低通滤波器抽样定理的仿真

安徽大学电子信息工程学院通信原理课程设计报告设计题目低通抽样定理仿真学生专业年级2012级通信工程学生姓名（学号）宋景怡P********季琴P0*******王慧娟P0******* 指导教师常静完成时间2015 年6 月27 日2015年6月低通抽样定理仿真一、课程设计目的本次课程设计主要利用MATLAB和SIMULINKL 两个部分。

首先利用SIMULINKL 实现了连续信号的采样及重构，通过改变抽样频率来实现过采样、等采样、欠采样三种情况来验证低通抽样定理，绘出原始信号、采样信号、重构信号的时域波形图。

本次课程设计加深理解和巩固通信原理、数字信号处理课上所学的有关基本概念、基本理论和基本方法，并锻炼分析问题和解决问题的能力。

二、课程设计内容利用MATLAB软件自带的SIMULINK模块（或MATLAB程序）模拟低通抽样定理。

设输入信号为一频率为10Hz的正弦波，用不同频率的抽样信号对其进行抽样，得到恢复信号波形，并与原信号进行比较。

（1）当抽样频率大于（或等于）信号频率的两倍；（2）当抽样频率小于信号频率的两倍；关键词：抽样定理、低通滤波器、SIMULINK三、实验原理1、抽样定理抽样是把时间上连续的模拟信号变成一系列时间上离散的抽样值的过程。

能否由此样值序列重建原信号，是抽样定理要回答的问题。

抽样定理的大意是，如果对一个频带有限的时间连续的模拟信号抽样，当抽样速率达到一定数值时，那么根据它的抽样值就能重建原信号。

也就是说，若要传输模拟信号，不一定要传输模拟信号本身，只需传输按抽样定理得到的抽样值即可。

因此，抽样定理是模拟信号数字化的理论依据。

根据信号是低通型的还是带通型的，抽样定理分低通抽样定理和带通抽样定理；根据用来抽样的脉冲序列是等间隔的还是非等间隔的，又分均匀抽样定理和非均匀抽样；根据抽样的脉冲序列是冲击序列还是非冲击序列，又可分理想抽样和实际抽样。

2、信号的采样所谓“取样”就是利用从连续时间信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。

这样得到的离散信号称为取样信号（如图1所示）。

采样信号f(t)可以看成连续信号f(t)和取样脉冲序列s(t)的乘积。

其中取样脉冲序列s(t)也称为开关函数。

如果其各脉冲间隔时间相同，均为Ts，就称为均匀取样。

Ts称为取样周期，fs=1/Ts 称为取样频率或取样率，ωs=2πfs=2π/Ts称为取样角频率。

图1.信号的取样如果f(t)↔F(jω)，s(t)↔S(jω)，则由频域卷积定理，得取样信号fs(t)的频谱函数为F s （jω）=12πF( jω) * S( jω) (1)如果取样脉冲序列s(t)是周期为Ts 的冲激函数序列δTs ，称为冲激取样。

而冲激序列δTs （这里T=Ts ，Ω=2π/Ts=ωs ）的频谱函数也是周期冲激序列，即FT[ s ( t ) ]= FT [δTs (t)]=FT [∑δ(t −nT s )]∞n=−∞= ωs ∑δ(ω−nωs )∞n=−∞ （2）函数δTs(t)及其频谱图如图2的(b)和(e)所示。

如果信号f(t)的频带是有限的，就是说信号f(t)的频谱只在区间(-ωm ，ωm)为有限值，而在此区间外为零，这样的信号称为频带有限信号，简称有限信号，f(t)及其频谱如图2的(a)和(d)所示。

设f(t)↔F(jω)，将式（2）代入式（1），得到取样信号fs(t)和频谱函数如下式Fs ( jω) = 12π F （jω）∗ ωs ∑F (jω)∞n=−∞∗δ(ω−nωs )=1T s ∑ F [ ∞n=−∞j (ω−nωs )] (3) 冲激取样信号fs(t)及其频谱如图2的(c)和(f)所示。

由图(f)和式（3）可知，取样信号fs(t)的频谱函数由原信号频谱F(j ω)的无限个频移项组成，其频移的角频率分别为nωs （n=0，±1，±2, ……），其幅值为原频谱的1/Ts 。

图2画出了时域中的冲激取样信号及其频谱。

图2.冲激取样由此可见，采样信号在时域的表示为无穷多冲激函数的线性组合，其权值为原始信号在对应采样时刻的定义值。

采样信号fs(t)的频谱就是将原始信号f(t)的频谱在频率轴上以采样角频率ωs为周期进行周期延拓后的结果（幅度为原频谱的1/Ts）。

由取样信号fs(t)的频谱可以看出，如果ωs>2ωm（即fs>2fm或Ts<1/2fm），那么各相邻频移后的频谱不会发生重叠。

这里就能设法（如利用低通滤波器）从取样信号的频谱Fs(jω)中得到原信号的频谱，即从取样信号fs(t)中恢复原信号f(t)。

如果ωs<2ωm，那么频移后的各相邻频谱将相互重叠，这样就无法将它们分开，因而也不能再恢复原信号。

频谱重叠的这种现象常称为混叠现象。

可见，为了不发生混叠现象，必须满足ωs≥2ωm。

3、信号的重构设信号f(t)被采样后形成的采样信号为fs(t)，信号的重构是指由fs(t)经过内插处理后，恢复出原来的信号f(t)的过程。

因此又称为信号恢复。

由前面的介绍可知，在采样频率ωs≥2ωm的条件下，采样信号的频谱Fs(j ω)是以ωs为周期的谱线。

选择一个理想低通滤波器，使其频率特性H(jω)满足：H ( jω ) ={T s, ω<ωc 0, ω>ωc式中的ωc称为滤波器的截止频率，满足ωm≤ωc≤ωs/2。

