八年级数学上册 因式分解40题 培优练习卷(含答案)

20172017--2018学年学年 八年级数学上册八年级数学上册 因式分解 培优试卷培优试卷一、选择题选择题：：1、下列从左到右的变形中是因式分解的有( )①x 2﹣y 2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1； ②x 3+x=x(x 2+1)；③(x﹣y)2=x 2﹣2xy+y 2； ④x 2﹣9y 2=(x+3y)(x﹣3y).A.1个B.2个C.3个D.4个2、下列多项式中，能用公式法分解因式的是( )A.-m 2+n 2B.a 2﹣2ab﹣b 2C.m 2+n 2D.﹣a 2﹣b 23、下列因式分解错误的是( )A.2a－2b=2(a－b)B.x 2－9=(x＋3)(x－3)C.a 2＋4a－4=(a＋2)2 D.－x 2－x＋2=－(x－1)(x＋2) 4、若x 2+mx-15=(x+3)(x+n)，则m 的值为( )A.-5B.5C.-2D.25、将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是( )A.x 2﹣1B.x(x﹣2)+(2﹣x)C.x 2﹣2x+1D.x 2+2x+16、分解因式：x 2﹣4y 2的结果是( )A.(x+4y)(x﹣4y)B.(x+2y)(x﹣2y)C.(x﹣4y)2D.(x﹣2y)27、把代数式ax 2﹣4ax+4a 分解因式，下列结果中正确的是( )A.a(x﹣2)2B.a(x+2)2C.a(x﹣4)2D.a(x+2)(x﹣2)8、下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是( )A.-x 2+2xy-y 2B.x 4-2x 3y+x 2y2 C.(x 2-3)2-2(3-x 2)+1 D.x 2-xy+12y 2 9、计算：101×1022﹣101×982=( )A.404B.808C.40400D.8080010、已知a﹣b=3，b+c=﹣5，则代数式ac﹣bc+a 2﹣ab 的值为( )A.﹣15B.﹣2C.﹣6D.611、两个连续的奇数的平方差总可以被k 整除，则k 等于( )A.4B.8C.4或﹣4D.8的倍数12、若a、b、c 为一个三角形的三边长，则式子(a-c)2-b 2的值( )A.一定为正数B.一定为负数C.可能为正数，也可能为负数D.可能为0二、填空题填空题::13、已知a+b=3，ab= - 4，则a2b+ab2的值为 .14、因式分解：：a3-ab2= .15、因式分解：a2－6a＋9=______________.16、把多项式2m2﹣8n2因式分解的结果是 .17、因式分解：x2-2xy+y2-25= .18、若a2+a-1=0，则2a2+2a+2017的值是三、解答题解答题::19、对下列多项式进行因式分解：(1)4a2-16 (2)3x﹣12x3 (3)(x-y)2-9(x+y)2;(4)2x2﹣18. (5)m3n―9mn. (6)-2m+4m2-2m3.(7)m2﹣4mn+4n2 (8)(x2－x)2－12(x2－x)＋36. (9)a3-6a2+5a；20、在三个整式x2+2xy、y2+2xy、x2中，请你任意选出两个进行加(或减)运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解.21、已知x 2+y 2+2x﹣6y+10=0，求x+y 的值.22、已知a=2017x﹣20，b=2017x﹣18，c=2017x﹣16，求a 2+b 2+c 2﹣ab﹣ac﹣bc 的值.23、下面是某同学对多项式(x 2﹣4x+2)(x 2﹣4x+6)+4进行因式分解的过程.解：设x 2﹣4x=y，原式原式==(y+2y+2)()()(y+6y+6y+6))+4 +4 ((第一步第一步))=y 2+8y+16 +8y+16 ((第二步第二步))=(y+4y+4))2(第三步第三步))=(x 2﹣4x+44x+4))2(第四步第四步))(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 .A.提取公因式B.平方差公式C.两数和的完全平方公式D.两数差的完全平方公式(2)该同学因式分解的结果是否彻底？ .(填“彻底”或“不彻底”)若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 .(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x 2﹣2x)(x 2﹣2x+2)+1进行因式分解.24、先阅读下列材料，再解答下列问题：材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1.解：将“x+y x+y””看成整体看成整体，，令x+y=A x+y=A，，则原式原式=A =A 2+2A+1=+2A+1=((A+1A+1))2再将再将““A ”还原还原，，得：原式原式==(x+y+1x+y+1))2.上述解题候总用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：(1)因式分解：1+2(x﹣y)+(x﹣y)2= .(2)因式分解：(a+b)(a+b﹣4)+4(3)证明：若n 为正整数，则式子(n+1)(n+2)(n 2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.参考答案1、B.2、A3、C4、C5、D.6、B.7、A.8、D9、D10、C.11、B.12、B13、答案为：-1214、答案为：a(a+b)(a-b)15、答案为：( a－3) 216、答案为：2(m+2n)(m﹣2n).17、答案为：(x-y+5)(x-y-5).18、答案为：2016.19、(1)原式=4(a+2)(a-2)(2)原式=3x(1+2x)(1﹣2x).(3)原式=-4(2x+y)(x+2y).(4)原式=2(x+3)(x﹣3).(5)原式=mn(m+3)(m-3).(6)原式=-2m(m-1)2.(7)原式=m2﹣4mn+4n2=(m﹣2n)2；(8)原式=(x＋2)2(x－3)2(9)原式=a(a-1)(a-5).20、解：2x(x+y)或(x+y)2或(x+y)(x-y)或(y+x)(y-x).21、解：∵x2+y2+2x﹣6y+10=(x+1)2+(y﹣3)2=0，∴x+1=0，y﹣3=0，即x=﹣1，y=3，则x+y=﹣1+3=2.22、解：原式×2=(a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc)×2=2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=(a2+b2﹣2ab)+(a2+c2﹣2ac)+(b2+c2﹣2bc)=(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2.将a=2017x﹣20，b=2017x﹣18，c=2017x﹣16代入得：原式=12.答：a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值为12.23、解：(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；(2)该同学因式分解的结果不彻底，原式=(x2﹣4x+4)2=(x﹣2)4；故答案为：不彻底，(x﹣2)4；(3)(x2﹣2x)(x2﹣2x+2)+1=(x2﹣2x)2+2(x2﹣2x)+1=(x2﹣2x+1)2=(x﹣1)4.24、解：(1)1+2(x﹣y)+(x﹣y)2=(x﹣y+1)2；(2)令A=a+b，则原式变为A(A﹣4)+4=A2﹣4A+4=(A﹣2)2，故(a+b)(a+b﹣4)+4=(a+b﹣2)2；(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)[(n+1)(n+2)]+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2，∵n为正整数，∴n2+3n+1也为正整数，∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.。

八年级数学上册因式分解练习题及答案八年级数学上册因式分解练习题及答案学习可以这样来看，它是一个潜移默化、厚积薄发的过程。

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一、选择1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是()A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+3x=(x-4)(x+4)+3x2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是()A.x2-yB.x2+2xC.x2+y2D.x2-xy+13.多项式6x3y2-3x2y2-18x2y3分解因式时，应提取的公因式是()A.3x2yB.3xy2C.3x2y2D.3x3y34.多项式x3+x2提取公因式后剩下的因式是()A.x+1B.x2C.xD.x2+15.下列变形错误的是()A.-x-y=-(x+y)B.(a-b)(b-c)=-(b-a)(b-c)C.–x-y+z=-(x+y+z)D.(a-b)2=(b-a)26.下列各式中能用平方差公式因式分解的是()A.–x2y2B.x2+y2C.-x2+y2D.x-y7.下列分解因式错误的是()A.1-16a2=(1+4a)(1-4a)B.x3-x=x(x2-1)C.a2-b2c2=(a+bc)(a-bc)D.m2-0.01=(m+0.1)(m-0.1)8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是()A.x2-xyB.x2+xyC.x2-y2D.x2+y2二、填空9.a2b+ab2-ab=ab(__________).10.-7ab+14a2-49ab2=-7a(________).11.3(y-x)2+2(x-y)=___________12.x(a-1)(a-2)-y(1-a)(2-a)=____________.13.-a2+b2=(a+b)(______)14.1-a4=___________15.992-1012=________16.x2+x+____=(______)217.若a+b=1,x-y=2,则a2+2ab+b2-x+y=____。

人教版八年级数学上册：14.3因式分解（培优）专练习题一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．103．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．05．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．66．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，647．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．39．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．9712．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或11【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25B．20C．15D．10【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5＝6×5﹣5＝25．故选：A．3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）B．ab（a﹣1）2C．ab（a+1）（a﹣1）D．ab（a2﹣1）【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3B．2C．1D．0【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1B．0C．3D．6【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63B．63，65C．65，67D．63，64【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×20172018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，故选：D．9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）B．（x+2）（x+9）C．（x﹣3）（x+6）D．（x﹣2）（x+9）【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50B．100C．98D．97【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则．那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则．正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则，正确；②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则，正确；③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．二．填空题（共6小题）13．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是　6　．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6故答案为6．14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝　3　．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．故答案为：3．15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1∴abc＝，∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝．故答案为：．16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值　75　．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是　等腰三角形　．【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝　2020　．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0∴a2+a＝1∴a3+a2＝a又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）．【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝＝＝．21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，∴m2﹣n2＝56，∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：或，∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．。

