阿波罗尼奥斯与《圆锥曲线论》

６５成才之路

２０１５年７月·第２１期（总第４６９期）【基教与成才研究】

圆锥曲线是高考必考部分，大约试卷上有两道小题一道大题，基本上２２分左右。离心率是圆锥曲线的重要性质之一，也是高考的热点问题。本文通过一道小题对圆锥曲线离心率的求法进行总结归纳，论述一题多解的优势。题目：设Ｆ是双曲线C:x2a2-y2b2＝１（a>0，b>0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B。若2A軑F軋=F軋B軑，则C的离心率是（）。Ａ．２姨Ｂ．２Ｃ．２３姨３Ｄ．１４姨３解法１：不妨设直线AB的方程为y＝－ab（x－c）与y＝－bax联立，得到点B的坐标（a2ca2-b2，-abca2-b2），由A到渐近线的距离是b，故|BF|＝2b，即|BF|＝(a2ca2-b2-c)2+(-abca2-b2)2姨＝2b，经化简得a2＝3b2或b2＝3a2，所以由e＝ac＝1+b2a2姨，得e＝２或者e＝２３姨３，画图像（如图１）可得e＝２时，AB两点在直线的异侧，不符合条件2A軑F軋=F軋B軑，故舍掉。综上，e＝２３姨３。点评：本解法主要考查双曲线的结论———焦点到渐近线的距离b，通过解方程得到点B的坐标，再找到b2与a2的关系，虽然易懂但计算量太大，较量费时间。解法２：不妨设直线AB的方程为y＝－ab（x－c）与y＝－bax，联立，得到点B的坐标（a2ca2-b2，-abca2-b2），因为2AF=FB，故|yB|＝2|yA|，所以-abca2-b2=2abc化简得a2＝3b2，b2＝3a2，以下同上。点评：方法同解法一，但得到点B的纵坐标后再利用长度的关系求解，计算量上大大减少，较上一种方法更简单易行。解法３：不妨设直线AB的方程为y＝－ab（x－c）与双曲线方程x2a2-y2b2=1联立，得到（b4－a4）y2－2ab3cy＋a2b2c2＝0，y1＋y2＝2ab3cb4-a4，（１）y1y2＝a2b2c2b4-a4，（２）|yB|＝2|yA|，（３）联立（１）（２）（３）解得a2＝3b2，故e＝２３姨３。点评：几何问题代数化，求交点，联立方程得到找到b2与a2的关系，与前两种解法相近，但要求计算能力较强。解法４：不妨设直线AB的方程为y＝－ab（x－c）与y＝－bax，联立，得到点B的横坐标a2ca2-b2，所以a2ca2-b2＝c＋2b×bc，解得e＝２３姨３。点评：此解法也是先找出B的坐标，除了以上可以应用纵坐标找关系外，还可以利用横坐标建立等量关系，寻找答案。解法５：由图像可得tan∠AOF＝ba，tan∠AOB＝3ba，又∠AOB＝2∠AOF，借助于二倍角公式，得到3ba＝2ba1-（ba）2，整理整理得a2＝3b2，所以e＝２３姨３。点评：此法着眼于对图形的分析，抓住对称，还有|AF|＝b，结合二倍角公式得到找到b2与a2的关系。此法较上两种方法更简单易行。解法６：如图２，根据双曲线的对称性，过点F向双曲线的另一条渐近线作垂线垂足为C，易知|CF|＝b，|BF|＝２b，在Rt△ABC中，得∠FBC＝３０°，所以∠AOB＝６０°。在Rt△AOF中，得∠AOF＝３０°，所以e＝ca＝1ca＝1cos∠AOF＝30°＝２３姨３。点评：这种方法较以上几种方法有一种眼前一亮的感觉，数形结合解题简单易行，省时省力有效。解法７：同上法，得∠AOF＝３０°，所以tan∠AOF＝ba＝tan３０°＝３姨３，故e＝ca＝1+b2a2姨=２３姨３。点评：此法是上一种方法的补充，充分利用教的关系以及渐近线的定义求解，很是巧妙。小结：多角度思考问题，会开拓我们的思路，数形结合，将代数问题几何化、代数问题转几何，两者有效结合，我们会让抽象的题目变得有了生命。只有这样，才会使学生在考场上得心应手，取得优异的成绩。参考文献：［１］叶志祥，叶志根．巧解圆锥曲线离心率问题［Ｊ］．中学生数学，２０１５（０９）．［２］王荣鑫．妙用几何性质，巧解离心率范围［Ｊ］．数理化学习，２０１３（１２）．ｙｘｏａｂＡ２ｂＦＢ图１ｘｏａｂＡ２ｂＦＢｙｃ图２试论一题多解巧解圆锥曲线的离心率李立娟（河北省唐山市曹妃甸区第一中学，河北唐山０６３２９９）摘要：圆锥曲线是高考必考部分，并且一直是一个热点和难点。通过２０１５年唐山市一模试卷的一道选择题，从不同的角度一题多解，代数问题几何化、几何问题代数化，两者有效结合，能提高学生分析问题和解决问题的能力。关键词：双曲线；离心率；渐近线；向量中图分类号：Ｇ６３３．６文献标志码：Ａ文章编号：１００８－３５６１（２０１５）２１－００６５－０１

