9-1走向高考数学章节

第9章 第1节 一、选择题 1．(2011·聊城模拟)关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( ) A．所有的直线都有倾斜角和斜率 B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率 C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在 D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角 [答案] B [解析] 所有的直线都一定有倾斜角，而倾斜角为90°的直线不存在斜率． 2．已知直线的方程分别为l1：x＋ay＋b＝0，l2：x＋cy＋d＝0，它们在坐标系中的关系如图所示，则( )

A．b>0，d<0，a0，d<0，a>c C．b<0，d>0，a>c D．b<0，d>0，a[答案] C

[解析] 由图像可知－1a>－1c>0，－ba<0，－dc>0，从而c0. 3．若直线2ax＋by＋4＝0(a、b∈R)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是( ) A．(－∞，1] B．(0,1] C．(0,1) D．(－∞，1) [答案] A [解析] 由题意知直线过圆心(－1，－2)， ∴－2a－2b＋4＝0，∴a＋b＝2，

∴ab≤a2＋b22＝a＋b2－2ab2，∴ab≤1. 4．已知直线l1∶y＝x，l2∶ax－y＝0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在(0，π12)内变动时，a的取值范围是( ) A．(33，1)∪(1，3) B．(33，3) C．(33，1) D．(1，3) [答案] A [解析] 因为k1＝1，k2＝a，由数形结合知，直线l2的倾斜角α∈(π6，π4)∪(π4，π3)，

所以直线l2的斜率a∈(33，1)∪(1，3)． 5．过点P(－1,2)且方向向量为a＝(－1,2)的直线方程为( ) A．2x＋y＝0 B．x－2y＋5＝0 C．x－2y＝0 D．x＋2y－5＝0 [答案] A [解析] 因为方向向量a＝(－1,2)， 所以直线的斜率k＝－2，又过点P(－1,2)， 所以由点斜式求得直线方程为2x＋y＝0. 6．(2011·山东济宁)已知点A(1,3)，B(－2，－1)，若直线l∶y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围( )

A．k≥12 B．k≤－2

C．k≥12或k≤－2 D．－2≤k≤12 [答案] D [解析] 如图，l过P(2,1)，kPA≤k≤kPB，

kPA＝3－11－2＝－2，而kPB＝12， ∴－2≤k≤12. 7．过抛物线y2＝43x的焦点，且与圆x2＋y2－2y＝0相切的直线方程是( ) A.3x＋y－3＝0，y＝0 B.3x－y－3＝0，y＝0 C.3x＋y＋3＝0，3x－y＋3＝0 D.3x＋3y－3＝0，3x－3y－3＝0 [答案] A [解析] 抛物线焦点F(3，0)，圆的方程x2＋(y－1)2＝1，由图知过焦点F且与圆相切的直线有两条，其中一条是y＝0故排除C、D.另一条斜率小于0，故选A.

8．已知f(x)＝log2(x＋1)，且a>b>c>0，则faa，fbb，fcc的大小关系是( ) A.faa>fbb>fcc B.fcc>fbb>faa C.fbb>faa>fcc D.faa>fcc>fbb [答案] B [解析] 作函数f(x)＝log2(x＋1)的图像，易知fxx表示直线的斜率．

∴fcc>fbb>faa，故选B. 二、填空题 9．一条直线l过点P(1,4)，分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，则△AOB的面积最小时直线l的方程为________． [答案] 4x＋y－8＝0

[解析] 设l：xa＋yb＝1(a，b>0)． 因为点P(1,4)在l上， 所以1a＋4b＝1.由1＝1a＋4b≥24ab⇒ab≥16， 所以S△AOB＝12ab≥8. 当1a＝4b＝12， 即a＝2，b＝8时取等号． 故直线l的方程为4x＋y－8＝0. 10．(2009·江西理)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题： A．M中所有直线均经过一个定点 B．存在定点P不在M中的任一条直线上 C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上 D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)． [答案] BC [解析] 考查直线系方程及直线恒过定点问题．

因为xcosθ＋(y－2)sinθ＝1，所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d＝1cos2θ＋sin2θ＝1. 即M为圆C：x2＋(y－2)2＝1的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以A错误． 又因为点(0,2)不在任何直线上，所以B正确 对任意n≥3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故C正确 M中的直线能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误， 故命题中正确的序号是B，C. 11．已知a∈R，直线(1－a)x＋(a＋1)y－4(a＋1)＝0过定点P，点Q在曲线x2－xy＋1＝0上，则PQ连线斜率的取值范围是________． [答案] [－3，＋∞)