人教版八年级上册 因式分解培优专题（含答案）一、单选题1．下列分解因式正确的是（ ）A.()3244x x x x -=-B.()()2111x x x -=+-C.()2212x x x x -+=-+D.()22211x x x +-=-2．如图，边长为a ，b 的长方形的周长为10，面积为6，则a 3b+ab 3的值为()A ．15B ．30C ．60D ．783．把多项式（3a -4b ）（7a -8b ）+（11a -12b ）（8b -7a ）分解因式的结果( )A ．8（7a -8b ）（a -b ）B ．2（7a -8b ）2C ．8（7a -8b ）（b -a ）D ．-2（7a -8b ）4．下列从左到右的变形中是因式分解的有( )①x 2﹣y 2﹣1=(x+y)(x ﹣y)﹣1；①x 3+x=x(x 2+1)；①(x ﹣y)2=x 2﹣2xy+y 2；①x 2﹣9y 2=(x+3y)(x ﹣3y).A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知,ab=2,则3a 2b+3ab 2的值为（ ）A. B.6．边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b +ab 2的值为（ ）A ．120B ．60C ．80D ．407．下列从左到右的变形属于因式分解的是( )A ．(x ＋1)(x －1)＝x 2－1B ．m 2－2m －3＝m(m －2)－3C ．2x 2＋1＝x(2x ＋1x ) D ．x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)二、填空题8．多项式24x x m -+ 因式分解的结果是(x+3)(x -n)，则m n等于_____. 9．因式分解：29()()3()a b a b a b -+--=___________.10．因式分解：（x+2）x ﹣x ﹣2=_____．11．5(m －n)4-(n -m)5可以写成________与________的乘积．12．（a -b ）2（x -y ）-（b -a ）（y -x ）2＝（a -b ）（x -y ）×________.13．把多项式(x －2)2－4x ＋8分解因式，哪一步开始出现了错误( )解：原式＝(x －2)2－(4x －8)…A＝(x －2)2－4(x －2)…B＝(x －2)(x －2＋4)…C＝(x －2)(x ＋2)…D14．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.15．若m+n=3，则2m 2+4mn+2n 2-6的值为________．16．若2226100a b a b +--+=，则a b +=__________．17．因式分解：mn （n ﹣m ）﹣n （m ﹣n ）=_____．18．若a -2b=3，则2a -4b -5=______．19．若 210a a ++=,那么 200120001999a a a ++=________.20．若关于x 的二次三项式2+x kx b +因式分解为(1)(3)x x --，则+k b 的值为__．三、解答题21．请把下列各式分解因式（1）x(x -y)-y(y -x) （2）-12x 3+12x 2y -3xy 2（3）(x+y)2+mx+my （4）a(x -a)(x+y)2-b(x -a)2(x+y)（5）15×（a -b ）2-3y （b -a ） （6）（a -3）2-（2a -6）（7）（m+n ）（p -q ）-（m+n ）（q+p ）22．分解因式： 1124m n m n x y x y ---（m ,n 均为大于1的整数）23．（1）已知210x x +-=，求3223x x ++的值．（2）如果2310x x x +++=，求2345678x x x x x x x x +++++++的值．24．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).25．已知m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，求m3－2mn＋n3的值．26．已知①ABC的三边长a，b，c，满足a²-bc-ab+ac=0，求证：①ABC为等腰三角形．27．试说明817-279-913必能被45整除.28．不解方程组2631x yx y+=⎧⎨-=⎩，则7y(x-3y)2-2(3y-x)3=__________参考答案1．B【解析】【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，注意分解的结果要正确．【详解】解：A 、()()()3244=22x x x x x x x -=-+-，分解不彻底，故本选项错误； B 、运用平方差公式分解()()2111x x x -=+-，故正确； C 、()2212x x x x -+=-+不是因式分解，故本选项错误； D 、()22211x x x +-=-不是分解因式，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解定义，十字相乘法分解因式，注意：（1）因式分解的是多项式，分解的结果是积的形式．（2）因式分解一定要彻底，直到不能再分解为止．2．D【解析】【分析】先把所给式子提取公因式ab ，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．【详解】解：根据题意得：a +b ＝5，ab ＝6，则a 3b +ab 3＝ab （a 2+b 2）＝ab [（a +b ）2﹣2ab ]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．故选：D．【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．3．C【解析】把(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)运用提取公因式法因式分解即可得(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a) =(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选：C.4．B【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；①把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①是因式分解；①整式的乘法，故①不是因式分解；①把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①是因式分解；故选：B【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式是解题关键．5．A【解析】试题分析：根据题意先因式分解（提公因式）可得3a 2b+3ab 2=3ab （a+b ），整体代入可得原式.故选：A.点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.6．B【解析】【分析】直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．【详解】解：①边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，①a +b ＝6，ab ＝10，则a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝10×6＝60．故选：B ．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．7．D【解析】【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写出几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、（x+1）（x -1）=x 2-1不是因式分解，是多项式的乘法，故本选项错误；B 、右边不全是整式积的形式，还有减法，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，分母中含有字母，故本选项错误；D 、x 2－5x ＋6＝(x －2)(x －3)符合因式分解的定义，故本选项正确.故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．8．-3【解析】【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，把(x+3)(x -n)展开，可得()233x n x n +-- ，则有()22433x x m x n x n -+=+--；利用“两个多项式相等，则对应项的系数相等”得到关于m 、n 的方程组，解出m ，n 的值，再把m ，n 值代入m n 中计算即可. 【详解】由题意可知：24x x m -+=(x+3)(x -n)，即()22433x x m x n x n -+=+--；①343n n m-=-⎧⎨-=⎩ ， 解得721n m =⎧⎨=-⎩ ①217m n -==-3. 故答案为：-3.【点睛】此题考查因式分解，代数式求值，解题关键在于掌握的将(x+3)(x -n)展开.9．6()(2)a b a b -+【解析】【分析】先提取公因式3(a -b)即可进行因式分解.【详解】29()()3()a b a b a b -+--=[]3()3()()a b a b a b -+--=()3()24a b a b -+=6()(2)a b a b -+【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据多项式的特点进行提取公因式法因式分解. 10．（x+2）（x ﹣1）【解析】【分析】通过提取公因式（x+2）进行因式分解即可．【详解】（x+2）x﹣x﹣2=（x+2）x-(x+2)=（x+2）（x﹣1），故答案为：（x+2）（x﹣1）．【点睛】考查了因式分解﹣提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．11．(m-n)4，（5+m-n）【解析】把多项式5(m－n)4-(n-m)5运用提取公因式法因式分解即可得5(m－n)4-(n-m)5=(m－n)4（5+m-n）.故答案为：(m-n)4，（5+m-n）.12．（a-b+x-y）【解析】运用公因式的概念，把多项式（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2运用提取公因式法因式分解（a-b）2（x-y）-（b-a）（y-x）2＝（a-b）（x-y）×（a-b+x-y）.故答案为：（a-b+x-y）.点睛：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是根据找公因式的方法，确定公因式，注意符号的变化.13．C【解析】根据题意，第一步应是添括号（注意符号变化），解法正确，第二步先对后面因式提公因式4，再提取公因式（x-2）这时出现符号错误，所以从C步出现错误.故选：C.14．0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ），而a+b=0，任何数乘以0结果都为0．【详解】解：①22a b ab += ab （a+b ），而a+b=0，①原式=0.故答案为：0，【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零．15．12【解析】原式=2（m 2+2mn +n 2）-6，=2（m +n ）2-6，=2×9-6，=12．16．4【解析】2226100a b a b +--+=(a -1)2+(b -3)2=0,a =1,b =3,所以a+b =4.故答案为4.17．()()1n n m m -+【解析】mn(n -m)-n(m -n)= mn(n -m)+n(n -m)=n(n -m)(m+1)，故答案为：n(n -m)(m+1).18．1．【解析】【分析】把所求代数式转化为含有（a ﹣2b ）形式的代数式，然后将a ﹣2b=3整体代入并求值即可．【详解】解：2a ﹣4b ﹣5=2（a ﹣2b ）﹣5=2×3﹣5=1．19．0【解析】【分析】直接提取公因式a 1999，进而分解因式得出答案．【详解】①a 2+a+1=0，①a 2001+a 2000+a 1999=a 1999（a 2+a+1）=0．故答案为：0．【点睛】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．20．-1【解析】①22(1)(3)43x kx b x x x x ++=--=-+，①43k b =-=，，①431k b +=-+=-.故答案为：1-.21．（1）(x -y)(x+y)；（2）-3x(2x -y)2；（3）(x+y)(x+y+m)；（4）(x -a)(x+y)(ax+ay -bx+ab)；（5）3（a -b ）（5ax -5bx+y ）；（6）（a -3）（a -5）；（7）-2q （m+n ）【解析】试题分析：（1）运用提取公因式法因式分解即可；（2）运用提取公因式法因式分解即可，注意先提取负号；（3）先分组，提公因式，再利用整体法运用提取公因式法因式分解即可；（4）运用提取公因式法因式分解即可，注意整体思想的应用；（5）根据a -b 与b -a 互为相反数，利用整体法提取公因式法因式分解即可；（6）运用提取公因式法因式分解即可；（7）运用提取公因式法因式分解即可，注意符号变化.试题解析：（1）x(x -y)-y(y -x)=(x -y)(x+y)（2）-12x 3+12x 2y -3xy 2=-3x(4x 2-4xy+y 2)=-3x(2x -y)2（3）(x+y)2+mx+my=(x+y)2+m(x+y)=(x+y)(x+y+m)（4）a(x -a)(x+y)2－b(x -a)2(x+y)=(x -a)(x+y)［a(x+y)-b(x -a)］=(x -a)(x+y)(ax+ay -bx+ab)（5）15x （a -b ）2-3y （b -a ）=15x （a -b ）2+3y （a -b ）=3（a -b ）（5ax -5bx+y ）；（6）（a -3）2-（2a -6）=（a -3）2-2（a -3）=（a -3）（a -5）；（7）（m+n ）（p -q ）-（m+n ）（q+p ）=（m+n ）（p -q -q -p ）=-2q （m+n ）22．()1122m n x y x y ---【解析】试题分析：根据m ,n 均为大于1的整数，确定出指数最小的是哪一项，然后确定公因式再提取公因式即可.试题解析：()11112422m n m n m n x y x y x y x y -----=-23．（1）4; （2）0.【解析】【分析】将第一个式子变形后代入第二个式子，化简变形后整体代入已知等式求解；将所求式子分组后，提取公因式变形，将已知等式代入计算即可.【详解】（1）210x x +-=，即21x x =-，32222323x x x x x ∴++=⋅++()()1213x x x =-+-+25x x =--+()214x x =-+-+4=（2）2310x x x +++=，2345678x x x x x x x x ∴+++++++()()2352311x x x x x x x x =+++++++0=【点睛】本题考查的是整式的运算及分解因式，能正确的对算式进行变形及分解是关键.24．（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x ＋1）2005；(3) (x ＋1)1n +【解析】【分析】（1）根据已知材料直接回答即可；（2）利用已知材料进而提取公因式（1+x ），进而得出答案；（3）利用已知材料提取公因式进而得出答案．【详解】（1）上述分解因式的方法是：提公因式法，共应用了2次．故答案为：提公因式法，2次；（2）1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，=（1+x ）[1+x+x （1+x ）+…+ x (x +1)2003]①=22003(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x +++++个=（1+x ）2005，故分解1+x+x （x+1）+x （x+1）2+…+ x (x +1)2004，，则需应用上述方法2004次，结果是：（x+1）2005． （3）分解因式：1+x+x （x+1）+x （x+1）2…+x （x+1）n （n 为正整数）的结果是：（x+1）n+1．故答案为：（x+1）n+1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．25．－2【解析】【分析】先由已知式子可求出m n +的值，再把所求式子变形成222m m mn n n -+的形式，然后将已知的式子代入整理即可与m n +建立联系，进而可求出结果.【详解】解：①m 2＝n ＋2，n 2＝m ＋2，①由已知两式相减，得：22m n n m -=-，①220m n n m --+=，①()(1)0m n m n -++=，① m ≠n ，①10++=m n ，即1m n +=-.①332222m mn n m m mn n n -+=-+(2)2(2)222m n mn n m mn m mn mn n =+-++=+-++222()2m n m n =+=+=-.【点睛】本题考查了多项式的因式分解和代数式的变形求值，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键 26．证明见解析.【解析】试题分析：本题考查了分组分解法分解因式，先将所给等式的左边分组,然后因式分解,从而得到a=b,问题即可解决.证明：① a2-bc-ab+ac=0① (a-b)(a+c)=0① a,b为①ABC三边① a+c＞0，则a-b=0,即a=b①①ABC为等腰三角形27．证明见解析.【解析】试题分析：首先将原式利用幂的乘方变形(34)7-(33)9-(32)13；展开后利用因式分解将原式进一步变形326（32-3-1）；接下来不难得到原式等于=45×324，即可得到结论．817-279-913=（34）7-（33）9-（32）13=328-327-326=326（32-3-1）=326×5=324×45①817-279-913能被45整除。

