沪教版七年级上册教案设计9.16分组分解法9.16 分组分解法（1）教学目标：1.理解分组分解法的概念.2.掌握用“二二”分组分解法分解四项式.3. 在用分组分解法进行因式分解的过程中培养发散思维的能力.教学重点和难点：选择合理的分组方法对四项式进行正确的因式分解.教学过程：一、复习引入问：前几节课我们学习了分解因式，有哪些方法呢？（生：提取公因式法、公式法、十字相乘法）填空：(1)2(a+b)+3a(a+b)=( )(a+b)；(2)x(a–b)–y(a–b)= (a–b)( )；(3) –(x–y)2–(x–y)= –(x–y)( )．分解因式时一般先考虑提取公因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式．思考：如何将多项式ax+ay+bx+by分解因式？显然，多项式ax+ay+bx+by中既没有公因式，也不好用公式法和十字相乘法，能不能转化为已学知识来进行分解因式呢？问1：观察这个多项式，它有什么特征？答1：它是四项式，前两项和后两项分别有公因式a、b．(第一项和第三项有公因式x，第二项和第四项有公因式y)．师：把这个多项式的前两项和后两项分成两组后，分别提出公因式a与b后，我们来看看：ax+ay+bx+by=(ax+ay)+(bx+by)=a(x+y)+ b(x+y)问2：你有什么发现？答2：还有公因式(x+y)，可以提取公因式．学生口述，教师板书．=(x+y)(a+b)问3：这是分解因式的结果吗？答3：是的．师：这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．板书课题：§9．16分组分解法（1）问4：还有其它的分组方法吗？答4：把这个多项式的第一项和第三项一组，第二项和第四项一组，分为两组，分别提出公因式x 与y．学生口述，教师板书．ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by) =x(a+b)+y(a+b) =(a+b)(x+y)问5：这个结果和前面的分组分解的结果相同吗？师：这两种不同的分组方法都是正确的，关键是多项式分组后还能继续提取公因式来分解因式．我们把这种分组方式简单地称为“二二”分组．答5：相同．二、运用分组分解法分解因式例题1分解因式：(1)2ac–6ad+bc–3bd．问1：多项式有什么特征？如何分解？学生口述，教师板书．解：2ac–6ad+bc–3bd =(2ac–6ad)+(bc–3bd)=2a(c–3d)+b(c–3d)问2：有公因式吗？是什么？=(c–3d)(2a+ b)问3：这是分解因式的结果吗？答3：是的．问4：还有其它的分组方法吗？答4：有．学生口述，教师板书．解：2ac –6ad +bc –3bd =(2ac+bc ) + (–6ad –3bd )=c (2a+b )–3d (2a +b )=(2a +b )(c –3d )问5：还有其它的分组方法吗？答5：有．（预设学生答错）解：2ac –6ad +bc –3bd =(2ac –3bd )+(–6ad+bc )我们发现这种分组，不能继续分解，所以这种分组分解是错误的．问6：观察前两种正确的分组方法，每一组中系数之间有什么联系？答6：第一种分组中，每组两项的系数比都是1:(–3)；第二种分组中，每组两项的系数比都是2:1．例题2 分解因式：4a 2+2a –b 2+b ．问1：这个四项式如何分解？答1：前两项一组有公因式2a ，后两项一组有公因式b ．（预设学生答错，按字母特征分组）按照学生回答板书：4a 2+2a –b 2+b=2a (a +1)+b (–b +1)问2：有公因式吗？怎么办？答2：没有，重新分组．问3：如何分解？答3：4a 2–b 2是平方差，把它们分为一组，2a +b 分为一组．解：4a 2+2a –b 2+b =(4a 2–b 2)+(2a +b )问4：怎么办？答4：用平方差公式分解(4a 2–b 2)．=(2a +b )(2a –b )+(2a +b )问5：有什么发现？=(2a +b )(2a –b +1) 答5：有公因式(2a +b )，可以提取公因式进一步分解．问6：观察这种分组方法，每一组中字母指数之间有什么联系？答6：每组中两项的字母指数相同．小结：二二分组分解时应注意的问题：1、把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；2、分组分解后产生新公因式；3、继续用提取公因式法来分解因式；4、分解到不能分解为止．练习(1) a 2－ab －2a +2b ； (2)84632--+x xy y x ； (3)22926a b a b -+-；(4)2242x x y y +--．三、能力提高例题3 分解因式：2x 3–2x 2y +8y –8x ．问1：这还是一个四项式，如何分解？答1：前两项有公因式2x 2，后两项有公因式8．把前两项一组，后两项一组，再分组分解．强调：分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式．解：2x 3–2x 2y +8y –8x =2(x 3–x 2y +4y –4x )问2：如何分解？答2：括号内前两项有公因式x 2，后两项有公因式4．把前两项一组，后两项一组，再分组分解．=2[(x 3–x 2 y )+ (4y –4x )] =2 [x 2(x –y )–4(x –y )]问3：有公因式吗？是什么？答3：有，是(x –y )． =2(x –y )(x 2–4)问4：这是分解因式的结果吗？为什么？