级数与幂级数及其应用习题

函数的幂级数展开式及其应用通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。

而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。

为此我们有了下面两个问题：问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数；问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？下面我们就来学习这两个问题。

泰勒级数我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。

由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。

得：，，………………………………………………，………………………………………………在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得：把这些所求的系数代入得：该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数.关于泰勒级数的问题上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。

问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。

此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.泰勒定理设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c 在a与x之间，使得：此公式也被称为泰勒公式。

(在此不加以证明）在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成：其中c在0与x之间, 此式子被称为麦克劳林公式。

函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式.即：几种初等函数的麦克劳林的展开式1.指数函数e x2.正弦函数的展开式3.函数(1+x)m的展开。

第十四章 幂级数习题课一 疑难解析与注意事项1．如何求缺项幂级数的收敛半径 答：如果一个幂级数有无限多个项的系数为零这样的幂级数称为缺项幂级数，对这种幂级数，不能直接用公式1lim n n n n aa ρρ+→∞⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．常用方法是： 1）进行变量替换．将原幂级数变为一个无缺项的幂级数．计算出后一幂级数的收敛半径，再根据两变量之间的关系得出原幂级数的收敛半径．例如幂级数2112n n n x ∞=∑，可令2y x =，化为幂级数112n n n y ∞=∑，而幂级数112n n n y ∞=∑的收敛半径为2R =，从而当22x <时，原幂级数收敛，当22x >时，原幂级数发散，由此推出原幂级数的收敛半径为R =2）对缺项幂级数需要按照类似于定理14．2来求．例如求幂级数2202nn n x ∞=∑（缺项幂级数）的收敛半径．对于幂级数2202nnn x ∞=∑，因为22222222lim42n n n n nx xx ++→∞=，当214x<时，即2x <，2202nn n x ∞=∑收敛，则原来级数绝对收敛；当214x >时，即2x >，2202nnn x ∞=∑发散，则原来级数发散，所以收敛半径2=R ． 2．如何求幂级数的收敛域答：1）首先求幂级数的收敛半径R ；2）写收敛区间(),R R -； 3）讨论端点处的收敛性，即讨论nn n a R∞=∑，()nn n a R ∞=-∑的收敛性，如果两个都收敛，则幂级数的收敛域为[],R R -，如果两个都发散，则收敛域为(),R R -，如果其中一个收敛，一个发散，则收敛域为[),R R -（()nn n a R ∞=-∑收敛），(],R R -（nn n a R∞=∑收敛）．3．幂级数在()R R ,-内每一点都绝对收敛，那么在端点处敛散性如何 答：1）幂级数在()R R ,-端点处可能收敛可能发散．例如幂级数n x n ∑的收敛区间是()1,1-，在端点1处，级数1n∑发散，在端点1-处级数()1nn-∑收敛，收敛域是[)1,1-．2）如果是收敛，可能是绝对收敛，可能是条件收敛．n x n ∑在端点1-处是条件收敛，2nx n ∑收敛域是[]1,1-，在端点1与1-处都是绝对收敛的．4．幂级数与逐项求导逐项积分后幂级数具有相同的收敛半径、收敛区间，但收敛域相同吗答：不一定，例如nx ∑收敛域为()1,1-，但逐项积分和幂级数为11n x n ++∑收敛域为[)1,1-．设幂级数0nn n a x ∞=∑，11n n n na x∞-=∑，11n n n x a n +∞=+∑收敛域分别是12,,D D D ，则有12D D D ⊂⊂ 如果一个幂级数经逐项求导或逐项求积后其收敛性发生了变化，则变化的只能是收敛区间两个端点处的收敛性．一般来说，逐项求导后，系数由n a 变为n na ，不会使收敛区间端点处的收敛性变好；而逐项求积后，系数由n a 变为1na n +，不会使收敛区间端点处的收敛性变坏．5．如何求幂级数的和函数答：首先求出幂级数的收敛半径与收敛域，然后可通过以下几种方法求 幂级数的和函数：（1）变量替换法——通过变量替换，化为一较简单的幂级数． （2）拆项法——将幂级数分拆成两个（或几个）简单幂级数的和．（3）逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是不难求得的；然后再通过牛顿莱布尼兹公式，得到原幂级数的和函数．（4）逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数，而此幂级数的和函数是可以求得的；然后再通过求导数，得到原幂级数的和函数．一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有!n ，向xe 的幂级数展开形式转化，系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化．注意：上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的（而在幂级数的收敛域上却不一定可行）．