八年级上册数学第十四章 14.3因式分解 测试卷知识要点一：提公因式法1．下列变形是因式分解的是（ ） A ．a ²-b ²-1=(a+b)(a-b)-1 B ．ax ²+x+b ²=x(ax+1)+b ² C ．(a+2)(a-2)=a ²-4 D ．4x ²-9=(2x+3)(2x-3)2．分解因式6xyz - 4x ²y ²z ²+ 2xz ²时，应提取的公因式是（ ） A ．xyz B ．2x C ．2z D ．2xz 3．将21a ²b-ab ²提公因式后，另一个因式是（ ）A. a+2bB.-a+2bC.-a-b D ．a- 2b4．下列因式分解中，是利用提公因式法分解的是（ ） A. a ²-b ²= (a+b) (a-b) B.a ²-2ab+b ²= (a-b)² C.ab+ac=a (b+c) D.a ²+2ab+b ²= (a+b)²5．若a+b=4，ab=2，则3a ²b+3ab ²的值是（ ） A ．24 B ．18 C ．12 D ．86．多项式x ²+x ⁶提取公因式x ²后的另一个因式是（ ） A ．x ⁴ B ．x³ C ．x ⁴+1 D ．x³+17．若△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ²+ b ²+ c ²=ac+ bc+ab ，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．直角三角形 8．分解因式：3x ²y-6xy +x=_____；3x³-6x ²+ 12x=_____．9．请写出含有公因式3m ²n ，且次数为5的两个多项式，分别为_____、_____． 10．若多项式ax+B 运用提公因式法分解因式的结果为a(x -y)，则B 等于_____． 11.计算：5×3⁴+9×3⁴-12×3⁴=_____．12.已知a=49，6=109，则ab - 9a 的值为_____． 13．将下列式子因式分解：(1) (x+2y)² - 2xy -x ²; (2) 3xy ²+21x ²y-39xy.14.化简3a ²b （2ab³-a ²b³-1）+2(ab)⁴+a ．3ab ，并求出当a= -1，b=2时原式的值．15.已知x ²+4x-1=0，求2x ⁴+ 8x³-4x ²-8x+1的值．16.已知关于x 的二次三项式2x ²+mx+n 因式分解的结果为(2x -3)(x+21)，求m ，n 的值．知识要点二：公式法17.在下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）A. -x²+y²B.-1-m²C．a²-9b² D.4m²-118.下列各式中不是完全平方式的是（）A．x²-10x+25 B．a²+a+41C．4n²+n+4 D．9m²+6m+119.下列四个多项式，能因式分解的是（）A.a²+b²B.a²-a+2C.a²+3bD.(x+y)²-420.若x为任意有理数，则多项式-41x²+x-1的值（）A．一定为负数B．一定为正数C．不可能为正数D．不可能为负数21.若n为任意整数，则(n+7)²-n²一定能被______整除（）A.7 B．14 C．7或14 D．7的倍数22.下列因式分解不正确的是（）A．2x³-2x= 2x (x²-1) B．mx²-6mx+ 9m= m(x -3)²C．3x²-3y²=3 (x+y)(x-y) D．x²-2xy+y²= (x-y)²23.若9x²-kx+4是一个完全平方式，则k=_____．24.已知x²+6xy+9y²+∣y-1∣=0，则x+y=_____．25.若x²+x+m=(x- n)²，则m=_____，n=_____．26.如果x+y=-3，x-y=6，则代数式2x²-2y²的值为_____．27．若9x²-M= (3x+y-1)(3x-y+1)，则M=_____．28．分解因式：4+12 (a-b)+9(a-b)²=_____.29．因式分解：(1) 8a³ - 2a(a+1)²; (2) m²-4n²+4n -1.30.已知x-y=1，xy=2，求x³y-2x²y²+ xy³的值．31.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4= 2²- 0²，12 = 4²- 2²，20=6²- 4²，因此4，12，20都是这种“神秘数”．(1) 28和2016这两个数是“神秘数”吗？试说明理由．(2)试说明神秘数能被4整除．(3)两个连续奇数的平方差是神秘数吗？试说明理由．32.当a，b为何值时，多项式a²+b²- 4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值．33.已知x-1=5，求代数式(x+1)²-4(x+1)+4的值．参考答案1.D2.D3.A4.C5.A6.C7.C8.x(3xy-6y+1) 3x(x²-2x+4)9. 3m⁴n+3m²n 6m²n³-3m²n（答案不唯一）10. -ay 11. 162 12. 490013．(1)原式=（x+2y）²-x（x+2y）=（x+2y）(x+2y-x)=2y(x+ 2y)；(2)原式=3xy(y+7x - 13).14．原式= 6a³b⁴-3a⁴b⁴ - 3a²b+2a⁴b⁴+ 3a²b=a³b⁴(6 -a).当a= -1, b-2时，原式=(-1)³×2⁴×【6 -（-1）】- 16×7=-112.15.∵x²+4x-1=0,∴x²+4x=1.∴2x⁴+ 8x³- 4x²-8x+1=2x²(x²+4x) -4(x²+4x) +8x+1=2x²·1 -4×1+8x+1= 2x²+8x -3 =2(x²+4x)-3=2×1-3=-1.16．因为2x²+mx+n=（2x-3）(x+ 21) =2x²-2x-23，所以m= -2, n= 23-．17.B 18.C 19.D 20.C 21.A 22.A23．±12 24．-2 25．4121-26．-3627.(y-1)²28.(2+3a - 3b)²29．(1)原式=2a[4a²- (a+1)²]=2a(3a+1)（a-1）；(2)原式=m²- (4n²-4n+1)=m²-（2n -1）²= (m - 2n +1) (m+2n -1)．30.x³y-2x ²y ²+ xy³= xy(x ² - 2xy+ y ²)= xy(x-y)²=2×1²=2. 31．(1)是．理由如下： ∵28=8²- 6², 2016= 505² - 503² ∴28是“神秘数”；2016是“神秘数”． (2)“神秘数”是4的倍数．理由如下：(2k+2)² - (2k)²= (2k+2 - 2k) (2k+2+2k)= 2(4k+2)=4（2k+1）， ∴“神秘数”是4的倍数．(3)设两个连续的奇数为2k+1，2k -1，则（2k+1）²-(2k-1)²=8k ，而由(2)知“神秘数”是4的倍数，但不是8的倍数，所以两个连续的奇数的平方差不是“神秘数”． 32.a ²+b ²-4a+6b+18=(a ²- 4a+4)+(b ²+6b+9) +5=(a-2)²+(b+3)²+5，∴当a=2,b= -3时，a ²+b ²-4a+6b+18有最小值5．33．原式=[(x+1)-2]²-(x-1)²，当x-1=5时，原式=52)5( .。

八年级数学上册因式分解40题培优练习卷（含答案）2017-2018学年八年级数学上册因式分解培优练习卷1、分解因式：6xy2-9x2y-y3.2、分解因式：1-16y4.3、分解因式：4+12(x-y)+9(x-y)2.4、分解因式:(a-3)(a-5)+1.5、分解因式:4(a-b)2-9(a+b)2.6、分解因式：x3-4x2-45x.7、分解因式：(a2+b2)2-4a2b2.8、分解因式：(a+b)2-4b(a+b)+4b2.9、分解因式：(m＋n)2－4m(m＋n)＋4m210、分解因式：x4－y411、分解因式：(x+2)(x+4)+x2-4.12、分解因式：(a+1)(a-1)-8.13、分解因式：4x3y+4x2y2+xy3.14、分解因式：4-12(x+y)+9(x+y)2.15、分解因式：x2-2xy+y2-z2.16、分解因式：36a2-(a2+9)2.17、分解因式：2a2-8axy+8ay2.18、分解因式：10b(x－y)2－5a(y－x)2；19、分解因式：x2-2xy+y2-9.20、分解因式：(x2+y2)2-4x2y2.21、分解因式：(a 2+1)2-4a222、分解因式：(1-x2)(1-y2)-4xy.23、分解因式：(x2+y2-z2)2-4x2y2.24、分解因式：a2(x-2a)2+a(2a-x)3.25、分解因式：(a＋2b)2－10(a＋2b)＋25.26、分解因式：x n＋4－169x n＋2 (n是自然数)；27、分解因式：9(2a+3b)2-4(3a-2b)2.28、分解因式：9(m+n)2-4(m-n)2.29、分解因式：8(x2-2y2)-x(7x+y)+xy30、分解因式：a2-b2+4b-4.31、分解因式：－4x3y+16x2y2－16xy3．32、分解因式：2x3(a-1)+8x(1-a).33、分解因式：81x4－72x2y2＋16y434、分解因式：3a3－6a2b＋3ab235、分解因式：(m2＋3m)2－8(m2＋3m)－20；36、分解因式：4x3－4x2y－(x－y)37、分解因式：(x2-3)2-12(x2-3)+36．38、分解因式：(a－b)m2＋(b－a)n2；39、分解因式：(x2+x)2-8(x2+x)+12.40、分解因式：x2-2x+1-y2.参考答案1、原式=-y(3x-y)2.2、原式=(1+4y2)(1+2y)(1-2y).3、原式=(3x-3y+2)2.4、原式=(a-4)2.5、原式=-(5a+b)(a+5b).6、原式=x(x-9)(x+5).7、原式=(a+b)2(a-b)2.8、原式=(a-b)2.9、原式=(－m＋n)210、原式=(x2＋y2)(x2－y2)11、原式=2(x+2)(x+1).12、原式=(a+3)(a-3).13、原式=xy(2x+y)2.14、原式=(2+3x-3y)2.15、原式=(x-y+z)(x-y-z).16、原式=-(a-3)2(a+3)2.17、解:原式=2a(x-2y)218、原式=5(x-y)2(2b-a).19、原式=(x-y+3)(x-y-3).20、原式=(x+y)2(x-y)221、原式=(a+1)2(a-1)222、原式=(xy-1+x+y)(xy-1-x-y).23、原式=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z).24、原式=a(x-2a)2(3a-x).25、原式=(a＋2b－5)2.26、原式=x n＋2(x＋13)(x－13).27、原式=13b(12a+5b).28、原式=(5m+n)(m+5n).29、原式=(x+4y)(x-4y).30、原式=(a+b-2)(a-b+2);31、原式=－4xy(x－2y)2．32、原式=2x(a-1)(x-2)(x+2)．33、原式=(3x+2y)2(3x-2y)2.34、原式=3a(a－b).35、原式=(m＋5)(m－2)(m＋2)(m＋1).36、原式=(x-y)(2x-1)(2x+1).37、原式=(x-3)2(x+3)2．38、原式=(a-b)(m+n)(m-n).39、原式=(x+2)(x-1)(x+3)(x-2).40、原式=(x-1+y)(x-1-y).。

