山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(理科)说明：本试卷满分150分，分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第5页。
试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第I卷(共60分)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。
每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合中的元素个数是A. 2B. 3C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故A∪B的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知向量A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3.设满足约束条件则的最大值是A. B. 0 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．4.已知等比数列中，A. B. ±4 C. 4 D. 16【答案】A【解析】【分析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5.“”是“指数函数单调递减”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数单调递减”，所以，所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判断：①若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；②若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；③若且，即时，则是的充要条件.6.已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(4，8)内的概率是(附：随机变量服从正态分布，则，A. 4.56％B. 13．59％C. 27.18％D. 31.74％【答案】B【解析】【分析】由题意,利用正态分布的对称性，即可得出结论．【详解】由题意P（﹣4＜ξ＜4）=0.6826，P（﹣8＜ξ＜8）=0.9544，可得P（4＜ξ＜8）=（0.9544﹣0.6826）= 0.1359．故答案为：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦．设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. 866B. 500C. 300D. 134【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D.8.函数的部分图象为（）【答案】A【解析】试题分析：因,故当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减; 当时,,函数单调递增.故应选A.考点：导数与函数单调性的关系．9.展开式的系数为A. B. C. 15 D. 45【答案】B【解析】【分析】先化简=，再利用二项式定理的通项分析得解.【详解】由题得=，设对于二项式，设其通项为，令6-r-3k=2,所以r+3k=4,r,k∈,方程的解为r=1,k=1或者r=4,k=0.所以展开式的系数为.故答案为：B【点睛】本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式中的系数的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.10.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是，当且仅当时称为“凹数”，若，从这些三位数中任取一个，则它为“凹数”的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先分类讨论求出所有的三位数，再求其中的凹数的个数，最后利用古典概型的概率公式求解.【详解】先求所有的三位数，个位有4种排法，十位有4种排法，百位有4种排法，所以共有个三位数.再求其中的凹数，第一类：凹数中有三个不同的数，把最小的放在中间，共有种，第二类，凹数中有两个不同的数，将小的放在中间即可，共有种方法，所以共有凹数8+6=14个，由古典概型的概率公式得P=.故答案为：C【点睛】本题主要考查排列组合的运用，考查古典概型的概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围．【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（﹣）的图象，若函数g（x）在区间与[2aπ，4π]上均单调递增，则0﹣=﹣，﹣≤0，且﹣≥2kπ﹣π，﹣≤2kπ，k∈Z．解得≤a≤，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．12.已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意可设C（cos θ，sin θ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值．【详解】由||=1可设C（cos θ，sin θ），又•=，所以cos∠BOA=,所以∠BOA=.因为||=||=1，可设A（，），B（1，0），=x+y，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当x+y最小值为.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．第II卷(非选择题，共90分)二、填空题(本题包括4小题，共20分)13.已知函数_________【答案】【解析】【分析】先求f(-1),再求的值.【详解】由题得f(-1)=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14.设为正实数，且的最小值为_________【答案】【解析】【分析】由题得=,再利用基本不等式求最小值.【详解】由题得=,当且仅当时取等.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.15.函数的最大值为________【答案】【解析】【分析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16.下表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，则数字2019在表中出现的次数为________【答案】【解析】【分析】利用观察法及定义可知第1行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，进一步分析得知第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，同时分别求出通项公式，从而得知结果．【详解】第i行第j列的数记为A ij．那么每一组i与j的解就是表中一个数．因为第一行数组成的数列A1j（j=1，2，）是以2为首项，公差为1的等差数列，所以A1j=2+（j﹣1）×1=j+1，所以第j列数组成的数列A1j（i=1，2，）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1．令A ij=ij+1=2019，即ij=2018=1×2018=2018×1=2×1009=1009×2故表中2019共出现4次．故答案为：4【点睛】此题考查行列模型的等差数列的求法，解答的关键是分析出A ij=j+1+（i﹣1）×j=ij+1.三．解答题(本题包括6小题，共70分)17.已知在递增的等差数列的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求．【答案】(I)(II)【解析】【分析】(I)根据已知求出的通项公式.(II)由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得所以.(II)由题意可知：所以.【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.在中，A,B,C所对的边分别为，满足．(I)求角A的大小；(Ⅱ)若，D为BC的中点，且的值．【答案】(I);(II).【解析】【分析】(I)得，求出 . (Ⅱ)由题意可知，化简得，再结合余弦定理求出，再利用正弦定理求出的值．【详解】(I)，所以，所以因为，所以，所以(Ⅱ)由题意可知：所以所以又因为，所以，因为，所以由正弦定理可得，所以【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.19.某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少．