因此，我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算，由此得到在收敛区间上的和函数，而求幂级数在其收敛域上的和，还需要讨论在端点的函数值，利用函数在端点的左（右）连续性来求．还需指出，这里所介绍的方法，仅仅是可供选择的几种途经．对具体问题，常常要综合利用上述方法，或寻求其他方法才能得到问题的解．6．如何利用幂级数求数项级数的和答：选择合适的幂级数，使该数项级数为幂级数在某收敛点0x 处的值．然后求出幂级数的和函数()S x ，则()0S x 便是原数项级数的和．7．如何求函数f 在0x 处的幂级数展开式 答：主要有以下两种方法：（1）直接法．计算函数f 在0x 处的各阶导数()()0n f x ，写出它的泰勒级数，然后证明()0lim =∞→x R n n ．（2）间接法．借助某些基本函数的展开式，通过适当变换，四则运算，逐项求导或者逐项求积等方法，导出所求函数色幂级数展开式．这是常用的方法．注意求展开式时，一定要写展开式成立的范围． 三 典型例题1．求幂级数的收敛域：1）∑n x n n )!2()!(2； 2）∑---)!12()2(12n x n ； 3）∑+-+n n n x n )1()2(3； 4）∑+++n x n)1211(Λ； 5）∑∞=1221n nnx ． 解：1）由于2212[(1)!](2)!(1)1lim lim lim [2(1)]!(!)(22)(21)4n n n n na n n n a n n n n ρ+→∞→∞→∞++==⋅==+++，因此收敛半径14R ρ==，当4±=x 时，这个级数为∑±n n n )4()!2()!(2，通项记为n u ，则有 n u =)!2(4)!(2n n n =)!2(2)!(22n n n =)12(5312642-⋅⋅⋅⋅n nΛΛ12+>n ， 于是∞→n lim n u +∞=，所以当4±=x 时级数∑nx n n )!2()!(2发散，从而可知这个级数的收敛域为)4,4(-．2）令2t x =-，则级数∑---)!12()2(12n x n 转化为21(21)!n t n --∑（缺陷幂级数），下面先求21(21)!n tn --∑的收敛域，因为21221(21)!lim lim 01(21)2(21)!n n n n t t n t n nn +-→∞→∞+==<+-，即对任意(),t ∈-∞+∞，21(21)!n t n --∑都收敛，因此21(21)!n t n --∑的收敛域为(),-∞+∞，因此的收敛域为(),-∞+∞．3）令1t x =+，则级数∑+-+nn n x n)1()2(3转化为3(2)n n n t n +-∑，下面先求3(2)n n n tn +-∑的收敛域，由于n ρ==3n ，所以收敛半径31=R ，因而级数3(2)n n nt n +-∑的收敛区间为11(,)33-， 当13x =-时，级数为∑⎪⎭⎫⎝⎛--+nn n n 31)2(3=∑⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n nn n 3211)1(收敛， 当13x =时，级数为3(2)13n n n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=1123n n n ⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑，123nn ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛（123n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭∑收敛，因为213n =<），∑n 1发散，故3(2)13nn n n +-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑发散，因此3(2)n n nt n +-∑的收敛域为11,33⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，级数∑+-+nn n x n )1()2(3的收敛域为11133x -≤+<的解集，即⎪⎭⎫⎢⎣⎡--31,34． 4）因为nn n 1⋅n n1211+++≤Λn n 1⋅≤，又∞→n lim11=⋅nn ，所以∞→n lim11211=+++nnΛ， 从而收敛半径1=R ，又当1±=x 时，n n n)1)(1211(lim ±+++∞→Λ0≠， 可见级数∑+++nx n)1211(Λ在1±=x 时发散，故这个级数的收敛域为)1,1(-． 5）法1: (将其看成不缺项的幂级数 Λ++⋅++⋅4232210210x x x x )设 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==k n k n a kn 2,2112,0∑∑∞=∞==11221n n nn n nx a x ， 2121lim lim 2==∞→∞→nnn n n n a 2=∴R ．法2: 令t x =2，∑∞=121n nnt 收敛半径为2，故R = 法3: (将其视为以x 为参数的数项级数或视为一般的函数项级数)22lim )()(lim 221x x x u x u n nn n ==∞→+∞→， 当122<x 即 2<x 时幂级数收敛， 当2>x 时发散，故R =． 即收敛半径为R =，收敛区间是(，当x =时，∑∞=1221n nnx 为111212n n n n ∞∞===∑∑发散，因此收敛域为(． 2．应用逐项求导或逐项求积分方法求下列幂级数的和函数（应同时指出它们的收敛域）： （1）求幂级数1nn x n∞=∑的和函数；（2）求幂级数11nn x n ∞=+∑的和函数；（3）求幂级数11n n nx ∞-=∑的和函数；（4）求幂级数1n n nx ∞=∑的和函数；（5）求幂级数ΛΛ+++++++12531253n x x x x n 的和函数； （6）求幂级数∑∞=+1)1(n nn n x 的和函数；（7）求幂级数1!nn x n ∞=∑的和函数．注：应用：求幂级数的和函数．思想：一般是通过逐项求导，逐项积分向等比级数转化．(假如系数含有!n ，向xe 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)．