因式分解专项训练（30道）1．（拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．2．（拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．3．（浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．4．（绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）因式分解专项训练（30道）【答案版】1．（2021春•拱墅区校级期中）因式分解（1）﹣a2+1；（2）2x3y+4x2y2+2xy3；（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2；（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12．【解题思路】（1）逆用平方差公式进行因式分解．（2）先逆用平方差公式，再提公因式．（3）先逆用平方差公式，再提公因式．（4）运用十字相乘法进行因式分解，注意分解彻底．【解答过程】解：（1）﹣a2+1＝（1+a）（1﹣a）．（2）2x3y+4x2y2+2xy3＝2xy（x2+2xy+y2）＝2xy（x+y）2．（3）4（x+2y）2﹣25（x﹣y）2＝[2（x+2y）+5（x﹣y）][2（x+2y）﹣5（x﹣y）]＝（2x+4y+5x﹣5y）（2x+4y﹣5x+5y）＝（7x﹣y）（﹣3x+9y）＝﹣3（7x﹣y）（x﹣3y）．（4）（a2+a）2﹣8（a2+a）+12＝（a2+a﹣2）（a2+a﹣6）＝（a+2）（a﹣1）（a+3）（a﹣2）．2．（2021秋•拜泉县期中）因式分解（1）6x2﹣3x；（2）16m3﹣mn2；（3）25m2﹣10mn+n2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【解题思路】（1）原式提取公因式3x，分解即可；（2）原式提取公因式m，再利用平方差公式分解即可；（3）原式利用完全平方公式分解即可；（4）原式变形后，提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式分解即可．【解答过程】解：（1）6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）；（2）16m3﹣mn2＝m（16m2﹣n2）＝m（4m+n）（4m﹣n）；（3）25m2﹣10mn+n2＝（5m﹣n）2；（4）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）＝9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣4b2）＝（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．3．（2021秋•浠水县月考）分解因式：（1）3pq3+15p3q；（2）ab2﹣a；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3；（4）（a2+1）2﹣4a2．【解题思路】（1）原式提取公因式3pq即可；（2）原式提取公因式a，再利用平方差公式分解即可；（3）原式提取公因式﹣y，再利用完全平方公式分解即可；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）3pq3+15p3q＝3pq（q2+5p2）；（2）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（3）4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（y2+4x2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2；（4）（a2+1）2﹣4a2＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a）＝（a+1）2（a﹣1）2．4．（2021秋•绿园区校级月考）把下列多项式分解因式．（1）3x2﹣3y2．（2）a2b+2ab2+b3．（3）（m﹣1）（m﹣3）+1．（4）2a2+4ab+2b2．【解题思路】（1）先提公因式，再利用平方差公式即可；（2）先提公因式，再利用完全平方公式即可；（3）先计算多项式乘多项式，整理后，再利用完全平方公式即可；（4）先提公因式，再利用完全平方公式即可；【解答过程】解：（1）原式＝3（x2﹣y2）＝3（x+y）（x﹣y）；（2）原式＝b（a2+2ab+b2）＝b（a+b）2；（3）原式＝m2﹣4m+4＝（m﹣2）2；（4）原式＝2（a2+2ab+b2）＝2（a+b）2．5．（2021春•东昌府区期末）把下列各式进行因式分解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2；（2）﹣x2+8x﹣15；（3）8m3n+40m2n2+50mn3；（4）a4﹣b4．【解题思路】（1）直接提取公因式；（2）先加上负括号，再利用十字相乘法；（3）先提取公因式2mn，再利用完全平方公式；（4）利用平方差公式因式分解．【解答过程】解：（1）2（x﹣y）﹣（x﹣y）2＝（x﹣y）[2﹣（x﹣y）]＝（x﹣y）（2﹣x+y）；（2）﹣x2+8x﹣15＝﹣（x2﹣8x+15）＝﹣（x﹣5）（x﹣3）；（3）8m3n+40m2n2+50mn3＝2mn（4m2+20mn+25n2）＝2mn（2m+5n）2；（4）a4﹣b4＝（a2+b2）（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）．6．（2021春•南山区校级期中）分解因式：（1）12ab2﹣6ab；（2）a2﹣6ab+9b2；（3）x4﹣1；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）．【解题思路】（1）直接提取公因式6ab，进而分解因式即可；（2）直接利用完全平方公式分解因式得出答案；（3）直接利用平方差公式分解因式得出答案；（4）直接提取公因式（m﹣2），再利用平方差公式分解因式即可．【解答过程】解：（1）12ab2﹣6ab＝6ab（2b﹣1）；（2）a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2；（3）x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）；（4）n2（m﹣2）+（2﹣m）＝n2（m﹣2）﹣（m﹣2）＝（m﹣2）（n2﹣1）＝（m﹣2）（n+1）（n﹣1）．7．（2021春•邗江区期中）分解因式：（1）2x2﹣12x+18；（2）a3﹣a；（3）4ab2﹣4a2b﹣b3；（4）m3（a﹣2）+m（2﹣a）．【解题思路】（1）首先提公因式2，再利用完全平方公式进行分解即可；（2）首先提公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；（3）首先提公因式﹣b，再利用完全平方公式进行分解即可；（4）首先提公因式m（a﹣2），再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝2（x2﹣6x+9）＝2（x﹣3）2；（2）原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1）；（3）原式＝﹣b（b2﹣4ab+4a2）＝﹣b（b﹣2a）2；（4）原式＝m（a﹣2）（m2﹣1）＝m（a﹣2）（m﹣1）（m+1）．8．（2020秋•丛台区期末）因式分解（1）（a﹣b）2+4ab；（2）x2﹣2x﹣8；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3．【解题思路】（1）先根据完全平方公式展开，再根据完全平方公式分解因式即可；（2）根据十字相乘法分解因式即可；（3）先分组，根据完全平方公式进行计算，再根据平方差公式分解因式，最后根据“十字相乘法”分解因式即可；（4）把x2+3x当作一个整体展开，再根据“十字相乘法”分解因式即可．【解答过程】解：（1）（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2；（2）x2﹣2x﹣8＝（x﹣4）（x+2）；（3）x4﹣6x3+9x2﹣16＝（x4﹣6x3+9x2）﹣16＝x2（x﹣3）2﹣42＝[x（x﹣3）+4][x（x﹣3）﹣4]＝（x2﹣3x+4）（x2﹣3x﹣4）＝（x2﹣3x+4）（x﹣4）（x+1）；（4）（x2+3x+5）（x2+3x+1）+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+5+3＝（x2+3x）2+6（x2+3x）+8＝（x2+3x+2）（x2+3x+4）＝（x+1）（x+2）（x2+3x+4）．9．（2021春•江北区校级期中）因式分解：（1）﹣8ab2+6a2b﹣2ab；（2）4a2﹣（a2+1）2；（3）x4﹣8x2﹣9；（4）（2﹣x2）2+2x（x2﹣2）+x2．【解题思路】（1）原式提取﹣2ab，利用提公因式法因式分解即可；（2）原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式分解即可；（3）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（4）利用完全平方公式变形，再利用提公因式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝﹣2ab（4b﹣3a+1）；（2）原式（2a）2﹣（a2+1）2＝（2a+a2+1）（2a﹣a2﹣1）＝﹣（a+1）2（a﹣1）2；（3）原式＝（x2+1）（x2﹣9）＝（x2+1）（x+3）（x﹣3）；（4）原式＝（x2﹣2）2+2x（x2﹣2）+x2＝（x2+x﹣2）2＝（x+2）2（x﹣1）2．10．（2021春•福田区校级期中）因式分解：（1）ab2﹣a；（2）2xy2﹣12x2y+18x3；（3）a4﹣8a2+16；（4）（x﹣4）（x+1）+3x．【解题思路】（1）提公因式后再利用平方差公式即可；（2）提公因式后再利用完全平方公式即可；（3）利用完全平方公式后再利用平方差公式；（4）根据多项式乘法计算，再利用平方差公式．【解答过程】解：（1）ab2﹣a＝a（b2﹣1）＝a（b+1）（b﹣1）；（2）原式＝2x（y2﹣6xy+9x2）＝2x（y﹣3x）2；（3）原式＝（a2﹣4）2＝（a﹣2）2（a+2）2；（4）原式＝x2﹣3x﹣4+3x＝x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．11．（2021秋•姜堰区月考）因式分解：（1）a4﹣1；（2）x3﹣2x2y+xy2．【解题思路】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式x，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝（a2+1）（a2﹣1）＝（a2+1）（a+1）（a﹣1）；（2）原式＝x（x2﹣2xy+y2）＝x（x﹣y）2．12．（2021春•平山区校级期中）分解因式：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）；（2）3x2﹣18xy+27y2．【解题思路】（1）首先提取公因式（m﹣n），然后利用平方差公式继续进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用完全平方公式把原式进行因式分解即可．【解答过程】解：（1）x2（m﹣n）+y2（n﹣m）＝（m﹣n）（x2﹣y2）＝（m﹣n）（x+y）（x﹣y）；（2）3x2﹣18xy+27y2＝3（x2﹣6xy+9y2）＝3（x﹣3y）2．13．（2021春•鄄城县期末）因式分解：（1）（a﹣b）（x﹣y）﹣（b﹣a）（x+y）；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）用提取公因式法分解因式；（2）用平方差公式、完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（a﹣b）（x﹣y）+（a﹣b）（x+y）＝（a﹣b）[（x﹣y）+（x+y）]＝2x（a﹣b），（2）原式＝（x2+1）2﹣（2x）2＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．14．（2021春•福田区校级期中）分解因式：（1）4x2﹣（x2+1）2；（2）3（x﹣1）2﹣18（x﹣1）+27．【解题思路】（1）先选择平方差公式分解因式，再运用完全平方公式进行因式分解；（2）先运用提取公因式法分解因式，再运用完全平方公式分解因式．【解答过程】解：（1）原式＝（2x）2﹣（x2+1）2＝（2x+x2+1）（2x﹣x2﹣1）＝﹣（x+1）2（x﹣1）2；（2）原式＝3[（x﹣1）2﹣6（x﹣1）+9]＝3[（x﹣1）﹣3]2＝3（x﹣4）2．15．（2021春•凤翔县期末）分解因式：（1）9a2（x﹣y）+y﹣x；（2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1．【解题思路】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：（1）原式＝9a2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（9a2﹣1）＝（x﹣y）（3a+1）（3a﹣1）；（2）原式＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2．16．（2021春•沈北新区期末）因式分解：（1）﹣10a2bc+15bc2﹣20ab2c；（2）（x2+1）2﹣4x2．【解题思路】（1）直接提公因式﹣5bc即可；（2）先利用平方差公式，将原式化为（x2+1+2x）（x2+1﹣2x），再利用完全平方公式得出答案．【解答过程】解：（1）原式＝﹣5bc（2a2﹣3c+4ab）；（2）原式＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）＝（x+1）2（x﹣1）2．17．（2021春•平顶山期末）把下列各式因式分解：（1）x2+2xy+y2﹣c2；（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）．【解题思路】（1）先分组，再分解．（2）先将b2（a﹣2）+b（2﹣a）变形为b2（a﹣2）﹣b（a﹣2），再运用提公因式法．【解答过程】解：（1）x2+2xy+y2﹣c2＝（x+y）2﹣c2＝（x+y+c）（x+y﹣c）．（2）b2（a﹣2）+b（2﹣a）＝b2（a﹣2）﹣b（a﹣2）＝b（a﹣2）（b﹣1）．18．（2021春•覃塘区期末）因式分解：（1）3x3﹣12x；（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2．【解题思路】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解．（2）先将1﹣2x+2y+（x﹣y）2变形为＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2，再用公式法进行因式分解．【解答过程】解：（1）3x3﹣12x＝3x（x2﹣4）＝3x（x+2）（x﹣2）．（2）1﹣2x+2y+（x﹣y）2＝1﹣（2x﹣2y）+（x﹣y）2＝1﹣2（x﹣y）+（x﹣y）2＝[1﹣（x﹣y）]2＝（1﹣x+y）2．19．（2021春•江宁区月考）分解因式：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16．【解题思路】（1）可先将（y﹣x）变形为﹣（x﹣y），再根据因式分解的步骤进行分解即可；（2）将（x2﹣5）看作一个整体，利用完全平方公式进行因式分解，最后再利用平方差公式因式分解即可．【解答过程】解：（1）4x2（x﹣y）+（y﹣x）＝4x2（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（4x2﹣1）＝（x﹣y）（2x+1）（2x﹣1）；（2）（x2﹣5）2+8（x2﹣5）+16＝（x2﹣5+4）2＝（x2﹣1）2＝（x+1）2（x﹣1）2．20．（2021春•汉寿县期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．【解题思路】先将3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y分组整理，然后利用公式即可解答．【解答过程】解：原式＝（3x2﹣xy﹣2y2）﹣（x﹣y）＝（3x+2y）（x﹣y）﹣（x﹣y）＝（x﹣y）（3x+2y﹣1）．21．（2020秋•浦东新区期末）因式分解（1）5x2+6y﹣15x﹣2xy；（2）（1+ab）2﹣（a+b）2．【解题思路】（1）将原式分为两组：（5x2﹣15x）、﹣（2xy﹣6y），然后利用提取公因式法进行因式分解；（2）利用平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：（1）原式＝（5x2﹣15x）﹣（2xy﹣6y）＝5x（x﹣3）﹣2y（x﹣3）＝（x﹣3）（5x﹣2y）；（2）原式＝（1+ab﹣a﹣b）（1+ab+a+b）＝[（1﹣a）﹣b（1﹣a）][（1+a）+b（1+a）]＝（1﹣a）（1﹣b）（1+a）（1+b）．22．（2020春•市南区校级期中）因式分解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2．【解题思路】首先提公因式4，再利用平方差公式进行分解即可．【解答过程】解：4（x+y）2﹣16（x﹣y）2＝4[（x+y）2﹣4（x﹣y）2]＝4（x+y+2x﹣2y）（x+y﹣2x+2y）＝4（3x﹣y）（3y﹣x）．23．（2020秋•宝山区期末）分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x．【解题思路】两两分组：先分别提取公因式2x2，8；再提取公因式2（y﹣x）进行二次分解；最后利用平方差公式再次进行因式分解即可求得答案．【解答过程】解：原式＝2x2（x﹣y）﹣8（x﹣y）＝2（x﹣y）（x2﹣4）＝2（x﹣y）（x+2）（x﹣2）．24．（2020秋•上海期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】先利用分组分解法进行恰当的分组，再利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）﹣4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．25．（2020秋•松江区期末）因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y．【解题思路】分为两组：（x3+3x2y）和（﹣4x﹣12y），然后运用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．【解答过程】解：x3+3x2y﹣4x﹣12y＝（x3+3x2y）﹣（4x+12y）＝x2（x+3y）﹣4（x+3y）＝（x+3y）（x2﹣4）＝（x+3y）（x+2）（x﹣2）．26．（2020秋•浦东新区期末）分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2．【解题思路】利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式．【解答过程】解：原式＝（a4﹣a2b2）﹣（4a2c2﹣4b2c2）＝a2（a2﹣b2）+4c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2﹣4c2）＝（a+b）（a﹣b）（a+2c）（a﹣2c）．27．（2020秋•浦东新区期末）因式分解：（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8．【解题思路】原式利用十字相乘法分解后，再利用完全平方公式分解即可．【解答过程】解：原式＝（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）＝（x﹣2）（x+4）（x+1）2．28．（2021秋•浦东新区校级期中）分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）﹣12．【解题思路】将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x2+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．【解答过程】解：设x2+x＝y，则原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y﹣2）（y+5）＝（x2+x﹣2）（x2+x+5）＝（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）．说明本题也可将x2+x+1看作一个整体，比如令x2+x+1＝u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．故答案为（x﹣1）（x+2）（x2+x+5）29．（2020秋•海淀区校级期中）因式分解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6．【解题思路】先利用分组分解法分解，再分别利用公式法和提取公因式法分解即可得出答案．【解答过程】解：64a6﹣48a4b2+12a2b4﹣b6＝（64a6﹣b6）﹣（48a4b2﹣12a2b4）＝（8a3+b3）（8a3﹣b3）﹣12a2b2（4a2﹣b2）＝（2a+b）（4a2﹣2ab+b2）（2a﹣b）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2（2a+b）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2﹣2ab+b2）（4a2+2ab+b2）﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣4a2b2﹣12a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）[（4a2+b2）2﹣16a2b2]＝（2a+b）（2a﹣b）（4a2﹣b2）2＝（2a+b）3（2a﹣b）3．30．（2020秋•海淀区校级期中）请用两种方法对多项式x3﹣4x2+6x﹣4进行因式分解．（拆添项算一种方法）【解题思路】分别利用拆添项及配方法和提取公因式法进行分解即可．【解答过程】解：方法一：x3﹣4x2+6x﹣4＝（x3﹣2x2）﹣（2x2﹣4x）+（2x﹣4）＝x2（x﹣2）﹣2x（x﹣2）+2（x﹣2）＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）；方法二：x3﹣4x2+6x﹣4＝x（x2﹣4x2+4+2）﹣4＝x（x﹣2）2+2x﹣4＝（x﹣2）（x2﹣2x+2）．。

