高等数学下册 幂级数

第六节函数的幂级数展开式问题：⒈为何将函数展开成幂级数？⒉将函数展开成幂级数需要何条件？⒊如何将函数展开成幂级数？⒈为何将函数展开成幂级数？数学思想：将复杂问题的简单化，用简单的函数表示复杂的函数。

复杂的函数简单的函数数学的方法在上节我们讨论了幂级数的和函数性质，但在实际问题中，我们需要将一个函数表示成一个幂级数形式。

如果在点的某一个邻域内具有直到n+1阶的导数，则有其n 阶泰勒公式：=其中为Lagrange 型余项：介于与之间。

前面我们已经介绍了一个函数的泰勒公式：⒉将函数展开成幂级数需要何种条件？但是一个函数的泰勒公式为一个近似计算公式，其中就是用代替时所产生的误差。

并且在.的某邻域内，等价于即有由此可见，在一定条件下，一个函数可以表示成幂级数形式。

因此引入函数幂级数的概念。

定义: 若在点有各阶导数…，…就称为在点处的泰勒级数。

二个问题：⑴此泰勒级数是否收敛？⑵若收敛，是否收敛于本身？考虑可以证明：从而在点处的泰勒级数为如果在点处的泰勒级数收敛于就称可展开成泰勒级数，或称为的泰勒展开式。

处的泰勒级数也称为的麦克劳林级数，在点处的泰勒展开式也称为的麦克劳林展开式。

在点x即称为的麦克劳林级数，如果就称上式右端为的麦克劳林展开式。

定理:设0x 的某个邻域内有各阶导数,则在点在点的某个邻域内可展开成泰勒级数的充要条件为:由上讨论即得：此定理给出了一个函数可展开成泰勒级数的充要条件，并且我们还证明了：结论：如果一个函数可展开成泰勒级数，则其泰勒级数一定是唯一的。

⒊如何将函数展开成幂级数？由前面的讨论及泰勒公式作为基础，现在我们将研究如何将函数展开成幂级数。

具体方法可分为：⑴直接法；⑵间接法。

⑴直接法（以麦克劳林级数为主）直接法是指：直接求出函数在处的各阶导数，构造出幂级数，求出收敛半径，并通过讨论在收敛区间（域）内是否有判断出函数是否可以展开成幂级数，若可以即得函数的幂级数展开式。

①求出…，…②求出幂级数的收敛半径R，③讨论当时是否有成立？若成立；则可以展开成幂级数。

重庆科创职业学院授课教案课名：高等数学（下）教研窒：高等数学教研室班级：编写时间： 2008-8课题： 函数展成幂级数教学目的及要求：理解泰勒级数的意义.了解和掌握将函数展开成幂级数的方法。

