幂级数的部分练习题及答案

幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 12(21)nn x n n ∞=-∑解：12(21)limlim 12(1)(21)n n n na n n a n n +→∞→∞-==++ 1R ⇒=当1x =时，因 21112(21)2(1)n n n n n n =<-+-， 所以112(21)n n n ∞=-∑收敛， 当1x =-时， 1(1)2(21)nn n n ∞=--∑绝对收敛，⇒ 收敛区间为[1,1]-。

2. 11n n n -∞=解：11lim2n n n na a +→∞== 2R ⇒=当2x =时，1nn ∞=当2x =-时，111n n n n -∞∞===-发散， ⇒ 收敛区间为(2,2]-。

3. 1(1)32n n n n n n x x ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑解：1111(1)32limlim 3(1)32n n n n nn n n nn a a ++++→∞→∞-+==-+ 13R ⇒=， 当13x =±时，通项不趋于零，⇒ 收敛区间为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭。

4. 1(23)(1)21nnn x n ∞=---∑解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+ 1R ⇒=故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛。

当1x =时， 11(1)(1)111, 21212-12n n n n n n n n ∞∞==--⎛⎫=> ⎪--⎝⎭∑∑发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛区间为(1,2]。

5.1ln(1)(1)1n n n x n ∞=+-+∑ 解：1ln(2)(1)limlim 1(2)ln(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==++ 1R ⇒=故当11x -<，即02x <<时级数绝对收敛。

幂函数考试题及答案
1. 幂函数的定义是什么？
答案：幂函数是指形如y=x^a的函数，其中a为实数。

2. 幂函数y=x^2的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^2的图像是一个开口向上的抛物线，对称轴为y轴。

3. 幂函数y=x^3的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^3的图像是一个通过原点的曲线，且在第一象限和
第三象限内单调递增。

4. 幂函数y=x^(-1)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-1)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第三
象限，且在每个象限内单调递减。

5. 幂函数y=x^(1/2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(1/2)的图像是抛物线的一部分，仅存在于第一象限，且在第一象限内单调递增。

6. 幂函数y=x^(-2)的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^(-2)的图像是双曲线的一支，位于第一象限和第二
象限，且在每个象限内单调递减。

7. 幂函数y=x^a在a>0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a>0时，图像在第一象限内单调递增，且随着x 的增大，y值也增大。

8. 幂函数y=x^a在a<0时的图像有什么特征？
答案：幂函数y=x^a在a<0时，图像在第一象限内单调递减，且随着x 的增大，y值减小。

9. 幂函数y=x^a在a=0时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=0时，图像是一条平行于x轴的直线，y=1。

10. 幂函数y=x^a在a=1时的图像是什么？
答案：幂函数y=x^a在a=1时，图像是一条经过原点的直线，y=x。

复变函数练习题 第四章 级数系 专业 班 姓名 学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题：1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]（Ａ）11(1)n in n ∞=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2．若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定()122i Abel +=>，由定理易得3．幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln1z + （D ） 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：1．设(1)2nn i α-=+，则lim n n α→∞= 0 。

2．设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3．幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。

高一幂函数的试题及答案一、选择题1. 下列哪个函数是幂函数？- A. \( y = x^2 + 1 \)- B. \( y = \sqrt{x} \)- C. D. \( y = \frac{1}{x} \)2. 幂函数 \( y = x^3 \) 的图像通过哪个点？- A. (0, 1)- B. (1, 1)- C. (-1, 1)- D. (0, 0)3. 如果幂函数 \( y = x^n \) 的图像关于y轴对称，那么 \( n \) 的值是多少？- A. 1- B. 2- C. -1- D. 任意实数二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个_________。

5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而_________。

三、解答题6. 已知幂函数 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，请确定 \( n \) 的值。

7. 讨论幂函数 \( y = x^n \) 图像的变化趋势，并说明 \( n \) 的不同取值对图像的影响。

四、计算题8. 计算幂函数 \( y = x^{-2} \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。

9. 假设幂函数 \( y = x^n \) 的图像经过点 (2, 8)，求 \( n \)的值，并描述其图像的特点。

答案一、选择题1. 正确答案：B. \( y = \sqrt{x} \)（因为 \( \sqrt{x} = x^{1/2} \)）2. 正确答案：C. (-1, 1)3. 正确答案：B. 2二、填空题4. 幂函数 \( y = x^2 \) 的图像是一个抛物线。

