初中数学整式的乘法与因式分解培优训练题(附答案详解)

整式乘除与因式分解培优精练专题答案一．选择题（共9小题）222之值的十位数字为何？（+88805）+77707 1．（2014?台湾）算式99903A．1 B．2 C．6 D．8222分析：的后两位数，再相加即可得到答案．、、8880577707分别得出999032解答：的后两位数为09，解：999032的后两位数为25，888052的后两位数为49，7770709+25+49=83，所以十位数字为8，故选：D．32）a正确的结果是（2014?盘锦）计算（2a）?2．（6777 D．B．C．A． 4 43aaa a根据幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及同底数幂的乘法法则进行计算即分析：可．解答：解：原式=7 =4a，故选：B．22 +b）的值为（，．（2014?遵义）若a+b=2ab=2，则a3D ．B．4 C．6A． 3 2222分析：﹣2ab利用a代入数值求解．+b（=a+b）222解答：解：a4=4+b（=a+b），﹣2ab=8﹣．故选：B22+m，则a，m的值分别是（））?4．（2014拱墅区二模）如果ax+2x+=（2x+D ，B A．2，0．40C．．4，2，运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解答：22∵解：ax+2x+，+2x+=4x+m∴，．解得．故选D．）），则有（（a＞b＞05．（2014?江阴市模拟）如图，设2＞2D．k1．B．C．＜k＜A22解答：a﹣b）解：甲图中阴影部分的面积=a﹣b，，乙图中阴影部分的面积=a （=，＞∵ab＞0，，∴2∴1＜k＜．故选：C．）的值为（，则．6（2012?鄂州三月调考）已知法确定C．无D．．．A B解答：，解：∵a+=2）两边平方得：（a+∴=10，2 =10，a展开得：++2a?2a∴，2=8=10+﹣222）∴a﹣（2=6，﹣2=8﹣=a+2a﹣=a?+，±=﹣a∴．故选C．）7．已知，则代数式的值等于（D ．C．A．B．分析：两边平方并整理成的平先判断a是正数，然后利用完全平方公式把方的形式，开方即可求解．解答：，解：∵22+a，且﹣a∴＞0 ，=12+2+a∴=5，2 =5即（+|a|），开平方得，+|a|=．故选C．201232012232，则+…+2的值，可令S=1+2+2…滨州）求8．（2012?1+2+2+2+2+2+20122320134232013+5+5+2S=2+2．仿照以上推理，计算出+21+5+5+2+…+2S=2，因此2S﹣…﹣1 ）的值为（20132012．．D A．B．C1 ﹣1 ﹣55201223分析：S﹣+5整理即可得解．，用根据题目提供的信息，设S=1+5+55S+5+…2013201242332解答：5S=5+5+5，+5+…解：设S=1+5+5+5+5+…+5，则2013因此，5S﹣S=5﹣1，．S= C．故选222bc﹣+c﹣ab，那么代数式c=x+19，x+20b=，x+21郑州）已知2004．9（?a=a+b ac的值是（）﹣ 1 ．B 4 A．3．D 2 ．C压轴题．：专题．，c=﹣1﹣b=1，a﹣三个式子消去分析：已知条件中的几个式子有中间变量x，x即可得到：a ﹣2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．b﹣c=222解答：﹣ac，﹣ab解：法一：a﹣+bbc+c ），+c（c﹣aa﹣b）+b（b﹣c）=a（，，c=x+21又由a=x+20，b=x+19，得（a﹣bx+20﹣）=x﹣19=1 ，2，（c﹣a）=1（同理得：b﹣c）=﹣．x+19）+x+21=3所以原式=a﹣2b+c=x+20﹣2（B故选．222 bc法二：a﹣+b，+cac﹣ab﹣222 +2b，+2c2ac﹣2ab=（2a﹣2bc﹣）222222，）]）+（b=[（a﹣2ab+b﹣）+（a﹣2ac+c2bc+c222，]）﹣c=[（a﹣b）+（a﹣c）（+b．1+1+4）=3=×（故选B．二．填空题（共9小题）2）?江西样卷）已知（x+5（x+n）=x5+mx ﹣，则m+n=3．201410．（n的值．把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到m、分析：2解答：x+5n5+n）x+n）（）=x+（解：展开（x+52=x（x+5）（x+n）∵+mx﹣，5 ﹣5，5+n=m∴，5n= m=4n=∴﹣1，．∴1=3．m+n=4﹣3故答案为：23．，则﹣徐州一模）已知2014．11（?x=1x+=分析：2，然后利用完全平方公式展开，=1）﹣x的两边分别平方，可得（=1﹣x首先将．2变形后即可求得x+的值．222代入，即可+2，然后将）﹣x或者首先把x﹣+凑成完全平方式x=1+=（x2 +求得x的值．解答：x﹣=1，解：方法一：∵2）x﹣∴（，=12即x，+﹣2=12x∴+=3．，x﹣=1∵方法二：22x∴（x﹣）+2，+=2 +2，=1 =3．故答案为：3．226．12（2011?平谷区二模）已知，那么x+y．=2分析：用（x+y）与xy的代数式表示，然后把x+y，首先根据完全平方公式将（x+y）xy的值整体代入求值．解答：解：∵x+y=，xy=2，222）∴（x+y+2xy，+y =x2210=x∴+4，+y22x∴=6．+y故答案是：6．点评：本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：222．2ab+b=a ±±（ab）mn3m+2n=72=3，则10．201013．（?贺州）已知10=2，103m+2n3m2nm3n232解答：．9=72×=83?=2）10（）10（=10=1010解：本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算．同底数幂相点评：乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．222 a﹣+b+c的值等于=1，则ab+bc+ca．14．（2005?宁波）已知a﹣b=b﹣c=，c），（﹣a﹣c）的平方和，然c的值，再利用完全平方公式求出（a﹣b），（b求出分析：先a﹣后代入数据计算即可求解．解答：解：∵a﹣b=b﹣c=，22）﹣b∴（a=，a﹣c=，，=（b﹣c）222222a∴﹣2ac=a，2bc=+c2ab=﹣，b +c，﹣+b222a∴2（）﹣2（ab+bc+ca）+b++==，+c∴2﹣2（ab+bc+ca）=，，=ab+bc+ca）∴1﹣（．∴ab+bc+ca=﹣=﹣故答案为：﹣．点评：本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由a﹣b=b﹣c=，得到a﹣c=，然后对a﹣b=，b﹣c=，a﹣c=三个式子两边平方后相加，化简求解．22222，则数a，b747b=888，﹣30c，c=1053按从小到大厦门）设15．（2014?a=19﹣×918，的顺序排列，结果是a＜c＜b．考点：因式分解的应用．分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．2解答：×918=361×918，：a=19 解22=（888﹣30）×（b=888888+30﹣30）=858×918，22=（1053+747）×（1053﹣747）=1800×306=600c=1053747﹣×918，所以a＜c＜b．故答案为：a＜c＜b．16．（1999?杭州）如果a+b+ ．03c=﹣a+2b那么，，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为0分析：先移项，b、c的值后，再代值计算．根据非负数的性质求出a、解答：解：原等式可变形为：5 a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣+|）（b+1﹣1|﹣4﹣﹣2+5=0 （a2）+2（a﹣2）﹣+1+|﹣1|=04b+1）﹣+4+（22（11|=0﹣；）﹣（+|2）+﹣，2=0﹣1=0﹣，﹣1=0即：，，=1∴，，=1=2∴a，c﹣1=1﹣2=4，b+1=1，，c=2；解得：a=6，b=0 ×3c=6+0﹣32=0．﹣∴a+2b=117．已知x﹣，则．=分析：2的值，﹣把x=1两边平方求出x+再把所求算式整理成的形式，然后代入数据计算即可．解答：解：∵x﹣=1，2x∴+﹣2=1，2x∴+=1+2=3，===．故应填：．22=1，则（2008﹣a）?（2007）a﹣a）=0．﹣（a200818．已知（﹣）+2007解答：22，=1）a﹣2007（+）a﹣2008（∵解：22）∴（2008﹣a ，）（2007﹣a）（2007﹣a）﹣=1﹣2（2008a2007﹣2（2008﹣a）（﹣a）+2，）（2007﹣aa﹣2007+a））=1﹣2（2008﹣a即（2008﹣，2007﹣a）=0整理得﹣2（2008﹣a）（．2007﹣a）=0∴（2008﹣a）（8三．解答题（共小题）22 4或﹣2（k﹣1）ab+9b．是一个完全平方式，那么k=19．如果a﹣2解答：2222，3b）﹣2（k﹣1）解：∵a﹣2（k﹣1）ab+9bab+=a （，×3b）k﹣1ab=±2×a∴﹣2（，﹣3∴k﹣1=3或k﹣1= ．﹣2解得k=4或k= 2．或﹣即k=42．故答案为：4或﹣本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，点评：熟记完全平方公式对解题非常重要．x+3x．已知3．=8，求3203xx+3解答：?3：3=3解27×=8 ．=216 点评：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加．3m+2n1m232n5n+13m2﹣﹣﹣﹣（﹣21．计算：ab（abb）））+（a 分析：先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．3m+253m632n+26m43nn﹣﹣﹣﹣解答：（b）（﹣）+a 解：原式=abba，436m3n36m43n﹣﹣﹣﹣+a）b=a（﹣b，46m3n3n36m43﹣﹣﹣﹣，bb﹣a=a =0．本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是点评：解题的关键．±1++是一个有理式A的平方，那么，A=n22．已知是正整数，．解答：解：1++=，22222222，+2n+1+n+n）n+1（=n+n）n+1（+）n+1（n分子：22+2n（n+1））+1，=n （n+12，]（n+1）+1=[n∴分子分母都是完全平方的形式，±．∴A=．故答案为：±为正整数，求x+y的最大值和最小值．，其中x，y23．已知2008=分析：可能的、yxy=2009，再根据x首先根据2008=，y为正整数，确定x可知y、73、、9．通过x取值．根据xy的乘积的个位是9，确定x、y的个位可能是1、的十位数最大xx取过的值，y也有可能，故只取x即可，都具有同等的地位，那么．因而不会超过5、39、41、4327、29、31、33、37、、、就x取值可能是111、13、17、1921、23、47、49．就这几种情况讨论即可．解答：2008=解：∵1 2008=xy﹣2009=xy∴9 的个位数是∵x，y为正整数，并且乘积是20099 的个位可能是y1、3、7、因而x、①当x的个位是1时，x=1y=2009显然成立，，y不存在，x=11，不存在，x=21，y yx=31，不存在，，y=49，x=41 3时②当x的个位是不存在，，x=3y 不存在，x=13，y x=23，y不存在，x=33，y 不存在，不存在；，x=43y 当的个位是7时③y=287 x=7，不存在x=17，y x=27，y不存在yx=37，不存在不存在；，x=47y 时9的个位是x当④．x=9，y不存在x=19，y不存在x=29，y不存在x=39，y不存在x=49，y=41．故可能的情况是①x=1，y=2009或x=2009，y=1，x+y=2010②x=7，y=287或x=287，y=7，x+y=7+287=394③x=41，y=49或x=49，y=41，x+y=41+49=90故x+y的最大值是2010，最小值是90?内蒙古）计算：24．（200012347=n+1，12345=n﹣1，解答：解：由题意可设字母n=12346，那么2）．）（n+1于是分母变为nn﹣（﹣1 应用平方差公式化简得22222 +1=1﹣﹣1n）=nn，﹣（n 1，即原式分母的值是．所以原式=246902242 0，求1﹣ab的值．+2a﹣1=0，b﹣2b≠﹣1=0a25．设，且22分析：a的题设条件求得b，代入所求的分式化简求值．=解法一：根据1﹣ab﹣≠0224，解得：1=0，由a=﹣1﹣b﹣﹣2b解法二：根据aa=+2a﹣1=0，解得﹣1+或2+1b，把所求的分式化简后即可求解．= 解法一：解答：2421=0 ﹣2b，b﹣解：∵a﹣+2a1=0224a ∴（=0﹣2b）1+2a﹣）﹣（b1﹣22=0）+2化简之后得到：（a+b（）a﹣b2222，与题设矛盾，所以2a=0﹣a﹣）﹣a﹣b+2=0，即b=a+2，则1ab﹣=1a（a+2=1若20+2≠a﹣b22a 因此=0，即a+b=﹣b=∴=200311（﹣=）=﹣解法二：2，﹣1﹣或﹣1=0（已知），解得a=﹣1+解：aa=+2a224=由b，﹣2b+1﹣1=0，解得：b2=b∴+﹣2+，+1﹣2+==+1﹣2+4+3=4+3，当a=1时，原式﹣2ab﹣∵11舍去；﹣≠0，∴a==时，原式﹣当a= ﹣1﹣+1﹣2=﹣1，2003）（﹣1∴1，﹣=．即=﹣12点评：的0ab≠本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1﹣运用．2222 =0，求x+y值．+z+2xy+2xz+2yz﹣1|+26．已知3|2x﹣+（z1）首先利用非负数的性质求得x、y、z的值，然后代入代数式求解即可．分析：解答：2 1+∵解：3|2x﹣1|+（z﹣），=01=0 ∴2xz﹣﹣1=0，3y1=0，﹣z=1y=，，∴x=222222x∴×+2×+2）（）（+z+y+2xy+2xz+2yz=++1×1=××1+2×点评：本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是求得未知数的值．。