必须的知识点：1）等比级数011nn ∞==-∑W W ，11nn ∞==-∑W W W---------； 2）牛顿莱布尼兹公式()()()xaf t dt f x f a '=-⎰；3）()()()xaf t dt f x '=⎰．注意点：1）求和函数时必须先要求收敛域；2）求()0f 时必须要看级数展开式中第一项；例 设()0n n n f x a x ∞==∑，先看展开式中第一项是0a ，因此()00f a =．常见错误，有些人把0直接代通项，()0000n f ∞===∑．设()1n n n f x a x ∞==∑，先看展开式中第一项是1a x ，因此()00f =．3）涉及到除以x 时，要讨论x 为0不为0． 幂级数求和函数步骤:求其收敛半径R 和收敛域D ．在收敛区间内求和函数．(利用变量替换， 逐项求积， 逐项求导等方法) ，(假如系数含有!n ，向xe 的展开形式转化，假如系数含有()()2!,21!n n -向sin ,cos x x 展开形式转化)；收敛域若不是开区间， 还须讨论在收敛域端点处的和，若左端点收敛，则在左端点右连续，若右端点收敛，则在右端点左连续．写出和函数， 注明定义域D ． 解（1）1）求收敛域；1lim lim lim 1n nn n n n n a n n ρ→∞→∞→∞====（或111lim lim 11n n n na n a nρ+→∞→∞+===）； 收敛半径11R ρ==；收敛区间()1,1-；当1x =-时，()11nn n∞=-∑收敛；当1x =时，11n n∞=∑发散．因此收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；分析：因为等比级数系数为1或()1n-，而1n n x n∞=∑的系数为1n ，要向等比级数转化必须要把n 抵消，此题可以通过逐项求导就可以把n 抵消．令()1nn x f x n∞==∑，在收敛区间()1,1-上逐项求导（注意幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积）． ()1111n n f x x x∞-='==-∑， ()()()()0010ln 11xxf x f t dt f dt x t'=+==---⎰⎰，()1,1x ∈-． 当1x =-时，（若幂级数0n n n a x ∞=∑在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续．）()()()111lim lim ln 1ln 2x x f f x x ++→-→--==--=-⎡⎤⎣⎦． （2）1）求收敛域； 收敛域为[)1,1-． 2)向等比级数转化；分析：要向等比级数转化，必须要把系数中的1n +抵消，但是只有1n x +的求导才能出现1n +，必须要乘一个x ，除以一个x ，111111n n n n x x n x n +∞∞===++∑∑，而要除以x ，就必须讨论x 为0不为0．当0x =时，()00f =当0x ≠时，()111111n n n n x x f x n x n +∞∞====++∑∑，（只需要求出111n n x n +∞=+∑就会求出()f x ，下面求111n n x n +∞=+∑） 令()111n n x g x n +∞==+∑，收敛域[)1,1-在收敛区间()1,1-上逐项求导．()11n n xg x x x∞='==-∑， ()()()()000ln 11xxtg x g t dt g dt x x t'=+==----⎰⎰，()1,1x ∈-． 当1x =-时，()()()111lim lim ln 11ln 2x x g g x x x ++→-→--==---=-⎡⎤⎣⎦． 于是()()()() 0 0ln 11 1,00,1 ln2 1 1x x f x x x x =⎧⎪-⎪=--∈-⎨⎪-=-⎪⎩U（3） 收敛域为()1,1- 令()11n n f x nx ∞-==∑，对()11n n f x nx ∞-==∑在()1,1-上逐项积分；()1111xx n n n n xf t dt ntdt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰， ()()2111x f x x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭-． （4）解1：收敛域为()1,1-()()-1211=1nn n n xf x nx x nx x ∞∞====-∑∑．解2 由于∞→n limnn a =∞→n lim11=⋅nn ，且当1±=x 时，这个幂级数发散，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，设111()nn n n f x nx x nx∞∞-====⋅∑∑，令∑∞=-=11)(n n nxx g在)1,1(-上对()g x 逐项积分得，dt t g x ⎰)(dt ntx n n ⎰∑∞=-=011=xx x n n -=∑∞=11所以=)(x g ()1xx '-=2)1(1x -，从而)(x f 2)1(x x -= （1<x ）．（5）讨论级数2121n n x n +∞=+∑，因为2322123lim21n n n x n x x n ++→∞+=+，当21x <，即1x <，21021n n x n +∞=+∑收敛，2121n n x n +∞=+∑收敛； 当21x >，即1x >，21021n n x n +∞=+∑发散，2121n n x n +∞=+∑发散， 因此收敛半径1R =，收敛区间为()1,1-，且1±=x 时，∑∞=+0121n n 与2100(1)12121n n n n n +∞∞==-=-++∑∑都是发散级数，所以幂级数的收敛域为)1,1(-，设210()21n n x f x n +∞==+∑，在)1,1(-逐项求导可得221()1n n f x x x ∞='==-∑， 所以)(x f dt t x⎰-=0211x x-+=11ln 21 （1<x ）， （6）由1)1(1lim =+∞→nn n n 知幂级数的收敛半径为1=R ． 又1±=x 时， 级数均收敛，故幂级数的收敛域为]1,1[-．