阿波罗尼斯(Apollonius)圆

阿波羅尼斯圓(Apollonius圓)：

出處：99上高二數學康熹教師手冊

第三冊3-1的課程中，我們利用方程式（即代數法）探討了「平面上與兩定

點的距離比為一定數，此定數不等於1的點所形成的圖形為一個圓」．早在古希

臘時期，希臘的幾何學家阿波羅尼斯（Apollonius of Perga，262～190B.C.）就

提出這個問題，所以這個圓我們稱它為阿波羅尼斯圓．

下面我們利用綜合幾何的方法，來證明阿波羅尼斯圓．

設A，B為平面上兩相異點，λ為一正實數且λ≠1

，則平面上滿足

＝PBPAλ的所有

點的圖形為一圓．

證：不妨以0＜λ＜1的情況，如右圖：

(1)設點P滿足PB

PA＝λ，在△APB中，

作∠APB

的角平分線

PC與∠APB的

外角的角平分線

PD，使兩條角平分

線分別交

AB邊及延長線於C，D兩點，

則易知∠CPD＝90°．由三角形的

內、外角平分線性質知，BPBCBD

APACAD＝＝．又已知BP

AP＝λ為一定數，

所以BCBD

ACADλ

＝＝，且C，D

分別在

AB

內及

AB外．

因此，C，D，分別為直線AB上，將AB分成比值為1：λ的內、外分點．

當A，B固定時，C，D也隨著λ之值而固定，又∠CPD＝90°，

所以P

點落在以

CD為直徑的圓上．

(2)設C，D在直線AB

上，將

AB分成1：λ的內、外分點，且P

點在以

CD為

直徑的圓上．過B

作

//BQCP，過B

作

//BRDP，使它們交直線AP於Q，

R兩點，則1PAAC

PQCBλ＝＝，且1PADA

PRDBλ＝＝，因此PAPA

PQPR＝

，所以

PQPR＝，

又P

在以

CD為直徑的圓上，所以∠CPD＝90°，亦得∠QBR＝90°，所以P

為直角三角形QBR的斜邊中點．因此，

PB

＝

PQ

＝

PR．由此可知1PAPA

PBPQλ＝＝，即PB

PA＝λ，

也就是以

CD為直徑的圓上的任意點P都滿足PB

PA＝λ．

由(1)，(2)的證明可知，平面上到兩定點的距離比為一定數λ（此定數不等於

第 1 页 共 40 页 专题十 经典模型

模型53 “胡不归”模型

模型故事

从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”

而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?

模型展现

基础模型

已知:点A为直线l上一定点,点B为直线外一定点,点P在直线l上运动

问题:如何确定点P,使得kAP+BP(0

怎么用?

1．找模型

直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求 kAP+BP的最小值

2.用模型

构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得 第 2 页 共 40 页 到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可

模型分析

如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，

该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下:

一找:找带有系数k的线段kAP;

二构:在点B异侧,构造以线段AP为斜边的直角三角形;

①以定点A为顶点作①CAP ,使得sin①PAC=h;

①过动点P作垂线构造Rt①PAC;

三转化:化折为直,将kAP转化为PC;

四求解:使得hAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长度.

拓展延伸

熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP+BP中系数k发生变化时,所构造的直角三角形也会

发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin30 =2，03sin60 =2，02sin45 =2，03sin37 5，04sin53 5

阿波罗尼斯圆在几何学中的重要应用

阿波罗尼斯圆是古希腊几何学家阿波罗尼斯在公元前3世纪提出的一种特殊几何曲线。它被广泛运用于数学和工程领域，具有重要的应用价值。本文将介绍阿波罗尼斯圆在几何学中的几个重要应用。

一、光学系统的导向元件

阿波罗尼斯圆被广泛应用于光学系统中的导向元件设计。光学系统中的导向元件对光进行控制和调整，使其能够沿特定路径传播或聚焦在特定位置。阿波罗尼斯圆的特殊形状和性质使得它能够实现精确的光线导向和聚焦。通过对光线的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将入射光线汇聚到焦点上，实现精确的光束控制。