第4章因式分解（培优篇）含答案一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.下列各式因式分解正确的是（）A∙ X2 - a2=(χ-a)2 B. 4a2 +41+1 = 42Q + l)+1C. -x1 +4x= -τ(τ + 4) D∙/-4炉=2.如图，边长为a, b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为（aA. 15B. 30 C∙ 60 D∙ 783.计算(-2严9+(-2严刈等于( )A. -23999B. -2C. -21999D. 2,"94.把多项式(3a-4b) (7a-8b) + (lla-12b) (8b-7a)分解因式的结果(A. 8 (7a-8b) (a-b)B. 2 (7a-8b) 2C∙ 8 (7a-8b) (b-a) D. -2 (7a-8b)5.已知口也c 满足〃+4h= -7,h2-2c= 3,c2+ 2a= -2 ，^f∖a + b-c的值为(A. —4B. —5C. —6D. -76.已知a - b=b - C=29 a2+b2+c2= 11,则ab-^-bc+ac=()A. -22B. - 1C. 7D. 117.若"- c)(1 - b) (c- 1),则b+c∙的值是()A. - 1B. 0C. 1D. 28.下列四个多项式，可能是2χ2+mχ-3(m是整数)的因式的是A. x — 2B. 2x+3C. x+4D. 2x2—19.已知m'-m∙l = 0,,贝∣J计算：m'-rRm+N的结果为( ).A. 3B. -3C. 5D. -510.如果多项式/-七+ 9能用公式法分解因式，那么k的值是(A. 3B. 6 C∙ ±3 D∙ ±611 .已矢口 (2x - 3) 7=aox 7+aix 6Λ-a2X 5j f .... +〃父+〃7,则"什〃/+。

2+ ...... +。

因式分解练习题一、选择题1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )A. x 2+2x−1=x(x +2)+1B. (a +b)(a−b)=a 2−b 2C. x 2+4x +4=(x +2)2D. ax 2−a =a(x 2−1)2.下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为( )A. 8(x +y)=8x +8yB. (x−y )2=x 2−2xy +y 2C. 10x 2+5x =5x(2x +1)D. x 2−4+3x =(x +2)(x−2)+3x 3.因式分解(x +y )2−2(x 2−y 2)+(x−y )2的结果为( )A. 4(x−y )2B. 4x 2C. 4(x +y )2D. 4y 24.多项式36a 2bc−48ab 2c +24abc 中的各项的公因式是 ( )A. 12a 2b 2c 2B. 6 abcC. 12 abcD. 36a 2b 2c 25.多项式8a 3b 2+12a 3bc−4a 2b 中，各项的公因式是( )A. a 2bB. 4a 2bC. −4a 2bD. −a 2b 6.下列各式中，不能用完全平方公式分解的有( ) ①x 2−10x +25; ②4a 2+4a−1; ③x 2−2x−1; ④−m 2+m−14; ⑤4x 4−x 2+14．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.多项式a 2+2a−b 2−2b 分解因式的结果是( )A. (a−b)(a +2)(b +2)B. (a−b)(a +b +2)C. (a−b)(a +b)+2D. (a 2−2b)(b 2−2a)8.下列多项式中不能用平方差公式因式分解的是( )A. a 2−b 2B. 49x 2−y 2z 2C. −x 2−y 2D. 16m 2n 2−25p 29.因式分解b 2(a−3)+b(a−3)的正确结果是( )A. (a−3)(b2+b)B. b(a−3)(b+1)C. (a−3)(b2−b)D. b(a−3)(b−1)10.多项式x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是()．A. 3B. 6C. ±3D. ±611.已知a−b=3，a+c=−1，则代数式ac−bc+a2−ab的值为( )A. 4B. 3C. −3D. −412.已知{3x−1<a2x>6−b的解集为−1<x<2，则a2−b2的值为( )A. −39B. −3C. 3D. 39二、填空题13.分解因式：(2a−1)2+8a=________．14.因式分解：a2b−4ab+4b=______．15.若a+b=2，ab=−3，则式子a3b+2a2b2+ab3的值为_______．16.多项式−ab(a−b)2+a(b−a)2−ac(a−b)2因式分解时，所提取的公因式应是．三、计算题17.把下列各式分解因式：(1)a2−5a；(2)ab+ac；(3)4a3b2−10ab3c；(4)−3ma3+6ma2−12ma；(5)6p(p+q)−4q(p+q).四、解答题18.先分解因式，然后计算求值：(x+y)(x2+3xy+y2)−5xy(x+y)，其中x=6.6，y=−3.4．19.已知a=12m+1,b=12m+2，c=12m+3，求a2+2ab+b2−2ac+c2−2bc的值(用含m的代数式表示)．20.老师在黑板上写了三个算式：52−32=8×2，92−72=8×4，152−32=8×27.王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112−52=8×12，152−72=8×22，…．(1)请你再写出两个(不同于上面的算式)具有上述规律的算式；(2)用文字写出上述算式反映的规律；(3)证明这个规律的正确性．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解的意义即因式分解后右边是整式积的形式，且每一个因式都要分解彻底.根据因式分解的意义分别进行判断，即可得出答案．【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C、符合因式分解的定义，故本选项正确；D、右边分解不彻底，不是因式分解，故本选项错误；故选：C2.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．直接利用分解因式的定义分析得出答案．【解答】解：A.8(x+y)=8x+8y，是整式乘法运算，故此选项错误；B.(x−y)2=x2−2xy+y2，是整式乘法运算，故此选项错误；C.10x2+5x=5x(2x+1)，是分解因式，符合题意；D.x2−4+3x=(x+2)(x−2)+3x，不符合分解因式的定义，故此选项错误．故选C．3.【答案】D【解析】解：原式=[(x+y)−(x−y)]2，=(x+y−x+y)2，=4y2，故选：D．利用完全平方进行分解即可．此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2．4.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了公因式的确定，根据公因式的定义确定是解决问题的关键，根据公因式的定义，找出数字的最大公约数，找出相同字母的最低次数，直接找出每一项中公共部分即可．【解答】解：多项式36a2bc−48ab2c+24abc各项的公因式是：12 abc．故选C．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了多项式，能熟记多项式的公因式的定义是解此题的关键．根据公因式的定义得出即可．【解答】解：多项式8a3b2+12a3bc−4a2b中各项的公因式是4a2b，故答案选B．6.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．分别利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】 ①x2−10x+25=(x−5)2，不符合题意; ②4a2+4a−1不能用完全平方公式分解; ③x2−2x−1不能用完全平方公式分解; ④−m2+m−14=−(m2−m+14)=−(m−12)2，不符合题意; ⑤4x4−x2+14不能用完全平方公式分解．故选C．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查用分组分解法、提取公因式法与公式法的综合运用.难点是采用两两分组还是三一分组.当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解.多项式a2+2a−b2−2b先变形为a2−b2+2a−2b可分成前后两组来分解.前两项组合利用平方差公式，后两项组合利用提公因式法，最后再次提公因式(a−b)即可．【解答】解：a2+2a−b2−2b=(a2−b2)+(2a−2b)=(a+b)(a−b)+2(a−b)=(a−b)(a+b+2)．故选B．8.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b).根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反进行分析即可．【解答】解：A.a2−b2=(a+b)(a−b)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；B.49x2−y2z2=(7x+yz)(7x−yz)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；C.−x2−y2不能用平方差公式分解，故此选项符合题意；D.16m2n2−25p2=(4mn−5p)(4mn+5p)，能用平方差公式分解，故此选项不合题意；故选C．9.【答案】B【解析】【分析】此题考查了因式分解−提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．直接提取公因式b(a−3)即可．【解答】解：原式=b(a−3)(b+1)．故选B．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查因式分解的应用，完全平方公式．由多项式x2−mxy+9y2能用完全平方公式因式分解，得x2−mxy+9y2=(x±3y)2，再用完全平方公式展开，即可得x2−mxy+9 y2=x2±6xy+9y2，最后由多项式对应项系数相等即可得出答案．【解答】解：由题意，得x2−mxy+9y2=(x±3y)2，∴x2−mxy+9y2=x2±6xy+9y2，∴−m=±6，∴m=±6，故选D．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用：用因式分解解决求值问题，利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．先利用分组分解的方法把ac−bc+a2−ab因式分解为(a−b)(c+a)，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵ac−bc+a2−ab，=c(a−b)+a(a−b)，=(a−b)(c+a)，∵a−b=3，a+c=−1，∴ac−bc+a2−ab=3×(−1)=−3．故选C．12.【答案】A【解析】【分析】此题考查了因式分解−运用公式法，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．表示出不等式组的解集，确定出a与b的值，即可求出所求．【解答】解：{3x−1<a2x>6−b,解得：{x<a+13x>6−b2,∵不等式的解集为为−1<x<2，∴6−b2=−1，a+13=2，解得：a=5，b=8，则原式=(a+b)(a−b)=13×(−3)=−39，故选A．13.【答案】(2a+1)2【解析】【分析】本题主要考查运用完全平方公式分解因式，先利用完全平方公式展开整理成多项式的一般形式是解题的关键．先根据完全平方公式展开，合并同类项后，再利用完全平方式分解因式即可．【解答】解：(2a−1)2+8a=4a2−4a+1+8a=4a2+4a+1=(2a+1)2．故答案为(2a+1)2．14.【答案】b(a−2)2【解析】【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=b(a2−4a+4)=b(a−2)2．故答案为：b(a−2)2．15.【答案】−12【解析】【分析】本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．根据a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2，结合已知数据即可求出代数式a3b+2a2b2+ab3的值．【解答】解：∵a+b=2，ab=−3，∴a3b+2a2b2+ab3=ab(a2+2ab+b2)，=ab(a+b)2，=−3×4，=−12．故答案为：−12．16.【答案】−a(a−b)2【解析】【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．首先把可把(b−a)2变成(a−b)2，再直接提取公因式−a(a−b)2即可．【解答】解：−ab(a−b)2+a(a−b)2−ac(a−b)2=−a(a−b)2(b+1−c)，故答案为−a(a−b)2．17.【答案】解：(1)a2−5a=a(a−5)；(2)ab+ac=a(b+c)；(3)4a3b2−10ab3c=2ab2(2a2−5bc)；(4)−3ma3+6ma2−12ma=−3ma(a2−2a+4)；(5)6p(p+q)−4q(p+q)=2(p+q)(3p−2q)．【解析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．(1)提取公因式a，即可得出答案；(2)提取公因式a，即可得出答案；(3)提取公因式2ab2，即可得出答案；(4)提取公因式−3ma，即可得出答案；(5)提取公因式2(p+q)，即可得出答案．18.【答案】(x+y)(x2+3xy+y2)−5xy(x+y)=(x+y)(x2+3xy+y2−5xy)=(x+y)(x2−2xy+y2)=(x+y)(x−y)2当x=6.6，y=−3.4时，原式=3.2×102=320．【解析】本题考查求代数式的值，关键是对待求式进行因式分解，然后将x与y的值代入计算即可19.【答案】解：a2+2ab+b2−2ac+c2−2bc=(a+b)2−2c(a+b)+c2=(a+b−c)2∵a =12m +1，b =12m +2，c =12m +3∴原式=(a +b )2−2c(a +b)+c 2=(a +b−c )2将a ，b ，c 的值代入得=[(12m +1)+(12m +2)−(12m +3)]2=14m 2【解析】此题考查代数式求值，注意利用完全平方公式因式分解，简化计算的方法与步骤．首先把代数式a 2+2ab +b 2−2ac−2bc +c 2利用完全平方公式因式分解，再代入求得数值即可．20.【答案】解：(1)112−92=8×5，132−112=8×6．(2)规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．(3)证明：设m ，n 为整数，两个奇数可表示2m +1和2n +1，则(2m +1)2−(2n +1)2=4(m−n)(m +n +1)．当m ，n 同是奇数或偶数时，(m−n)一定为偶数，所以4(m−n)一定是8的倍数．当m ，n 一奇一偶时，则(m +n +1)一定为偶数，所以4(m +n +1)一定是8的倍数所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．【解析】通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数．本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．。