令]1,1[,)1()(1-∈+=∑∞=x n n x x S n n则 ]1,1[,)1()(11-∈+=∑∞=+x n n x x xS n n 由于)1,1(-∈∀x ， 有,))1(())((111∑∑∞=∞=+='+='n nn n nx n n x x xS,11)())((111∑∑∞=-∞=-=='=''n n n n x xn x x xS从而)1,1(-∈∀x ， 有),1ln(1d d ))(())((00x ttt t tS x xS xx--=-=''='⎰⎰),1ln()1(d )1ln(d ))(()(0x x x t t t t tS x xS xx--+=--='=⎰⎰于是}.0{\)1,1(),1ln(11)(-∈∀--+=x x xxx S 而由)(x S 的定义， 0)0(=S ．此外， 当1±=x 时， )(x S 在1-=x 处右连续， 在1=x 处左连续． 故,2ln 21)]1ln(11[lim )(lim )1(11-=--+==-++-→-→x xxx S S x x.1)]1ln(11[lim )(lim )1(11=--+==---→→x xxx S S x x综上知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-∈--+==.1,1};0{\)1,1[),1ln(11;0,0)(x x x x x x x S（7）易求收敛域为(),-∞∞，()1011,,!!n nx n n x x e x n n ∞∞===-=-∈-∞+∞∑∑． 3．利用幂级数求数项级数的和． 1）求级数∑∞=122n nnx的和函数，并求数项级数∑∞=19n n n的和； 2) 求级数∑∞=-1212n nn 的和； 方法：先选择适当的幂级数， 使该数项级数是所选幂级数在某收敛点0x 处的值， 然后求出和函数)(x S ， 则)(0x S 便为所求之和．解（1）法1：级数∑∞=122n nnx的收敛域为()11-，，∑∑∞=-∞==1121222n n n nnx x nx，令∑∞=-=1122)(n n nx x s ，逐项积分⎰∑∑⎰∞=∞=--===x n n nxn x x xdx nxdx x s 01122201212)(， 两边求导，得22221)1(2)'1()(x xx x x s -=-=， 所以222112)1(2)(2x x x xs nxn n-==∑∞=，()11x ∈-，，从而649)911(91221)31(22192121=-⋅==∑∑∞=∞=n nn nn n ． 通过如下代数运算，使其求和过程非常简便． 法2 令ΛΛ+++++=nnxx x x x s 26422642)( ，ΛΛ------=-+)1(286422642)(n nxx x x x s x ，222642212)(2)()1(xx xx x x x s x n-=+++++=-ΛΛ ， 所以222)1(2)(x x x s -= ，()11x ∈-，． （2）作幂级数221212-∞=∑-n n n x n ，并设和函数为()S x ， 则⎰∑⎰∑∞=∞=--=-=xn xn n n n nx dx x n dx x s 0101122221212)(2121)2(12212xx x x x n n -⋅==∑∞=)0(≠x ， 两边求导，得2222)2(2)'2()(x x x x x S -+=-= )2(<x ， 因为1x =在收敛区间内，故用1x =带入上式得∑∞==-=13212)1(n nn S ． 4．求函数的幂级数展开式1）将函数()2x e x f =，x a ，2sin x 展开成x 的幂级数；2）将函数()x x f ln =展开成（x －1）的幂级数；3）将函数()2sin f x x =展开成x 的幂级数； 4）21)(2--=x x x f 在1=x 处的泰勒级数展开式； 5）求0x =处的泰勒级数展开式； 6）求()ln(f x x =在0x =处的泰勒级数展开式．注意： 看清要在哪点展开； 确保得到的是幂级数； 注出定义域． 解：1）将2x 视为一个整体，由xe 的展开式可知n n n n x x n x n e 2020!1)(!12∑∑∞=∞=== ，)(+∞<<-∞x ． 类似地n n n nn ax x x n a a x n ea ∑∑∞=∞====00ln !)(ln )ln (!1 ，)1,0(≠>a a )(+∞<<-∞x ．∑∞=++-=01222)()!12()1(sin n n n x n x ∑∞=++-=024)!12()1(n n n x n )(+∞<<-∞x ．2）∑∞==-011n nx x (11<<-x )⇒()011n n x x ∞==-+∑，()11x -<<． ⇒()()1ln 111n nn x x n +∞=+=-+∑，()11x -<≤． 10(1)ln ln[1(1)](1)1nn n x x x n ∞+=-=+-=-+∑ )20111(≤<≤-<-x x ，即．3）222221011cos 21212sin (1(1))(1),()22(2)!2(2)!n n n n n n n n x x x x x n n ∞∞+==-==--=--∞<<+∞∑∑． 4）]1121[31212+--=--x x x x11(1),0221(1)n n x x x x ∞=-==--<<---∑∑∞=<<---=-+=-+=+031,)21()1(21211121)1(2111n nn x x x x x100101(1)()[(1)(1)]321(1)[1](1),0 2.32n nn n n n nn n n f x x x x x ∞∞+==∞+=-∴=--+--=--<<∑∑∑5）[]1lnln(1)ln(1)2x x =+-- 11111(1)(1)()2n n n n n n x x n n ++∞∞==⎡⎤--=--⎢⎥⎣⎦∑∑1111(1)2n n n n n x x n n +∞∞==⎡⎤-=+⎢⎥⎣⎦∑∑211,(1,1)21n n x x n -∞==∈--∑． 6）()ln(f x x =，()f x '==，12221111()(1)(1)222(1)1!n n n x x n ∞-=-----+=+=+∑L211321()()()2221!n n n x n ∞=----=+∑L 21(1)(21)!!1,(1,1)!2n nnn n x x n ∞=--=+∈-∑． 而(0)0f =，于是[]211(1)(21)!!(),1,1!2(21)n xn n n n f x x x x n n ∞+=--==+∈-+∑⎰．。