整式的乘法与因式分解复习考点1 幂的运算1．下列计算正确的是( )A ．(a 2)3＝a 5B ．2a －a ＝2C ．(2a)2＝4aD ．a·a 3＝a 42．(铜仁中考)下列计算正确的是( )A ．a 2＋a 2＝2a 4B ．2a 2·a 3＝2a 6C ．3a －2a ＝1D ．(a 2)3＝a 63．计算：x 5·x 7＋x 6·(－x 3)2＋2(x 3)4.A. 124xB. 122xC. 12xD. 64x考点2 整式的乘法 4．下列运算正确的是( )A ．3a 2·a 3＝3a 6B ．5x 4－x 2＝4x 2C ．(2a 2)3·(－ab)＝－8a 7bD ．2x 2÷2x 2＝05．计算：(3x －1)(2x ＋1)＝________．A. 162-+x xB. 162--x xC. 1562-+x xD. 1562-+x x6．计算：(1)(－3x 2y)3·(－2xy 3)； (2)(34x 2y －12xy 2)(－4xy 2)． A. 636y x , 422323y x y x +- B. -636y x , 423323y x y x +-C. 6754y x ,423323y x y x +-D. -6754y x , 422323y x y x +-考点3 整式的除法7．计算8a 3÷(－2a)的结果是( )A ．4aB ．－4aC ．4a 2D ．－4a 28．若5a 3b m ÷25a n b 2＝252b 2，则m ＝____________，n ＝__________. 9．化简：(a 2b －2ab 2－b 3)÷b －(a －b)2.考点4 乘法公式10．下列关系式中，正确的是( )A ．(a ＋b)2＝a 2－2ab ＋b 2B ．(a －b)2＝a 2－b 2C ．(a ＋b)(－a ＋b)＝b 2－a 2D ．(a ＋b)(－a －b)＝a 2－b 211．已知(x ＋m)2＝x 2＋nx ＋36，则n 的值为( )A ．±6B ．±12C ．±18D ．±7212．计算：(1)(－2m ＋5)2； (2)(a ＋3)(a －3)(a 2＋9)； (3)(a －1)(a ＋1)－(a －1)2.考点5 因式分解13．(北海中考)下列因式分解正确的是( )A ．x 2－4＝(x ＋4)(x －4)B ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1C ．3mx －6my ＝3m(x －6y)D ．2x ＋4＝2(x ＋2)14．多项式mx 2－m 与多项式x 2－2x ＋1的公因式是( )A ．x －1B ．x ＋1C ．x 2－1D ．(x －1)215．(黔西南中考)分解因式：4x 2＋8x ＋4＝________．16．若x －2y ＝－5，xy ＝－2，则2x 2y －4xy 2＝________．综合训练17．(威海中考)下列运算正确的是( )A ．(－3mn)2＝－6m 2n 2B ．4x 4＋2x 4＋x 4＝6x 4C ．(xy)2÷(－xy)＝－xyD ．(a －b)(－a －b)＝a 2－b 218．(毕节中考)下列因式分解正确的是( )A ．a 4b －6a 3b ＋9a 2b ＝a 2b(a 2－6a ＋9)B ．x 2－x ＋14＝(x －12)2 C ．x 2－2x ＋4＝(x －2)2D ．4x 2－y 2＝(4x ＋y)(4x －y)19．(大连中考)若a ＝49，b ＝109，则ab －9a 的值为________．20．(宁波中考)一个大正方形和四个全等的小正方形按图1、2两种方式摆放，则图2的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是________(用a 、b 的代数式表示)[图1 图221．(绵阳中考)在实数范围内因式分解：x 2y －3y ＝________________．22．(崇左中考)4个数a ，b ，c ，d 排列成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋3 x －3x －3 x ＋3＝12，则x ＝________． 23．计算：(1)5a 3b ·(－3b)2＋(－ab)(－6ab)2；(2)x(x 2＋3)＋x 2(x －3)－3x(x 2－x －1)．24．把下列各式因式分解：(1)2m(a－b)－3n(b－a)；(2)16x2－64；(3)－4a2＋24a－36.25先化简(a2b－2ab2－b3)÷b－(a＋b)(a－b)，然后对式子中a、b分别选择一个自己最喜欢的数代入求值．26．我们约定：a b＝10a÷10b，如43＝104÷103＝10.(1)试求123和104的值；(2)试求(215)×102的值．参考答案1．D2．D3.原式＝x 12＋x 6·x 6＋2x 12＝x 12＋x 12＋2x 12＝4x 12.4．C5.6x 2＋x －16.(1)原式＝－27x 6y 3×(－2xy 3)＝54x 7y 6.(2)原式＝34x 2y ·(－4xy 2)－12xy 2·(－4xy 2)＝－3x 3y 3＋2x 2y 4. 7.D8.4 39. 原式＝a 2－2ab －b 2－a 2＋2ab －b 2＝－2b 2.10. C11. B12. (1)原式＝4m 2－20m ＋25. (2)原式＝(a 2－9)(a 2＋9)＝a 4－81. (3)原式＝a 2－1－a 2＋2a －1＝2a －2.13. D14. A15.4(x ＋1)216.2017. C18. B19.4 90020．ab21.y(x －3)(x ＋3)22.123. (1)原式＝5a 3b ·9b 2＋(－ab)·36a 2b 2＝45a 3b 3－36a 3b 3＝9a 3b 3. (2)原式＝x 3＋3x ＋x 3－3x 2－3x 3＋3x 2＋3x ＝－x 3＋6x.24.(1)原式＝(a －b)(2m ＋3n)． (2)原式＝16(x ＋2)(x －2)． (3)原式＝－4(a －3)2.25.原式＝a 2－2ab －b 2－(a 2－b 2)＝a 2－2ab －b 2－a 2＋b 2＝－2ab.如选择一个喜欢的数为a ＝1，b ＝－1，则原式＝2.26.(1)123＝1012÷103＝109，104＝1010÷104＝106. (2)(215)×102＝(1021÷105)×102＝1018.。

一、选择题1．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（ ）（用含有a 、b 的代数式表示）．A ．a-bB ．a+bC ．abD ．2ab C解析：C【分析】 设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，列方程求解，用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可．【详解】解：设小正方形的边长为x ，大正方形的边长为y ，则：22x y a y x b+=⎧⎨-=⎩ ， 解得：42a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴阴影面积=（2a b +）2﹣4×（4a b -）22222224444a ab b a ab b ab ++-+=-=＝ab ． 故选C ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，求得大正方形的边长和小正方形的边长是解题的关键． 2．若2()(2)3x a x x x b +-=-+，则实数b 等于（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12B 解析：B【分析】等式左边去括号后两边经过比对可以得解 ．【详解】解：原等式可变为： ()22223x a x a x x b +--=-+，∴可得：232a b a -=-⎧⎨=-⎩，解之得：a=-1,b=2，故选B ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和多项式的乘法，熟练掌握代数式相等的意义、多项式的乘法法则及二元一次方程组的解法是解题关键．3．将11n n x x +--因式分解，结果正确的是（ ）A ．()121n xx -- B ．()11n x x -- C ．()1n x x x -- D ．()()111n x x x -+- D解析：D【分析】先提公因式x n-1，再用平方差公式进行分解即可.【详解】x n+1−x n-1=x n-1(x 2-1)=x n−1(x+1)(x−1)，故选：D【点睛】此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键. 4．下列计算中能用平方差公式的是（ ）．A ．()()a b a b -+-B ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22x x D ．()()21x x -+ B解析：B【分析】根据平方差公式()()22a b a b a b -+=-一项一项代入判断即可． 【详解】A 选项：两项都是互为相反数，故不能用平方差公式；B 选项：两项有一项完全相同，另一项为相反数，故可用平方差公式；C 选项：两项完全相同，故不能用平方差公式；D 选项：有一项2-与1不同，故不能用平方差公式．故选：B ．【点睛】此题考查平方差的基本特征：()()22a b a b a b -+=-中a 与b 两项符号不同，难度一般．5．如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）A ．x 2+3x +6B ．（x +3）（x +2）﹣2xC ．x （x +3）+6D ．x （x +2）+x 2D解析：D【分析】 根据S 楼房的面积＝S 矩形ABCD +S 矩形DEFC +S 矩形CFHG 代入数值求出图形面积，再根据计算各整式判断即可．【详解】S 楼房的面积＝S 矩形ABCD +S 矩形DEFC +S 矩形CFHG＝AD •AB +DC •DE +CF •FH ．∵AB ＝DC ＝AD ＝x ，DE ＝CF ＝3，FH ＝2，∴S 楼房的面积＝x 2+3x +6．∵（x+3）（x+2）﹣2x= x 2+3x +6，x （x +3）+6= x 2+3x +6，x （x +2）+x 2=2 x 2+2x ， 故选：D ．．【点睛】此题考查列整式求图形面积，整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 6．计算2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．43 B ．43- C ．0.75 D ．-0.75D 解析：D【分析】先将20200.75化为20193434⨯，再用幂的乘方的逆运算计算，再计算乘法即可得到答案． 【详解】2019202040.753⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭ =20192019343434⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=201934()3434⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦⨯- =(31)4-⨯=34-, 故选：D ．【点睛】此题考查有理数数的乘法运算，掌握幂的乘方的逆运算是解题的关键．7．已知5a b +=，2ab =-，则a 2+b 2的值为（ ）A ．21B ．23C ．25D ．29D 解析：D【分析】根据完全平方公式得()2222a b a b ab +=+-，再整体代入即可求值．【详解】解：∵()2222a b a b ab +=++，∴()2222a b a b ab +=+-， ∵5a b +=，2ab =-，∴原式()252225429=-⨯-=+=． 故选：D ．【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式进行计算．8．下列各多项式中，能用平方差公式分解因式的是( )A ．21x -+B ．21x +C ．21x --D ．221x x -+ A解析：A【分析】根据平方差公式：两个数平方的差，等于这两个数的和与差的平方解答．【详解】A 、21x -+，能用平方差公式分解因式；B 、21x +，不能用平方差公式分解因式；C 、21x --，不能用平方差公式分解因式；D 、221x x -+，不能用平方差公式分解因式；故选：A ．【点睛】此题考查平方差公式：22()()a b a b a b -=+-，掌握公式中多项式的特点是解题的关键．9．下列各式中，正确的是（ ）A ．2222x y yx x y -+=B ．22445a a a +=C ．()2424m m --=-+D ．33a b ab += A解析：A【分析】根据同类项的定义与单项式的乘法法则，分别判断分析即可．【详解】解：A.2222x y yx x y -+=，故A 正确； B.22245a a a +=，故B 不正确；C.