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论圆锥曲线的解题思路与技巧

作者：陈天宇

来源：《新教育时代·学生版》2018年第34期

摘 要：在高中数学学习过程中，圆锥曲线方面的内容十分重要，是基础知识，也是高考必考内容之一。我们需要对其进行熟练掌握，深刻理解。圆锥曲线将代数与几何进行完美融合，既有数的计算，又有形的美感，充分体现数形结合的思想，能很好地培养我们的数学思维能力和计算能力。在解决方案上也十分丰富，各种解题思路在解决问题的过程中能够不断予以扩充。对于圆锥曲线与平面向量、不等式、导数等知识相互融合的问题，往往题目灵活多变，这能够进一步考查同学们的解题思维，体现同学们在数学学习过程中对于数学的综合应用能力。

关键词：圆锥曲线解题思路技巧

一、圆锥曲线的的重要价值

圆锥曲线是高中平面解析几何的核心内容。圆锥曲线的知识内容多，题目计算量大，对于同学们的解题能力的要求也非常高。在高考中关于圆锥曲线方面的考点需要同学们在解题技能、知识及思维方面进行灵活运用。其实，只要我们找出其中的内在规律，就会觉得圆锥曲线方面的题并不是十分的困难，这需要我们将数形结合的理念进行灵活运用，充分的运用方程的思想通过点差法、待定系数法等一系列方法进行方程式的求解，最终达到解决问题的目的。

圆锥曲线和直线相结合的问题是解析几何中常考的经典问题，也是近些年来高考的一个热点，在涉及这类问题时，需要结合直线与圆锥曲线的相关基本知识进行综合分析，并运用方程的思想、韦达定理等知识进行解答。通过这些内容的考查，能够进一步提高同学们的数学解题能力。

二、圆锥曲线的常见题型及解题思路与技巧

1.常见题型

求圆锥曲线的方程、离心率、参数的范围、定点定值问题、面积与最值、中点弦问题、切线问题、轨迹方程、存在性问题、对称问题等等。

2.解题思路

试论一题多解巧解圆锥曲线的离心率　

李立娟　

（河北省唐山市曹妃甸区第一中学，河北唐山０６３２９９）　摘要：圆锥曲线是高考必考部分，并且一直是一个热点和难点。通过２０１５年唐山市一模试卷的一道选择题，从不同的　

角度一题多解，代数问题几何化、几何问题代数化，两者有效结合，能提高学生分析问题和解决问题的能力。　

关键词：双曲线；离心率；渐近线；向量　中图分类号：Ｇ６３３．６　文献标志码：Ａ　文章编号：１　００８—３５６１【２０１　５）２１—００６５—０１　

圆锥曲线是高考必考部分，大约试卷上有两道小题一道大　

题，基本上２２分左右。离心率是圆锥曲线的重要性质之一，也　是高考的热点问题。本文通过一道小题对圆锥曲线离心率的求　

法进行总结归纳，论述一题多解的优势。　２　２　题目：设Ｆ是双曲线Ｄ　一　：１（ａ＞Ｏ，ｂ＞Ｏ）的右焦点，过点　ａ‘ｂ‘　，向Ｃ的一条渐近线引垂线，垂足为Ａ，交另一条渐近线于点　