复变函数练习题 第四章 级数系 专业 班 姓名 学号§1 复数项级数 §2 幂级数23521242211(1)1(1)sin ()3!5!(21)!(1)cos 1()2!4!2!1()2!!n n n n nn zz z z z zz z z z z z n z z z z z n z z e z z n +=+++++<--=-+-++<+∞+-=-+-++<+∞=+++++<+∞L L L L L L L L 一些重要的级数一、选择题：1．下列级数中绝对收敛的是 [ ]（Ａ）11(1)n in n ∞=+∑ （Ｂ）1(1)[]2n n n i n ∞=-+∑ (Ｃ) 2ln n n i n ∞=∑ （Ｄ）1(1)2n n n n i ∞=-∑ 2．若幂级数nn n c z∞=∑在12z i =+处收敛，那么该级数在2z =处的敛散性为 [ ]（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）不能确定()122i Abel +=>，由定理易得3．幂级数10(1)1n n n z n ∞+=-+∑在||1z <内的和函数为 [ ] （Ａ） ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ） 1ln1z + （D ） 1ln 1z- '100'110000(1)1(1)11(1)(1)1=ln(1)111n n n nn n n n z z n n n n z z n z z z dz dz z n n z∞∞+==∞∞++==⎧⎫⎛⎫-=-=⎪⎪⎪++⎪⎪⎝⎭⎨⎬⎛⎫⎪⎪--==+ ⎪⎪⎪+++⎝⎭⎩⎭∑∑∑∑⎰⎰ 二、填空题：1．设(1)2nn i α-=+，则lim n n α→∞= 0 。

