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阿波罗尼斯圆定理、性质及应用探究

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Creative Education Studies 创新教育研究, 2023, 11(3), 431-438

Published Online March 2023 in Hans. https://www.hanspub.org/journal/ces https://doi.org/10.12677/ces.2023.113071

文章引用: 方澍, 骆晨丹, 胡凯, 叶雨璇. 阿波罗尼斯圆定理、性质及应用探究[J]. 创新教育研究, 2023, 11(3): 431-438.

DOI: 10.12677/ces.2023.113071

阿波罗尼斯圆定理、性质及应用探究

方 澍1

，骆晨丹1

，胡 凯1

，叶雨璇2

1

绍兴文理学院数理信息学院，浙江 绍兴

2

绍兴文理学院土木工程学院，浙江 绍兴

收稿日期：2023年1月30日；录用日期：2023年3月6日；发布日期：2023年3月14日

摘 要 圆在高中数学题型中广泛且内容应用灵活，而阿波罗尼斯圆作为一种特殊的圆时常伴随着解三角形、平

面向量、立体几何及解析几何等内容出现，将原有常规解复杂的问题进行简化。为避免思维固化、计算

繁琐等问题，本文提供了构造阿波罗尼斯圆的两个条件及阿波罗尼斯圆相关性质，提供新型解题思路，

使得解题高效化、便捷化、灵巧化。再从不同的应用层次出发，随着层次的递增，学生对性质掌握的要

求也就越高，本文设置相关题目逐级加深对性质的理解，便于学生对应不同的层次进行掌握学习。

关键词

阿波罗尼斯圆，性质，动点轨迹，反演点

Apollonius Circle Theorem, Properties

and Applications

Shu Fang

1, Chendan Luo

1, Kai Hu

1, Yuxuan Ye

2

1

School of Mathematical Information, Shaoxing University, Shaoxing Zhejiang

2

School of Civil Engineering, Shaoxing University, Shaoxing Zhejiang

Received: Jan. 30th

, 2023; accepted: Mar. 6th

, 2023; published: Mar. 14th

, 2023

Abstract

Circles are widely used in high school mathematics problem types and flexible content, while Apollo-

nian circles, as a special circle, often appear with solving triangles, plane vectors, solid geometry and

analytic geometry, simplifying the original conventional solution of complex problems. In order to

avoid problems such as solidification of thinking and cumbersome calculation, this paper provides

two conditions for constructing Apollonius circles and the related properties of Apollonius circles,

and provides new problem-solving ideas, which makes problem solving efficient, convenient and

dexterous. Starting from different application levels, with the increase of levels, the higher the re-

quirements of students for mastering nature, this paper sets up related topics to deepen the under-

方澍 等

DOI: 10.12677/ces.2023.113071 432 创新教育研究

standing of nature step by step, so that students can master and learn according to different levels.

Keywords

Apollonius Circle, Quality, Moving Point Trajectory, Inversion Point

Copyright © 2023 by author(s) and Hans Publishers Inc.

This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/

1. 引言

高中数学在整个高中学习中是重要学科之一，在新课标的持续改革之下，学生不仅要掌握书本的基

础理论知识，更重要的还是培养核心素养，强化自身数学思维，学生要敢于思考、勇于创新，发展和进

步数学综合能力[1]。高考数学作为选拔人才的重要手段，是一项考查基础知识和能力的工具。数学解题

具有通解与巧解之分：通解更具有知识的体系性，对问题具有更广阔的拓展空间，而巧解偏向解题的创

造性，有时候比通解更加高效。兼顾通解和巧解，学生的数学素养才得以更好地发展。解三角形、平面

向量、立体几何及解析几何等题目常出现在数学试题中，学生使用通解经常会遇到计算复杂、思路不清、

运用不精等一系列问题。本文探究的阿波罗尼斯圆在一定程度上巧解，将复杂问题简单化，对阿波罗尼

斯圆的性质特征探究有助于深入对圆的应用，可有效解决相关圆类问题。

2. 阿波罗尼斯的定义、建立及性质

2.1. 定义

古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonian)于公元前3世纪研究了众多圆锥曲线及平面轨迹问题，写下了

《圆锥曲线论》与《平面轨迹》等巨著。其中，《平面轨迹》一书记载了如下著名结论：到平面上两定

点A、B距离之比等于定值的动点轨迹为直线或圆(定值为1时是直线，定值不为1时是圆)。

证明如下：

设平面上定点()

11,Axy

、()

22,Bxy

，动点()