-2(m-4)=-2m+8，故C 不正确；D.3a 与b 不是同类项，不能合并，故D 不正确.故选A.【点睛】本题考查了合并同类项与单项式的乘法、去括号与添括号．注意，去括号时，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．10．a ，b ，c 在数轴上的位置如下图所示，则下列代数式中值为正的是（ ）A ．()()1a c b --B ．()11c a b c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭D ．()1ac bc - C 解析：C【分析】现根据各数在数轴上的位置确定其取值范围，然后可确定答案．【详解】解：由图知：0＜a ＜1，b ＞1，c ＜0， ∴()100a a c b ⎛⎫+>-> ⎪⎝⎭，， ()1a a c b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭值为正，C 正确； 而()110c a b c ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，()()10a c b --<，()10ac bc -<；A 、B 、D 错误. 故选：C.【点睛】此题主要考查由取值范围确定代数式正负问题，解题的关键是根据点在数轴上的位置判断其正负．二、填空题11．如图，是一个运算的流程图，输入正整数x 的值，按流程图进行操作并输出y 的值．例如，若输入x ＝10，则第一次输出y ＝5．若输入某数x 后，第二次输出y ＝3，则输入的x 的值为_________．9或10或11或12【分析】由运算流程图先求出第一次输出的数分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可【详解】解：根据题意∵第二次输出设第一次输出的数是奇数m 时则解得：；设第一次输出的数解析：9或10或11或12．【分析】由运算流程图，先求出第一次输出的数，分为偶数或者奇数；然后再分两种情况求出输入的x 的值即可．【详解】解：根据题意，∵第二次输出3y =，设第一次输出的数是奇数m 时，则132m +=，解得：5m =； 设第一次输出的数是偶数n 时，则32n =，解得：6n =． 当第一次输出为5时，又可以分为两种情况：当x 为奇数时，则152x +=，解得：9x =； 当x 为偶数时，则52=x ，解得：10x =； 当第一次输出为6时，又可以分为两种情况： 当x 为奇数时，则162x +=，解得：11x =； 当x 为偶数时，则62x =，解得：12x =； 故答案为：9或10或11或12．【点睛】本题考查有理数的运算，结合编程的流程图出题，题目新颖，并且运用到了分类讨论这一重要数学思想．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．12．若()()253x x x bx c +-=++，则b+c=______．-13【分析】先利用多项式的乘法展开再根据对应项系数相等确定出bc 的值最后计算出结果即可【详解】解：∵∴∴b=2c=-15∴b+c=2-15=-13故答案为：-13【点睛】此题主要考查了整式的乘法熟解析：-13【分析】先利用多项式的乘法展开，再根据对应项系数相等确定出b ，c 的值，最后计算出结果即可．【详解】解：∵()()253x x x bx c +-=++ ∴22+215x x x bx c -=++∴b=2，c=-15∴b+c=2-15=-13故答案为：-13．【点睛】此题主要考查了整式的乘法，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．13．若26x x m ++为完全平方式，则m =____．9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方则中间项为x 和积的2倍即可解得m 的值【详解】解：根据题意是完全平方式且6>0可写成则中间项为x 和积的2倍故∴m=9故答案填：9【点睛】本题是完全平方公式的解析：9【分析】完全平方式可以写为首末两个数的平方(2x ，则中间项为x 2倍，即可解得m 的值．【详解】解：根据题意，26x x m ++是完全平方式，且6>0，可写成(2x +，则中间项为x 2倍，故62x =∴m =9，故答案填：9．【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意中间项的符号，避免漏解．14．对于有理数a ，b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b >时，min{,}a b b =．例如：min{1,22}-=-，min{3,1}1-=-．已知}a =}b b =，且a 和b 是两个连续的正整数，则a+b =_____．9【分析】根据新定义得出ab 的值再求和即可【详解】解：∵min{a}=min{b}=b ∴＜ab ＜又∵a 和b 为两个连续正整数∴a=5b=4则a+b=9故答案为：9【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数解析：9【分析】根据新定义得出a ，b 的值，再求和即可．【详解】解：∵，b}=b ， ∴a ，b又∵a 和b 为两个连续正整数，∴a=5，b=4，则a+b=9．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数的大小比较，正确得出a ，b 的值是解题关键． 15．数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(,)a b 放入其中时，会得到一个新的数：(1)(2)a b --．例如：将数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是________；（1）将数对放入其中，最后得到的数________；（2）现将数对(,0)m 放入其中，得到数n ，再将数对(,)n m 放入其中后，最后得到的数是________．（结果要化简）-1-2-2m2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则可分别计算出数对和放入其中后最后得到的数再由数对放入其中得到数计算出m 与n 的关系再计算数对即可得到结果【详解】解：由题意得：数对放入其中时解析：-1 -2 -2m 2+5m-2【分析】根据题目中的新定义运算规则，可分别计算出数对(2,1)和放入其中后，最后得到的数，再由数对(,0)m 放入其中，得到数n ，计算出m 与n 的关系，再计算数对(,)n m ，即可得到结果．【详解】解：由题意得：数对(2,1)放入其中时，最后得到的数是：（2-1）×（1-2）＝-1； 故答案为：-1；（1）将数对3-1-2）＝-2；故答案为：-2；（2）根据数对(,0)m 放入其中得到数n ，可得：（m−1）×（0−2）＝n ， 则-2m+2＝n ， ∴将数对（n ，m ）放入其中后，最后得到的数是：（n−1）（m−2）＝（-2m+2−1）（m−2）＝（-2m+1）（m−2）＝-2m 2+5m-2．故答案为：-2m 2+5m-2．【点睛】此题主要考查了新定义下的实数运算，弄清题中的新定义运算规则、实数及多项式乘多项式的运算法则是解本题的关键．16．因式分解：316m m -=________．m （m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式再利用平方差公式分解即可【详解】解：=m （m2-16）=m （m+4）（m-4）故答案为：m （m+4）（m-4）【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解 解析：m （m+4）（m-4）【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：316m m -=m （m 2-16）=m （m+4）（m-4），故答案为：m （m+4）（m-4）【点睛】此题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．17．如果关于x 的多项式24x bx ++是一个完全平方式，那么b =________．【分析】多项式的首项和末项分别是x 和2的平方那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍由此得到答案【详解】∵∴b=故答案为：【点睛】此题考查完全平方式掌握完全平方式的构成特点是解题的关键解析：4±【分析】多项式的首项和末项分别是x 和2的平方，那么中间一项是加上或减去x 与2积的2倍，由此得到答案．【详解】∵222(2)444x x x x bx ±±=+=++，∴b=4±，故答案为：4±．【点睛】此题考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键．18．计算：32(2)a b -＝________．【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘根据法则计算即可【详解】=故答案为：【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方再把所得的幂相乘解析：624a b【分析】积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，根据法则计算即可．【详解】32(2)a b -=624a b ，故答案为：624a b ．【点睛】此题考查积的乘方：等于积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．19．设（2a+3b ）2＝（2a ﹣3b ）2+A ，则A ＝__________24ab 【分析】由完全平方公式（a±b ）2＝a2±2ab+b2得到（a+b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab 据此可以作出判断【详解】解：∵（2a+3b ）2＝（2a ﹣3b ）2+4×2a×3b ＝（2a ﹣3b ）2解析：24ab【分析】由完全平方公式（a ±b ）2＝a 2±2ab +b 2，得到（a +b ）2＝（a ﹣b ）2+4ab ，据此可以作出判断．【详解】解：∵（2a +3b ）2＝（2a ﹣3b ）2+4×2a ×3b ＝（2a ﹣3b ）2+24ab ，（2a +3b ）2＝（2a ﹣3b ）2+A ，∴A ＝24ab ．故答案为：24ab ．【点睛】本题考查了完全平方公式．关键是要了解（a ﹣b ）2与（a +b ）2展开式中区别就在于2ab 项的符号上，通过加上或者减去4ab 可相互变形得到．20．已知()()()214b c a b c a -=--且a ≠0，则b c a +＝__．2【分析】由可得：去分母整理可得：从而得到：于是可得答案【详解】解：故答案为：2【知识点】本题考查的是整式的乘法运算完全平方公式的应用因式分解的应用非负数的性质代数式的值利用平方根的含义解方程掌握以解析：2【分析】 由()()()214b c a b c a -=--可得：()()()21,4b c bc a b c a bc -+=--+去分母整理可得：()220,b c a +-=从而得到：2,b c a +=于是可得答案．【详解】解： ()()()21,4b c a b c a -=-- ()()()21,4b c bc a b c a bc ∴-+=--+ ()()22444b c bc ac a bc ab bc ∴-+=--++，()()22440,b c a a b c ∴++-+=()220,b c a ∴+-=20,b c a ∴+-=2,b c a ∴+=∴ 2=2,b c a a a+= 故答案为：2．【知识点】本题考查的是整式的乘法运算，完全平方公式的应用，因式分解的应用，非负数的性质，代数式的值，利用平方根的含义解方程，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题21．下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题．解：原式229()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②2()(32)x y a b =-+③任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．任务二：请你写出正确的解答过程．解析：①；见解析【分析】根据提公因式法和平方差公式进行因式分解．【详解】解：在小华同学的解答中，对原式进行变形，从第①步开始出现错误，故答案为：①正确过程如下：229()4()a x y b y x -+-229()4()a x y b x y =---22()(94)x y a b =--()(32)(32)x y a b a b =-+-．【点睛】本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．22．阅读下列文字，并解决问题．已知x 2y ＝3，求2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）的值．我们知道，满足x 2y ＝3的x ，y 的值可能较多，不可能逐一代入求解，而运用整体思想能使问题化繁为简，化难为易，运用整体代入的方法能巧妙地解决一些代数式的求值问题，于是将x 2y ＝3整体代入．