5. 当 \( n > 0 \) 时，幂函数 \( y = x^n \) 的图像在第一象限内随着 \( x \) 值的增加而增加。

三、解答题6. 由于 \( y = x^n \) 通过点 (3, 27)，我们有 \( 27 = 3^n \)。

第十四章 幂级数总练习题1、证明：当|x|<21时，22x 3x -11+=∑∞=0n 1-n n 1)x -(2. 证：∵x -11=∑∞=0n nx , |x|<1；2x -11=∑∞=0n n (2x ), |x|<21；∴当|x|<21时，22x 3x -11+=2x )-x )(1-(11=⎪⎭⎫ ⎝⎛x -11-2x -11x 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n x -(2x)x 1=∑∞=0n 1-n n 1)x -(2.2、求下列函数的幂级数展开式：(1)f(x)=(1+x)ln(1+x)；(2)f(x)=sin 3x ；(3)f (x)=⎰x02cost dt. 解：(1)∵ln(1+x)=∑∞=1n n1-n nx (-1), x ∈(-1,1]； ∴f(x)=(1+x)ln(1+x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)+∑∞=+1n 1n 1-n n x (-1)=x+∑∞=2n n n1)-n(n x (-1)； 又当x=-1时，∑∞=2n n n1)-n(n x (-1)=∑∞=2n 1)-n(n 1收敛，∴|x|≤1.(2)f(x)=sin 3x=21sinx-21sinxcos2x=21sinx-21[21(sin3x-sinx)]=41(3sinx-sin3x)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+∑∑∞=∞=++0n 0n 12n n 12n n 1)!(2n )(3x (-1)1)!(2n x (-1)341=∑∞=++0n 12n 2n n 1)!(2n )x 3-(1(-1)43, |x|<+∞. (3)∵cosx=∑∞=0n 2n n (2n)!x (-1)，|x|<+∞，∴cost 2=∑∞=0n 4n n (2n)!t (-1)，|t|<+∞. 从而f(x)=⎰x02cost dt=⎰∑∞=x 00n 4n n (2n)!t (-1)dt =∑⎰∞=0n x 04n n (2n)!t (-1)dt=∑∞=++0n 14n n 1)(4n (2n)!x (-1), |x|<+∞.3、确定下列幂级数的收敛域，并求其和函数：(1)∑∞=1n 1-n 2xn ；(2)2n 0n 1n x 212n ∑∞=++；(3)∑∞=1n 1-n 1)-n(x ；(4)∑∞=+--1n 212n 1-n 1(2n)x )1(. 解：(1)∵R=22∞n 1)(n n lim +→=1，又当x=±1时，发散，∴|x|<1. 记S(x)=∑∞=1n 1-n 2x n , 则⎰x0S(t)dt=∑⎰∞=1n x01-n 2x n dt=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).又⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nx dt=∑∞=1n n x =x -1x . ∴f(x) ='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11. ∴S(x)=∑∞=1n 1-n 2xn ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+, |x|<1. (2)∵R=3)n 2(21)(2n 2lim 1n 2n ∞n ++++→=2，又当x=±2时，∑∞=+0n 1-n 1)2(2n 发散，∴|x|<2. 记S(x)=2n 0n 1n x 212n ∑∞=++=∑∑∞=∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n20n 1-n 22x 212x nx 2x =2x f(x)+21g(x)； 则 ⎰xf(t)dt=∑⎰∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0n x1-n 22t nt dt=∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛0n n22x =2x-112=2x -22, |x|<2. ∴f(x) ='⎪⎭⎫⎝⎛2x -22=22)x -(24x . 又g(x)=∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛1n n22x =2x -22； ∴S(x)=2n 0n 1n x 212n ∑∞=++=22)x -(24x 2x ⋅+2x -2221⋅ =222)x -(2x 2+, |x|<2. (3)∑∞=1n 1-n 1)-n(x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎰∞=1n x 01-n dt 1)-n(x ='⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=1n n 1)-(x ='⎪⎭⎫⎝⎛x -21-x =2x )-(21 , |x-1|<1.