,Pxy

，且满足PA

k

PB= (0k>)，即PAkPB=

。

由距离公式得

()()22

11PAxxyy=−+−

()()22

22PBxxyy=−+−

()()22

2121ABxxyy=−+−

则

()()()()2222

1122xxyykxxyy−+−=−+−

左右两边平方得

()()()()2222

2

1122xxyykxxyy

−+−=−+−



方澍 等

DOI: 10.12677/ces.2023.113071 433 创新教育研究

1) 当1k=时展开整理得到

()()

2222

21211212220yyyxxxyyxx−+−+−+−=

故1k=时，动点P轨迹为直线。

2) 当1k≠时，展开整理后，两边同除()

2

1k−，配方得

()()()22

222

22

2121

1212

222

211

1kxxkyyk

xyxxyy

kk

k

−−



+++=−+−





−−



−

上述式子为圆的标准方程，

且以22

2121

22,

11kxxkyy

kk

−−



−−



为圆心，

2

1k

AB

k⋅

−为半径r的圆，故当1k≠

时，动点P轨迹为圆。为了纪念阿波罗尼斯的伟大发现，该圆被后人成为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

2.2. 建立阿波罗尼斯圆

通常情况来讲，在特定题型下相比较运用较为复杂的代数运算来计算出答案，阿波罗尼斯圆可以较

简洁的解出题目，加快解题的速度。那么该如何构造阿波罗尼斯圆呢？

首先，从定义角度出发，当在解题过程中，看到平面上一点P到A、B

两定点距离之比为定值或PA

k

PB=

(0k>, 1k≠)时，便可以尝试构造阿波罗尼斯圆，拓宽解题思路。

阿波罗尼斯圆往往具有隐秘性，通过查阅相关文献、资料[2]，得到了除定义的以外的构造条件：

如图1，圆O是以A、B

两点为定点，PA

k

PB= (0k>, 1k≠)的阿波罗尼斯圆的充要条件为：P是

以CD为直径的圆O上的任意一点，则直线CD上的两点A、B

满足AOPO

k

POBO== (0k>, 1k≠)。

Figure 1. Apollonius circle

图1. 阿波罗尼斯圆

证明如下：

充分性：因为AOPO

k

POBO== (0k>, 1k≠)，所以~AOPPOB∆∆

，因此PA

k

PB= (0k>, 1k≠

)，

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圆中的最值模型之阿氏圆模型(解析版)-初中数学

圆中的最值模型之阿氏圆模型(解析版)-初中数学

1圆中的最值模型之阿氏圆模型

最值问题在中考数学中常常作为压轴题出现，其中“阿氏圆”(又称“阿波罗尼斯圆”)是一个重要的考点。这

类题目主要考察学生的转化与化归等数学思想，并且在各类考试中通常都被视为高档题。为了帮助学生更好地

理解和掌握这一知识点，本专题将对最值模型中的阿氏圆问题进行系统的梳理，并提供对应的试题分析，以便学生能够熟练掌握并灵活应用。

目录

例题讲模型1

模型1.阿氏圆模型1

习题练模型12

例题讲模型

模型1.阿氏圆模型

动点到两定点距离之比为定值(即：平面上两点A、B，动点P满足PA/PB=k(k为常数，且k≠1))，那么动

点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。

如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB(即

OP

OB=k)，连接

PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？

阿波罗尼斯圆定理结论

阿波罗尼斯圆定理结论

阿波罗尼斯圆定理

1. 引言

阿波罗尼斯圆定理是数学几何中一条重要的定理，它关于一个三角形内部关于其三边的一组圆的切线长度的关系。本文将介绍阿波罗尼斯圆定理的由来、定义、证明过程以及应用。

2. 定理的由来

阿波罗尼斯圆定理得名于古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga），他在著作《圆锥曲线论》中首次提出了这个定理。

3. 定理的定义

阿波罗尼斯圆定理给出了一个三角形内部关于其三边的一组圆的切线长度的关系。具体而言，对于任意一个三角形ABC，设它的三边分别为a、b、c，以及与这三个边相切的三个圆分别为ω1、ω2、ω3，则满足下列关系：

其中，t1、t2、t3分别表示ω1、ω2、ω3的切线长度。

4. 定理证明

现给出阿波罗尼斯圆定理的证明过程。

步骤1： 先假设三个圆ω1、ω2、ω3分别与边a、b、c相切于点D、E、F。

步骤2： 进一步假设EF和BC相交于点G，AD和CF相交于点M，以及BE和AC相交于点N。

步骤3： 首先考虑三角形DEF。根据圆的性质可知，DE与MF是ω1的切线，DE与MG是ω2的切线。因此，根据切线的性质，我们可以得到以下两个等式：

（1）MF^2 = MD × ME

（2）MG^2 = MD × ME

步骤4： 平方等式（1）和等式（2），得到：

（3）MF^2 = MG^2

步骤5： 根据步骤2中所定义的交点和平行线性质，我们可以得到以下两个比值等式：

（4）(AD/DM) = (AF/FM) （5）(CF/FM) = (CG/GM)