解：2xy （x 5y 2﹣3x 3y ﹣4x ）＝2x 6y 3﹣6x 4y 2﹣8x 2y＝2（x 2y ）3﹣6（x 2y ）2﹣8x 2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．请你用上述方法解决问题：（1）已知ab ＝4，求（2a 3b 2﹣3a 2b+4a ）•（﹣2b ）的值；（2）已知x ﹣1x＝5，求1x x +的值．解析：（1）-192；（2）1x x += 【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法矩形计算，根据积的乘方法则变形，把已知数据代入计算即可；（2）根据完全平方公式把原式变形，把已知数据代入计算即可．【详解】解：（1）∵ab ＝4，∴（2a 3b 2﹣3a 2b+4a ）•（﹣2b ）＝﹣4a 3b 3+6a 2b 2﹣8ab＝﹣4（ab ）3+6（ab ）2﹣8ab＝﹣4×43+6×42﹣8×4＝﹣192；（2）∵x ﹣1x＝5， ∴22211()()45429x x x x +=-+=+=． 1x x∴+=【点睛】本题考查的整式的混合运算及完全平方公式，正确理解题意掌握相关运算顺序和计算法则正确计算是解题的关键．23．（1）先化简，再求值：()()()22m n m n m n m ⎡⎤-++-÷⎣⎦，其中1m =，3n =-．（2）已知：1x y -=，2xy =，求32232x y x y xy -+的值．解析：（1）m n -，4；（2）()2xy x y -，2【分析】（1）整式的混合运算，先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的，化简后代入求值进行计算求值；（2）将原式进行因式分解，然后代入求值．【详解】解：（1）()()()22m n m n m n m ⎡⎤-++-÷⎣⎦=2222(2)2m n m mn n m -+-+÷=2(22)2m mn m -÷m n =-当1m =，3n =-时，原式1(3)4=--=（2）32232x y x y xy -+=22(2)xy x xy y -+()2xy x y =-，∵1x y -=，2xy =∴原式=2×12=2．【点睛】本题考查因式分解和整式的混合运算，掌握运算法则正确计算是解题关键．24．分解因式： ()()144m m ++()32228x xy -解析：（1）()22m +；（2）()()222x x y x y +- 【分析】（1）将原代数式去括号计算后，直接利用完全平方公式因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解．【详解】解：()()144m m ++244m m =++()22m =+； ()32228x xy -()2224x x y =- ()()222x x y x y =+-．【点睛】本题考查因式分解．一般因式分解时能提取公因式先提取公因式，再看能否运用公式因式分解．25．计算：（1）23262x y x y -÷（2）()233221688x y z x y z xy +÷（3）运用乘法公式计算：2123124122-⨯解析：（1）23y -；（2）22xyz x z +；（3）1【分析】（1）利用单项式除以单项式法则计算；（2）运用多项式除以单项式法则计算；（3）先将124122⨯化为(1231)(1231)+⨯-，利用平方差公式计算，再计算加减法．【详解】解：（1）23262x y x y -÷=23y -； （2）()233221688x y z x y z xy +÷=22xyz x z +；（3）2123124122-⨯=222123(1231)(1231)123(1231)1-+⨯-=--=． 【点睛】此题考查整式的计算法则：单项式除以单项式、多项式除以单项式、平方差公式，熟记法则是解题的关键．26．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算： 281156415497-⨯=-==2241731576527497-⨯=-==不难发现，结果都是7．（1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证；（2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可；（2）设中间那个数为n，列得2(7)(7)--+，根据平方差公式及合并同类项法则计n n n算即可．【详解】解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图，2-⨯=-==；13620169120497(2)证明：设中间那个数为n，则：2(7)(7)497--+==n n n∴2(7)(7)7--+=．n n n．【点睛】此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键．27．第一步：阅读材料，掌握知识．要把多项式am＋an＋bm＋bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而得： am＋an＋bm＋bn＝a(m＋n)＋b(m ＋n)．这时，由于a(m＋n)＋b(m＋n)中又有公因式(m＋n)，于是可提出(m＋n)，从而得到(m＋n)(a＋b)，因此有： am＋an＋bn＋bn＝(am＋an)＋(bm＋bn)＝a(m＋n)＋b(m＋n)＝(m ＋n)(a＋b)．这种方法称为分组法．第二步：理解知识，尝试填空．（1）ab－ac＋bc－b2＝(ab－ac)＋(bc－b2)＝a(b－c)－b(b－c)＝．第三步：应用知识，解决问题．（2）因式分解：x2y－4y－2x2＋8．第四步：提炼思想，拓展应用．（3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足a2＋2b2＋c2＝2b(a＋c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由．解析：（1）（b-c）（a-b）；（2）（y-2）（x+2）（x-2）；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析．【分析】（1）提取b-c即可；（2）先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可；（3）移项后分解因式，可得出a=b=c ，则可得出答案．【详解】解：（1）a （b-c ）-b （b-c ）=（b-c ）（a-b ）．故答案为：（b-c ）（a-b ）；（2）x 2y-4y-2x 2+8=（x 2y-4y ）-（2x 2-8）=y （x 2-4）-2（x 2-4）=（y-2）（x 2-4）=（y-2）（x+2）（x-2）；（3）这个三角形为等边三角形．理由如下：∵a 2+2b 2+c 2=2b （a+c ），∴a 2+2b 2+c 2-2ba-2bc=0，∴a 2-2ab+b 2+b 2-2bc+c 2=0，∴（a-b ）2+（b-c ）2=0，∵（a-b ）2≥0，（b-c ）2≥0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b=c ，∴这个三角形是等边三角形．【点睛】本题考查分组因式分解，等边三角形的定义．能理解题意，掌握分组分解法是解题关键． 28．计算：（1）x 2·x （2）（x 3）5（3）（-2x 3）2解析：（1）3x ，（2）15x ，（3）64x ．【分析】（1）按照同底数幂相乘法则计算即可；（2）按照幂的乘方法则计算即可；（3）先按照积的乘方运算，再计算幂的乘方即可．【详解】解：（1）2213x x x x +⋅==，（2）353515()x x x ⨯==，（3）322326(2)(2)()4x x x -=-⨯=．【点睛】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方运算，熟练掌握这些幂的运算法则是解题关键．。

整式乘除与因式分解培优精练专题答案一．选择题（共 9 小题）1．（ 2014?台湾）算式 2 2 2之值的十位数字为何？（）99903 +88805 +77707 A ．1B ． 2C ． 6D ． 8分析： 分别得出 999032、888052、 777072的后两位数，再相加即可得到答案．2解答： 解： 99903 的后两位数为 09，288805 的后两位数为 25，277707 的后两位数为 49，09+25+49=83 ，所以十位数字为 8， 故选： D ．2．（ 2014?盘锦）计算（2a 2） 3? a 正确的结果是（ ）A ．3a7B ． 4a7C ． a7D ． 4a6分析： 根据幂的乘方与积的乘方、单项式与单项式相乘及同底数幂的乘法法则进行计算即可．解答：解：原式 ==4a 7，故选： B ．3．（ 2014?遵义）若 a+b=2 ， ab=2，则 a 2+b 2的值为（ ）A ．6B ． 4C ． 3D ． 2分析： 利用 a 2+b 2=（ a+b ） 2﹣2ab 代入数值求解．解答： 解： a 2+b 2=（ a+b ） 2﹣ 2ab=8﹣ 4=4，故选： B ．4．（ 2014?拱墅区二模）如果 ax 2+2x+ =（2x+） 2+m ，则 a ， m 的值分别是（）A ． 2，0B ． 4， 0C ．2，D ． 4，运用完全平方公式把等号右边展开，然后根据对应项的系数相等列式求解即可．解答：22+m ，解： ∵ax +2x+ =4x +2x+∴ ，解得 ．故选 D．5．（ 2014?江阴市模拟）如图，设（a＞b＞0），则有（）A ．B．C． 1＜k＜ 2D． k＞2解答：解：甲图中阴影部分的面积=a 2﹣ b2，乙图中阴影部分的面积=a（ a﹣ b），=，∵a＞ b＞ 0，∴，∴1＜ k＜2．故选： C．6．（ 2012?鄂州三月调考）已知，则的值为（）A ．B．C． D ．无法确定解答：解：∵a+ =，∴两边平方得：（ a+ ）2=10 ，展开得： a 2+2a? +=10 ，∴a 2+=10 ﹣ 2=8 ，∴（ a﹣）2=a2﹣2a?+=a2+﹣2=8﹣2=6，∴a﹣=±，故 C．7．已知，代数式的等于（）A ．B．C．D．分析：先判断 a 是正数，然后利用完全平方公式把两平方并整理成的平方的形式，开方即可求解．解答：解：∵，∴a＞ 0，且2+a 2=1，∴+2+a 2=5，即（+|a|）2=5，开平方得，+|a|=．故 C．8．（ 2012?州）求1+2+2 2+23+⋯+22012的，可令S=1+2+22+23+⋯+22012，2S=2+22+23+24+⋯+22013，因此 2S S=220131．仿照以上推理，算出1+5+5 2+53+⋯+52012的（）A ．520121B． 520131C．D．分析：根据目提供的信息，S=1+5+5 2+53+⋯+52012，用 5S S 整理即可得解．解答：解： S=1+5+52320125S=5+52342013 +5 +⋯+5，+5 +5 +⋯+5，因此， 5S S=520131，S=．故 C．9．（ 2004?州）已知 a=x+20 ，b=x+19 ， c=x+21 ，那么代数式 a 2+b2+c2ab bcac 的是（）A ．4B． 3C． 2D． 1：．分析：已知条件中的几个式子有中间变量 x ，三个式子消去 x 即可得到： a ﹣b=1 ，a ﹣ c=﹣ 1，b ﹣ c=﹣ 2，用这三个式子表示出已知的式子，即可求值．解答：解：法一： a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac ， =a （ a ﹣ b ） +b （ b ﹣c ） +c （ c ﹣ a ），又由 a= x+20， b= x+19， c=x+21 ，得（ a ﹣b ） = x+20 ﹣x ﹣ 19=1，同理得：（ b ﹣ c ）=﹣ 2，（ c ﹣ a ） =1 ， 所以原式 =a ﹣ 2b+c= x+20 ﹣ 2（x+19 ） + x+21=3 ．故选 B ．法二： a 2+b 2+c 2﹣ ab ﹣ bc ﹣ ac ，= （ 2a 2+2b 2+2c 2﹣ 2ab ﹣2bc ﹣ 2ac ），22 2 2 2 2= [（ a ﹣ 2ab+b ）+（ a ﹣ 2ac+c ） +（ b ﹣2bc+c ） ]，= [（ a ﹣ b ） 2+（a ﹣ c ） 2+（ b ﹣ c ） 2] ，= ×（ 1+1+4） =3． 故选 B ．二．填空题（共 9 小题）x+5 ）（ x+n ） =x 2+mx ﹣ 5，则 m+n= 3 ．10．（ 2014?江西样卷）已知（分析： 把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到m 、 n 的值．解答： 解：展开（ x+5 ）（x+n ） =x 2+（ 5+n ） x+5n∵（ x+5 ）（ x+n ） =x 2+mx ﹣5，∴5+n=m ， 5n= ﹣5，∴n=﹣ 1， m=4 ．∴m+n=4 ﹣ 1=3 ．故答案为： 311．（2014?徐州一模）已知 x ﹣ =1，则 x 2+ = 3 ．分析：首先将 x ﹣ =1 的两边分别平方，可得（x ﹣ ）2=1，然后利用完全平方公式展开，解答：变形后即可求得 x 2+的值．或者首先把 x 2+凑成完全平方式 x 2+ =（ x ﹣ ）2+2，然后将 x ﹣ =1 代入，即可求得 x 2+的值．解：方法一： ∵x ﹣ =1，∴（ x ﹣ ） 2=1，即 x 2+ ﹣ 2=1，∴x 2+=3．方法二： ∵x ﹣ =1 ，2 2，∴x + =（ x ﹣ ） +2 =1 2+2， =3 ．故答案为： 3．12．（ 2011?平谷区二模）已知2 2．