[命题角度3] 多次有放回型抽样的概率我们举个例子来说明多次有放回型抽样的概率：设袋中有n 个小球，现从中依次摸球，每次摸一个，如果摸出一个后，仍放回原袋中，然后再摸下一个，这种摸球方法就是有放回的抽样．有放回抽样解决的方案有两种：一种是P(A)＝mn ，还有一种是先计算第一次摸球的概率，如果摸球n 次就求(P(A))n，(P(A))n就是所求的概率．例 [昆明中考] 九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．(1)请用列表或画树状图的方法(只选择其中一种)，表示两次摸出小球上的标号的所有结果；(2)规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率．[答案：(1)略 (2)13]素材四 教材习题答案P67随堂练习用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，每个转盘都被分成面积相等的三个扇形，配得紫色的概率是多少？解：29.P68习题3.31．用如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是多少？解：59.2．一个盒子中装有三个红球和两个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，求两次摸到相同颜色的球的概率．解：1325.3．有两组卡片，第一组卡片上写有A ，B ，B ，第二组卡片上写有A ，B ，B ，C ，C.分别利用画树状图和列表的方法，求从每组卡片中各抽出一张，都抽到B 的概率．解：树状图法：∴都抽到B 的概率为415.4．设计两个转盘进行“配紫色”游戏，使配得紫色的概率是13.解：略．素材五 图书增值练习专题一 用树状图和列表法计算事件发生的概率1. 一个不透明的口袋中有4个除标号外完全相同的小球，这4个小球分别标号为1,2,3,4．（1）随机摸取一个小球，求恰好摸到标号为2的小球的概率；（2）随机摸取一个小球记下标号然后放回，再随机摸取一个小球，求两次摸取的小 球的标号的和为3的概率． 2. 甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球 的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍. （1）求乙盒中蓝球的个数；（2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.专题二 概率的应用3.（2009·重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认4.小婷和小英做游戏,她们在一个盒子里装了标号为1、2、3、4的四个乒乓球,现在小婷从盒子里随机摸出一个乒乓球后,小英再从盒子里剩下的三个乒乓球中随机摸出第二个乒乓球,如果摸出的乒乓球上的数字和为4或5,则小婷获胜,否则小英获胜,你认为这个游戏对她们公平吗？请说理由. 【知识要点】用树状图和列表法计算涉及两步实验的随机事件发生的概率． 【方法技巧】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，概率问题要注意分清放回与不放回，结果是完全不一样的. 答案1 解：（1）由图可知：共18块方砖，其中白色8块，黑色10块.故小皮球停留在黑色方砖上的概率是；小皮球停留在白色方砖上的概率是． （2）因为，所以小皮球停留在黑色方砖上的概率大于停留在白色方砖上的概率．要使这两个概率相等，可改变第二行第4列中的方砖颜色，黑色方砖改为白色方砖．答案不唯一，回答正确即可.2. 解：（1）显然，随机摸取一个小球，恰好摸到标号为2的小球的概率为14； （2）所以有可能的情况为： (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).而两次摸取的小球的标号的和为3的情况有(1,2),(2,1)，所以其概率为21168． 3. （1）画树状图如下：或列表如下：由树状图或表格可知，所有结果有12种，积为0的有4种，∴P （积为0）＝412＝13； （2）不公平．∵P （积为奇数）＝812＝23，P （积为偶数）＝412＝13，∴该游戏不公平．可以改为：若这两个数的积大于2，小亮赢；否则小红赢．（答案不唯一） 4、可列表1 0 1 32 0 13 3 0 1 34 0 1 3 开始小亮 小红 积13 02639412由表中可以看出：小婷获胜的概率为6÷12=0.5 所以游戏是公平的素材六 数学素养提升“一次抽取2个”概率类问题的探究引例：一个盒子里有6个除颜色外其余都相同的玻璃球，3个红色，1个黄色，2个白色，现随机从盒子中一次取出2个球，求这两个球都是白球的概率是多少？分析；大家知道求解概率问题我们常用列树状图或列表的方法解决．现在我们仍遵循常规的思路来探索解决．我们用A 1、A 2、A 3分别表示3个红球，B 表示黄球，C 1、C 2 表示两个白球，列表如下：列出表格之后有的同学不加深入的思考分析，观察表格便机械地得出共有36种可能的结果，其中一次取出2个白球（C 1C 1、C 1C 2或C 2C 1、C 2C 2）共有4种情况，因而两个球都是白球的概率为P =364=91． 熟不知上述辛辛苦苦探究得到的答案是错误的，原因出在何处呢？仔细分析上述解法，从列表中可以发现：6种情况（11、22、33、、C 1C 1、C 2C 2）根本不会出现，（因为一个球不可能取2次）；其次一次取两个球，表中列出的A 2A 1、A 1A 2……等等，实际上是一种情况，因而表格中的以对角线为分界线的右上部分与左下部分是相同的（重复），所以我们计算出现的所有可能的情况时只需选择右上部分情况加以统计即可．共有5+4+3+2+1=15，其中均为白球只有（C 1C 2）1种情况，因此随机从盒子中一次取出2个球，这两个球都是白球的概率为P =151． 爱因斯坦说过：“从新的角度看待旧的问题，需要有创造性的想象能力”．如果我们把表中的表示“球”的字母A 1、A 2、B 、C 1、C 2，看作线段的端点，那么一次取2个球，就可以看作以这2个字母为端点连成一条线段，显然线段A 2A 1、A 1A 2表示同一条线段，从而说明一次取2个球（先取球A 1再取球A 2 与先取到球A 2再取到球A 1）实际上是一种情况，因此一次取2个问题的概率，我们可以借助计算线段的条数模型来计算．。