因式分解专题过关1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8（3）x3y﹣xy （4）3a3﹣6a2b+3ab2．（5）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（6）（x2+y2）2﹣4x2y2（7）2x2﹣x （8）16x2﹣1（9）6xy2﹣9x2y﹣y3 （10）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）22．因式分解：（1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy23．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 （3）x2y﹣2xy2+y3 （4）（x+2y）2﹣y2（5）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（6）（x﹣1）（x﹣3）+1 （7）a2﹣4a+4﹣b2（8）a2﹣b2﹣2a+14.把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 （5）4x3﹣31x+15；（6）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（7）x5+x+1；（8）x3+5x2+3x﹣9；（9）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．因式分解专题过关1．将下列各式分解因式（1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8分析：（1）提取公因式3p整理即可；（2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q），（2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2．2．将下列各式分解因式（1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2．分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可；（2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可．解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）；（2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2．3．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x ﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．4．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．分析：（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．5．因式分解：（1）2am2﹣8a；（2）4x3+4x2y+xy2分析：（1）先提公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．解答：解：（1）2am2﹣8a=2a（m2﹣4）=2a（m+2）（m﹣2）；（2）4x3+4x2y+xy2，=x（4x2+4xy+y2），=x（2x+y）2．6．将下列各式分解因式：（1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．分析：（1）先提公因式3x，再利用平方差公式继续分解因式；（2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式．解答：解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）=（x+y）2（x﹣y）2．7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3；（2）（x+2y）2﹣y2．分析：（1）先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方式继续分解因式；（2）符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式进行因式分解即可．解答：解：（1）x2y﹣2xy2+y3=y（x2﹣2xy+y2）=y（x﹣y）2；（2）（x+2y）2﹣y2=（x+2y+y）（x+2y﹣y）=（x+3y）（x+y）．8．对下列代数式分解因式：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1．分析：（1）提取公因式n（m﹣2）即可；（2）根据多项式的乘法把（x﹣1）（x﹣3）展开，再利用完全平方公式进行因式分解．解答：解：（1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）=n2（m﹣2）+n（m﹣2）=n （m﹣2）（n+1）；（2）（x﹣1）（x﹣3）+1=x2﹣4x+4=（x﹣2）2．9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2．分析：本题有四项，应该考虑运用分组分解法．观察后可以发现，本题中有a的二次项a2，a的一次项﹣4a，常数项4，所以要考虑三一分组，先运用完全平方公式，再进一步运用平方差公式进行分解．解答：解：a2﹣4a+4﹣b2=（a2﹣4a+4）﹣b2=（a﹣2）2﹣b2=（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）．10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1分析：当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的二次项，a的一次项，有常数项．所以要考虑a2﹣2a+1为一组．解答：解：a2﹣b2﹣2a+1=（a2﹣2a+1）﹣b2=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．11．把下列各式分解因式：（1）x4﹣7x2+1；（2）x4+x2+2ax+1﹣a2（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1分析：（1）首先把﹣7x2变为+2x2﹣9x2，然后多项式变为x4﹣2x2+1﹣9x2，接着利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可求解；（2）首先把多项式变为x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2，然后利用公式法分解因式即可解；（3）首先把﹣2x2（1﹣y2）变为﹣2x2（1﹣y）（1﹣y），然后利用完全平方公式分解因式即可求解；（4）首先把多项式变为x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1，然后三个一组提取公因式，接着提取公因式即可求解．解答：解：（1）x4﹣7x2+1=x4+2x2+1﹣9x2=（x2+1）2﹣（3x）2=（x2+3x+1）（x2﹣3x+1）；（2）x4+x2+2ax+1﹣a=x4+2x2+1﹣x2+2ax﹣a2=（x2+1）﹣（x﹣a）2=（x2+1+x﹣a）（x2+1﹣x+a）；（3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+x4（1﹣y）2=（1+y）2﹣2x2（1﹣y）（1+y）+[x2（1﹣y）]2=[（1+y）﹣x2（1﹣y）]2=（1+y﹣x2+x2y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1=x4+x3+x2++x3+x2+x+x2+x+1=x2（x2+x+1）+x（x2+x+1）+x2+x+1=（x2+x+1）2．12．把下列各式分解因式：（1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2．分析：（1）需把﹣31x拆项为﹣x﹣30x，再分组分解；（2）把2a2b2拆项成4a2b2﹣2a2b2，再按公式法因式分解；（3）把x5+x+1添项为x5﹣x2+x2+x+1，再分组以及公式法因式分解；（4）把x3+5x2+3x﹣9拆项成（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9），再提取公因式因式分解；（5）先分组因式分解，再用拆项法把因式分解彻底．解答：解：（1）4x3﹣31x+15=4x3﹣x﹣30x+15=x（2x+1）（2x﹣1）﹣15（2x﹣1）=（2x﹣1）（2x2+1﹣15）=（2x﹣1）（2x﹣5）（x+3）；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4=4a2b2﹣（a4+b4+c4+2a2b2﹣2a2c2﹣2b2c2）=（2ab）2﹣（a2+b2﹣c2）2=（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）=（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）；（3）x5+x+1=x5﹣x2+x2+x+1=x2（x3﹣1）+（x2+x+1）=x2（x ﹣1）（x2+x+1）+（x2+x+1）=（x2+x+1）（x3﹣x2+1）；（4）x3+5x2+3x﹣9=（x3﹣x2）+（6x2﹣6x）+（9x﹣9）=x2（x﹣1）+6x（x﹣1）+9（x﹣1）=（x﹣1）（x+3）2；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2=a3（2a﹣1）﹣（2a﹣1）（3a+2）=（2a﹣1）（a3﹣3a﹣2）=（2a﹣1）（a3+a2﹣a2﹣a﹣2a﹣2）=（2a﹣1）[a2（a+1）﹣a（a+1）﹣2（a+1）]=（2a﹣1）（a+1）（a2﹣a﹣2）=（a+1）2（a﹣2）（2a﹣1）．。

因式分解精选经典培优习题1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ．4、分解因式：22635y y x xy x ++++5、分解因式91)72)(9)(52(2---+a a a6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy因式分解详细答案解析1、多项式xyz y z x y z x x z z y y x 2222222-++-+-因式分解后的结果是( )．A ．(y －z)(x+y)(x －z)B ．(y －z)(x －y)(x ＋z)C ． (y+z)(x 一y)(x+z)D ．(y 十z)(x+y)(x 一z)解析：原式是一个复杂的三元三次多项式，直接分解有一定困难，把原式整理成关于某个字母按降幂排列的多项式，改变其结构，寻找分解的突破口．2、把下列各式分解因式：(1)(x+1)(x ＋2)(x+3)(x+6)+ x 2；(2)1999x 2一(19992一1)x 一1999；(3)(x+y －2xy)(x+y －2)＋(xy －1)2；(4)(2x －3y)3十(3x －2y)3－125(x －y)3．解析： (1)是形如abcd+e 型的多项式，分解这类多项式时，可适当把4个因式两两分组，使得分组相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系数较大，不妨把数用字母表示；(3)式中x+y ；xy 多次出现，可引入两个新字母，突出式子特点；(4)式前两项与后一项有密切联系．3、分解因式（1）(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2；(2)(2x 2－3x+1)2一22x 2+33x －1；(3)x 4+2001x 2+2000x+2001；(4)(6x －1)(2 x －1)(3 x －1)( x －1)+x 2；(5)bc ac ab c b a 54332222+++++；(6)613622-++-+y x y xy x ． 解析：4、分解因式：22635y y x xy x ++++ 解析：5、分解因式 91)72)(9)(52(2---+a a a 解析：6、2)1()21(2)3()1(-+-++-+++y x y x xy xy xy 解析：。

第14章整式的乘法与因式分解培优卷一、单选题1. ( 3分) 某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x的范围是（）A.490＜x＜510B.490≤x≤510C.490＜x≤510D.490≤x＜510【答案】B【考点】有理数的加法【解析】【解答】解：根据题意得：500﹣1≤x≤500+10，即490≤x≤510，故答案为：B【分析】由题意用有理数的加法法则可得490≤x≤510。

2. ( 3分) 方程3x（x﹣1）＝4（x﹣1）的根是（）A.43B.1 C.43和1 D.43和﹣1【答案】C【考点】因式分解﹣运用公式法，因式分解法解一元二次方程【解析】【解答】原方程变形整理后得：（x﹣1）（3x﹣4）＝0，x﹣1＝0或3x﹣4＝0，解得：x1＝1，x2＝43，故答案为：C．【分析】将方程移项后进行因式分解，即可得到方程的两个根。

