MATLAB实现抽样定理探讨及仿真讲解

应用MATLAB 实现抽样定理探讨及仿真课程设计的目的利用MATLAB 仿模信号抽样与恢复系统的实际实现，探讨过抽样和欠抽样的信号以及抽样与恢 复系统的性能。

二. 课程设计的原理模拟信号经过(A/D)变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延 拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大 于信号中最高频率成分的两倍， 这称之为采样定理。

时域采样定理从采样信号 J 「恢复原信号■ ■:必需满足两个条件：才能适用采样定理。

)(2)取样频率不能过低，必须 q > 2 % (或J ； > 2人)。

(对取样频率的要求，即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。

)如果采样频率二 Jl ' ' J -大于或等于二，即「一 Xi ( I —为连续信号门的有限频谱)，则采样离散信号；能无失真地恢复到原来的连续信号-'Il 。

一个频谱在区间(-I],】])以外为零的频带有限信号,可唯一地由其在均匀间隔 「-(]< ——)上的样点值-./J.：所确定。

根据时域与频域的对称性，可以由时f(t)连续信号取样脉冲信号S(t)二 TS (t)(1)--:必须是带限信号，其频谱函数在也〉叫各处为零；(对信号的要求，即只有带限信号2.1信号采样如图1所示，给出了信号采样原理图---- 北)T 相乘 ------- A昭)信号采样原理图由图1可见，f s (t) = f (t) ®s (t),其中，冲激采样信号 6s (t)的表达式为:□0T(t)八沁- nT s )n =^0傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得O01 O0F(j s ' 、( ’ 一 n 上)' F[j (一 n 「s )] n - ； Ts n -I若设f(t)是带限信号，带宽为 監，f(t)经过采样后的频谱 F s (j«)就是将F(jco)在频率轴(c)b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱(不混叠)c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱其傅立叶变换为-召('- n 「s )，其中■ -^― n = T s设 F(j )，F s (j )分别为 f (t)，f s (t)的F s (j )1 2~ fs'tU等抽样频率时的抽样信号及频谱 (不混叠) a)上搬移至0,一1，二’2s，…厂’ns，…处(幅度为原频谱的1 T s倍)。

因此，当\~2 -m时，频谱不发生混叠；而当•，s ：：： 2 'm 时，频谱发生混叠。

2.1.3信号重构设信号f(t)被采样后形成的采样信号为 f s (t)，信号的重构是指由f s(t)经过内插处理后，恢复出原来信号f (t)的过程。

又称为信号恢复。

若设f (t)是带限信号，带宽为-，经采样后的频谱为 F s (j ，)。

设采样频率「s_2，m ，则由式F(j )。

显然，F(j ・J =F s (j JH( j •)，与之对应的时域表达式为f(t)=h(t)* f s (t)而f s (t) = f(t)L (t -nT s ) <nT s ) (t- nT s )n=3Q1«ch(t)二 F ~[H (j ■)]二T s — Sa( .t)兀将h(t)及f s(t)代入式(10)得.T ■■ ■f (t)二 f s (t)*Ts=Sa( ,t) J ，f( nT s )Sa[ ・c (t-nT s )]( 11)•: •: n=式(11)即为用f( nT s )求解f(t)的表达式，是利用MATLAB 实现信号重构的基本关系式，抽样函数Saf c t)在此起着内插函数的作用。

三、抽样定理的仿真和探讨3.1.1 Sa(t)的临界采样及重构图当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的 2倍，即匕=2，m 时，称为临界采样.修改门 信号宽度、采样周期等参数，重新运行程序，观察得到的采样信号时域和频域特性，以及重构信号 与误差信号的变化。

程序运行结果:(9)知F s (j )是以就为周期的谱线。

现选取一个频率特性T s(其中截止频率满足，亍)的理想低通滤波器与F s(j )相乘，得到的频谱即为原信号的频谱(10)当采样频率大于一个连续的同信号最大频率的 2倍，即「S ■ 2'm 时，称为过采样.在不同采样频率的条件下， 观察对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。

