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一元函数导数公式及证明

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目录 一．一阶导数 ......................................................................................................................................................................................... 2 1. (C)'0 .................................................................................................................................................................................... 2 2. 1()'nnxnx

............................................................................................................................................................................ 2

3. (sin)'cosxx ........................................................................................................................................................................ 2 4. (cos)'sinxx .................................................................................................................................................................... 3 5. ()'ln,()'xxxxaaaee

...................................................................................................................................................... 3

6. 11(log)',(ln)'lnaxxxax .............................................................................................................................................. 3

7. 2(tan)'secxx

...................................................................................................................................................................... 3

8. 2(cot)'cscxx

.................................................................................................................................................................. 4

9. (sec)'sectanxxx .............................................................................................................................................................. 4 10. (csc)'csccotxxx ........................................................................................................................................................ 4 11. 21(arcsin)'1xx .......................................................................................................................................................... 4

12. 21(arccos)'1xx ...................................................................................................................................................... 4 13. 21(arctan)'1xx .............................................................................................................................................................. 4 14. 21(arccot)'1xx .......................................................................................................................................................... 5 二．高阶导数 ......................................................................................................................................................................................... 5 1. ()()xnxee

............................................................................................................................................................................... 5

2. ()(sin)sin()2nxxn

....................................................................................................................................................... 5

3. ()(cos)cos()2nxxn

..................................................................................................................................................... 5 4. ()1(1)![ln(1)](1)(1)nnnnxx ............................................................................................................................................. 6 5. ()(1)()(1)(2)321![]0nnnnxnnnnx

................................................................................................... 6

一．一阶导数 1.(C)'0 00()()limlim0xxfxxfxCCxx



2.1()'nnxnx

0012110000000000000()()'()limlim()(sin)'cos()()sin()sin'()limlimsin()12lim2cos()sin()limcos()limcos(2222nnnnnnxxxxhhhhhfxfxxxfxxxxxnxxxxxxxfxhfxxhxfxhhhhhhhxxxhh









1221)cos()2()()sinsin2cossin22nnnnnnxababaababbababab



利用：1221()()nnnnnnababaababb

3.(sin)'cosxx

00000()()sin()sin'()limlimsin()12lim2cos()sin()limcos()limcos()cos()22222hhhhhfxhfxxhxfxhhhhhhhxxxxhh





利用：sinsin2cossin22

ababab



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人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 基本初等函数的导数

人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 基本初等函数的导数


2
=-3 .
-3
(3)y'=14x13.
1
(4)∵y=4 =x-4,
∴y'=-4x
4
=-5 .
-5
1
5
;(4)y= 4 ;(5)y=
1 x
3
x ;(6)y=(3) ;(7)y=log3x.
-2
0
14
(1)y=e ;(2)y=x ;(3)y=x
5
解 (5)∵y= x 3 =
3 -2
∴y'= x 5
(2)如果已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进
行求解.两种情况的区别就在于切点已知和未知的问题,都需要借助导数的
几何意义求解.
变式训练3[2024广东惠州高二统考]已知函数f(x)=x3.求:
(1)曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
★★(2)曲线y=f(x)过点B(0,16)的切线方程.
解 (1)因为f'(x)=3x2,所以f'(1)=3,
又f(1)=1,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),
即3x-y-2=0.
(2)设切点为(x0,03 ),则 f'(x0)=302 ,所以切线方程为 y-03 =302 (x-x0).
因为切线过点 B(0,16),
m
n
x ,从而 f'(x)=(x
m
n
m
)'= n
·x
m
-1
n
.
思考辨析
对于幂函数f(x)=xα,当α分别取1,2,3,-1,
1
时,f'(x)分别为多少?
2
第5章一元函数的导数及其应用2024高二数学备考复习+PPT(新教材)

第5章一元函数的导数及其应用2024高二数学备考复习+PPT(新教材)