二、天文学中的椭圆轨道描述

天文学中的行星和卫星运动轨道通常被描述为椭圆形状。阿波罗尼斯圆在这方面发挥了关键作用。根据开普勒定律，行星和卫星在引力作用下绕着中心天体运动，其轨道呈现出椭圆形状。阿波罗尼斯圆的研究成果为天文学家提供了理论基础和数学工具，使得他们能够精确地描述和预测行星和卫星的运动轨迹，为天文学研究和空间探索提供了重要参考。

三、声学中的反射和聚焦

阿波罗尼斯圆的特殊性质在声学中也有广泛应用。声学中的反射和聚焦是将声波传播和聚焦在特定区域的重要问题。阿波罗尼斯圆的形状使得它能够实现声波的精确反射和聚焦。通过对声波的反射和折射，阿波罗尼斯圆可以将声波聚焦在特定位置，实现声学上的精确控制。

四、水波和震波的传播研究

阿波罗尼斯圆不仅在光学和声学中有应用，还在水波和震波的传播研究中发挥重要作用。水波和震波的传播过程与光波和声波有许多相似之处。阿波罗尼斯圆的研究成果为水波和震波的传播提供了重要的参考和理论基础，推动了这一领域的发展。

综上所述，阿波罗尼斯圆在光学、天文学、声学和水波、震波传播等领域中都有重要应用。其特殊形状和性质使得它成为精确控制和调整光、声、波等物理量的有效工具。随着科学技术的发展和应用需求的增加，阿波罗尼斯圆将继续在多个领域发挥重要作用，为人类认识和探索自然世界提供宝贵的支持。

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阿波罗尼斯问题详细解答

2 目 录

序号 内 容 页码

01 阿波罗尼斯是一个什么样的人？ 03

02 什么是阿波罗尼斯问题？ 03

03 阿波罗尼斯问题有多少个子问题？ 03

04 怎样作一条线段的垂直平分线？ 03

05 怎样过线段上一点作该线段的垂线？ 04

06 怎样过圆上一点作该圆的切线？ 04

07 怎样作两个圆的公切线？ 05

08 什么叫反演变换？ 06

09 怎样作反演圆内一点的反演点？ 06

10 怎样作反演圆外一点的反演点？ 06

11 怎样作一条直线的反演图形？ 07

12 怎样作一个圆的反演图形？ 08

13 怎样才能让一条直线经过反演变换后保持不变？ 10

14 怎样才能让一个圆经过反演变换后保持不变？ 10

15 怎样作线段a、b的比例中项c？ 10

16 什么叫圆的幂？怎样作出圆的幂？ 11

17 什么是圆的根轴（或等幂轴）？怎样作出圆的根轴？ 11

18 什么是圆的根心？怎样作出圆的根心？ 13

19 什么叫相（位）似中心？怎样作出相（位）似中心？ 13

20 什么叫相（位）似点？什么叫正相（位）似点？什么叫逆相似点？ 14

21 什么叫两圆周的共同幂？ 16

22 什么叫相似轴？怎样作出相似轴？ 17

23 阿波罗尼斯问题之一：点点点 17

24 阿波罗尼斯问题之二：线线线 18

25 阿波罗尼斯问题之三：点线线 19

26 阿波罗尼斯问题之四：点点线 22

27 阿波罗尼斯问题之五：点点圆 26

28 阿波罗尼斯问题之六：点圆圆 31

29 阿波罗尼斯问题之七：点线圆 35

30 阿波罗尼斯问题之八：线圆圆 41

31 阿波罗尼斯问题之九：线线圆 47

32 阿波罗尼斯问题之十：圆圆圆 55

附录 米勒问题和米勒定理 69

3 第01个问题个问题：： 阿波罗尼斯是一个什么样的人阿波罗尼斯是一个什么样的人？？

阿波罗尼斯，Apollonius，有时也翻译为“阿波罗尼奥斯”，古希腊大数学家，生活在公