(4)∵R=]1[(2n))1(]12)[(2n )1(lim 2n 21-n ∞n ---+-→=1，又当x=±1时，收敛，∴|x|≤1. 记S(x)=∑∞=+--1n 212n 1-n 1(2n)x )1(=∑∞=++-1n 12n 1-n 1)-1)(2n (2n x )1(，则 S ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1n 12n 1-n 1)-1)(2n (2n x )1(=∑∞=-1n 2n 1-n 1-2n x )1(=x ∑∞=-1n 1-2n 1-n 1-2n x )1(=xarctanx.S(x)=⎰x0tarctanx dt=21[(1+x 2)arctanx-x], |x|≤14、应用幂级数性质求下列级数的和：(1)∑∞=+1n 1)!(n n；(2)∑∞=+-0n n 13n )1(.解：(1)记f(x)=∑∞=++1n 1n 1)!(n nx ，则f ’(x)=∑∞=1n n )!1-n (x =x ∑∞=0n nn!x =xe x ，∴f(x)=⎰x0t te dt=(x-1)e x+1. 当x=1时，f(1)=∑∞=+1n 1)!(n n=1. (2)记f(x)=∑∞=++-0n 1n 3n 13n x )1(，则f ’(x)=∑∞=-0n n 3n x )1(=3x 11+， ∴f(x)=⎰+x3t 11dt=⎰+x 0t 1131dt-⎰+-x 021t t t 31dt +⎰+-x 021t t 132 =31ln(1+x)-61ln(x 2-x+1)+31x 2arctan31-+36π.又当x=1时，∑∞=++-0n 1n 3n 13n x )1(收敛，∴ f(1)=∑∞=+-0n n 13n )1(=31ln2+33π.5、设函数f(x)=∑∞=1n 2nnx 定义在[0,1]上. 证明它在(0,1)上满足方程：f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=f(1).证：记F(x)= f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)，x ∈(0,1)；则 F ’(x)=f ’(x)-f ’(1-x)+x 1ln(1-x)-x-11lnx =∑∞=1n 1-n n x -∑∞=-1n 1-n n )x 1(-∑∞=1n n n x x 1-∑∞=-1n n1-n n 1)-(x )1(x -11 =∑∞=1n 1-n n x -∑∞=-1n 1-n n )x 1(-∑∞=1n 1-n n x +∑∞=1n 1-n n x )-(1=0，x ∈(0,1).∴F(x)=c (c 为常数，0<x<1). 又-→1x lim F(x)=f(1)+f(0)+-→1x lim lnx ·ln(1-x)=f(1)，∴f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=f(1)，x ∈(0,1).6、利用函数的幂级数展开式求下列不定式极限：(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 11ln x x lim 2x ；(2)xsin arcsinx -x lim 3x →. 解：(1)由ln(1+x)=∑∞=1n n 1-n n x (-1)得ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 11=∑∞=1n -n1-n n x(-1)=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-332x 13x 12x 1x 1o ,∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 11ln x x lim 2x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛++--∞→3322x x 13x 12x 1x 1x x lim o=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→x 13x 121lim x o =21. (2)由arcsinx=∑∞=+++0n 212n )1n 2(!)!n 2(x !!1)(2n =x+61x 3 +o (x 3)； sin 3x=∑∞=++0n 12n 2n n 1)!(2n )x 3-(1(-1)43=43x+x 3+o (x 3)；(或sinx=∑∞=++0n 12n n 1)!(2n x (-1)=x+o (x))∴xsin arcsinx -x lim 30x →=)x (x x 43)x (x 61-lim 33330x o o ++-→(或=3330x )]x (x [)x (x 61-lim o o +-→)=-61.。