2．设幂级数nn n c z ∞=∑的收敛半径为R ，那么幂级数0(21)n n n n c z ∞=-∑的收敛半径为2R 3．幂级数!nn n n z n ∞=∑的收敛半径是 e 。

幂级数的应用将函数展开成幂级数，从形式上看，好像把问题复杂化了，但是由于幂级数的前n 项部分和是x 的多项式，而多项式是最简单的函数之一，因此用幂级数代替某个函数，实际上为函数的多项式逼近创造了条件。

正是由于这个原因，函数的幂级数展开式有着应泛的应用。

一、 函数值的近似计算利用函数的幂级数展开式可以近似计算函数值，即在展开式的收敛敬意上，函数值可以近似地利用这个级数按精确度要求计算出来．例１ 计算常数e ，精确到小数第四位．解 利用∑∞==0!n nxn x e ，令1=x ，有++++==∑∞=!31!2111!10n n e ．为达到这个精确度，可观察余项)!1)(1(1111!1111!1)2)(1(1111!1)!1(1!12--=-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++=+++=n n nn n n n n n n n n n r n ． 若取8=n ，则48101!771<⋅=r ，故计算出 7183.2!81!31!2111≈+++++= e ．例2 计算5245精确到小数第四位． 解 因为51555555532133213232243245⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+=． 令532=x ，51=α，得出 ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-⨯+= 10255345!24325113245由于这是一个交错级数，故其误差可利用1||+<n n u r 确定．取2=n ，这时，41023210213523||⨯<⨯⨯<r ，故得出0049.332511324555≈⎪⎭⎫⎝⎛⨯+≈．例3 计算2ln 的值，精确到小数第四位． 解 如果利用)1ln(x +的展开式：+-+-=+=4131211)11ln(2ln ， 理论上可计算2ln ，但这是一种“内耗”很大的交错级数，其误差不超过第1+n 项的值11+n ．欲使410111||=+<n r n ，n 至少要取9999项，这太麻烦了，需要去掉带负号的项，故寻找收敛速度较快的级数来代替．用 +-+-=+432)1l n (432x x x x x减去 -----=-432)1l n(432x x x x x 其差是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=-+ 53211ln 53x x x x x ． 令211=+-x x ，解出31=x 代入上式，得 ⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-++⨯+⨯+=- 125331121315131313122ln n n ，其误差12212421232123)12(4131113)12(2313113)12(231321311212)(-+++-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=n n n n n n n n n n n x r ．取4=n ，这时4741017873213941||<=⨯⨯<r故得出6931.03171315131313122ln 753≈⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯+⨯+=．二、定积分的近似计算利用幂级数不仅可以计算一些函数的近似值，而且还可以计算一些定积分的近似值，具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，那么把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可计算出定积分的近似值．例4 计算dx x x⎰1sin ，精确到小数第四位． 解 由于1sin lim0=→x x x ，因此所给积分不是广义积分，如果定义xxsin 在0=x 处的值为1，那么它在积分区间]1,0[上连续．由于xxsin 的原函数不能用初等函数表示，因此需要通过幂级数展开式来计算．利用正弦函数的展开式 -+-=!53sin 53x x x x ！，两边同除以x ，得到-+-=!531sin 42x x x x ！ 再逐项积分+⋅-⋅+⋅-=-+-=⎰⎰⎰⎰!771!551!3311!5!3sin 141031010dx x dx x dx dx x x 这是收敛的交错级数，其误差1||+<n n u r ，取3=n ，有43101!771<⋅<r ，故 9461.0!551!3311sin 1≈⋅+⋅-≈⎰dx x x ． 例5 计算dx ex ⎰-12221π，精确到小数第三位．解 易见22x e -的原函数不能用初等函数表示，因此考虑用幂级数展开式计算．利用展开式∑∞==0!n n xn x e ，得∑∞=--=0222!)1(2n nn n x n x e 故有+⋅⋅-⋅⋅+⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎰⎰-72!3152!2132112!32!2213210362421022dx x x x dx e x 取前四项的和作为近似值，误差为3410192!4121||<⋅⋅≤πn r 故得出3412.033614016112121122≈⎪⎭⎫⎝⎛-+-≈⎰-ππdx ex ．以上例题说明，幂级数在函数值及定积分的近似计算中有着广泛应用．对于用幂级数近似计算函数值，其思路和以前学过的用微分近似公式或泰勒公式近似求值的思路相似．对于用幂级数近似计算定积分，特别是在某些被积函数的原函数不能用初等函数表示时，便显示出幂级数方法的优越性．利用幂级数进行近似计算的重要一步是根据精确度要求确定展开式的项数n ．这可通过估计余项n r 的误差得到：一种方法是将余项式子的各项放大，使之成为几何级数，从而利用几何级数的和来确定n 值（如例1，例3），另一种方法是利用收敛的交错级数的特点：1||+<n n u r ，由此来确定n 值（如例2，例4，例5）．三、欧拉公式最后应用复变量的指数函数的幂级数展开式，说明数学中重要的欧拉公式的形成与推导过程．在复变量的理论中，我们定义指数函数z e （z 为复变量）为++++++=!!3!2!1132n z z z z e nz（+∞<||z ，即z 属于整个复平面）当xi z =时，上式成为++++++=!)(!3)(!2)(!1132n xi xi xi xi e nxi注意到 ,,1,,15432i i i i i i ==-=-=，从而xi x x x x x i x x x e xisin cos !7!5!3!6!4!21753642+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-= 即有 x i x e xi sin cos +=． (1) 把上式x 换成x -，又有x i x e xi sin cos -=-． (2)将(1)(2)两式两边相加且同除以2，得2cos xixi e e x -+=(3) 将(1)(2)两式两边相减且同除以i 2，得ie e x xixi 2sin --=(4) 上述的(1)—(4)都称为欧拉公式，它们建立了实三角函数和复指函数之间的联系．在(1)中，取π=x ，可得01=+πi e (5)克莱茵（Klein,1849-1925,德国）认为，这是数学中最漂亮的公式之一．有人把(5)列为10个最优美的数学定理之首，它把数学中最重要的5个数0，１，i ，π，e用一个等式联系起来，显示了数学中的统一美，(5)显示了数学各领域之间很强的联系且通过等式联结起来，它可以从几种得到解释，如：0：正负数的分界；1：任一自然数与它的后继数之差；i ：012=+x 的根，属于代数；π：圆周长与直径之比，属于几何；e ：nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11 )(∞→n 时的极限，属于分析．等等．。