步骤6： 由平行线性质可得，等式（4）和等式（5）的两边可以相乘得到：

（6）(AD/DM) × (CF/FM) = (AF/FM) × (CG/GM)

步骤7： 化简等式（6），得到：

（7）(AD/DM) × (CF/FM) × (FM/CF) × (CG/GM) = (AF/FM) × (CG/GM)

步骤8： 根据步骤2中所定义的交点和相似三角形性质，我们可以得到以下两个比值等式：

阿波罗尼斯圆的数学推导与证明

阿波罗尼斯圆的数学推导与证明

阿波罗尼斯圆的数学推导与证明

阿波罗尼斯圆是指一个与一个给定圆相切于两个点，并且通过这两个切点和给定圆的另一个点的所得圆。在本文中，我们将详细介绍阿波罗尼斯圆的数学推导和证明。

1. 引言

阿波罗尼斯圆是古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在几何学中提出的一个重要概念。它具有一些独特的性质和特点，在数学推导和证明过程中引起了人们的广泛关注。

2. 阿波罗尼斯圆的定义

阿波罗尼斯圆可以通过以下几个步骤得出：

- 给定一个圆，记为O，以及这个圆上的两个点A和B。

- 连接OA和OB，并延长线段OA和OB，使其与圆O交于C和D两个点。

- 以C和D为中心，AC和BD的长度为半径，分别画两个圆，记为P和Q。

- 阿波罗尼斯圆即为圆P和圆Q所交的部分。

3. 阿波罗尼斯圆的性质

阿波罗尼斯圆具有以下几个重要的性质：

- 阿波罗尼斯圆与给定圆O的切点处呈现相切的关系。 - 阿波罗尼斯圆与给定圆O的切线相互垂直。

- 阿波罗尼斯圆的切点和给定圆O的切点在一条直线上。

4. 数学推导与证明

4.1 推导过程

为了推导阿波罗尼斯圆的性质，我们可以利用几何学的一些基本原理和定理进行推导，具体推导过程如下：

- 利用勾股定理以及相似三角形的性质，可以得到阿波罗尼斯圆的半径与给定圆的半径之间的关系。

- 利用切线与半径垂直的性质，可以证明阿波罗尼斯圆与给定圆的切线垂直。

- 利用共线性以及圆的性质，可以证明阿波罗尼斯圆的切点和给定圆的切点在一条直线上。

4.2 证明过程

为了证明阿波罗尼斯圆的性质，我们可以利用严谨的数学推导和证明方法，具体证明过程如下：

- 证明阿波罗尼斯圆的半径与给定圆的半径之间的关系可以通过引入坐标系，运用几何和代数相结合的方法，利用方程和计算，从而得出两者之间的数学关系。

- 证明阿波罗尼斯圆与给定圆的切线垂直可以利用向量的性质、线段长度的计算以及三角形的性质，从而得出切线与半径垂直的结论。 - 证明阿波罗尼斯圆的切点和给定圆的切点在一条直线上可以通过运用共线性的证明方法，将几何图形转化为代数方程，并运用线性方程组求解的方法，从而得出切点在一条直线上的结论。

例谈阿波罗尼斯圆的应用

例谈阿波罗尼斯圆的应用

例谈阿波罗尼斯圆的应用吉　磊(兰州天庆实验中学ꎬ甘肃兰州７３００３０)摘　要:文章从阿波罗尼斯圆的定义入手ꎬ给出近年来中考相关试题的解法ꎬ为学生学习高中解析几何打下良好的基础.关键词:阿波罗尼斯圆ꎻ中考数学ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２３－００２０－０４