[解析] P(0,4)，设Q(x，y)，则y＝x2＋1x (x≠0)，k＝y－4x＝1x2－41x＋1＝

1

x－22

－3≥－3. 三、解答题 12．过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1∶2x－y－2＝0与l2∶x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程． [分析] 设点A(x，y)在l1上，则点A关于点P的对称点B(6－x，－y)在l2上，代入l2

的方程，联立求得交点，从而求得直线方程．

[解析] 方法一 设点A(x，y)在l1上，

由题意知 x＋xB2＝3y＋yB2＝0， ∴点B(6－x，－y)， 解方程组 2x－y－2＝06－x＋－y＋3＝0 得 x＝113y＝163，k＝163－0113－3＝8. ∴所求的直线方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0. 方法二 设所求的直线方程y＝k(x－3)，则

 y＝kx－32x－y－2＝0，解得 xA＝3k－2k－2yA＝4kk－2

由 y＝kx－3x＋y＋3＝0，解得 xB＝3k－3k＋1yB＝－6kk＋1 ∵P(3,0)是线段AB的中点， ∴yA＋yB＝0，即4kk－2＋－6kk＋1＝0， ∴k2－8k＝0，解得k＝0或k＝8. 又∵当k＝0时，xA＝1，xB＝－3，

此时xA＋xB2＝1－32≠3，∴k＝0舍去， ∴所求的直线方程为y＝8(x－3)， 即8x－y－24＝0. 方法三 设点A(x1，y1)在l1上，点B(x2，y2)在l2上，则

 2x1－y1－2＝0x2＋y2＋3＝0x1＋x2＝6y1＋y2＝0，解得 x1＝113y1＝163或 x2＝

7

3

y2＝－163

∴k＝kAB＝－163－16373－113＝8， ∴所求的直线方程为8x－y－24＝0. 13．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，经过原点O以u＝i＋mj为方向向量的直线与经过定点A(0,1)，以v＝mi－j为方向向量的直线相交于点P，其中m∈R，当点P变动时，试问是否存在一个定点Q，使得|PQ|为定值？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由． [解析] u＝i＋mj＝(1,0)＋m(0,1)＝(1，m)， v＝mi－j＝m(1,0)－(0,1)＝(m，－1)， 设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，AP→＝(x，y－1)． ∵OP→∥u，AP→∥v，∴mx－y＝0，m(y－1)＋x＝0， 消去m得x2＋y－122＝14，即x2＋y－122＝12，故存在一点Q0，12，使得|PQ|为定值12. 14．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过F作两条相互垂直的弦AB、CD，设弦AB、CD的中点分别为M、N.求证：直线MN必过一定点． [解析] 由题设知F(1,0)，直线AB的斜率存在且不为零，设lAB∶y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x， 得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，

得xM＝xA＋xB2＝k2＋2k2，又yM＝k(xM－1)＝2k，故M(k2＋2k2，2k)． 因为CD⊥AB，所以kCD＝－1k，同理可得N(2k2＋1，－2k)． 所以直线MN的方程为(2k2＋1－k2＋2k2)(y＋2k)＝(－2k－2k)(x－2k2－1)，

整理得yk2＋(x－3)k－y＝0，因为该方程对任意的k(k≠0)恒成立，故 y＝0x－3＝0，－y＝0，解得x＝3，y＝0. 故直线MN恒过定点(3,0)． [点评] 有些题目在解答时要引入参数，参数的个数可以是一个，也可以是多个，基本的原则是在便于解答问题的前提下，参数的个数越少越好． 15．有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始10分钟内只进水，不出水，在随后的30分钟内既进水又出水，得到时间x(分)与水量y(升)之间的关系如图所示，若40分钟后只放水不进水，求y与x的函数关系．

[分析] 本题是一个实际应用问题，综合性较强，通过分析题意可知是一个分段函数问题，每一段都是一次函数，即直线的方程．因此，由直线的点斜式方程即可求出． [解析] 当0≤x<10时，直线段过点O(0,0)，A(10，

20)，所以kOA＝2010＝2，可得点斜式方程为y＝2x.