（完整版）幂的运算练习及答案初一数学幂的运算练习姓名________ 学号____一.填空题1、-34πr 3的系数次数 2、多项式2a 2b-35是次项式。

各项的系数分别是3、在下列各式53b a +, 3x ，π1, a 2+b 2, 31-a 2bc, x 2+2x+x 1中单项式有多项式有 4、多项式a n b n+1+3a 3b+1是5次3项式，n= 。

5、减去3ab 得—2ab 的式子是＿＿＿6、化简)()(325x x x x --=7、若31123x x x x n n =+，则n=8、若2,5m n a a ==,则m n a +=________；若1216x +=,则x=________. 9、化简)2()2()2(43y x x y y x ---=10、若4x =5，4y =3,则4x+y =________若2,x a =则3x a = 。

11、–a 12=a 3( )9=(-a)5( )7=-a 4( )8二.选择题1、m x -与m x )(-的关系是（）A ：相等B ：相反C ：m 为奇数时相等，m 为偶数时相反D ：m 为奇数时相反，m 为偶数时相等2、下列计算正确的是（）A 、102×102=2×102B 、102×102=104C 、102+102=104D 、102+102=2×1043、计算19992000(2)(2)-+-等于( ) A.39992- B.-2 C.19992- D.199924、长方形一边长为2a+b 另一边比它小a-b ，这个长方形周长为（）A 、6aB 、10a+2bC 、2a-2bD 、6a+6b5、a=255 b=344 c=533 d=622 a,b,c,d 大小顺序为（）A 、a<b<c<d< p="">B 、a<b<d<c< p="">C 、b<a<c<d< p="">D 、a<d<b<c< p="">6、512×83=2m+1 m=( )A 、15B 、17C 、18D 、21三、计算题：（1）a 2·a 3+a ·a 5（2） (n-m)3·(m-n)2 -(m-n)5(3) 2323()()()()x y x y y x y x -?-?-?-(4) 2344()()2()()x x x x x x -?-+?---?四、.解答1、化简a-{b-2a+[3a-2(b+2a)+5b]}2、一个多项式与7532-+-x x 的和是12+-x 求这个多项式3、已知105,106a b ==,求(1)231010a b +的值;(2)2310a b +的值4.已知：A=12322--+x xy x ，B=12-+-xy x ，且3A+6B 的值与x 无关，求y 的值。

题目部分.(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数∑∞=1n nnx 的收敛域是(A) []1,1- (B) [)1,1- (C) ()1,1- (D) (]1,1-答( )(2分)[3] 设级数()n n n x b 20-∑∞=在2-=x 处收敛.则此级数在4=x 处(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( )(3分)[4]设级数()n n n x a 30+∑∞=在1-=x 处是收敛的.则此级数在1=x 处(A)发散； (B)绝对收敛；(C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( ) (2分)[5]设级数()n n n x a 10-∑∞=的收敛半径是1.则级数在3=x 点(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( ) (2分)[6]如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n nn x a(A)当2<x 时,收敛； (B) 当8<x 时,收敛； (C) 当81>x 时,发散； (D) 当21>x 时,发散； 答( ) (2分)[7]若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R,那么(A)R a a nn n =+∞→1lim,(B) R a a n nn =+∞→1lim,(C)R a n n =∞→lim , (D)nn n a a 1lim +∞→不一定存在 . 答( )(3分)[8] 若幂级数∑∞=0n n n x a 在2=x 处收敛.在3-=x 处发散.则 该级数(A)在3=x 处发散； (B)在2-=x 处收敛； (C)收敛区间为(]2,3- ;(D)当3>x 时发散。

答( )(2分)[9] 如果()x f 在0x 点的某个邻域内任意阶可导.那么幂级数()()()∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-000!n n n x x n x f 的和函数 (A) 必是()x f . (B)不一定是()x f . (C)不是()x f . (D)可能处处不存在。

第11章 幂级数解法――本征值问题习题及答案补充作业：1、在x 0=0的邻域上求解埃尔米特方程：2(1)0y xy y λ'''−+−=，λ取什么数值可使级数退化为多项式？这些多项式乘以适当常数使最高幂项成为(2x )n 形式,记作H n (x )，写出前几个H n (x )。

解: x 0=0为方程的常点，所以可设0()k k k y x a x ∞==∑，代入方程，比较系数得:22(1)(2)(1)k k k a a k k λ++−=++已知，a 0,a 1,可得方程两个线性无关的特解：224020240()m m m y x a x a a x a x ∞===++∑ 21351211350()m m m y x a x a x a x a x ∞++===++∑其中，20(44)(1)(48)(1)2(1)(1)2(21)(22)(23)4321m m m a a m m m m λλλλ−+−−+−+−−=⋅⋅⋅−−⋅−⋅⋅211(42)(1)(46)(1)2(1)(1)(21)2(21)(22)5432m m m a a m m m m λλλλ+−+−−+−+−−=⋅⋅+⋅−⋅−⋅⋅可以看到，当21k λ=+时，2k a +=0，若2k m =，即41m λ=+时，220m a +=，0()y x 退化为多项式，20(4)!2m m m a a m −=！若21k m =+，即43m λ=+时，230m a +=，1()y x 退化为多项式，211(4)!(21)m m m a a m +−=+！当1λ=时，000()(2)1H x a x ===当3λ=时，111()(2)2H x a x x x === 当5λ=时，2220()(12)(2)2H x a x x =−=−当7λ=时，33312()()(2)123H x a x x x x =−=− 当9λ=时，2442404()(14)(2)4823H x a x x x x =−+=−+当11λ=时，35535144()()(2)160120315H x a x x x x x x =−+=−+2、在x 0=0的邻域上求解；拉盖尔方程：(1)0xy x y y λ'''+−+=，λ取什么数值可使级数退化为多项式？这些多项式乘以适当常数使最高幂项成为(-x )n 形式,记作L n (x )，写出前几个L n (x )。

第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。