，那么 x +y = 6分析：首先根据完全平方公式将（ x+y ） 2用（ x+y ）与 xy 的代数式表示，然后把x+y ， xy的值整体代入求值．解答：解： ∵x+y=， xy=2 ，∴（ x+y ） 2=x 2+y 2+2xy ，∴10=x 2+y 2+4，∴x 2+y 2=6．故答案是： 6．点评：本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（ a ±b ）2=a 2±2ab+b 2．13．（ 2010?贺州）已知 10m =2， 10n =3，则 103m+2n= 72 ．解答： 解： 103m+2n =103m 102n =（ 10m ） 3（ 10n ） 2=23?32=8×9=72．点评： 本题利用了同底数幂相乘的性质的逆运算和幂的乘方的性质的逆运算．同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘．14．（ 2005?宁波）已知 a ﹣ b=b ﹣ c= ， a 2+b 2+c 2=1，则 ab+bc+ca 的值等于 ﹣．分析：先求出 a ﹣ c 的值，再利用完全平方公式求出（a ﹣b ），（ b ﹣c ），（ a ﹣ c ）的平方和，然后代入数据计算即可求解．解答： 解： ∵a ﹣ b=b ﹣ c= ，∴（ a ﹣ b ）2= ，（ b ﹣ c ）2=， a ﹣ c= ，22﹣ 2ab= 2 2﹣ 2bc= 22，∴a +b ， b +c ， a +c ﹣ 2ac=∴2（ a 2+b 2+c 2）﹣ 2（ ab+bc+ca ） = ++= ，∴2﹣ 2（ ab+bc+ca ） = ，∴1﹣（ ab+bc+ca ） = ，∴ab+bc+ca=﹣ =﹣ ．故答案为：﹣．点评：a ﹣ b=b ﹣ c= ，得到 a ﹣ c= ，然后对 a本题考查了完全平方公式，解题的关键是要由﹣ b= ， b ﹣ c= ， a ﹣ c= 三个式子两边平方后相加，化简求解．15．（ 2014?厦门）设 a=192×918， b=8882﹣ 302， c=10532﹣ 7472，则数 a ， b ， c 按从小到大的顺序排列，结果是 a ＜ c ＜ b ．考点 ：因式分解的应用．分析：运用平方差公式进行变形，把其中一个因数化为 918，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．解答：解： a=192×918=361×918，b=888 2﹣302=（ 888﹣ 30） ×（888+30 ）=858×918，c=1053 2﹣7472=（ 1053+747 ）×（ 1053﹣ 747）=1800×306=600×918，所以 a ＜c ＜ b ． 故答案为： a ＜ c ＜ b ．16．（ 1999?杭州）如果 a+b+ ，那么 a+2b ﹣ 3c= 0 ．分析：先移项，然后将等号左边的式子配成两个完全平方式，从而得到三个非负数的和为0，根据非负数的性质求出a 、b 、c 的值后，再代值计算．解答：解：原等式可变形为：a ﹣ 2+b+1+|﹣ 1|=4+2﹣ 5（ a ﹣ 2）+（ b+1 ）+|﹣ 1|﹣ 4﹣ 2 +5=0（ a ﹣ 2）﹣ 4+4+ （ b+1 ）﹣ 2+1+|﹣1|=0（ ﹣ 2） 2+（﹣ 1）2+| ﹣ 1|=0；即：﹣ 2=0，﹣ 1=0，﹣ 1=0 ，∴=2， =1， =1，∴a ﹣ 2=4 ，b+1=1 ， c ﹣1=1，解得： a=6， b=0 ，c=2；∴a+2b ﹣ 3c=6+0﹣ 3×2=0．17．已知 x ﹣ =1，则 = ．分析：2的值，再把所求算式整理成 的形式， 然把 x ﹣ =1 两边平方求出x + 后代入数据计算即可．解答：解： ∵x ﹣ =1，∴x 2+﹣2=1 ，∴x 2+=1+2=3 ，= = = ．故应填：．18．已知（ 2008﹣ a ）2+（ 2007 ﹣a ） 2=1，则（ 2008﹣a ） ?（ 2007﹣ a ） = 0．解答：解： ∵（ 2008﹣ a ） 2+（2007﹣ a ）2=1，22﹣ 2（ 2008﹣ a）（ 2007﹣ a），∴（2008 ﹣ a）﹣ 2（2008 ﹣ a）（ 2007﹣ a）+（ 2007﹣ a） =1即（ 2008﹣ a﹣ 2007+a）2=1﹣ 2（ 2008﹣a）（ 2007﹣a），整理得﹣ 2（ 2008﹣a）（2007﹣ a） =0，∴（ 2008 ﹣a）（ 2007﹣ a） =0．三．解答题（共8 小题）22是一个完全平方式，那么k= 4 或﹣ 2 ．19．如果 a ﹣2（ k﹣ 1） ab+9b解答：解：∵a 2﹣2（k﹣1）ab+9b2=a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，∴﹣ 2（ k﹣1） ab=±2×a×3b，∴k﹣ 1=3 或 k﹣ 1=﹣ 3，解得 k=4 或 k= ﹣ 2．即k=4 或﹣ 2．故答案为： 4 或﹣ 2．点评：本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．x x+320．已知 3 =8，求 3．解答：解： 3x+3=3x?33=8 ×27=216 ．点评：本题考查了同底数幂的乘法，底数不变指数相加．n﹣5n+1 3m﹣22n﹣ 1 m﹣233m+221．计算： a （ a b） +（ a b）（﹣ b）分析：先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．解答：解：原式=a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），=a3n﹣ 3b6m﹣4+a3n﹣ 3（﹣b6m﹣ 4），3n﹣ 36m﹣43n﹣ 36m﹣4，=a b﹣ a b=0 ．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．22．已知 n 是正整数， 1++是一个有理式 A 的平方，那么，A=±．解答：解： 1++=，分子： n 2（ n+1 ）2+（n+1 ）2+n2=n2（ n+1 ）2+n2+2n+1+n2，22=n （ n+1） +2n（ n+1） +1，2=[n （ n+1 ）+1] ，∴分子分母都是完全平方的形式，∴A= ±．故答案为：±．23．已知 2008=，其中 x，y 为正整数，求 x+y 的最大值和最小值．分析：首先根据 2008=可知 xy=2009 ，再根据 x，y 为正整数，确定 x、y 可能的取值．根据 xy 的乘积的个位是 9，确定 x、 y 的个位可能是1、3、 7、 9．通过 x、y 都具有同等的地位，那么x 取过的值， y 也有可能，故只取x 即可， x 的十位数最大不会超过 5．因而就x 取值可能是 1、 11、 13、 17、 19、 21、 23、 27、 29、 31、 33、 37、 39、 41、 43、47、 49．就这几种情况讨论即可．解答：解：∵2008=2008=xy ﹣ 1∴2009=xy∵x， y 为正整数，并且乘积是2009 的个位数是9因而 x、y 的个位可能是1、 3、 7、 9①当 x 的个位是 1 时，x=1 ， y=2009 显然成立，x=11 ， y 不存在，x=21 ， y 不存在，x=31 ， y 不存在，x=41 ， y=49，②当 x 的个位是 3 时x=3 ， y 不存在，x=13 ， y 不存在，x=23 ， y 不存在，x=33 ， y 不存在，x=43 ， y 不存在；③当的个位是7 时x=7 ， y=287x=17 ， y 不存在x=27 ， y 不存在x=37 ， y 不存在x=47 ， y 不存在；④当 x 的个位是9 时x=9 ， y 不存在 x=19 ， y 不存在 x=29 ， y 不存在 x=39 ， y 不存在 x=49 ， y=41． 故可能的情况是① x=1 ， y=2009 或 x=2009 ， y=1， x+y=2010 ② x=7 ， y=287 或 x=287 ， y=7， x+y=7+287=394 ③ x=41 ， y=49 或 x=49， y=41， x+y=41+49=90故 x+y 的最大值是 2010，最小值是 9024．（ 2000?内蒙古）计算：解答： 解：由题意可设字母 n=12346，那么 12345=n ﹣1， 12347=n+1 ，于是分母变为 n 2﹣（ n ﹣ 1）（n+1 ）．应用平方差公式化简得22222n ﹣（ n ﹣1 ） =n ﹣ n +1=1 ，所以原式 =24690 ．25．设 a 2+2a ﹣1=0 ， b 4 ﹣2b 2﹣ 1=0 ，且 1﹣ ab 2≠0，求的值．分析：解法一：根据 1﹣ab 2≠0 的题设条件求得 b 2=﹣ a ，代入所求的分式化简求值．解法二：根据a 2+2a ﹣ 1=0 ，解得 a=﹣ 1+ 或 a=﹣ 1﹣，由 b 4﹣2b 2﹣ 1=0 ，解得：2b = +1，把所求的分式化简后即可求解．解答：解法一：解： ∵a 2+2a ﹣ 1=0 ， b 4﹣2b 2﹣ 1=0∴（ a 2+2a ﹣1）﹣（ b 4﹣ 2b 2﹣ 1）=0化简之后得到： （a+b 2）（ a ﹣ b 2+2） =0若 a ﹣ b 2+2=0 ，即 b 2=a+2，则 1﹣ ab 2=1﹣ a （ a+2） =1﹣ a 2﹣ 2a=0，与题设矛盾，所以a ﹣ b 2+2≠0因此 a+b 2=0，即 b 2=﹣ a∴===（﹣ 1） 2003=﹣ 1解法二： 解： a 2+2a ﹣ 1=0（已知），解得 a=﹣ 1+ 或 a=﹣1﹣ ， 由 b 4﹣ 2b 2﹣ 1=0 ，解得： b 2= +1 ， ∴ =b 2+ ﹣ 2+= +1﹣ 2+ ，当 a= ﹣ 1 时，原式 = +1﹣ 2+4+3 =4 +3 ，∵1﹣ ab 2≠0， ∴a= ﹣ 1 舍去；当 a=﹣ ﹣ 1 时，原式 = +1﹣2﹣ =﹣ 1，∴（﹣ 1） 2003=﹣ 1，即 =﹣ 1． 点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意 1﹣ab 2≠0 的运用． 26．已知3|2x ﹣ 1|+ +（ z ﹣1） 2=0，求 x 2+y 2+z 2+2xy+2xz+2yz 值． 分析：首先利用非负数的性质求得 x 、 y 、 z 的值，然后代入代数式求解即可． 解答：解： ∵3|2x ﹣1|+ +（ z ﹣ 1） 2=0，∴2x ﹣ 1=0， 3y ﹣ 1=0， z ﹣ 1=0 ∴x= ， y= ， z=1 ∴x 2+y 2+z 2+2xy+2xz+2yz= （ ）2+（ ） 2+12+2× × +2× ×1+2 × ×1=点评： 本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是求得未知数的值．。

中考数学总复习《整式的乘法与因式分解》专项提升练习题-带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．下列运算正确的是（）A．(ab)5=ab5B．a8÷a2=a6C．(a2)3=a5D．a2⋅a3=a62．已知2m=a，2n=b，m，n为正整数，则2m+n为（）A．a+b B．ab C．2ab D．a2+b23．若(x2−mx+1)(x−3)展开后不含x的一次项，则m的值是（）A．3 B．1 C．−13D．04．多项式(x2−2x+1)与多项式(x−1)(x+1)的公因式是( )A．x−1B．x+1C．x2+1D．x25．下列代数式变形中，属于因式分解是（）A．m(m−2)=m2−2m B．m2−2m+1=m(m−2)+1C．m2−1=(m+1)(m−1)D．m2−2+1m2=(m−1m)26．如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（）A．①B．②C．①②D．①②都不能7．已知x−1x =2，则x2+1x2的值为（）A．2 B．4 C．6 D．88．如果二次三项式x2−ax−9（a为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a可取值的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．无数个二、填空题9．如果a2⋅a m=a6，则m=.10．在实数范围内分解因式：x2−4x−2=.11．当4x2+2kx+25是一个完全平方式，则k的值是12．已知a−b=8，ab=−15则a2+b2=.13．因式分解x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果是(x+6)(x−2)，乙看错了b的值，分解的结果为(x−8)(x+4)，那么x2+ax+b分解因式正确的结果为．三、解答题14．计算：（1）（2）15．分解因式：（1）4x2+20x+25；（2）(a2−9b2)+(a−3b)．16．已知m+n=3，mn=2.（1）当a=2时，求a m⋅a n−(a m)n的值；（2）求(m−n)2+(m−4)(n−4)的值.17．为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图①所示的板材裁剪而成，其为一个长为2m，宽为2n的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图②所示的一个大正方形．（1）用两种不同方法表示图②中小正方形(阴影部分)面积：方法一：S小正方形=；方法二：S小正方形=；（2）(m+n)2，(m−n)2，4mn这三个代数式之间的等量关系为；（3）根据(2)题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a−b=5，ab=−6求：(a+b)2的值；②已知：a−1a=1，求：(a+1a)2的值．