曰。若２Ａ　咫，则Ｃ的离心率是（　）。　

Ａ．　Ｂ．２　Ｃ．下２Ｖ３－Ｄ．半　ｊ　ｊ　

解法ｌ：不妨设直线ＡＢ的方程为　ａ（　－－ｃ）与尸　０　ａ　联立，得到点Ｂ的坐标（盟ｃ？－ｂ２，　－ａ—ｂ６ｃ　），由Ａ到渐近线的距离　

是ｂ，故ＩＢｌｑ＝２ｂ，即Ｉ曰用：、／ｆ—　—ｃ　＋ｒ＝　堕　尸＝２ｂ，经化简得　Ｖ口　一Ｄ。　一Ｄ。　

ａＺ＝３ｂ。或ｂ２＝３ａｚ，所以由ｅ＝　Ｃ　＝＼／　＋　融城　，　

画图像（如图１）可得ｅ＝２时，ＡＢ两点在直线　

的异侧，不符合条件　菇，故舍掉。综上，　

ｅ＝　３。　

点评：本解法主要考查双曲线的结论——焦　点到渐近线的距离ｂ，通过解方程得到点曰的坐标，再找到ｂ：与　的关系，虽然易懂但计算量太大，较量费时间。　

解法２：不妨设直线Ａ　的方程为ｙ一。ａ（ｘ－－ｃ）与，，一　，联　

立，得到点Ｂ的坐标（－＝　，—－－－　ｏｈ－２ｃ），因为　砖面　，故Ｊｙ．ｎＩ－２１　Ｊ，　Ⅱ　‘Ⅱ　—由‘　所以Ｊ　Ｉ＿２ｊ　Ｉ化简得揭６：，６　，以下同上。　

前言

一．圆锥曲线的研究历史

1．圆锥面上的圆锥曲线

希腊人最先研究圆锥曲线，据传首先是为了解决当时的几何学与神

学提出的所谓“德里问题”或“立方倍积问题”，并在逐步探索认识和解决问

题的过程中，发展和深化了对圆锥曲线的了解。

所谓“倍立方”，就是求作一立方体，使其体积为一已知立方体的2

倍．希波克拉底首先指出它可以归结为求线段a与2a之间的两个等比中

项．设x，y是这两个中项，a∶x= x∶y=y∶2a，则x2=ay，y2=2ax，xy=2a2，

于是得x3=2a3．如果a是已知立方体的边，那么x就是所求立方体的边．前

面几个二次方程在解析几何中是抛物线与等轴双曲线，由此导致这两种

曲线的发现．这发现一般归功于门奈赫莫斯(约公元前350年)，普罗克洛

斯推测他是用两条圆锥曲线的交点来解决倍立方问题的．

他又用平面去截圆锥面，得到三种截线．圆锥面是直角三角形围绕

一个不动的直角边旋转所产生的．不动的直角边叫做轴，斜边叫做母线，

通过轴的平面与圆锥面相交而成的三角形叫做轴三角形．轴三角形的顶

角有锐角、直角、钝角的三种情形．门奈赫莫斯用垂直于一条母线的平

面去截圆锥面，所得到的截线当轴三角形的顶角是直角时叫做“直角圆锥

截线”，现称抛物线；当顶角是钝角时叫做“钝角圆锥截线”，现称双曲线；

当顶角是锐角时叫做“锐角圆锥截线”，现称椭圆．这些名称为欧几里得、

阿基米德所沿用，直到阿波罗尼奥斯，才证明一个平面和一个圆锥面相

交，也可以得到这三种曲线．

不久又出现欧几里得4卷本的《圆锥曲线》，更有系统地阐述了若干

锥线的性质．可惜此书连同阿里斯泰奥斯的书均已失传，只能从帕波斯

的著作中得知其大概．帕波斯认为阿波罗尼奥斯是以这4卷为基础，再

加上4卷才完成其8卷的巨著的．

欧几里得对圆锥曲线的认识并不限于门奈赫莫斯的三种截法(截面垂

直于一母线)，他在《现象》一书中曾指出：用平面去截正圆柱或正圆锥，

只要平面不平行于底，其截线就是“锐角圆锥截线”(椭圆)，其形状似盾