工程电磁场 第六章电磁场的边值问题

s c
B ds 0 H dl I
B 0 H J
这是恒定磁场的基本方程。
磁介质中的本构方程为
B H
从以上方程可知，恒定磁场是一个旋涡场，电流是这个旋 涡场的源，电流线是闭合的。
静态场的位函数
1、静电场的位函数分布
静电场可以用一个标量函数 即

的梯度来表示它:
+
A C B
-
恒定电流的形成 要想在导线中维持恒定电流，必须依靠非静电力将B极板的正电荷抵抗电场力搬
到A极板。这种提供非静电力将其它形式的能量转为电能装置称为电源。
若一闭合路径经过电源，则：
ò E ?dl
c
eE
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即电场强度的线积分等于电源的电动势 E 若闭合路径不经过电源，则：

c
E dl 0
2、恒定电场的位函数分布
在无电源区域，恒定电场是一个位场，即有 E 0
这时同样可以引入一个标量位函数

使得
E
根据电流连续性方程 J 0 及物态方程 J E 并设电导率 为一常数（对应于均匀导电媒质），则有
2 J ( E) ( ) 0
恒定电场在无电源区的基本方程的积分形式和微分形式分别为
J ds 0 E dl 0
s
c
J 0 E 0
导体中的本构方程为
J E
3、恒定磁场的基本方程 恒定电流的导体周围或内部不仅存在电场，而且存在 磁场，但这个磁场不随时间变化，是恒定磁场。假设导体
中的传导电流为I，电流密度为 J ,则有
第 5章
静态场的边值问题

第6章 电磁场边值问题的基本解法 183 为方便分析，假设π4θ=。

如图6-3-4（b ）所示，为了保证B 面的电位为零，需要在与B 面对称的位置放置与q 等量异号的镜像电荷1q （1q 为负电荷），1q 与A 面的夹角为0π2θ−，即02θθ−；为了保证A 面的电位为零，需要在与A 面对称的位置放置与q 等量异号的镜像电荷2q （负电荷），2q 与A 面的夹角为02πθ−，即08θθ−；由于2q 的放置，要保证B 面的电位为零，需要在与B 面对称的位置放置镜像电荷3q （正电荷），3q 与A 面的夹角为0π2θ+，即02θθ+；由于1q 的放置，要保证A 面的电位为零，需要在与A 面对称的位置放置镜像电荷4q （正电荷），4q 与A 面的夹角为03π2θ+，即06θθ+；由于3q 的放置，要保证A 面的电位为零，需要在与A 面对称的位置放置镜像电荷5q （负电荷），5q 与A 面的夹角为03π2θ−，即06θθ−；由于5q 的放置，要保证B 面的电位为零，需要在与B 面对称的位置放置镜像电荷6q （正电荷），6q 与A 面的夹角为0πθ+，即04θθ+；由于6q 的放置，要保证A 面的电位为零，需要在与A 面对称的位置放置镜像电荷7q （负电荷），7q 与A 面的夹角为0πθ−，即04θθ−。

由图6-3-4（b ）可见，放置了7个镜像电荷后，保证了A 、B 都为零电位面，镜像电荷放置的位置分别为02θθ−（1q ）、02θθ+（3q ）、04θθ−（7q ）、04θθ+（6q ）、06θθ−（5q ）、06θθ+（4q ）、08θθ−（2q ），可以归纳为021,2,3,4i i θθ±=（）（08θθ+即是电荷q 所在位置）。

可以证明：这一结果对于123n =、、、…均成立，即πnθ=，像电荷为21n −个，它们的位置也为02θθ−、02θθ+、04θθ−，04θθ+……，021,2,,i i n θθ±= （），而0022n θθπθ+=+，由此得到 πnθ= 实际上，对于1n =，放置的镜像电荷为1个，位置为π2π2−，此即无限大接地导体平面上方有点电荷q 的情况；对于2n =，放置的镜像电荷为3个，位置分别为0πθ−、0πθ+、02πθ−，此即点电荷q 位于两个互相垂直的接地导体面所围成的直角空间内的情况，即例6-3-2；对于3n =，放置的镜像电荷为5个，位置分别为02π3θ−、02π3θ+、04π3θ−、04π3θ+、06π3θ−。

工程电磁场
工程电磁场
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工程电磁场 6 电磁场边值问题的解析方法
本章提示： 主要介绍几种解析算方法。 针对一维泊松方程， 分别在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 讨论了解析积分方法。 针对拉普拉斯方程，二维情况，
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09:14:02
工程电磁场
介绍了直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系 分离变量法。 基于静电场和恒定磁场解的唯一性定理， 静电场中关于 导体平面、导体球面、电介质分界面平面的镜像法， 导体圆柱面的电轴法 恒定磁场中关于媒质分界面平面的镜像法。
工程电磁场
1 d (r du ) 0 r dr dr
得
1
u r c1dr c2 c1 ln r c2
例 如图同轴电缆绝缘层内外半径
分别为 R1 和 R2 ，绝缘材料漏电导率 1105 ，
内外导体之间加电压1V ，求电流分布。
解：
14
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工程电磁场
1
u r c1dr c2 c1 ln r c2
R2 R1
R1
3. 球坐标系
在圆柱坐标系中，拉普拉斯算子表示为
22
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工程电磁场
2u
1 r2
r
r 2
u r
r2
1 sin
(sin u)
1 r 2 sin2
2u 2
(1) 一 维 自 变 量 为 坐标
r
如图, 球坐标系中，
若u 只与坐标 r 有关， 不随 、 变化，
则一维泊松方程为
两边积分一次
du r2
d a
f (r, )d c1
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工程电磁场

S
若界面上的电流可以看成面电流， 则
于是有
∫α
S
f
⋅ dS = α f ⋅ b ∆l
t ⋅ ( H 2 − H1 )∆l = α f ⋅ b ∆l
考虑到 t=b×n, 得
(b × n ) ⋅ ( H 2 − H1 ) = α f ⋅ b
使用矢量恒等式
( A × B) ⋅ C = ( B × C ) ⋅ A
§ 5 电磁场边值关系
静电场的边界条件
图 1 -12 法向边界条件
D2 ⋅ n∆S − D1 ⋅ n∆S = q = σ f ∆S n ⋅ ( D2 − D1 ) = σ f
或
D2 n − D1n = σ f
n ⋅ ( D2 − D1 ) = 0
如果界面上无自由电荷分布，即在σ f =0时，ห้องสมุดไป่ตู้界条件变为
n × ( H 2 − H1 ) = α f
n ⋅ ( D2 − D1 ) = σ f
n ⋅ ( B2 − B1 ) = 0
或
D2 n − D1n = 0
D1n = ε 0 E1n + P n 1 D2 n = ε 0 E2 n + P2 n P2 n − P n = −σ p 1
∴ ε 0 ( E2 n − E1n ) = σ f + σ p
图 1 - 14 切向边界条件
E ⋅ dl = E1 ⋅ ∆l1 + E2 ⋅ ∆l2 = 0 ∫
l
因为∆l2= t∆l，∆l1= -t∆l, t是单位矢量，上式变为
( E2 − E1 ) ⋅ t = 0
注意到n⊥t，故有
n × ( E2 − E1 ) = 0 E2 t = E1t