18．阅读理解应用待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解x3−1．因为x3−1为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想x3−1可以分解成x3−1=(x−1)(x2+ax+b)，展开等式右边得：x3+(a−1)x2+(b−a)x−b，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：a−1= 0，b−a=0，−b=−1可以求出a=1，b=1．所以x3−1=(x−1)(x2+x+1)（1）若x取任意值，等式x2+2x+3=x2+(3−a)x+3恒成立，则a=；（2）已知多项式x4+x2+1有因式x2+x+1，请用待定系数法求出该多项式的另一因式．（3）请判断多项式x4−x2+1是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由．参考答案1．B2．B3．C4．A5．C6．C7．C8．A9．410．(x−2+√6)(x−2−√6)11．±1012．3413．(x-6)(x+2)14．（1）解：原式＝（2）解：原式＝15．（1）解：4x2+20x+25=(2x)2+2⋅2x⋅5+52=(2x+5)2（2）解：(a2−9b2)+(a−3b)=[a2−(3b)2]+(a−3b)=(a+3b)(a−3b)+(a−3b)=(a−3b)(a+3b+1)16．（1）解：∵m+n=3mn=2∴a m⋅a n−(a m)n=a m+n−a mn=a3−a2∵a=2∴原式=23−22=8−4=4；（2）解：∵m +n =3∴(m −n)2=(m +n)2−4mn =32−4×2=1 ∴(m −n)2+(m −4)(n −4)=1+mn −4(m +n)+16=1+2−4×3+16=7.17．（1）(m −n)2；(m +n)2−4mn（2）(m +n)2=(m −n)2+4mn（3）(3)①a −b =5 ab =−6∴(a +b)2=(a −b)2+4ab=52+4×(−6)=25+(−24)=1；②(a +1a )2=(a −1a )2+4⋅a ⋅1a=12+4=1+4=5．18．（1）1（2）解：设x 4+x 2+1=(x 2+ax +1)(x 2+x +1)=x 4+(a +1)x 3+(a +2)x 2+(a +1)x +1∴a +1=0解得a =−1；∴多项式的另一因式是x 2−x +1；（3）解：不能，理由：∵设x 4−x 2+1=(x 2+ax +1)(x 2+bx +1)=x 4+(a +b)x 3+(ab +2)x 2+(a +b)x +1∴a +b =0 ab +2=−1解得：a =√3、b =−√3或a =−√3、b =√3 ∴系数不是整数∴多项式x 4−x 2+1是不能分解成的两个整系数二次多项式的乘积。

可编辑修改精选全文完整版Array第十四章、整式乘除与因式分解14.1 整式的乘法（1）(－3x)2(x＋1)(x＋3)＋4x(x－1)(x2＋x＋1)，其中x=－1；解：原式=9x2(x2＋3x＋x＋3)＋4x(x3＋x2＋x－x2－x－1)=9x2(x2＋4x＋3)＋4x(x3－1)=9x4＋36x3＋27x2＋4x4－4x=13x4＋36x3＋27x2－4x当x=－1时原式=13×(－1)4＋36×(－1)3＋27×(－1)2－4×(－1)=13－36＋27＋4=8（2）y n(y n＋3y－2)－3(3y n＋1－4y n)，其中y=－2，n=2．解：原式=y2n＋3y n＋1－2y n－9y n＋1＋12y n=y2n－6y n＋1＋10y n当y=－2，n=2时原式=(－2)2×2－6×(－2)2＋1＋10×(－2)2=16＋48＋40=10415、已知不论x、y为何值时(x＋my)(x＋ny)=x2＋2xy－8y2恒成立.求(m＋n)mn的值.解：x2＋nxy＋mxy＋mny2＝x2＋2xy－8y2x2＋(m＋n)xy＋mny2＝x2＋2xy－8y2∴m＋n＝2，mn＝－8∴(m＋n)mn＝2×(－8)＝－166、已知31=+a a，则221a a +＝（ B ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．117、如果x 2＋kx ＋81是一个完全平方式，则k 的值是（ D ）A ．9B ．－9C ．±9D ．±188、下列算式中不正确的有（ C ）①(3x 3－5)(3x 3＋5)＝9x 9－25②(a ＋b ＋c ＋d)(a ＋b －c －d)＝(a ＋b)2－(c ＋d)2③22)31(5032493150-=⨯ ④2(2a －b)2·(4a ＋2b)2＝(4a －2b)2(4a －2b)2＝(16a 2－4b 2)2A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个9、代数式2)(2y x +与代数式2)(2y x -的差是（ A ） A ．xy B ．2xy C ．2xy D ．0 10、已知m 2＋n 2－6m ＋10n ＋34＝0，则m ＋n 的值是（ A ）A ．－2B ．2C ．8D ．－8二、解答题11、计算下列各题：(1)(2a ＋3b)(4a ＋5b)(2a －3b)(5b －4a)(2)(x ＋y)(x －y)＋(y －z)(y ＋z)＋(z －x)(z ＋x);(3)(3m 2＋5)(－3m 2＋5)－m 2(7m ＋8)(7m －8)－(8m)2(1) 解：原式＝(2a ＋3b)(2a －3b)(4a ＋5b)(5b －4a)＝(4a 2－9b 2)(25b 2－16a 2)＝100a 2b 2－64a 4－225b 4＋144a 2b 2＝－64a 4＋244a 2b 2－225b 4(2) 解：原式＝x 2－y 2＋y 2－z 2＋z 2－x 2＝0(3) 解：原式＝25－9m 4－m 2(49m 2－64)－64m 2＝－58m 4＋2512、化简求值：(1)4x(x 2－2x －1)＋x(2x ＋5)(5－2x)，其中x ＝－1(2)(8x 2＋4x ＋1)(8x 2＋4x －1)，其中x ＝21 (3)(3x ＋2y)(3x －2y)－(3x ＋2y)2＋(3x －2y)2，其中x ＝31，y ＝－21 (1) 解：原式＝4x 3－8x 2－4x ＋x(25－4x 2)＝4x 3－8x 2－4x ＋25x －4x 3＝－8x 2＋21x当x ＝－1时原式＝－8×(－1)2＋21×(－1)＝－8－21＝－29(2) 解：原式＝(8x 2＋4x)2－1当x ＝时，原式＝[8×()2＋4×]2－1＝(2＋2)2－1＝15(3) 解：原式＝9x 2－4y 2－9x 2－12xy －4y 2＋9x 2－12xy ＋4y 2＝9x 2－24xy －4y 2当x ＝，y ＝－时原式＝9×()2－24××(－)－4×(－)2＝1＋4－1＝413、解下列方程：(1)(3x)2－(2x ＋1)2＝5(x ＋2)(x －2)解：9x 2－4x 2－4x －1＝5x 2－205x 2－4x －1＝5x 2－204x ＝19∴x ＝419(2)6x ＋7(2x ＋3)(2x －3)－28(x －21)(x ＋21)＝4解：6x ＋28x 2－63－28x 2＋7＝46x －56＝46x ＝60∴x ＝1014、解不等式：(1－3x)2＋(2x －1)2>13(x －1)(x ＋1)解：1－6x ＋9x 2＋4x 2－4x ＋1>13x 2－1313x 2－10x ＋2>13x 2－13－10x>－15∴x<2315、若n 满足(n －2004)2＋(2005－n)2＝1，求(2005－n)(n －2004)的值.解：(n －2004)2＋2·(n －2004)·(2005－n)＋(2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)(n －2004＋2005－n)2＝1＋2(n －2004)(2005－n)1＝1＋2(2005－n)(n －2004)∴(2005－n)(n －2004)＝014.3 因式分解一、选择题1、下列各式，从左到右的变形是因式分解的为（ B ）A ．x 2－9＋5x ＝（x ＋3）（x －3）＋5xB ．x 2－4x ＋4＝（x －2）2C ．（x －2）（x －3）＝x 2－5x ＋6D ．（x －5）（x ＋2）＝（x ＋2）（x －5）2、把多项式x 2－mx －35分解因式为(x －5)(x ＋7)，则m 的值是（ B）A ．2B ．－2C ．12D ．－123、分解因式：x 2－2xy ＋y 2＋x －y 的结果是（ A ）A ．（x －y ）（x －y ＋1）B ．（x －y ）（x －y －1）C ．（x ＋y ）（x －y ＋1）D ．（x ＋y ）（x －y －1）4、若9x 2－12xy ＋m 是一个完全平方公式，那么m 的值是（ B ）。

整式的乘除与因式分解一、选择题：1．下列计算正确的是（ ）A ．105532a a a =+B ．632a a a =⋅C ．532)(a a =D ． 8210a a a =÷2．下列计算结果正确的是（ ）A ．4332222y x xy y x -=⋅-B ．2253xy y x -=y x 22-C ．xy y x y x 4728324=÷D ．49)23)(23(2-=---a a a3．两个三次多项式相加，结果一定是 （ ）A ．三次多项式B ．六次多项式C ．零次多项式D ．不超过三次的多项式4．把多项式()()()111---+x x x 提取公因式()1-x 后，余下的部分是（ ）A ．()1+xB ．()1+-xC ．xD ．()2+-x5．计算24(1)(1)(1)(1)x x x x -++--的结果是 （ ）A 、2B 、0C 、－2D 、－56．已知代数式12x a －1y 3与－3x －b y 2a+b 是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A ．2,1a b =-⎧⎨=-⎩B ．2,1a b =⎧⎨=⎩C ．2,1a b =⎧⎨=-⎩D ．2,1a b =-⎧⎨=⎩7．已知2239494b b a b a n m =÷，则（ ）A ．3,4==n mB ．1,4==n mC ．3,1==n mD ．3,2==n m8．如图，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（）A ．m 2+12mnB ．22mn n -C ．22m mn+ D ．222m n +9．若2()9a b +=，2()4a b -=，则ab 的值是（ ）A 、54B 、－54C 、1D 、－1 二、填空题： 1．分解因式2233ax ay -= ．2．分解因式ab b a 8)2(2+- =_______．3．分解因式221218x x -+= ．4．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ ．5．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________．6. 已知a+b=5，ab=3，求下列各式的值：（1）a 2+b 2= ；（2）-3a 2+ab-3b 2= ．7. 已知522=+b a ，()()223232a b a b --+＝－48，则a b +＝________． 8. 已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 ．9．观察下列等式： 第一行 3＝4－1第二行 5＝9－4第三行 7＝16－9第四行 9＝25－16… …按照上述规律，第n 行的等式为____________ ．三、解答题：1．计算题（1）（－3xy 2）3·（61x 3y ）2 （2）4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21a 5xy 2）（3）222)(4)(2)x y x y x y --+（ （4）221(2)(2))x x x x x-+-+－（2．因式分解（1）3123x x - （2）2222)1(2ax x a -+（3）xy y x 2122--+ （4）)()3()3)((22a b b a b a b a -+++-3．解方程：41)8)(12()52)(3(=-+--+x x x x4．已知x 2＋x －1＝0，求x 3＋2x 2＋3的值5．若（x 2＋px ＋q ）（x 2－2x －3）展开后不含x 2，x 3项，求p 、q 的值．四．综合拓展：1．已知c b a 、、是△ABC 的三边的长，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，试判断此三角形的形状．2．已知2006x+2006y=1，x+3y=2006，试求2x 2+8xy+6y 2的值五．巩固练习：1．若n221623=÷，则n 等于（ ）A ．10B ．5C ．3D ．62．计算：xy xy y x y x 2)232(2223÷+--的结果是（ ） A ．xy y x 232- B ．22322+-xy y x C ．1232+--xy y x D ．12322+--xy y x3．下列计算正确的是（ ）A ．x y x y x 221222223=⋅÷ B ．57222257919n m n m m n n m =÷⋅ C ．mn mn n m n m =⋅÷24322)(2 D ．22242231043)3012(y x y x y x y x +=÷+4．已知一个多项式与单项式457y x -的积为2234775)2(72821y x y y x y x +-，则这个多项式为＿＿＿5．若（a+b ）2=13（a-b ）2=7求a 2+b 2和ab 的值。