3. ( 3分) 下列说法错误的是（）A.两条射线组成的图形叫角B.两点之间线段最短C.两点确定一条直线D.0是单项式【答案】A【考点】单项式，直线的性质：两点确定一条直线，线段的性质：两点之间线段最短，角的概念【解析】【解答】解：A、两条有公共端点的射线组成的图形叫角，此选项符合题意；B、两点之间线段最短，此选项不符合题意；C、两点确定一条直线，此选项不符合题意；D、数字0是单项式，此选项不符合题意；故答案为：A．【分析】根据角的定义、两点之间距离、直线的性质以及根据单项式的定义逐一判断即可．4. ( 3分) 任意给定一个非零数x，按下列箭头顺序执行方框里的相应运算，得出结果后，再进行下一方框里的相应运算，最后得到的结果是（）→平方→→→结果A.xB.x2C.x+1D.x−1【答案】D【考点】整式的混合运算【解析】【解答】根据题意得：（x2+x）÷x-2=x2÷x+x÷x-2=x+1-2=x-1，故答案为：D.【分析】根据程序先列出算式，然后计算即可.5. ( 3分) 下列各式计算正确的是（）A.（a+1）2=a2+1B.a2+a3=a5C.a8÷a2=a6D.3a2﹣2a2=1【答案】C【考点】同底数幂的除法，完全平方公式及运用【解析】【解答】解：A、（a+1）2=a2+2a+1，故本选项错误；B、a2+a3≠a5，故本选项错误；C、a8÷a2=a6，故本选项正确；D、3a2﹣2a2=a2，故本选项错误；故选C．【分析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，及同类项的合并进行各项的判断，继而可得出答案．是一个完全平方式，则k的值为（）6. ( 3分) 已知多项式x2+kx+ 14A.±1B.﹣1C.1D.±12【答案】A【考点】完全平方公式及运用是一个完全平方式，【解析】【解答】解：∵多项式x2+kx+ 14∵x2+kx+ 14=（x± 12）2，∵k=±1，故答案为：A【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，得到k=±1.7. ( 3分) 关于x、y的多项式x2−4xy+5y2+8y+15的最小值为（）A. -1B.0C.1D.2【答案】A【考点】完全平方公式及运用，偶次幂的非负性【解析】【解答】解：原式＝x2−4xy+5y2+8y+15=x2−4xy+4y2+y2+8y+16-1=(x−2y)2+(y+4)2-1∵ (x−2y)2≥0，(y+4)2≥0，∵原式≥－1，∵原式的最小值为－1，故答案为：A.【分析】利用完全平方公式对代数式变形，再运用非负性求解即可.8. ( 3分) 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（）A.x2+5x-1=x（x+5）-1B.x2-4+3x=（x+2）（x-2）+3xC.x2-9=（x+3）（x-3）D.（x+2）（x-2）=x2-4【答案】C【考点】因式分解的定义【解析】【解答】A.右边不是积的形式，故A错误；B.右边不是积的形式，故B错误；C.x2-9=（x+3）（x-3），故C正确．D.是整式的乘法，不是因式分解选C【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解9. ( 3分) 式子(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)化简的结果为（）A.21010−1B.21010+1C.22020−1D.22020+1【答案】C【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：设S= (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)，∵（2—1）S=（2—1）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)∵S= (22−1)(22+1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)= (24−1)(24+1)(28+1)⋅⋅⋅(21010+1)= (21010−1)(21010+1)= 22020−1，故答案为：C.【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可.10. ( 3分)2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的计算结果的个位数字是（）A.8B.6C.2D.0【答案】D【考点】平方差公式及应用【解析】【解答】解：(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(32−1)(32+1)(34+1)…(316+1)=(34−1)(34+1)…(316+1)=332−1∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，…∴3n的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，∵32÷4=8，故332与34的个位数字相同即为1，∵ 332−1的个位数字为0，∵ 2×(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)的个位数字是0．故答案为：D．【分析】先将2变形为（3-1），再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．二、填空题目11. ( 4分) 若m a=2，m b=3，m c=4，则m2a+b﹣c=________．【答案】 3【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方【解析】【解答】解：∵m a=2，m b=3，m c=4，∵m2a+b﹣c=（m a）2•m b÷m c=4×3÷4=3．故答案为：3．【分析】根据同底数幂的乘法与除法法则则及幂的乘方与积的乘方法则进行计算即可．12. ( 4分) 比较大小: 2√2________ √7. (填“>”、“<"或“=")【答案】>【考点】实数大小的比较【解析】【解答】解：(2√2)2=8，(√7)2=7，∵8>7，∴2√2>√7．故答案为：>．【分析】首先分别求出两个数的平方的大小；然后根据：两个正实数，平方大的这个数也大，判断出两个数的大小关系即可．13. ( 4分) 若x＋y＝1，xy＝－7，则x2y＋xy2＝________．【答案】-7【考点】提公因式法因式分解【解析】【解答】解：∵x＋y＝1，xy＝－7，∵原式＝xy(x＋y)＝－7，故答案为：－7【分析】先将多项式提取公因式xy，将多项式分解成xy(x+y)，再将已知条件中的值代入计算出即可。

初二因式分解练习题及答案初二因式分解练习题及答案数学是一门需要不断练习和巩固的学科，而因式分解作为数学中的一个重要概念和技巧，对于初二学生来说尤为重要。

因式分解不仅在解方程、求最大公因数、最小公倍数等问题中起着重要作用，还是后续学习代数的基础。

下面将给大家提供一些初二因式分解的练习题及答案，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。

1. 将下列各式因式分解：a) 2x^2 + 8xb) 3x^2 - 12c) x^2 - 4y^2d) 4x^2 - 9y^2答案：a) 2x(x + 4)b) 3(x - 2)(x + 2)c) (x - 2y)(x + 2y)d) (2x - 3y)(2x + 3y)2. 将下列各式因式分解：a) 4x^2 - 12x + 9b) x^2 - 5x + 6c) 6x^2 + 5x - 6答案：b) (x - 2)(x - 3)c) (2x - 3)(3x + 2)3. 将下列各式因式分解：a) x^3 - 8b) x^3 + 8c) x^2 + 4x + 4d) x^3 + 6x^2 + 12x + 8 答案：a) (x - 2)(x^2 + 2x + 4)b) (x + 2)(x^2 - 2x + 4)c) (x + 2)^2d) (x + 2)^34. 将下列各式因式分解：a) 2x^4 - 18x^2 + 32b) 3x^4 - 48x^2 + 192c) x^4 - 16x^2 + 64答案：a) (x^2 - 4)(2x^2 - 8)b) 3(x^2 - 4)(x^2 - 16)c) (x^2 - 8)^25. 将下列各式因式分解：b) x^4 - 16c) 16x^4 - 81答案：a) (x^2 - 9)(x^2 + 9)b) (x^2 - 4)(x^2 + 4)c) (4x^2 - 9)(4x^2 + 9)通过以上的练习题，我们可以发现因式分解的方法和技巧是多种多样的。

因式分解练习题带答案初二1. 题目：因式分解练习题带答案初二因式分解是初中数学中的重要内容，本文将提供一些初二年级的因式分解练习题，每道题都附带详细答案，帮助学生巩固和提高因式分解的能力。

一、基础练习题1. 将下列代数式进行因式分解：a) 4x^2 - 9y^2b) 2xy + 6x解答：a) 4x^2 - 9y^2 = (2x + 3y)(2x - 3y)b) 2xy + 6x = 2x(y + 3)2. 将下列代数式进行因式分解：a) 2x^3 - 8x^2b) 3x^2 + 12x + 9解答：a) 2x^3 - 8x^2 = 2x^2(x - 4)b) 3x^2 + 12x + 9 = (x + 3)(3x + 3)二、应用练习题1. 将以下代数式进行因式分解，并求解方程：a) x^2 + 6x + 9 = 0b) 2x^2 - 18 = 0解答：a) x^2 + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)^2解方程：(x + 3)^2 = 0x + 3 = 0x = -3b) 2x^2 - 18 = 2(x^2 - 9) = 2(x + 3)(x - 3)解方程：2(x + 3)(x - 3) = 0x + 3 = 0 或者 x - 3 = 0x = -3 或者 x = 32. 将以下代数式进行因式分解，并求解方程：a) 4x^2 + 12x + 9 = 0b) x^2 + 8x - 20 = 0解答：a) 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)(2x + 3) = (2x + 3)^2解方程：(2x + 3)^2 = 02x + 3 = 0x = -1.5b) x^2 + 8x - 20 = (x + 10)(x - 2)解方程：(x + 10)(x - 2) = 0x + 10 = 0 或者 x - 2 = 0x = -10 或者 x = 2以上是一些初二年级的因式分解练习题及答案，通过练习这些题目，学生可以更好地理解因式分解的概念和方法，并能够熟练地应用于实际问题的解决中。

八年级上册数学 整式的乘法与因式分解（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）1．若A ＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A 的末位数字是( )A ．2B ．4C ．6D ．8 【答案】C【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意可得A=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）+1=（24-1）（24+1）（28+1）+1=（28-1）（28+1）+1=216根据21=2；22=4；23=8；24=16；25=32；···因此可由16÷4=4，所以216的末位为6故选C点睛：此题是应用平方差公式进行计算的规律探索题，解题的关键是通过添加式子，使原式变化为平方差公式的形式；再根据2的n 次幂的计算总结规律，从而可得到结果.2．（2017重庆市兼善中学八年级上学期联考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式44x y -，因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =， 9y =时，则各个因式的值为()0x y -=， ()18x y +=， ()22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式32x xy -，取20x， 10y =时，用上述方法产生的密码不可能．．．是（ ） A ．201030B ．201010C ．301020D ．203010【答案】B【解析】【分析】【详解】解：x 3-xy 2=x （x 2-y 2）=x （x+y ）（x-y ），当x=20，y=10时，x=20，x+y=30，x-y=10，组成密码的数字应包括20，30，10，所以组成的密码不可能是201010．故选B ．3．已知20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，则222a b c ab ac bc ++---的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】 根据20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+分别求出a-b 、a-c 、b-c 的值，然后利用完全平方公式将题目中的式子变形，即可完成.【详解】∵20192019a x =+，20192020b x =+，20192021c x =+，20192019201920201a b x x -=+--=-20192019201920212a c x x -=+--=-20192020201920211b c x x -=+--=-∴222a b c ab ac bc ++---2221(222222)2a b c ab ac bc =++--- 2222221(222)2a ab b a ac c b bc c =-++-++-+ 222111()()()222a b a c b c =-+-+- 222111(1)(2)(1)222=⨯-+⨯-+⨯- 11222=++ 3=故选D【点睛】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键.4．因式分解x 2－ax ＋b ，甲看错了a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错了b 的值，分解的结果为(x －2)(x ＋1)，那么x 2＋ax ＋b 分解因式正确的结果为（ ）A ．(x －2)(x ＋3)B ．(x ＋2)(x －3)C ．(x －2)(x －3)D ．(x ＋2)(x ＋3) 【答案】B【解析】【分析】【详解】因为(x ＋6)(x －1)=x 2+5x-6，所以b=-6；因为(x －2)(x ＋1)=x 2-x-2，所以a=1.所以x 2-ax ＋b=x 2-x-6=(x-3)(x+2).故选B.点睛：本题主要考查了多项式的乘法和因式分解，看错了a ，说明b 是正确的，所以将看错了a的式子展开后，可得到b的值，同理得到a的值，再把a，b的值代入到x2＋ax＋b 中分解因式.5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，则此三角形是( ) A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．不能确定【答案】B【解析】【分析】运用因式分解，首先将所给的代数式恒等变形；借助非负数的性质得到a=b=c，即可解决问题．【详解】∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0；∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，∴a﹣b=0，b﹣c=0，∴a=b=c，∴△ABC为等边三角形．故选B．【点睛】本题考查了因式分解及其应用问题．解题的关键是牢固掌握因式分解的方法，灵活运用因式分解来分析、判断、推理活解答．6．已知4y2+my+9是完全平方式，则m为()A．6 B．±6 C．±12 D．12【答案】C【解析】【分析】原式利用完全平方公式的结构特征求出m的值即可．【详解】∵4y2+my+9是完全平方式，∴m=±2×2×3=±12．故选：C．【点睛】此题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．7．把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3【答案】B【解析】分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.详解：（x+1）（x-3）=x 2-3x+x-3=x 2-2x-3所以a=2，b=-3，故选B ．点睛：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.8．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()2224x x x +-=-B ．2222()a ab b a b -+=-C ．()11am bm m a b +-=+-D ．()21(1)1111x x x x ⎛⎫--=--- ⎪-⎝⎭【答案】B【解析】【分析】 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据因式分解的定义，即可得到本题的答案．【详解】A ．属于整式的乘法运算，不合题意；B ．符合因式分解的定义，符合题意；C ．右边不是乘积的形式，不合题意；D ．右边不是几个整式的积的形式，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了因式分解的定义，即将多项式写成几个因式的乘积的形式，掌握定义是解题的关键．9．今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：-3xy (4y -2x -1)=-12xy 2+6x 2y +□，□的地方被钢笔水弄污了，你认为□内应填写( ) A ．3xyB ．-3xyC ．-1D ．1【答案】A【解析】【分析】【详解】解：∵左边=-3xy （4y-2x-1）=-12xy 2+6x 2y+3xy右边=-12xy 2+6x 2y+□，∴□内上应填写3xy故选：A ．10．已知a ＝96，b ＝314，c ＝275，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．b ＞c ＞a【答案】C【解析】【分析】 根据幂的乘方可得：a ＝69=312，c ＝527=315，易得答案. 【详解】因为a ＝69=312，b ＝143，c ＝527=315，所以，c>b>a故选C【点睛】本题考核知识点：幂的乘方. 解题关键点：熟记幂的乘方公式.二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）11．已知2320x y --=，则23(10)(10)x y ÷＝_______．【答案】100【解析】【分析】根据题意可得2x-3y=2，然后根据幂的乘方和同底数幂相除，底数不变，指数相减即可求得答案.【详解】由已知可得2x-3y=2，所以()()231010x y ÷=102x ÷103y =102x-3y =102=100. 故答案为100.【点睛】此题主要考查了幂的乘方和同底数幂相除，解题关键是根据幂的乘方和同底数幂相除的性质的逆运算变形，然后整体代入即可求解.12．因式分解:225101a a -+=______________【答案】()251a -【解析】根据完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±进行因式分解为：225101a a -+=()251a -. 故答案为：()251a -.13．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”(如图)，此图揭示了n(a b)(n +为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律．例如：0(a b)1+=，它只有一项，系数为1；系数和为1；1(a b)a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；222(a b)a 2ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；33223(a b)a 3a b 3ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；⋯， 则n (a b)+的展开式共有______项，系数和为______．【答案】n 1+ n 2【解析】【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b ）n （n 为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b ）n-1相邻两项的系数和．因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b ）n 的项数以及各项系数的和即可．【详解】根据规律可得，（a+b ）n 共有（n+1）项，∵1=201+1=211+2+1=221+3+3+1=23∴（a+b ）n 各项系数的和等于2n故答案为n+1，2n【点睛】本题主要考查了完全平方式的应用，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键．在应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a ，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式．14．把多项式(x －2)2－4x ＋8分解因式，哪一步开始出现了错误( )解：原式＝(x －2)2－(4x －8)…A＝(x －2)2－4(x －2)…B＝(x －2)(x －2＋4)…C＝(x －2)(x ＋2)…D【答案】C【解析】根据题意，第一步应是添括号（注意符号变化），解法正确，第二步先对后面因式提公因式4，再提取公因式（x-2）这时出现符号错误，所以从C 步出现错误.故选C.15．设2m ＝5，82n ＝10，则62m n -＝________． 【答案】12【解析】试题分析：将62m n - 变形为228m n ÷ ，然后结合同底数幂的除法的概念和运算法则进行求解即可．本题解析：6621222285102m n m n m n-=÷=÷=÷=故答案为：12.点睛：本题主要考查了同底数幂的除法法则的逆用,同底数幂的除法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相减.即m n m na a a+÷= (m,n是正整数).16．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．【答案】1【解析】【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解.【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，整理得，3x+3=6，解得，x=1，故答案为1．【点睛】本题考查了解方程，涉及到完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键．17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是__________（用a、b的代数式表示）．【答案】ab【解析】【分析】【详解】设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，12122{2x x ax x b+=-=解得，122{4a bx a b x +=-= ②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积=（2a b +）2-4×（4a b -）2=ab ． 故答案为ab.18．因式分解：3x 3﹣12x=_____．【答案】3x （x+2）（x ﹣2）【解析】【分析】先提公因式3x ，然后利用平方差公式进行分解即可．【详解】3x 3﹣12x=3x （x 2﹣4）=3x （x+2）（x ﹣2），故答案为3x （x+2）（x ﹣2）．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．19．若（2x ﹣3）x+5=1，则x 的值为________．【答案】2或1或-5【解析】(1)当2x −3=1时,x=2,此时()2+543-=1，等式成立；(2)当2x −3=−1时,x=1,此时()1523+-=1，等式成立； (3)当x+5=0时,x=−5,此时()0103--=1，等式成立．综上所述，x 的值为：2，1或−5.故答案为2，1或−5.20．分解因式：a 3－a =【答案】(1)(1)a a a -+【解析】a 3－a =a(a 2-1)=(1)(1)a a a -+。