教学重点：泰勒级数,函数展开成幂级数。

教学难点：函数展开成幂级数的条件和方法。

教学步骤及内容 ：复习：1、 泰勒公式。

新课：一、泰勒级数1.函数展开成幂级数：给定一个函数()f x ，如果在某区间内存在一个收敛于()f x 的幂级数，就说在这个区间内，函数()f x 能展开成幂级数.2.泰勒级数：（泰勒公式、余项）若()f x 在点0x 的某邻域内存在直到()1n +阶的各阶导数()()(1,2,3,)n f x n =L则可以构造下面的幂级数()20000000''()()()'()()()()2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+L L称为函数()f x 在0x 处的泰勒级数． 显然，当0x x =时，()f x 在0x 处的泰勒级数收敛于0()f x ，但除0x x =外，是否一定收敛？如果收敛，又是否收敛于()f x ？定理 设函数()f x 在点0x 的某一邻域0()U x 内具有各阶导数,则()f x 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是()f x 的泰勒公式中的余项()n R x 当n →∞时的极限为零,即0lim ()0,()n n R x x U x →∞=∈3.麦克劳林级数： 在()20000000''()()()'()()()()2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+L L 式中取0x =0得()2''(0)(0)(0)'(0)2!!n n f f f f x x x n +++++L L 旁批栏：称为函数()f x 的麦克劳林级数. 二、函数展开成幂级数 1. 直接方法设()f x 在0x 处存在各阶导数[否则()f x 在0x 处不能展开为幂级数],要把()f x 在0x 处展开为幂级数,可以按照下列步骤进行:第一步求出()f x 的各阶导数()()n f x (1,2,3,n =L ).第二步求()f x 及其各阶导数在0x x =处的值()0()n f x ,(1,2,3,n =L ). 第三步写出幂级数()20000000''()()()'()()()()2!!n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-++-+L L并求出其收敛半径R .第四步考察当x 在区间00(,)x R x R -+内时余项()n R x 的极限(1)10()lim ()lim()(1)!n n n n n f R x x x n ξ++→∞→∞=-+(ξ在0x 与x 之间)是否为零,如果为零,则函数()f x 在0x 处的幂级数展开式为200000''()()()'()()()2!f x f x f x f x x x x x L=+-+-+()000()(),()!n n fx x x R x x R n L +-+-<-< 如果不为零,则只能说明第三步求出的幂级数在其收敛区间上收敛,但它的和并不是函数()f x .例1将函数()xf x e =展开成x 的幂级数. 解()f x 的各阶导数为()()n x fx e =(1,2,3,n =L ),故(0)1f =, ()(0)n f =1 (1,2,3,n =L ), 于是得级数2312!3!!nx x x x n ++++++L L它的收敛半径R =+∞.对于任何有限的数x ,余项的绝对值为11()e (1)!(1)!n xn n x e R x x n n ξ++=<⋅++(ξ在0与x 之间)因xe 有限,而1||(1)!n x n ++为收敛级数10||(1)!n n x n +∞=+∑的一般项,所以当n →∞时, 1||||e 0(1)!n x x n +⋅→+即当n →∞时,有|()|0n R x →,于是得展开式:23e 1()2!3!!nxx x x x x n =++++++-∞<<+∞L L .［课内练习］2．间接方法借助一些已知函数的幂级数展开式，利用幂级数的运算(如四则运算, 旁批栏：逐项求导,逐项积分)以及变量代换等,将所给函数展开成幂级数,由于函数展开的唯一性．这样得到的结果与直接方法所得的结果并无差异.例2将函数cos x 展开成x 的幂级数.解可用直接方法,但如用间接方法则显得简便．35211sin (1)()3!5!(21)!n n x x x x x x n --=-+-+-+-∞<<+∞-L L对展开式逐项求导就得242cos 1(1)()2!4!(2)!n n x x x x x n =-+-+-+-∞<<+∞L L 例3将函数()ln(1)f x x =+展开成x 的幂级数．解 1()[ln(1)]1+f x x x ''=+=，函数11+x是收敛级数0(1)n nn x ∞=-∑(11)x -<<的和函数，即2311(1)1+n n x x x x x=-+-++-+L L (11)x -<<. 将上式逐项积分，得2341ln(1+)(1)2341n n x x x x x x n +=-+-++-++L L (11)x -<≤. 例4将函数()(1)mf x x =+展开成x 的幂级数,其中m 为任意常数. 解()f x 的各阶导数为：12()(1),()(1)(1),m m f x m x f x m m x --'=+''=-+L L L()2()(1)(2)(1)(1),n m f x m m m m n x -=----+L L L L所以，()(0)1,(0),(0)(1),,(0)(1)(2)(1),,n f f m f m m fm m m m n '''===-=---+L L L于是,得级数2(1)(1)(1)12!!nm m m m m n mx x x n ----+++++L L L该级数相邻两项的系数之比的绝对值为11()1n n a m n n a n +-=→→∞+因此，级数的收敛半径1R =,从而对于任意常数m ,级数在开区间(1,1)-内收敛.为了避免直接研究余项,设级数在开区间(1,1)-内收敛于函数()F x :2(1)()12!(1)(1)(11)!n m m F x mx x m m m n x x n -=+++---++-<<L L L来证明()(1)mF x x =+(11)x -<<.11(1)(1)'()[1]1(1)!n m m m n F x m x x n ----+=++++-L L L旁批栏：两边各乘以(1)x +,并把含有n x (1,2,3,n =L )的两项合并起来,根据恒等式(1)(1)(1)()(1)!!(1)(1)(1,2,3,)!m m n m m n n n m m m n n n --+--+---+==L L L L有：2(1)'()(1)(1)(1)[1]2!!()(11)nx F x m m m m m n m mx x x n mF x x +---+=+++++=-<<L L L ()(),(0)(0)1(1)mF x x F x ϕϕ===+令则且 1212(1)'()(1)()()(1)(1)[(1)'()()](1)m m mm mx F x m x F x x x x x F x mF x x ϕ--+-+'=+++-==+所以(),(0)1,()1x c x ϕϕϕ==≡但是从而即()(1)(1,1)mF x x x =+∈-因此在区间(-1,1)内, 有展开式2(1)(1)12!(1)(1)(11)!m nm m x mx x m m m n x x n -+=+++--+++-<<LL L在区间的端点,展开式是否成立要看m 的数值而定.上式叫做直项展开式.特别地,当m 为正整数,级数为x 的m 次多项式,这就是代数学中的二项式定理.例5 将函数21()43f x x x =++展开成(1)x -的幂级数.解因为211()(1)(3)43112(1)2(3)11114(1)8(1)24f x x x x x x x x x ==++++=-++=---++ 而22111(1)(1)[1(1)],142224(1)2nn n x x x x ---=-+-+-+-+L L (13)x -<< 118(1)4x -+01(1)(1)84nn n x ∞=-=-∑(35)x -<<旁批栏：所以，22230111()(1)()(1)(13)4322n n n n f x x x x x ∞++===----<<++∑小结与思考：小结：本次课主要学习了将函数展成幂级数的步骤和方法．要求学生熟记几个重要函数（x e ，sin x ，cos x ，ln(1+x)，11x-）的麦克劳林级数，作业时通常采用间接展开法把函数展开成幂级数．同时要注意展开成幂级数的收敛区间.思考： 1.在点0=x 的邻域内具有任意阶导数的函数都可以展开成x 的幂级数吗？2.将函数展成幂级数后，如何确定其收敛域？3.用间接展法把下列函数展成x 的幂级数⑴xa 答：()()0ln ,!nn n a x x n ∞=-∞<<+∞∑⑵x 2cos 答:()()20141(1),22!n nn n x x n ∞=⎛⎫+--∞<<+∞ ⎪⎝⎭∑ ４．用间接展法将1(1)x x +展成3x -的幂级数答：()()11011(1)3,0634n nn n n x x ∞++=⎡⎤---<<⎢⎥⎣⎦∑作业：旁批栏：。