3.(2021·山东德州高三阶段检测)已知函数 f(x)＝12x2＋2aln x－(a＋2)x. (1)当 a＝1 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)是否存在实宋数老a师，数使学函精数品g工(x作)＝室f(x)＋ax＋49x3 在(0，＋∞)上单调递
增？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
室 ex0＝k， 知yy00－ ＝eexx00x，0＝0，解得kx＝ 0＝e1. ，
【答案】 (1)D (2)D
归纳总结
导数的几何意义
1．导数几何意义的应用
宋老师数学精品工作室
典例解析
专题 2 利用导数研究函数的单调性
例 2.已知函数 f(x)＝3ax－2x宋师2＋老数ln x，其中 a 为常数且 a≠0. (1)若 a＝1，求函数 f(x)的单学品调精工区间宋；老师 (2)若函数 f(x)在宋区老间师[1，数2学]作上精室为品单工调作数函室学数精，求 a 的取值范围．
(2)存在，a≥274. 因为函数g(x)＝f(x)＋ax＋94x3＝21x2＋2aln x－2x＋49x3， 所以g ′(x)＝x＋2xa－2＋34x2．
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要使函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则g ′(x)＝x＋2xa－2＋43x2≥0在(0，＋∞)上恒成立， 即4x3＋3x2－6x＋6a≥0， 即a≥－4x3＋36x2－6x在(0，＋∞)上恒成立．
法二：因为函数 f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax 为奇函数，所以 f(－
1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a＋(1＋a－1＋a)＝0，解得 a 宋老
＝1，所以 f(x)＝x3＋x，所以师数f′(x)＝3x2＋1，所以 f′(0)＝1， 所以曲线 y＝f(x)在点(0，0)学处精的切线方程为 y＝x.故选 D. (2)设切点坐标为(宋x0老，y师0)，数因学为 品作精工室y品′＝工(e作宋数x)′室老学＝师精ex，所以 y′|x＝x0＝ex0， 所以切线方程为 y－y0＝ex0(x－x0)，品即工y作＝ex0x＋y0－ex0x0.故
一元函数对数求导

一元函数对数求导

一元函数对数求导，是指求一元函数中一个变量关于另一个变量的对数偏导数。

这个问题涉及到微积分的概念，也就是说，我们要求解一元函数的导数，必须先了解求导的基本概念以及证明求导法则。

首先，我们介绍一元函数求导的基本概念，当f (x)是一元函数时，“对x求导”指对f (x)在某点x=x0处的变化率求导，以及在某点x=x0处极限进行求导，在微积分中称之为一阶导数。

其次，求导法则：1、加法积则：如果f (x)为两个可求导函数的总和，那么可以分别求出这两个函数的导数，然后相加：y=u (x)＋v (x)y'=u' (x)＋v' (x)2、乘法积则：如果f (x)是两个可求导函数的积，则可以分别求出这两个函数的导数，然后相乘：y=u (x)×v (x)y'=u' (x)×v (x)＋u (x)×v' (x)3、关于c的导数为0：y=cy'=0最后介绍一元函数对数求导的偏导数定义：设f (x)是一元函数，令其变量分别为x与y，则对y求导，就是对f (x)求在点x=x0处关于y的对数偏导数，即存在极限：limh→0(ln f (x0＋h)-ln f (x0))/h这就是一元函数对数求导的定义，即d/dy[ln f(x)]，它的数学表达式为：d/dy[ln f(x)]=f'(x) / f (x)总之，一元函数对数求导是在求一元函数中一个变量关于另一个变量的对数偏导数，我们必须先了解求导的基本概念以及证明求导法则，以及根据定义求出一元函数求导的结果。

在分析求导问题时，我们一定要根据实际情况，考虑好具体问题，正确使用求导公式，以便能够准确地求出微积分中的问题结果。

第2章 一元函数微分学

第2章 一元函数微分学

第二章一元函数微分学110拐点判断定理:若曲线)(x f y =,0连续在点x 0)(0=′′x f 或不存在,但)(x f ′′在两侧异号,0x 则点))(,(00x f x 是曲线)(x f y =的一个拐点.曲线的渐近线(1)水平渐近线.)(),()(lim )(lim 的一条水平渐近线就是那么为常数或如果x f y b y b b x f b x f x x ====−∞→+∞→考试要求1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系,了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念),会求平面曲线的切线方程和法线方程.2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则,会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数.3.了解高阶导数的概念,会求简单函数的高阶导数.4.了解微分的概念,导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性,会求函数的微分.5.理解罗尔(Rolle)定理.拉格朗日(Lagrange)中值定理.了解泰勒(Taylor)定理.柯西(Cauchy)中值定理,掌握这四个定理的简单应用.136.会用洛必达法则求极限.7.掌握函数单调性的判别方法,了解函数极值的概念,掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求函数图形的拐点和渐近线.9.会描述简单函数的图形.1419设||3)(23x x x x f +=,则)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 只要考虑||2x x 的可导性,)(x g ′′在0=x 处的左、右导数分别为6和6−,故不可导,故)(x f 在0=x 处可求导的最高阶数为2阶,本题应选C.例5解⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=,0,,0,0,0,)(33x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′,0,3,0,0,0,3)(22x x x x x x g ⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=′′.0,6,0,0,0,6)(x x x x x x g21设)(x y y =是由方程y x xy+=e 所确定的隐函数,求:)0(),0(y y ′′′.方程两边关于x 求导,得)1(,1)( y y x y xye ′+=′+,11)0(0式带入及将)(==y x .0)0(=′∴y (1)式两边再关于x 求导,得,)2()(2y y x y y x y xyxy ′′=′′+′+′+e e ,代入及将0)0(1)0(,0=′==y y x .1)0(=′′y 得例7解33。