第十四章 幂级数（2021.1）一、单选题1、21∞=∑nn x n 的收敛域为( ). AA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]2、级数21∞=∑nn x n的收敛域为( ). DA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1]3、级数1∞=∑nn x n的收敛域为( ). CA 、 (-1,1)B 、(-1,1]C 、 [-1,1)D 、[-1,1] 4、∑∞=-1)1(1n n x n的收敛域为（ ）. C A 、 (-1，1) B 、 (0，2] C 、 [0，2） D 、 [-1，1）5、nx n)1(+∑的收敛域为( ). CA. )1,1[-B. ]0,2[-C. )0,2[-D. )2,0[6、若nn n a x∞=∑在00≠x 收敛，则在区间00(,)-x x 内nn n a x∞=∑ （ ）． AA ．绝对收敛B ．条件收敛C ．发散D ．不能确定 7、若()01nn n a x ∞=-∑在3x =处收敛，在1x =-处发散，则该级数的收敛半径R （ ）． A A ．等于2 B ．小于2 C ．大于2 D ．不能确定 8、已知1∞=∑nn n a x在2x =处收敛, 则在32x =-处此级数（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 9、若nn x a )1(+∑在3-=x 处收敛，则该级数在0=x 处（ ）. A A 、绝对收敛 B 、条件收敛 C 、发散 D 、不能确定 10、若nn x a )1(-∑在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）. BA. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 不能确定 11、若幂级数nn nx a)1(0-∑∞=在1-=x 处条件收敛，则级数∑∞=0n n a （ ）． BA ．条件收敛B ．绝对收敛C ．发散D ． 不能确定12、级数211(1)(1)nn n n x ∞=+-∑的收敛半径R =（ ）. CA 、1B 、eC 、1e -D 、2e -13、幂级数212-∑n n x 的收敛半径是 ( ). BA.21B. 2C. 21D. 214、22∑n nx的收敛半径是 ( ). AA.21B. 2C. 21D. 215、若n nn a x∞=∑收敛半径为1R ，nn n b x∞=∑ 的收敛半径为2R （1R <2R ）则()0nn nn ab x ∞=+∑的收敛半径为（ ）. DA ．1R ＋2RB ．12R R +C ．2RD ．1R16、级数)32(n nnnx x +∑的收敛半径是 ( ) AA.21 B. 31C. 2D. 3 17、)35(n nn n x x +∑的收敛半径是( ) DA.51 B. 31C. 5D. 3 18、幂级数n n x n)1211(1+++∑∞= 的收敛域是（ ）． A A ．()1,1- B ．(]1,1- C ．[)1,1- D ．[]1,1-19、幂级数nn n x ∑∞=--21)2(，（2<x ）的和函数为 ( ). AA. x x 2122+-B. x x 2122+C. x x 21+D. xx21-20、幂级数∑∞=--112)1(n nnn x ，（2<x ）的和函数为（ ）. C A.x -22 B. x +22 C. x x +2 D. xx -2 21、幂级数∑∞=02n n nx ，（2<x ）的和函数为 （ ）. AA.x-22B. x 211-C. x +22D. x 211+22、幂级数1(1)2nnn n x ∞=-∑，（2<x ）的和函数为（ ）. CA ．2x x + B. x -22 C. 2x x-+ D. x x -223、幂级数∑∞=-02)1(n n nnx ，（2<x ）的和函数为（ ）. CA.x 211+ B. x 211- C. x +22 D. x -2224、下述展开式正确的是( ) . CA 、212nx x x e x n-=+++++x R ∈B 、21(1)2n xn x x e x n-=-+-+-+ x R ∈C 、21(1)2!!nx nx x e x n -=-+-+-+x R ∈D 、212!!n xx x ex n -=+++++ x R ∈25、函数2()x f x e -=展开成x 的幂级数为( ). DA 、2312!3!x x x ++++ x R ∈B 、2312!3!x x x -+-+ x R ∈C 、46212!3!x x x ++++ x R ∈D 、46212!3!x x x -+-+ x R ∈26、函数()2x f x xe =展成x 的幂级数是（ ）． AA ．210!n n x n +∞=∑B ．10!n n x n +∞=∑C ．20!nn x n ∞=∑ D ．()21021!n n x n +∞=+∑ 27、函数()()ln 1f x x =+展成x 的幂级数是（ ）． BA ．()()1011!+∞=-+∑n nn x n ； (1,1)∈-x B ．()1011n n n xn +∞=-+∑； (1,1)∈-xC ．()11∞=-∑nn xn ； (1,1)∈-x D ．1∞=∑n n x n ． (1,1)∈-x28、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为（ ）． B A ．03(1)()(06)3nnn x x ∞=--<<∑ B ．013(1)()(06)33n nn x x ∞=--<<∑C ．(1)(3)(24)nnn x x ∞=--<<∑ D ．01(1)(3) (24)3n n n x x ∞=--<<∑29、设()()20(0,1)2!n nn a x f x a n ∞==≠-∑，则()f x ''＝（ ）. AA ．()af xB ．()2a f x C ．()1f x aD ．()f x30、幂级数1nn x n∞=∑在1x <的和函数()S x ＝（ ）. BA ．()ln 1x -B ．ln(1)x --C ．11x -D ．11x -二 填空题1、设幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛区间()3,3-，则幂级数()∑∞=--011n n n x na 的收敛区间为_________.答案：()4,2-. 2、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(+∑的收敛区间为_________.答案：R R +---2,2(）3、 若∑nnxa 的收敛半径为R ，则nnx a )2(-∑的收敛区间为_________.答案：)2,2(R R +-4、 幂级数2nx n∑的收敛域是_________.答案： ]1,1[- 5、 幂级数n nx n ∑的收敛域是_________.答案： )1,1(-6、 幂级数nnx ∑的收敛域是_________.答案：)1,1(-7、 幂级数nx n∑的收敛域是 _________.答案：)1,1[-8、 幂级数nx n)1(+∑的收敛域为_________.答案：[2,0)-9、 幂级数()∑∞=-151n nn x 的收敛域是_________.答案： (4,6)-10、 幂级数()n n x n 2112-∑∞=的收敛域是_________. 答案：[1,3]11、级数()∑∞=--111n n n x n的收敛域是_________.答案：(1,1]-12、幂级数11nn n x ∞=-的收敛域是_________.答案：(3,3]-13、幂级数∑∞=++02)1()1(n nnn x 收敛域是_________. 答案：[3,1)-14、幂级数2021nn n x ∞=+∑的收敛域是_________.答案：(15、幂级数的()nn nx n ∑∞=-+113收敛半径为=R _________.答案：1.16、幂级数∑∞=-+0)3(2n nn nnx 的收敛半径为=R _________. 答案：3=R .17、幂级数023n n nn x n ∞=+∑的收敛域是_________. 答案：11[,)33-18、幂级数21(2)!(!)nn n x n ∞=∑的收敛半径为=R _________. 答案：14=R 19、幂级数∑∞=+152n n nx 的收敛半径是=R _________.答案：2=R20、若幂级数()1∞=-∑nnn a x 的收敛半径0R =，则此幂级数只在_________收敛．答案：1=x21、幂级数∑∞=0n nnx a与11∞-=∑n n n na x 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ___ 2r ．答案：等于22、幂级数∑∞=0n nn x a 与101+∞=+∑n n n a x n 的收敛半径分别为1r 与2r ，则1r ____ 2r ．答案：等于 23、幂级数()01∞=-∑nn n a x 在3=x 处条件收敛，则该级数的收敛半径R ＝_________.答案：2=R 24、幂级数∑∞=-02)1(n n nx a在处2=x 条件收敛，则其收敛域为_________.答案：[0,2]25、若1lim 3nn n a a →∞+=，则幂级数210n n n a x ∞+=∑的收敛区间是_________.答案：(26、若1lim 3+→∞=n n na a ，则幂级数20∞=∑n n n a x 的收敛区间是_________.答案：( 27、函数x2的麦克劳林展开式为=x2__________________________________. 答案：()∑∞=0!2ln n n nx n ， (,)∈-∞+∞x28、函数)(21x xe e -+的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案： +++++)!2(!4!21242n x x x n， (,)∈-∞+∞x 29、函数)(21x xe e --的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=--112)!12(k k k x ， (,)∈-∞+∞x30、函数2x e的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：∑+∞=02!n nn x . ， (,)∈-∞+∞x31、函数xe2的幂级数展开式为__________________________________.答案：nn n xx n e∑+∞==02!2 ， (,)∈-∞+∞x32、函数x 2sin 的幂级数展开式为__________________________________.答案：12012)!12(2)1(2sin ++∞=+∑+-=n n n nx n x ， (,)∈-∞+∞x33、函数)21ln(x +的幂级数展开式__________________________________.答案：n n n n x n x 2)1()21ln(11∑+∞=--=+ ， 12<x 34、函数)2ln(x +在)2,2-（内的麦克劳林展开式为________________________________.答案： nnn n x 2)1(2ln 1⋅-+∑-， 2<x 35、函数21xx-在)1,1(-内的麦克劳林展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+012n n x， 1<x36、函数xx +13的麦克劳林展开式为__________________________________.答案：+-++-=++-21433)1(1n n x x x xx ， 1<x 37、函数()21-=x x f 在0=x 的幂级数展开式为__________________________________. 答案：∑∞=+-012n n nx ， 2<x38、将xx f 1)(=展开成)3(-x 的幂级数为__________________________________. 答案：．013(1)(),0633∞=--<<∑n nn x x39、把()1f x a bx=+展成x 的幂级数（其中a b ⋅≠0）时，其收敛半径R ＝___________. 答案：ab解析：()011111∞=⎛⎫==⋅=- ⎪+⎝⎭+∑nn bx f x bx a bx a a a a当1,-<bx a 即<a x b 时收敛，当1,->bx a 即>a x b时发散 从而收敛半径为ab40、幂级数nn x n )1211(1+++∑∞= 的收敛域是___________.答案：(1,1)-三 计算题1、函数21()32f x x x =-+ 展开成x 的幂级数,并确定收敛域。