高等数学同济下册教材目录第一章无穷级数1.1 数项级数1.1.1 数项级数的概念1.1.2 数项级数的性质1.1.3 极限形式的级数1.2 幂级数1.2.1 幂级数的概念1.2.2 幂级数的收敛域1.2.3 幂级数的和函数1.3 函数项级数1.3.1 函数项级数的概念1.3.2 函数项级数的一致收敛性第二章傅里叶级数2.1 傅里叶级数的定义2.1.1 周期函数的傅里叶级数2.1.2 奇偶延拓的傅里叶级数2.2 傅里叶级数的性质2.2.1 傅里叶级数的线性性质2.2.2 傅里叶级数的逐项积分与逐项微分 2.2.3 傅里叶级数的逐项积分和逐项微分 2.3 傅里叶级数的收敛性2.3.1 傅里叶级数一致收敛的性质2.3.2 周期函数的傅里叶级数收敛性2.3.3 局部函数化的傅里叶级数第三章一元函数积分学3.1 定积分3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质3.1.3 线性运算与换元积分法3.2 反常积分3.2.1 第一类反常积分3.2.2 第二类反常积分3.3 微积分基本定理3.3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.3.2 积分求导法3.3.3 函数定积分的应用第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续4.1.1 多元函数的极限4.1.2 多元函数的连续性4.2 多元函数的偏导数与全微分 4.2.1 多元函数的偏导数4.2.2 多元函数的全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数 4.3.1 隐函数的偏导数4.3.2 参数方程的偏导数第五章多元函数的积分学5.1 二重积分5.1.1 二重积分的概念5.1.2 二重积分的性质5.1.3 二重积分的计算方法5.2 三重积分5.2.1 三重积分的概念5.2.2 三重积分的性质5.2.3 三重积分的计算方法5.3 曲线积分与曲面积分5.3.1 第一类曲线积分5.3.2 第二类曲线积分5.3.3 曲面积分第六章多元函数的向量微积分6.1 多元函数的梯度、散度与旋度 6.1.1 多元函数的梯度6.1.2 多元函数的散度6.1.3 多元函数的旋度6.2 多元函数的曲线积分与曲面积分 6.2.1 多元函数的第一类曲线积分 6.2.2 多元函数的第二类曲线积分6.2.3 多元函数的曲面积分第七章序列与函数的多元极限7.1 多元函数的序列极限7.1.1 多元函数序列极限的概念7.1.2 多元函数序列极限的性质7.2 多元函数的函数极限7.2.1 多元函数函数极限的概念7.2.2 多元函数函数极限的性质第八章多元函数的泰勒展开8.1 函数的多元Taylor展开8.1.1 函数的多元Taylor展开定理 8.1.2 函数的多元Taylor展开的应用 8.2 隐函数存在定理与逆函数存在定理 8.2.1 隐函数存在定理8.2.2 逆函数存在定理第九章向量场与散度定理9.1 向量场9.1.1 向量场的定义9.1.2 向量场与流线9.2 散度与散度定理9.2.1 向量场的散度9.2.2 散度定理的概念与性质第十章曲线积分与斯托克斯定理10.1 向量值函数的曲线积分10.1.1 向量值函数的曲线积分的定义 10.1.2 向量值函数的曲线积分的计算 10.2 Stokes定理10.2.1 Stokes定理的概念与性质第十一章重积分与高斯定理11.1 二重积分与三重积分的概念11.1.1 二重积分与三重积分的定义 11.1.2 二重积分与三重积分的性质 11.2 高斯定理11.2.1 高斯定理的概念与性质第十二章序列与级数的广义极限12.1 无穷小量和无穷大量12.1.1 无穷小量的概念与性质12.1.2 无穷大量的概念与性质12.2 级数极限与广义极限12.2.1 级数极限的概念与性质12.2.2 广义极限的概念与性质第十三章多项式逼近与傅里叶级数近似13.1 约束方程组的最小二乘解13.1.1 约束方程组的最小二乘解的概念 13.1.2 约束方程组的最小二乘解的计算 13.2 多项式逼近13.2.1 多项式逼近的概念与性质13.2.2 最佳一致逼近13.3 傅里叶级数的近似13.3.1 傅里叶级数的收敛性13.3.2 傅里叶级数的部分和逼近第十四章偏微分方程初步14.1 偏导数14.1.1 偏导数的定义与性质14.1.2 高阶偏导数14.2 偏微分方程的分类与例子14.2.1 第一阶偏微分方程14.2.2 二阶线性偏微分方程14.2.3 泊松方程与拉普拉斯方程第十五章全微分方程初步15.1 微分方程的定义与解15.1.1 微分方程的概念与性质15.1.2 微分方程解的存在唯一性 15.2 一阶线性微分方程15.2.1 齐次线性微分方程15.2.2 非齐次线性微分方程15.3 可降阶的高阶线性微分方程15.3.1 可降阶的高阶线性微分方程第十六章复变函数初步16.1 复数的性质与运算16.1.1 复数的概念与性质16.1.2 复数的运算与表示16.2 复变函数的导数16.2.1 复变函数的导数的定义 16.2.2 复变函数的导数的性质 16.3 复变函数的积分16.3.1 复变函数的积分的定义 16.3.2 复变函数的积分的性质第十七章应用篇17.1 牛顿法与割线法17.1.1 牛顿迭代法17.1.2 割线法17.2 微分方程的应用17.2.1 放射性衰变方程17.2.3 流体的入口速度与出口速度之间的关系17.3 级数的应用17.3.1 泰勒级数的应用17.3.2 调和级数的收敛性与发散性希望以上内容能满足您对《高等数学同济下册教材目录》的需求，如有任何疑问或其他需求，请随时告知。