将采样信号通过该理想低通滤波器，输出信号的频谱将与原信号的频谱相同。

因此，经过理想滤波器还原得到的信号即为原信号本身。

信号重构的原理图见下图。

F(jω)通过以上分析，得到如下的时域采样定理：一个带宽为ωm的带限信号f(t)，可唯一地由它的均匀取样信号fs(nTs)确定，其中，取样间隔Ts<π/ωm, 该取样间隔又称为奈奎斯特（Nyquist）间隔，把最低允许取样频率fs=2fm称为奈奎斯特频率。

顺便指出对于频带有限的同期信号f(t)（设其频谱函数为F(jω)，同期为T），适当选取取样周期Ts(Ts>T)，则经过滤波能从混叠的取样信号频谱Fs(jω)中选得原信号的压缩频谱F(jω/a)(0<a<1)，从而得到与原信号波形相同但时域展宽的信号f(at)。

取样示波器就是利用这一原理把不便于显示的高频信号展宽为容易显示的低频信号。

根据时域卷积定理，求出信号重构的数学表达式为：f(t) = IFT[ F s( jω)] * IFT[ H( jω)] =f s(t)∗h(t)=[∑f (nT s )δ(t −nT s )∞n=−∞]∗ [T sωc πSa(ωc t)] =T s ωc π ∑ f (nT s )∞n=−∞Sa [ωc (t −nT s )]式中的抽样函数Sa(ωct)起着内插函数的作用，信号的恢复可以视为将抽样函数进行不同时刻移位后加权求和的结果，其加权的权值为采样信号在相应时刻的定义值。

利用MATLAB 中的抽样函数sinc(t)=sin(πt)/(πt)来表示Sa(t)，有Sa(t)= sinc(t/π)，Sa(ωct)=sinc(ωct/π)于是，信号重构的内插公式也可表示为：f(t)=[∑f (nT s )δ(t −nT s )∞n=−∞]∗ [T sωc πSa (ωc πt)] = T s ωc π ∑ f (nT s )∞n=−∞Sa [ωc π(t −nT s )]四、 程序设计流程图五、SIMULINK仿真设计1、建立模型2、参数设置3、抽样频率大于信号频率的两倍，即抽样频率为30HZ，抽样图形及恢复波形4、抽样频率等于信号频率的两倍，即抽样频率为20HZ，抽样图形及恢复波形5、抽样频率小于信号频率的两倍，即抽样频率为5HZ，抽样图形及恢复波形六、MATLAB编程对实验结果进行校验1、MATLAB编程t=-5:1/10:5; %时间范围，频率10HZs=sin(t); %定义输入函数figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '高频抽样');%画高频率采样图plot(t,s,'--k'); %画正弦信号图形hold on;xlabel('t');ylabel('s');fs1=30; %高于信号频率抽样sample_time=-5:1/fs1:5;s_sample=sin(sample_time); %抽样后信号图形h=stem(sample_time,s_sample,'fill','-k');set(h(1),'Marker','o','Markersize',2);figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '低频抽样');%画低频率采样图plot(t,s,'--k');hold on;xlabel('t');ylabel('s');fs2=1; %低于信号频率抽样sample_time1=-5:1/fs2:5;s_sample1=sin(sample_time1)； %抽样后信号图形h1=stem(sample_time1,s_sample1,'fill','-k');set(h1(1),'Marker','o','Markersize',2);f_n=30; %定义模拟采样频率f_p=8;f_s=14; %定义通带和阻带频率Wp1=2*pi*f_p/f_n; %模拟通带频率数字化Ws1=2*pi*f_s/f_n; %模拟阻带频率数字化Wp=2*f_n*tan(Wp1/2); %预畸矫正Ws=2*f_n*tan(Ws1/2);R_p=3;R_s=30; %定义通带增益和阻带衰减[n,Wn]=buttord(Wp,Ws,R_p,R_s,'s'); %计算阶数和截止频率[b,a]=butter(n,Wn,'s'); %计算H（jw)[bz,az]=bilinear(b,a,f_n); %计算H（z)figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '低通滤波器响应图');%作出H（z)的幅频相频图subplot(2,1,1);freqz(bz,az,1000,25000)y1=filter(bz,az,s_sample); %高频采样后通过低通滤波器恢复figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '高频抽样后恢复图形'); plot(sample_time,y1);xlabel('sample_time');ylabel('y1');y2=filter(bz,az,s_sample1); %低频采样后通过低通滤波器恢复figure('NumberTitle', 'off', 'Name', '高频抽样恢复图形'); plot(sample_time1,y2);xlabel('sample_time1');ylabel('y2');2、MATLAB仿真结果图七、对实验结果进行分析1、由仿真图可知当抽样频率大于或等于被抽样信号频率的2倍时，抽样输出通过模拟低通滤波器能够恢复出被抽样信号；当抽样频率小于被抽样信号频率的2 倍，模拟低通滤波器的输出波形的形状已失真，即不能恢复出原始信号。