程序运行结果：詩 Q --- -- 卜 --- 片 ---------------- + --- -J. --- _J ------ --- -=-，2 ____________ 」 _______」]1 ________ iiiii _______________________________________________-10 -6 -6 ^4 -2 0246810过采样信号=|原信号的溟差error(t)3.1.2 Sa(t)的过采样及重构sa(t}=sinc{t/pi}的黒 信号-10 -8 -6 ^4 -20 24 6 3 10t詢tFsigt/pi)的采样信号3.1.3 Sa(t) 的欠采样及重构当采样频率小于一个连续的同信号最大频率的2倍，即匕：：：2 .m时，称为过采样。

利用频域滤波的方法修改实验中的部分程序，完成对采样信号的重构。

程序运行结果：-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20KTs由S8(t)=sinc(t/pi)的欠采样信号重构间t)*20 *15 -10 -5 0 5 10 15 20误差分析：绝对误差error已大为增加，其原因是因采样信号的频谱混叠，使得在co <©c区域内的频谱相互“干扰”所致。

四、课题研讨的小结该课程设计使我们对采样定理的一些基本公式得到了进一步巩固。

在整个实验过程中，我们查阅了很多相关知识，从这些书籍中我们受益良多。

虽然学习过采样过程和恢复过程，但是认识不深，实践能力也有所欠缺，通过这次实验对采样过程和恢复过程有了进一步掌握。

通过实验的设计使我们对采样定理和信号的重构有了深一步的掌握，也让我们在实践的过程中了解到团队合作的重要性。

虽然在实验过程中出现很多错误，但是在老师的帮助和团队成员的齐心协力下，不断的修正错误，同时也学会了MATLAB^信号表示的基本方法及绘图函数的调用。

虽然刚开始我们对MATLAB勺基本使用方法没有太深刻的认识，但是该实验使我们对MATLAB函数程序的基本结构有所了解，也提高了我们独立完成实验的能力和理论联系实际的应用能力。

通过这次课程设计，我们不仅学到了学科知识，锻炼了实践能力，更重要的是学到了学习的方法和团队合作的重要性。

我们团队分工有序，每个人都能按时完成各自的任务。

在遇到问题时，大家都能够互相理解，互相帮助，最后圆满完成课题！附录:Sa(t)的临界采样及重构1.Sa(t)的临界采样及重构程序代码;wm=1;wc=wm;Ts=pi/wm; ws=2.4*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));subplot(311);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');的原信号');title('sa(t)=sinc(t/pi)grid;t1=-20:0.5:20; f1=sinc(t1/pi);subplot(312);stem(t1,f1); xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi) grid;subplot(313);的临界采样信号');plot(t,fa)xlabel('t'); ylabel('fa(t)');title(' 由sa(t)=sinc(t/pi)的临界采样信号重构sa(t)');grid;2.程序运行运行结果图与分析sa(t}=sinc(t/pi)的原信号图3.1.1Sa(t)的临界采样及重构图运行结果分析：为了比较由采样信号恢复后的信号与原信号的误差，可以计算岀两信号的绝对误差。

当 数据越大，起止的宽度越大。

二、Sa(t)的过采样及重构1.Sa(t)的过采样及重构程序代码；wm=1; wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm; ws=2*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10; fa=f*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t)))); subplot(411); plot(t,fa) xlabel('t'); ylabel('fa(t)'); title('sa(t)=sinc(t/pi) 的原信号');grid;error=abs(fa-sinc(t/pi)); t1=-10:0.5:10;kTst 选取的f仁sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi) 的采样信号');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title(' 由sa(t)=sinc(t/pi) 的过采样信号重构sa(t)');grid;subplot(414);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title(' 过采样信号与原信号的误差error(t)');grid;2.程序运行运行结果图与分析。

sa(t)=sinc(t/pi)的馬信号图3.1.2 Sa(t)的过采样信号、重构信号及两信号的绝对误差图运行分析：将原始信号分别修改为抽样函数Sa(t)、正弦信号sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t) 、指数信号e-2tu(t) 在不同采样频率的条件下，可以观察到对应采样信号的时域和频域特性，以及重构信号与误差信号的变化。