幂级数展开式例题摘要：1.幂级数展开式的概念2.幂级数展开式的应用3.幂级数展开式的例题解析正文：一、幂级数展开式的概念幂级数展开式是指将一个函数按照幂次从高到低展开，用幂级数来表示该函数。

幂级数展开式在数学分析、物理学等领域具有广泛的应用，是研究函数性质的重要工具。

二、幂级数展开式的应用幂级数展开式在许多领域都有应用，例如在泰勒公式中，通过将函数展开为幂级数，可以求得函数在某一点的近似值。

另外，在概率论中，幂级数展开式也用于求解随机变量的概率密度函数。

三、幂级数展开式的例题解析下面我们通过一个具体的例题，来解析幂级数展开式的应用。

例题：已知函数f(x) = e^x - x^3 + x，求f(x) 在x=1 处的泰勒级数展开式。

解：首先我们需要求出函数f(x) 的各阶导数，即f"(x)、f""(x)、f"""(x) 等。

f"(x) = e^x - 3x^2 + 1f""(x) = e^x - 6x + 2f"""(x) = e^x - 6f""""(x) = e^x - 6然后我们可以根据泰勒公式，将f(x) 展开为幂级数：f(x) = f(a) + f"(a)(x-a) + f""(a)(x-a)^2/2! + f"""(a)(x-a)^3/3! +...+ f^n(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中，a 为展开点，n! 表示n 的阶乘，R_n(x) 为余项。