参考公式：参考数据：【答案】(I)z与x的线性回归方程是(II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【解析】【分析】(I)利用最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是, 令x＝10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知，，又,所以，所以，所以z与x的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x的回归方程是,令x＝10，得=,因为ln 1.03≈0.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元．【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.20.已知数列(I)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和【答案】(I).【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. (Ⅱ)利用错位相减法求数列的前n项和【详解】(I)由题意可知：当时，，又因为，所以，又因为当，，所以所以等比数列，且（2）所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.依据黄河济南段8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图(甲)所示：依据济南的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图(乙)所示．(I)以此频率作为概率，试估计黄河济南段在8月份发生I级灾害的概率；(Ⅱ)黄河济南段某企业，在3月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元．现此企业有如下三种应对方案：试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案?说明理由.【答案】(I)，因此企业应选方案二．【解析】【分析】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，分别求出它们发生的概率，记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，分别求出它们发生的概率，再利用求解.（II）以企业利润为随机变量，分别计算出三种方案的利润，再选择.【详解】（I）依据甲图，记黄河8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：，．记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以．记“该黄河在8月份发生1级灾害”为事件．则．估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为．（II）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（I）知．的分布列为则该企业在8月份的利润期望（万元）．选择方案二，则（万元）的取值为：，由（I）知，，的分布列为：则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二．【点睛】本题主要考查概率的计算，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22.已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数图象关于直线对称，函数的最小值为m．(I)求曲线的切线方程；(Ⅱ)求证：；(III)求函数的最小值．【答案】(I)(Ⅱ)见解析(III)【解析】【分析】(I)由题意可知,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ)令，求出函数的最小值，再根据得到 . (III)先利用导数求得，再证明，所以.【详解】(I)由题意可知，所以，所以切线方程为，(Ⅱ)令，因为，，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即，当，所以单减，同理在单增，所以，因为，所以所以因为，所以(III)因为,，所以因为，所以存在唯一的，使得，即在单减，在单增所以因为所以，所以令，所以因为所以由，可得，所以所以，，所以，即，所以【点睛】本题主要考查切线方程的求法，考查利用导数求函数的单调区间和最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。
几何概型1.几何概型向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型.2.几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比.3.借助模拟方法可以估计随机事件发生的概率. 概念方法微思考1.古典概型与几何概型有什么区别？提示 古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.2.几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？ 提示 几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ )(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等.( √ )(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × ) (6)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P ＝19.( × )题组二 教材改编2.在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为( ) A.12 B.13 C.14 D.1 答案 B解析 坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.3.有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝38，P (B )＝28，P (C )＝26，P (D )＝13，∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B ).4.设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ) A.π4 B.π－22C.π6D.4－π4答案 D解析 如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的平面区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分(不包括AC )表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域.易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4，故选D.题组三 易错自纠5.在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由|x |≤m ，得－m ≤x ≤m .当0<m ≤2时，由题意得2m 6＝56，解得m ＝2.5，矛盾，舍去.当2<m <4时，由题意得m －(－2)6＝56，解得m ＝3.故m ＝3.6.在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为________. 答案 23解析 设AC ＝x cm(0<x <12)，则CB ＝(12－x )cm ，则矩形的面积S ＝x (12－x )＝12x －x 2(cm 2).由12x －x 2<32，即(x －8)(x －4)>0，解得0<x <4或8<x <12. 在数轴上表示，如图所示.由几何概型概率计算公式，得所求概率为812＝23.题型一 与长度、角度有关的几何概型例1 在等腰Rt △ABC 中，直角顶点为C . (1)在斜边AB 上任取一点M ，求|AM |<|AC |的概率；(2)在∠ACB 的内部，以C 为端点任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求|AM |<|AC |的概率.解 (1)如图所示，在AB 上取一点C ′，使|AC ′|＝|AC |，连接CC ′.由题意，知|AB |＝2|AC |.由于点M 是在斜边AB 上任取的，所以点M 等可能分布在线段AB 上，因此基本事件的区域应是线段AB . 所以P (|AM |<|AC |)＝|AC ′||AB |＝|AC |2|AC |＝22. (2)由于在∠ACB 内以C 为端点任作射线CM ，所以CM 等可能分布在∠ACB 内的任一位置(如图所示)，因此基本事件的区域应是∠ACB ，所以P (|AM |<|AC |)＝∠ACC ′∠ACB＝π－π42π2＝34.