e的x次方幂级数展开式
在高等数学中，我们经常会接触到幂级数展开式，其中包括e的x 次方幂级数展开式。

这个展开式在数学中十分重要，不仅在微积分、微分方程和复变函数等学科中得到应用，还在物理学、工程学等领域中有广泛应用。

e是一个非常特殊的数，它是自然常数，约等于2.71828。

而e的x次方幂级数展开式可以写成以下形式：
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ... + x^n/n!
+ ...
其中，n！表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。

显然，随着n的不断增加，幂级数的项数也会无限增加。

这个展开式的意义可以从多个角度来解释。

一方面，它表明了e 的x次方可以通过一系列无限逼近的分数项来表示，而这些分数项的分母则表示了每个数学项的增长速度。

另一方面，这个展开式也可以解释为在x接近0的时候，e的x次方可以用1+x的和来近似表示，这也印证了e^0 = 1这个重要的数学结论。

由于e的x次方幂级数展开式的重要性，它在计算机科学中也经常被使用。

例如，在计算机科学和工程领域中，很多问题都可以转化为求解微积分或微分方程的问题。

而e的x次方幂级数展开式可以在
这些问题中提供宝贵的解题工具，帮助解决机器学习、计算机视觉、自然语言处理等领域中的难题。

总之，e的x次方幂级数展开式不仅是一个重要的数学工具，也被广泛应用于其他学科中。

通过理解这个展开式的定义和意义，我们可以更深入地理解微积分、微分方程和复变函数等数学概念，同时也有助于我们在计算机科学和工程领域中解决问题。