2020年高考数学试题分类汇编 选修4
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十五、选修4
1.（山东理4）不等式|5||3|10xx的解集是
A．[-5，7] B．[-4，6]
C．,57,U D．,46,U
【答案】D
2.（北京理5）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，
延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：
①AD+AE=AB+BC+CA；
②AF·AG=AD·AE
③△AFB ～△ADG
其中正确结论的序号是
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】A
3.（安徽理5）在极坐标系中，点cos2)3,2(到圆的圆心的距离为
（A）2 （B）942 （C）912 （D）3
【答案】D
4.（北京理3）在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是
A．(1,)2 B．(1,)2
C． (1,0) D．(1，)
【答案】B
5.（天津理11）已知抛物线C的参数方程为28,8.xtyt（t为参数）若斜率为1的
直线经过抛物线C的焦点，且与圆2224(0)xyrr相切，
则r=________.
【答案】2
6.（天津理12）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一
点，且2,::4:2:1.DFCFAFFBBE若CE与圆相切，则 线段CE的长为__________.
【答案】72
7.（天津理13）已知集合
1|349,|46,(0,)AxRxxBxRxttt，则集合AB=________.
【答案】{|25}xx
8.（上海理5）在极坐标系中，直线(2cossin)2与直线cos1的夹角大小为 。
【答案】25arccos5
9.（上海理10）行列式abcd（,,,{1,1,2}abcd）的所有可能值中，最大的是 。
【答案】6
（陕西理15）（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评10.分）
A．（不等式选做题）若关于x的不等式12axx存在实数解，则实数a的取值范围是 。
B．（几何证明选做题）如图，,,90BDAEBCACDo，且6,4,12ABACAD，则BE 。
C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线13cos:4sinxCy（为参数）和曲线2:1C上，则AB的最小值为 。
【答案】,33,U 42 3 11.（湖南理9）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为cos,1sinxy（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为cossin10，则C1与C2的交点个数为
【答案】2
12.（江西理15）（1）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为=2sin4cos,以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
【答案】22420xyxy
13.（江西理15）（2）（不等式选做题）对于实数xy，,若11,21,21xyxy则的最大值为
【答案】5
14.（湖南理10）设,xyR,且0xy，则222211()(4)xyyx的最小值为 。
【答案】9
15.（湖南理11）如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，
AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为 。
【答案】233
16.（广东理14）（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos(0)sinxy和25()4xttRyt，它们的交点坐标为___________．
【答案】25(1,)5
17.（广东理15）（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点p分别作圆的切线
和割线交圆于A,B，且PB=7，C是圆上一点使得BC=5，
∠BAC=∠APB, 则AB= 。
【答案】35
18.（福建理21）本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
设矩阵00aMb（其中a＞0，b＞0）．
（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；
（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：1y4x22，求a，b的值．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为
x3cosysin（为参数）．
（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，2π），判断点P与直线l的位置关系；
（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲
设不等式11-x2＜的解集为M．
（I）求集合M；
（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．
（1）选修4—2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与交换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。
解：（I）设矩阵M的逆矩阵11122xyMxy，则110.01MM
又2003M，所以112220100301xyxy，
所以112211221121,20,30,31,,0,0,,23xyxyxyxy即
故所求的逆矩阵1102.103M
（II）设曲线C上任意一点(,)Pxy， 它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点'(',')Pxy，
则00ab'',''xxaxxyybyy即
又点'(',')Pxy在曲线'C上，
所以22''14xy,,
则222214axby为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为22224,1,1.axyb故
又2,0,0,1.aabb所以
（2）选修4—4：坐标系与参数方程
本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。
解：（I）把极坐标系下的点(4,)2P化为直角坐标，得P（0，4）。
因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程40xy，
所以点P在直线l上，
（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(3cos,sin)，
从而点Q到直线l的距离为
2cos()4|3cossin4|62cos()22622d，
由此得，当cos()16时，d取得最小值，且最小值为2.
（3）选修4—5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。
解：（I）由|21|11211,01.xxx得解得 所以{|01}.Mxx
（II）由（I）和,abM可知0
所以(1)()(1)(1)0.ababab
故1.abab
19.（辽宁理22）
如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．
（I）证明：CD//AB；
（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．
20.（辽宁理23）
选修4-4：坐标系统与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为sincosyx（为参数），曲线C2的参数方程为sincosbyax（0ba，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=2时，这两个交点重合．
（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
（II）设当=4时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=4时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：
（I）C1是圆，C2是椭圆. 当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.
当2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.
（II）C1，C2的普通方程分别为222211.9xxyy和
当4时，射线l与C1交点A1的横坐标为22x，与C2交点B1的横坐标为
310.10x
当4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，
四边形A1A2B2B1为梯形.
故四边形A1A2B2B1的面积为(22)()2.25xxxx …………10分
21.（辽宁理24）
选修4-5：不等式选讲
已知函数)(xf=|x-2||x-5|．
（I）证明：3≤)(xf≤3；
（II）求不等式)(xf≥x28x+15的解集．
解：
（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.
因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA，
所以CD//AB. …………5分
（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC
从而∠FED=∠GEC.
连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，
又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A，B，G，F四点共圆 …………10分
解：