思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的概率的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同，解题的关键是构建事件的区域(长度或角度).跟踪训练1 (1)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为____________. 答案 23解析 方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4p 2－4(3p －2)≥0，－2p <0，3p －2>0，解得p ≥2或23<p ≤1，又p ∈[0,5]，则所求概率为P ＝3＋135＝1035＝23.(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.答案 13解析 因为在∠DAB 内任作射线AP ，所以它的所有等可能事件所在的区域是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，则区域为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB ∠DAB ＝30°90°＝13.题型二 与面积有关的几何概型命题点1 与面积有关的几何概型的计算例2 (1)(2017·全国Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.(2)如图，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(2,4)，函数f (x )＝x 2.若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.答案512解析 由题意知，阴影部分的面积S ＝ʃ21(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3|21＝53， 所以所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝531×4＝512.命题点2 随机模拟例3 (1)如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为()A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32答案 C解析 由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为300－96300＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得S 椭圆S 矩形＝0.68，而S 矩形＝6×4＝24，则S 椭圆＝0.68×24＝16.32.(2)若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数，指定0,1,2,3表示没有击中目标，4,5,6,7,8,9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组如下的随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为________. 答案 0.4解析 根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527 9857 8636 6947 4698 8045 9597 7424，共8个，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为820＝0.4.思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.跟踪训练2 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]内随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( ) A.4n m B.2n m C.4m n D.2m n答案 C解析 由题意得(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知π41＝mn，∴π＝4mn，故选C.(2)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________.答案2e 2解析 由题意知，所给图中两阴影部分面积相等，故阴影部分面积为S ＝2ʃ10(e －e x )d x ＝2(e x －e x )|10＝2[e －e －(0－1)]＝2.又该正方形的面积为e 2，故由几何概型的概率公式可得所求概率为2e 2.题型三 与体积有关的几何概型例4 已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为________.答案2764解析 当四棱锥O －ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2， 所以PE P A ＝34，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝⎛⎭⎫PE P A 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764.思维升华 求解与体积有关的几何概型的注意点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.跟踪训练3 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( ) A.6π B.32π C.3π D.233π 答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝32，球的体积V 2＝43π×⎝⎛⎭⎫323＝32π， 则此点落在正方体内部的概率P ＝V 1V 2＝233π.1.已知函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－3,3]，在定义域内任取一点x 0，使f (x 0)≤0的概率是( ) A.13 B.23 C.12 D.16 答案 C解析 由f (x 0)≤0，可得－1≤x 0≤2，所以D ＝3－(－3)＝6，d ＝2－(－1)＝3，故由几何概型的概率计算公式可得所求概率为P ＝d D ＝12，故选C.2.在区间[－1,3]上随机取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为12，则实数m 为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 区间[－1,3]的区间长度为4. 不等式|x |≤m 的解集为[－m ，m ]，当1<m ≤3时，由题意得m ＋14＝12，解得m ＝1(舍)，当0<m ≤1时，由2m 4＝12，则m ＝1.故m ＝1.3.若正方形ABCD 的边长为4，E 为四边上任意一点，则AE 的长度大于5的概率等于( ) A.132 B.78 C.38 D.18 答案 D解析 设M ，N 分别为BC ，CD 靠近点C 的四等分点，则当E 在线段CM ，CN (不包括M ，N )上时，AE 的长度大于5，因为正方形的周长为16，CM ＋CN ＝2，所以AE 的长度大于5的概率为216＝18，故选D.4.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A.2－33πB.4－63πC.－13－32πD.23答案 B解析 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B.5.如图，矩形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A (0，－1)，B (π，－1)，C (π，1)，D (0，1)，正弦曲线f (x )＝sin x 和余弦曲线g (x )＝cos x 在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )A.1＋2πB.1＋22πC.1πD.12π答案 B解析 根据题意，可得曲线y ＝sin x 与y ＝cos x 围成的区域的面积为ππππ44(sin cos )d (cos sin )|x x x x x ⎰－＝－－＝1－⎝⎛⎭⎫－22－22＝1＋ 2.又矩形ABCD 的面积为2π，由几何概型概率计算公式得该点落在阴影区域内的概率是1＋22π.故选B.6.(2018·郑州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明.如图所示是赵爽的弦图.弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A.866B.500C.300D.134答案 D解析 设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为(3－1)24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝⎛⎭⎫1－32×1 000≈134. 