收稿日期:２０２３－０５－１５作者简介:吉磊(１９８１.１－)ꎬ男ꎬ陕西省西安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究. 近年来ꎬ在各地中考中ꎬ对于重难点题型的考查多少都涉及到数形结合解决“极限值”的待定系数问题ꎬ在这里就不得不提到非常著名的“阿波罗尼斯圆”(简称“阿氏圆”)理论ꎬ这种方法可以帮助学生理解考查题型的设计初衷ꎬ从而整合所学相关知识的应用与拓展.１阿波罗尼斯圆的定义及定理定义　已知平面上两个定点Ａ、Ｂꎬ若一个动点Ｐ满足ＰＡＰＢ＝ｋ(ｋ>０且ｋ≠１)ꎬ其中ｋ为定值ꎬ则这个动点Ｐ的运动轨迹是一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现ꎬ这个点Ｐ所形成的圆就称为阿氏圆.也称之为圆的第二定义.当且仅当ｋ＝１时ꎬ点Ｐ的运动轨迹是线段ＡＢ的中垂线[１].定理　如图１ꎬＰ是平面上一动点ꎬＡ、Ｂ是两定点ꎬＰＡ∶ＰＢ＝ｋꎬＭ是ＡＢ的内分点ꎬＮ是ＡＢ的外分点且ＡＭ∶ＭＢ＝ＡＮ∶ＮＢ＝ｋꎬ则Ｐ点的轨迹是以ＭＮ为直径的圆.

图１　点Ｐ轨迹图２“阿氏圆”在初中阶段的应用２.１阅读材料型(显露阿氏圆)例１　(２０１９秋􀅰山西期末)如图２ꎬ在平面直角坐标系中ꎬ在ｘ轴ꎬｙ轴上分别有点Ｃ(ｍꎬ０)ꎬＤ(０ꎬｎ)ꎬ点Ｐ是平面内一动点ꎬ且ＯＰ＝ｒꎬ设ＯＰＯＤ＝ｋꎬ求ＰＣ＋ｋＰＤ的最小值.

图２　例１题图阿氏圆的关键解题步骤:第一步:如图２ꎬ在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎻ第二步:证明ｋＰＤ＝ＰＭꎻ第三步:连接ＣＭꎬ此时ＣＭ即为所求的最小值.下面是该题的解答过程(部分):解　在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ又∵∠ＰＯＤ＝∠ＭＯＰꎬ∴△ＰＯＭ∽△ＤＯＰ.任务:(１)将以上解答过程补充完整.(２)如图２ꎬ在Ｒｔ△ＡＢＣ中ꎬ∠ＡＣＢ＝９０°ꎬＡＣ＝—０２—Copyright©博看网. All Rights Reserved. ４ꎬＢＣ＝３ꎬＤ为△ＡＢＣ内一动点ꎬ满足ＣＤ＝２ꎬ利用(１)中的结论ꎬ请直接写出ＡＤ＋２３ＢＤ的最小值.考点:相似形综合题.专题:几何综合题ꎻ应用意识.分析　(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ:ＯＰ＝ＯＰ:ＯＤ＝ｋꎬ利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可.(２)利用(１)中结论计算即可.解　(１)在ＯＤ上取点Ｍꎬ使得ＯＭ∶ＯＰ＝ＯＰ∶ＯＤ＝ｋꎬ又∵∠ＰＯＤ＝∠ＭＯＰꎬ∴△ＰＯＭ∽△ＤＯＰ.∴ＭＰ∶ＰＤ＝ｋꎬ∴ＭＰ＝ｋＰＤꎬ∴ＰＣ＋ｋＰＤ＝ＰＣ＋ＭＰꎬ当ＰＣ＋ｋＰＤ取最小值时ꎬＰＣ＋ＭＰ有最小值ꎬ即ＣꎬＰꎬＭ三点共线时有最小值ꎬ利用勾股定理得ＣＭ＝ＯＣ２＋ＯＭ２＝ｍ２＋(ｋｒ)２＝ｍ２＋ｋ２ｒ２.(２)∵ＡＣ＝ｍ＝４ꎬＣＤＢＣ＝２３ꎬ在ＣＢ上取一点Ｍꎬ使得ＣＭ＝２３ＣＤ＝４３ꎬ∴ＡＤ＋２３ＢＤ的最小值为４２＋(４３)２＝４１０３.点评　本题属于相似形综合题ꎬ考查了相似三角形的判定和性质ꎬ勾股定理ꎬ两点之间线段最短等知识ꎬ解题的关键是理解题意ꎬ学会用数形结合转化的思想考虑问题ꎬ属于中考常考题型.２.２非材料阅读型(隐藏阿氏圆)例２　(２０１７􀅰兰州)如图３ꎬ抛物线ｙ＝－ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与直线ＡＢ交于Ａ(－４ꎬ－４)ꎬＢ(０ꎬ４)两点ꎬ直线ＡＣ:ｙ＝－１２ｘ－６交ｙ轴于点Ｃ.点Ｅ是直线ＡＢ上的动点ꎬ过点Ｅ作ＥＦ⊥ｘ轴交ＡＣ于点Ｆꎬ交抛物线于点Ｇ.