八年级数学整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-B ．±4xC ．4116xD ．2116x 【答案】D【解析】【分析】分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.【详解】解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116x ； ③若为单项式，则可加上-4.故选：D.【点睛】本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.2．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B【解析】【分析】【详解】解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x-y ），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B ．3．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）.A ．3B ．-3C ．5D ．-5【答案】A【解析】【分析】 观察已知m 2-m-1=0可转化为m 2-m=1，再对m 4-m 3-m+2提取公因式因式分解的过程中将m 2-m 作为一个整体代入，逐次降低m 的次数，使问题得以解决．【详解】∵m 2-m-1=0，∴m 2-m=1，∴m 4-m 3-m+2=m 2 (m 2-m)-m+2=m 2-m+2=1+2=3，故选A ．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是将m 2-m 作为一个整体出现，逐次降低m 的次数.4．当3x =-时，多项式33ax bx x ++=.那么当3x =时，它的值是（ ）A ．3-B ．5-C ．7D ．17-【答案】A【解析】【分析】首先根据3x =-时，多项式33ax bx x ++=，找到a 、b 之间的关系，再代入3x =求值即可.【详解】当3x =-时，33ax bx x ++=327333ax bx x a b ++=---= 2736a b ∴+=-当3x =时，原式=2733633a b ++=-+=-故选A.【点睛】本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关键是找到a 、b 之间的关系.5．若(x +y )2=9，(x -y )2=5，则xy 的值为（ ）A ．-1B ．1C ．-4D ．4【答案】B【解析】试题分析：根据完全平方公式，两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，分别化简可知（x+y ）2=x 2+2xy+y 2=9①，（x ﹣y ）2= x 2-2xy+y 2=5②，①-②可得4xy=4，解得xy=1.故选B点睛：此题主要考查了完全平方公式的应用，解题关键是抓住公式的特点：两数和（或差）的平方，等于两数的平方和，加减两数积的2倍，然后比较各式的特点，直接进行计算，再两式相减即可求解..6．已知实数a、b满足a+b=2，ab=34，则a﹣b=（）A．1 B．﹣52C．±1 D．±52【答案】C【解析】分析：利用完全平方公式解答即可．详解：∵a+b=2，ab=34，∴（a+b）2=4=a2+2ab+b2，∴a2+b2=52，∴（a-b）2=a2-2ab+b2=1，∴a-b=±1，故选C．点睛：本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式结构是解题的关键．7．若x2+2(m+1)x+25是一个完全平方式，那么m的值（）A．4 或-6B．4C．6 或4D．-6【答案】A【解析】【详解】解：∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴△=b2-4ac=0，即：[2（m+1）]2-4×25=0整理得，m2+2m-24=0，解得m1=4，m2=-6，所以m的值为4或-6．故选A.8．通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式，图中可表示的代数恒等式是（）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b +=++C ．22()22a a b a ab +=+D ．222()2a b a ab b -=-+【答案】A【解析】【分析】 根据阴影部分面积的两种表示方法，即可解答．【详解】图1中阴影部分的面积为：22a b -，图2中的面积为：()()a b a b +-，则22()()a b a b a b +-=-故选：A.【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是表示阴影部分的面积．9．若2149x kx ++是完全平方式，则实数k 的值为（ ） A ．43 B ．13 C ．43± D ．13± 【答案】C【解析】【分析】本题是已知平方项求乘积项，根据完全平方式的形式可得出k 的值．【详解】由完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2可得：kx=±2•2x•13， 解得k=±43． 故选：C【点睛】本题关键是有平方项求乘积项，掌握完全平方式的形式（a±b ）2=a 2±2ab+b 2是关键．10．有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为()2a b +，则宽为（ ）A ．12B ．1C ．()12a b +D ．+a b【答案】C【解析】【分析】用长方形的面积除以长可得.【详解】宽为:()()()()22222a ab ab ba b a b a b +++÷+=+÷+= ()12a b + 故选：C【点睛】考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知x ＝a 时，多项式x 2+6x+k 2的值为﹣9，则x ＝﹣a 时，该多项式的值为_____．【答案】27【解析】【分析】把x a =代入多项式，得到的式子进行移项整理，得22(3)a k +=-，根据平方的非负性把a 和k 求出，再代入求多项式的值．【详解】解：将x a =代入2269x x k ++=-，得：2269a a k ++=-移项得：2269a a k ++=-22(3)a k ∴+=-2(3)0a +，20k -30a ∴+=，即3a =-，0k =x a ∴=-时，222636327x x k ++=+⨯=故答案为：27【点睛】本题考查了代数式求值，平方的非负性．把a 代入多项式后进行移项整理是解题关键．12．如果实数a ，b 满足a +b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．【答案】20【解析】【分析】【详解】∵6,a b +=∴222()236,a b a ab b +=++=∵ab=8，∴22a b +=36-2ab=36-2×8=20.【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.13．若26x x k -+是一个完全平方式，那么k =_______________【答案】9【解析】因为若26x k k -+是一个完全平方式，那么()222262333x k k x k x -+=-⨯+=-，那么答案是k=9.故答案为：9.14．把多项式(x －2)2－4x ＋8分解因式，哪一步开始出现了错误( )解：原式＝(x －2)2－(4x －8)…A＝(x －2)2－4(x －2)…B＝(x －2)(x －2＋4)…C＝(x －2)(x ＋2)…D【答案】C【解析】根据题意，第一步应是添括号（注意符号变化），解法正确，第二步先对后面因式提公因式4，再提取公因式（x-2）这时出现符号错误，所以从C 步出现错误.故选C.15．设2m ＝5，82n ＝10，则62m n -＝________． 【答案】12【解析】试题分析：将62m n - 变形为228m n ÷ ，然后结合同底数幂的除法的概念和运算法则进行求解即可．本题解析： 6621222285102m n m n m n -=÷=÷=÷= 故答案为： 12. 点睛：本题主要考查了同底数幂的除法法则的逆用,同底数幂的除法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相减.即m n m n a a a +÷= (m,n 是正整数).16．若a ，b 互为相反数，则a 2﹣b 2=_____．【答案】0【解析】【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案．【详解】∵a ，b 互为相反数，∴a+b=0，∴a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）=0，故答案为0．【点睛】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键．17．若m+1m =3，则m 2+21m =_____． 【答案】7【解析】分析：把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，即可求出答案．详解：把m+1m =3两边平方得：（m+1m ）2=m 2+21m +2=9， 则m 2+21m =7， 故答案为：7点睛：此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．18．因式分解：2()4()a a b a b ---＝___.【答案】()()()22a b a a -+-【解析】分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．详解：a 2（a-b ）-4（a-b ）=（a-b ）（a 2-4）=（a-b ）（a-2）（a+2），故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）．点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．19．因式分解：x 3﹣4x=_____．【答案】x （x+2）（x ﹣2）【解析】试题分析：首先提取公因式x ，进而利用平方差公式分解因式．即x 3﹣4x=x （x 2﹣4）=x（x+2）（x ﹣2）．故答案为x （x+2）（x ﹣2）．考点：提公因式法与公式法的综合运用．20．已知：7a b +=，13ab =，那么 22a ab b -+= ________________．【答案】10【解析】∵（a+b ） 2 =7 2 =49，∴a 2 -ab+b 2 =（a+b ） 2 -3ab=49-39=10，故答案为10.。

一、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）1．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，求xy的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，求△ABC 的最大边c的值；（3）已知a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，求a+b+c的值．【答案】(1)9；（2）△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；（3）8.【解析】试题分析：（1）直接利用配方法得出关于x，y的值即可求出答案；（2）直接利用配方法得出关于a，b的值即可求出答案；（3）利用已知将原式变形，进而配方得出答案．试题解析：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9=0，∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）=0，∴（x﹣y）2+（y+3）2=0，∴x﹣y=0，y+3=0，∴x=﹣3，y=﹣3，∴xy=（﹣3）×（﹣3）=9，即xy的值是9．（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61=0，∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）=0，∴（a﹣5）2+（b﹣6）2=0，∴a﹣5=0，b﹣6=0，∴a=5，b=6，∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6，∴6≤c＜11，∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10．（3）∵a﹣b=8，ab+c2﹣16c+80=0，∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2=0，∴（a﹣4）2+（c﹣8）2=0，∴a﹣4=0，c﹣8=0，∴a=4，c=8，b=a﹣8=4﹣8=﹣4，∴a+b+c=4﹣4+8=8，即a+b+c的值是8．2．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数abc （百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ），若满足a+c=b ，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F （abc ）=ac ．