7.记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________. 答案 59解析 设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D ”为事件A ， 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3， ∴D ＝[－2,3].如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P (A )＝59.8.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，在直角边BC 上任取一点M ，则∠CAM <30°的概率是________. 答案33解析 因为点M 在直角边BC 上是等可能出现的，所以“区域”是长度.设BC ＝a ，则所求概率P ＝33a a ＝33.9.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥A —A 1BD 内的概率为______.答案 16解析 因为11A A BD A ABD V V =－－＝13AA 1×S △ABD＝16×AA 1×S 矩形ABCD ＝16V 长方体， 故所求概率为11.6A A BD V V =－长方体10.正方形的四个顶点A (－1，－1)，B (1，－1)，C (1，1)，D (－1,1)分别在抛物线y ＝－x 2和y ＝x 2上，如图所示.若将一个质点随机投入到正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影区域的概率是______.答案 23解析 正方形内空白部分面积为ʃ1－1[x 2－(－x 2)]d x＝ʃ1－12x 2d x ＝23·x 3|1－1＝23－⎝⎛⎭⎫－23＝43， 阴影部分面积为2×2－43＝83，所以所求概率为834＝23.11.已知向量a ＝(－2,1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36， 由a ·b ＝－1，得－2x ＋y ＝－1，所以满足a ·b ＝－1的基本事件为(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3个. 故满足a ·b ＝－1的概率为336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1,6]上取值，则全部基本事件的结果为 Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6}.满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6,1≤y ≤6且－2x ＋y <0}. 画出图像如图所示，矩形的面积为S 矩形＝25， 阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.12.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的.如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率.解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出， 当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上， 即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}.A 为图中阴影部分，全部结果构成的集合Ω为边长是24的正方形及其内部. 所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576＝1 0131 152.13.在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于12的概率为________.答案 34解析 设任取两点所表示的数分别为x ，y ，则0≤x ≤1，且0≤y ≤1，如图所示，则总事件所占的面积为 1.记这两点之间的距离小于12为事件A ，则A ＝{(x ，y )||x －y |<12，0≤x ≤1,0≤y ≤1}，如图中阴影部分所示，空白部分所占的面积为2×12×12×12＝14，所以所求两点之间的距离小于12的概率P (A )＝1－141＝34.14.向圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________. 答案 16－34π解析 如图所示，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以∠ACB ＝60°，所以S 圆C ＝π×22＝4π，所以S 弓形ADB ＝60°×π×22360°－12×2×3＝2π3－3，所以向圆C 内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝2π3－34π＝16－34π.15.在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥13”的概率，p 2为事件“|x －y |≤13”的概率，p 3为事件“xy ≤13”的概率，则( )A.p 1<p 2<p 3B.p 2<p 3<p 1C.p 3<p 1<p 2D.p 3<p 2<p 1答案 B解析 因为x ，y ∈[0,1]，所以事件“x ＋y ≥13”表示的平面区域如图(1)阴影部分(含边界)S 1，事件“|x －y |≤13”表示的平面区域如图(2)阴影部分(含边界)S 2，事件“xy ≤13”表示的平面区域如图(3)阴影部分(含边界)S 3，由图知，阴影部分的面积满足S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1，根据几何概型概率计算公式可得p 2<p 3<p 1.16.如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆.在扇形OAB 内随机取一点，求此点取自空白部分的概率.解 设分别以OA ，OB 为直径的两个半圆交于点C ，OA 的中点为D ，如图，连接OC ，DC .不妨令OA ＝OB ＝2， 则OD ＝DA ＝DC ＝1.在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π4＋12×1×1－⎝⎛⎭⎫π4－12×1×1＝1， 所以整个图形中空白部分面积S 2＝2. 又因为S 扇形OAB ＝14×π×22＝π，所以P ＝2π.。
江苏省南京市燕子矶中学2025届高三最后一模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量(,1),(3,2)a m b m ==-，则3m =是//a b 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件2．设3log 0.5a =，0.2log 0.3b =，0.32c =，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<4．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）A ．20B ．27C ．54D ．645．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A ．1y x =+B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =6．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 7．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）．A ．2B ．3C ．1D ．68．已知函数有三个不同的零点（其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．9．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）A ．23B ．1C ．43D ．8310．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为( )A ．12πB ．16πC ．24πD ．48π11．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）．A ．{|31}x x -<<-B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >-D ．{|1x x <-或1}3x >-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