因式分解专项培优练习1.分解因式：4325286x y z x y -【答案】4222(43)x y yz x -2.分解因式：322618m m m -+-【答案】22(39)m m m --+3.分解因式：23229632x y x y xy ++【答案】23(423)2xy x x y y ++4.分解因式：2222224x y x z y z z --+【答案】()()()()y z y z x z x z -+-+5.分解因式：232232a b abc d ab cd c d -+-【答案】22()()ab cd ab c d +-6.分解因式：22(1)1a b b b b -+-+-【答案】2(1)(1)a b b --+【答案】2()()x y x y -+8.分解因式：(、为大于1的自然数)212146n m n m a b a b ++--m n 【答案】2112(23)n m n a b a b +---9.分解因式：2316()56()m m n n m -+-【答案】28()(75)n m n m --10.分解因式：()()22114m n mn --+【答案】(1)(1)mn m n mn m n +-+++-11.分解因式：()()4(1)x y x y y +-+-【答案】(2)(2)x y x y -++-12.分解因式：；34xy xy -【答案】(2)(2)xy y y -+【答案】()()()x y a b a b --+14.因式分解：22()a b c +-【答案】()()a b c a b c +-++15.分解因式： ；2242x x -+=【答案】22(1)x -16.分解因式： ；244ax ax a -+=【答案】2(2)a x -17.分解因式：；2222(3)2(3)(3)(3)x x x x -+--+-【答案】22(2)(3)x x -+18.分解因式：.22229()6()()a b a b a b ++-+-【答案】24(2)a b +19.分解因式：66a b -【答案】2222()()()()a b a ab b a b a ab b +-+-++20.分解因式：523972x x y -【答案】2229(2)(24)x x y x xy y -++21.分解因式：1xy x y --+【答案】(1)(1)x y --22.分解因式：ax by bx ay--+【答案】()()x y a b +-23.分解因式：2222ac bd ad bc +--【答案】()()()a b c d c d -+-24.分解因式：27321x y xy x-+-【答案】(3)(7)x x y -+25.分解因式：4334a ab ab b --+【答案】222()()a b a ab b -++26.分解因式：33222x y x xy y ++++【答案】22()()x y x xy y x y +-+++27.分解因式：4333x x y xz yz +++【答案】22()()()x y x z x xz z ++-+28.分解因式：3232x x y y +--【答案】22()()x y x xy y x y -++++29.分解因式：31ax x a +++【答案】2(1)(1)x ax ax a +-++。

一、因式分解练习题及答案1、9a^2b的最简式是：A、3a·3abB、3a·3a·bC、3a^2·bD、3a·b^2答案： C2、18x^2y^2的最简式是：A、2xy·9xyB、2x·9xy·yC、2x^2·9y^2D、2x·9x·y^2答案：C3、4a^3b^4的最简式是：A、2a·2ab^4B、2a^2·2ab^3C、2a^3·2b^4D、2a·2a·b^4答案：C4、6ab^2c^3的最简式是：A、2a·3bc^3B、3a·2bc^3C、3ab·2c^3D、2a·3b·c^3答案：C5、12a^2b^3c的最简式是：A、3a·4ab^3·cB、4a·3ab^3·cC、4a^2·3b^3·cD、3a·2b^3·c^2答案：C6、15ab^4c^5的最简式是：A、5a·3b^4·c^5B、5ab·3b^3·c^5C、3a·5bc^5·bD、5a·3b^4·c^5答案：D7、21ax^3y^3的最简式是：A、7a·3x^3·y^3B、7ax·3x^2·y^3C、3a·7xy^3·x^2D、7ay^3·3x^3答案：B8、20a^4b^2c^3的最简式是：A、4a^3·5bc^3B、2a^3·10bc^3C、4a^3·5b^2·c^3D、2a^3·10b^2·c^3答案：C9、35abc^2d^3的最简式是：A、5ab·7cd^3B、5a·7bc^2·d^3C、7ab·5cd^3D、5a·7b·c^2·d^3答案：D10、54x^2y^2z的最简式是：A、27x·2y·z^2B、27xy·2y·zC、6x·9y^2·zD、6x^2·9y·z答案：D二、因式分解练习题及答案11、15a^3b^2c^2的最简式是：A、3a^2·5bc^2B、3a^2·5b^2·c^2C、5a^2·3bc^2D、5a^2·3b^2·c^2答案：B12、8xy^2z^3的最简式是：A、2x·4yz^3B、2xy·4y·z^3C、4x·2y·z^3D、4x·4y^2·z^3答案：C13、18x^2y^3z^4的最简式是：A、2x^2·9yz^4B、2x·9xy^3·z^4C、9x^2·2y^3·z^4D、9xy^3·2z^4答案：C14、10ab^2c^3的最简式是：A、2a·5bc^3B、2ab·5b·c^3C、5a·2bc^3D、5a·2b^2·c^3答案：D15、17xy^3z^3的最简式是：A、17x·y^3·z^3B、17xy^3·z^3C、17x·y^3·3z^2D、17xy^3·3z^3答案：C16、24a^2b^4c^2的最简式是：A、4a·6b^4·c^2B、4a^2·6b^4·cC、4a^2·6b^2·c^2D、6a^2·4b^4·c^2答案：D17、21ab^3c^4的最简式是：A、3a·7bc^4B、3ab·7b^2·c^4C、3a·7b^3·c^4答案：C18、25a^2b^3c^4的最简式是：A、5a·5b^3·c^4B、5a^2·5b^3·c^3C、5a^2·5b^2·c^4D、5a·5b^3·5c^4答案：C19、32x^2y^3z^4的最简式是：A、2x^2·16yz^4B、16xy^3·2z^4C、4x·8y^3·z^4D、4x^2·8y^3·z^4答案：D20、14ax^3y^4z^3的最简式是：A、2a·7x^3·y^4·z^3B、7ax^3·2y^4·z^3C、7ax^2·2xy^4·z^3D、2a·7x^2·y^4·z^3答案：B三、因式分解练习题及答案21、6a^2b^3c^2的最简式是：A、2a·3bc^2B、3a^2·2bc^2C、3a^2·2b^3·cD、2a·3b^3·c^2答案：D22、30x^3y^4z的最简式是：A、10x^3·3y^4·zB、5x·6y^4·zC、10x^2·3xy^4·zD、5x^2·6y^4·z答案：D23、11ab^2c^4d的最简式是：B、11ab·b·c^4·dC、11a·b^2·c^4·dD、11ab·c^3·d答案：C24、8xy^2z^2f的最简式是：A、8xy·z^2·fB、4x·2y·z^2·fC、4x·4y·z^2·fD、2xy·4z^2·f答案：B25、56xy^3z^4f^2的最简式是：A、4x·14y^3·z^4·f^2B、14xy^3·4z^4·f^2C、28xy^2·2z^4·f^2D、4x·14y^2·z^4·f^2答案：B26、39ab^3c^3d^2的最简式是：A、3a·13bc^3·d^2B、13ab·3c^3·d^2C、3a·13b^3·c^3·dD、13a·3bc^3·d^2答案：B27、16a^2b^2c^2d^2的最简式是：A、2a·8bc^2·d^2B、4a^2·4b^2·c^2·d^2C、2a·4b·c^2·d^2D、4a^2·4b·c^2·d^2答案：B28、21xy^2z^4f^3的最简式是：A、7x·3y^2·z^4·f^3B、7xy^2·3z^4·f^3C、7x·3y·z^4·f^3D、7xy·3z^4·f^3答案：B29、24a^3b^2c^2d^2的最简式是：A、2a^3·4b^2·3c^2·d^2B、4a^2·3b^2·c^2·d^2C、2a^2·4b^2·3c^2·d^2D、4a^2·3b·c^2·d^2答案：A30、14ab^3c^4d^2e的最简式是：A、2a·7bc^4·d^2·eB、2ab·7b^2·c^4·d^2·eC、7ab^2·2c^4·d^2·eD、7a·2bc^4·d^2·e答案：B因式分解是数学中最基本，也最重要的概念之一，在学习与处理数学题目时，要熟练掌握因式分解的方法，以达到更好地解决数学问题的目的。