答4：不是，分解因式应分解到不能分解为止，(x 2–4)还可以分解． =2(x –y )(x +2)(x –2) 小结：分解因式时应注意的问题：1、分解因式的分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式；2、分解因式应分解到不能分解为止．练习：分解因式：ab ab a a +-+223．四、课堂小结通过今天的学习你有什么收获和体会？预设学生：1、分组分解法；2、二二分组分解时注意的问题：(1)把四项式二二分为两组(按字母特征分组，或按系数特征分组，或按字母指数特征分组)；(2)分组分解后产生新公因式；(3)继续用提取公因式法来分解因式．3、分解因式时应注意的问题：(1)分解因式的分解因式时先观察，有公因式应先提取公因式；(2)分解因式应分解到不能分解为止．五、回家作业练习册9.16 第1、4题9．16分组分解法（2）教学目标：1.进一步理解分组分解法的概念．2.掌握用“一三”分组分解法分解四项式．3. 在用分组分解法进行因式分解的过程中感受整体的数学思想．教学重点和难点：根据多项式的特征对多项式进行合理的分组，并正确进行因式分解．教学过程：一、复习引入已知多项式x2+xy+xz+yz，你能对它因式分解吗？问1：用什么方法？问2：分组分解的关键是什么？答1：分组分解法．答2：因式分解后能产生新的公因式．二、运用分组分解法分解因式思考：如何将多项式a2+2ab+b2–1分解因式？问1：用“二二”分组能分解吗？问2：怎么办？答1：不能．答2：前三项是一个完全平方式，把它们分为一组．师：把这个多项式的前三项分在一组后，我们来看看：a2+2ab+b2–1=(a2+2ab+b2) –1=(a+b)2–1问3：你有什么发现？答3：把(a+b)看作一个整体，可以运用平方差公式分解因式．这样就转化为运用平方差公式分解．学生口述，教师板书．=(a+b+1) (a+b–1)问4：这是分解因式的结果吗？答4：是的．师：这种分组方法简单地称为“一三”分组．问5：还有其它的分组方法吗？答5：没有．二、运用分组分解法分解因式例题1分解因式：(1)x2–4x–y2+4；问1：多项式有什么特征？如何分解？答1：x2–4x+4是一个完全平方式，把这三项分为一组，–y2为一组，再分组分解．问2：这是分解因式的结果吗？答2：是的．(2)4m2–n2–2n–1．问1：多项式有什么特征？如何分解？答1：–n2–2n–1提取负号后是一个完全平方式，把这三项分为一组，4m2为一组，再分组分解=4m2–(n+1)2问2：怎么办？答2：4m2是(2m)2，用平方差公式分解．小结：三一分组分解的特点：1、三项式这组可用完全公式法分解；2、再用平方差公式法分解到不能分解为止．三、课堂练习分解因式：(1) x2–4xy+4y2–4；问：多项式有什么特征？如何分解？分析特征后，学生独自练习．(2) 1–a2+2ab–b2．问：多项式有什么特征？如何分解？问：分解因式时应注意什么问题？答：添负括号时注意括号里的每一项都要变号；去括号时应注意括号前的负号．四、能力提高例题2 分解因式：x2+2xy+y2–3x–3y–4；问1：多项式有什么特征？如何分解？解：x2+2xy+y2–3x–3y–4 =(x2+2xy+y2)+(–3x–3y)–4 =(x+y)2–3(x+y)–4问2：怎么办？=(x+y–4)(x+y+1)练习：分解因式：m2–5m+n2+5n–2mn．五、课堂小结通过今天的学习你有什么收获？预设学生：1、三一分组分解的特点：(1)三项式这组可用完全公式法分解；(2)再用平方差公式法分解到不能分解为止．2、分解因式时应注意符号的问题，添负括号时注意括号里的每一项都要变号；去括号时应注意括号前的负号．教师补充：整体的数学思想．六、回家作业练习册9.16 第2、3、5题。
9.16 分组分解法一、填空题：1、分解因式：=2、分解因式：=3、分解因式：=二、解答题：把下列各式分解因式4、 5、6、 7、三、提高题：8、分解因式：9．16 分组分解法(1)一、填空题1. 把多项式ax＋ay＋bx＋by按下列两种不同的分组进行因式分解：(1)ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋ay)＋(bx＋by)，组内公因式分别是________________________________________________________________________，组间公因式是____________________，最后分解结果是________________________________________________________________________．(2)ax＋ay＋bx＋by＝(ax＋bx)＋(ay＋by)，组内公因式分别是________________________________________________________________________，组间公因式是____________________，最后分解结果是________________________________________________________________________．2. 分解因式：ab－a－b＋1＝____________________.3. 分解因式：a＋2b－3a2－6ab＝____________________.4. 分解因式：2x－2y－xm＋ym＝____________________.5. 分解因式：ab＋b2－ac－bc＝____________________.6. 2(x＋y)＋____________________＝(2＋m)(x＋y)7. 如果一个三角形的边长a，b，c，皆为整数，并且a＋bc＋b＋ca＝4，那么这个三角形的周长为__________．二、选择题8. 