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F （374）=3×4=12． （1）对于“欢喜数abc ”，若满足b 能被9整除，求证：“欢喜数abc ”能被99整除； （2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m ，n （m ＞n ），若F （m ）﹣F （n ）=3，求m ﹣n 的值．【答案】（1）详见解析；（2）99或297．【解析】【分析】（1）首先由题意可得a +c =b ，将欢喜数展开，因为要证明“欢喜数abc ”能被99整除，所以将展开式中100a 拆成99a +a ，这样展开式中出现了a +c ，将a +c 用b 替代，整理出最终结果即可；（2）首先设出两个欢喜数m 、n ，表示出F （m ）、F （n ）代入F （m ）﹣F （n ）=3中，将式子变形分析得出最终结果即可.【详解】（1）证明：∵abc 为欢喜数，∴a +c =b ． ∵abc =100a +10b +c =99a +10b +a +c =99a +11b ，b 能被9整除，∴11b 能被99整除，99a 能被99整除，∴“欢喜数abc ”能被99整除；（2）设m =11a bc ，n =22a bc （且a 1＞a 2），∵F （m ）﹣F （n ）=a 1•c 1﹣a 2•c 2=a 1•（b ﹣a 1）﹣a 2（b ﹣a 2）=（a 1﹣a 2）（b ﹣a 1﹣a 2）=3，a 1、a 2、b 均为整数，∴a 1﹣a 2=1或a 1﹣a 2=3．∵m ﹣n =100（a 1﹣a 2）﹣（a 1﹣a 2）=99（a 1﹣a 2），∴m ﹣n =99或m ﹣n =297．∴若F （m ）﹣F （n ）=3，则m ﹣n 的值为99或297．【点睛】做此类阅读理解类题目首先要充分理解题目，会运用因式分解将式子变形.3．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”. （1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．.【答案】（1）8、29是完美数（2）S 是完美数（3）mn 是完美数【解析】【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；（2）利用配方法，将S 配成完美数，可求k 的值（3）根据完全平方公式，可证明mn 是“完美数”；【详解】(1) 22228,8+=∴是完美数；222925,29=+∴是完美数 (2) ()222)2313S x y k =++-+-（ 13.k S ∴=当时，是完美数(3) 2222,m a b n c d 设=+=+,则()()()()222222mn a bc d ac bd ad bc =++=++- 即mn 也是完美数.【点睛】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．4．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数. 延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【解析】【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a、一次项系数为b列出方程组求出a、b的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；（2）()()()13225x x x+-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1，故答案为：1；（3）由x4+ax2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x2+mx+2，则（x2-3x+1）（x2+mx+2）=x4+ax2+bx+2，13101211(3)321mm am b⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得：363mab=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为：a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．5．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：方法1：方法2：（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．；（3）根据（2）题中的等量关系，解决：已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）1.【解析】【分析】（1）方法1：表示出阴影部分的边长，然后利用正方形的面积公式列式；方法2：利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；（2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答；（3）根据（2）的结论整体代入进行计算即可得解．【详解】解：（1）方法1：∵阴影部分的四条边长都是m-n,是正方形，∴阴影部分的面积=（m-n）2方法2：∵阴影部分的面积=大正方形的面积减去四周四个矩形的面积∴阴影部分的面积=（m+n）2-4mn；（2）根据（1）中两种计算阴影部分的面积方法可知（m-n）2=（m+n）2-4mn；（3）由（2）可知（a+b）2=（a-b）2+4ab，∵a-b=5，ab=-6，∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=52+4×（-6）=25-24=1.【点睛】本题考查几何图形与完全平方公式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．6．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是，共应用了次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是 .(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）2005；(3) (x＋1)1n+【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为提公因式法，2次；（2）1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+ x(x+1)2003]⋯=22003(1) (1)(1)(1)(1)xx x x x+++++个=（1+x）2005，故分解1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+ x(x+1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005．（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2…+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．7．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=_____．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=_____．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．【答案】232﹣13231 2-；【解析】【分析】（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．【详解】（1）原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232-1；（2）原式=12（3-1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=32312-；（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．当m≠n时，原式=1m n-（m-n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=3232m nm n--；当m=n时，原式=2m•2m2…2m16=32m31．【点睛】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．8．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】（1）故选C；（2）（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9，设x2﹣4x=y，则：原式=（y+1）（y+7）+9=y2+8y+16=（y+4）2=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4．故答案为：（x﹣2）4；（3）设x2+2x=y，原式=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2+2x+1）2=（x+1）4．【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．9．由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．实例分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.【答案】(1) (x+2)(x ＋4)；(2) x ＝4或x ＝－1.【解析】【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．【详解】(1)原式=(x+2)(x ＋4)；(2)x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)＝0，所以x －4＝0或x ＋1＝0，即x ＝4或x ＝－1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．10．（探究）如图①，从边长为a 的大正方形中剪掉一个边长为b 的小正方形，有阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用字母表示）（应用）请应用这个公式完成下列各题①已知22412m n -=，24m n +=，则2m n -的值为②计算：(2)(2)a b c a b c +--+（拓展）①()()()()24832(21)21212121+1+++++结果的个位数字为 ②计算：222222221009998974321-+-++-+-【答案】[探究]（1）a 2﹣b 2；（a +b ）（a ﹣b ）；（2）（a +b ）（a ﹣b ）=a 2﹣b 2；[应用]①3；②4a 2﹣b 2+2bc ﹣c 2；[拓展]①6；②5050．【解析】【分析】[探究]（1）由面积公式可得答案；（2）公式由（1）直接可得；[应用]①用平方差公式分解4m 2﹣n 2，将已知值代入可求解；②将三项恰当组分成两组，先用平方差，再用完全平方公式展开后合并同类项即可；[拓展]①将原式乘以（2﹣1），就可以反复运用平方差公式化简，最后按照循环规律可得解；②将原式从左向右依次两项一组，运用平方差公式分解，化为100+99+98+…+4+3+2+1，从而可得答案．【详解】（1）图①按照正方形面积公式可得：a2﹣b2；图②按照长方形面积公式可得：（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）．（2）令（1）中两式相等可得：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2故答案为：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．【应用】①∵4m2﹣n2=12，2m+n=4，4m2﹣n2=（2m+n）（2m﹣n），∴（2m﹣n）=12÷4=3．故答案为：3．②（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）=[2a+（b﹣c）][2a﹣（b﹣c）]=4a2﹣（b﹣c）2=4a2﹣b2+2bc﹣c2【拓展】①原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1=（216﹣1）…（232+1）+1=264﹣1+1=264．∵2的正整数次方的尾数为2，4，8，6循环，64÷4=16．故答案为：6．②原式=（100+99）（100﹣99）+（98+97）（98﹣97）+…+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1）=100+99+98+97+…+4+3+2+1=5050．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．。