下列多项式中，不能用分组分解法继续分解的是()A. 5x＋mx＋5y＋myB. 5x＋mx＋3y＋myC. 5x－mx＋5y－myD. 5x－mx＋10y－2my9. 将x2－xy＋3y－3x分解因式，下列分组方法不当的是()A. (x2－3x)＋(3y－xy)B. (x2－xy)＋(3y－3x)C. (x2－xy)＋(－3x＋3y)D. (x2－xy－3x)＋3y10. 用分组分解法把2x2＋4xy－6x＋3－x－2y分解因式，下列分组正确的是()A. (2x2＋4xy－6x)－(2y＋x－3)B. (2x2＋4xy)－(x＋2y)－(6x－3)C. (2x2－x)＋(4xy－6x)－(2y－3)D. 以上答案都正确11. －(3x－1)(x＋2y)是下列哪个多项式分解的结果()A. 3x2＋6xy－x－2yB. 3x2－6xy＋x－2yC. x＋2y＋3x2＋6xyD. x＋2y－3x2－6xy三、把下列各式因式分解(用两种不同的分组方法解题)12. 5a2－15a＋3ab－9b 5a2－15a＋3ab－9b13. xy－x－y＋1 xy－x－y＋114. 5x3－15x2－x＋3 5x3－15x2－x＋315. 7x2－3y＋xy－21x 7x2－3y＋xy－21x四、把下列各式分解因式16. x(x－1)(x－2)－6 17. ab(x2＋1)＋x(a2＋b2)9．16 分组分解法(2)一、填空题1. 分解因式：a＋2b－3a2－6ab＝________________________.2. 分解因式：m2(a＋b)－a－b＝________________________.3. 分解因式：x2－a2－2ab－b2＝________________________.4. 分解因式： x 2－y 2－x ＋y ＝________________________.5. 分解因式： a 2－4a ＋4－9b 2＝________________________.6. 分解因式： 4x 2－a 2－6a －9＝________________________.7. 已知： x 2－y 2＋x ＋y ＝(x ＋y )·A ，则A ＝____________.8. 已知： a 2＋b 2＋c 2－2(a ＋b ＋c )＋3＝0，则a 3＋b 3＋c 3－3ab ＝________________________________________________________________________.二、 选择题9. 把多项式2ab －a 2－b 2＋1分解因式，正确的分组方法是()A. 1＋(2ab －a 2－b 2)B. (2ab －b 2)－(a 2－1)C. (2ab －a 2)－(b 2－1)D. (2ab ＋1)－(a 2＋b 2)10. 把多项式2xy －x 2－y 2＋1分解因式的结果是()A. (x －y ＋1)(y －x ＋1)B. (x ＋y －1)(y －x ＋1)C. (x ＋y －1)(x －y ＋1)D. (x －y ＋1)(x －y －1)11. 下列各式分解因式中，正确的是()A. 1－41x 2＝41(x ＋2)(x －2)B. (x －y )3－(y －x )＝(x －y )(x －y ＋1)(x －y －1)C. 4x －2x 2－2＝－2(x －1)2D. x 2－y 2－x ＋y ＝(x ＋y )(x －y －1)12. 下列各式分解因式中，错误的个数是()(1) 15a 2＋5a ＝5a (3a ＋1)(2) －x 2－y 2＝－(x ＋y )(x －y )(3) k (x ＋y )＋x ＋y ＝(k ＋1)(x ＋y )(4) 1－a 2＋2ab －b 2＝(1＋a ＋b )(1－a －b )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、把下列各式因式分解13. x2－y2－2y－1 14. x3＋3x2－4x－1215. 1－x2－4y2＋4xy16. m2－2mn＋n2－5m＋5n＋617. ax－ay＋x2－y2 18. x2－xy－2y2－x－y四、简答题19. 已知x2＋y2－4x＋4＝0，求：xy＋2x－y－2的值．20. 已知a＋2c＝3b，求多项式a2－9b2＋4c2＋4ac的值．9.16（1）1（1）、a 和b ；x y +；()()x y a b ++1（2）、x 和y ；a b +；()()a b x y ++ 2、()()11a b -- 3、()()213a b a +- 4、()()2x y m -- 5、()()a b b c +-6、()()1212x y x y -+--7、B 8、D 9、D10、略11、略 12、()m x y + 13、314、A15、()()22a a b c a b c +--+16、()()()()x y z x y z x y z x y z +++--+--17、()()2121a b a b +--+ 18、()()41x y x y ---+ 19、()()11xy x y xy x y ++-+-+9.16（2）1、()()213a b a +-2、()()()11a b m m ++-3、()()x a b x a b ++--4、()()1x y x y -+-5、()()2323a b a b -+--6、()()2323x a x a ++--7、A 8、A 9、C 10、B 11、()()11x y x y ++--12、()()()322x x x ++- 13、()()1212x y x y +--+ 14、()()23m n m n ----15、1x y -+ 16、0 17、()()x y a x y -++ 18、()()21x y x y +--19、2 20、0。
